TOÁN HỌC HÓA VÀ HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG
1.2 HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG
1.2.4 Sơ lược lịch sử của hiểu biết định lượng
Toán học ngày càng quan trọng đối với mỗi cá nhân. Không phải tình cờ mà toán học luôn có mặt trong các kì thi, điều đó chứng tỏ sự quan trọng của toán học đối với mọi người, chứ không chỉ với một số ít người yêu thích toán.
Mặc dù toán học có một lịch sử rất lâu đời – với tư cách là một hệ thống logic các tiên đề, giả thuyết và suy luận diễn dịch hay là một công cụ để phân tích thực
nghiệm thế giới tự nhiên – nhưng yêu cầu về HBĐL là một hiện tượng được quan tâm chủ yếu vào cuối thế kỉ 20 (Madison, 2007, [43]).
Giáo dục đã không chú trọng đến các năng lực HBĐL cho đến cuối thế kỉ thứ 20.
Sau nhiều cuộc điều tra quốc gia và quốc tế bộc lộ điểm yếu trong khả năng hiểu các lập luận định lượng thông thường của học sinh, sinh viên và cả những người trưởng thành, nhiều trường học phổ thông và đại học trên thế giới đã bắt đầu bổ sung HBĐL vào trong chương trình nhằm phát triển khả năng phân tích, giải thích và hiểu các thông tin định lượng của học sinh. Các tổ chức giáo dục của nhiều quốc gia và khu vực cũng lên kế hoạch để phát triển HBĐL thông qua các chương trình, dự án. Ví dụ:
- Úc: HBĐL đã được quan tâm đến vào những năm 1990, đặc biệt là HBĐL tại nơi làm việc, và từ năm 1998, chuẩn quốc gia về HBĐL của học sinh đã được đưa vào trường học và được kiểm tra bởi chương trình đánh giá quốc gia về HBĐL NAPLAN (The National Assessment Program Literacy and Numeracy) - Mỹ: HBĐL đã được chấp nhận vào những năm 1990 và lan rộng nhanh chóng.
Đầu thế kỉ 21, nước này đã tiến hành một số hoạt động nhằm mục đích cải tiến HBĐL, một trong những hoạt động đó là thành lập tổ chức HBĐL quốc gia NNN (National Numeracy Network) có nhiệm vụ thúc đẩy giáo dục HBĐL.
- New zealand: dự án phát triển HBĐL của Bộ giáo dục bắt đầu năm 2001, tập trung phát triển năng lực HBĐL của học sinh từ lớp 1 đến lớp 12 và đã đạt được những thành công đáng kể.
- Anh: thực hiện chiến lược HBĐL quốc gia tại các trường học từ năm 1999 và năm 2006 đã có những bổ sung, thay đổi so với mục tiêu ban đầu sau 7 năm thực hiện.
Thực ra, tầm quan trọng của HBĐL trong cuộc sống của con người xuất hiện rất sớm, từ thế kỉ 13, khi đồng hồ và súng đại bác được chế tạo ở phương Tây (Hallett, 2001, [31]). Trong những thế kỉ tiếp theo, HBĐL đảm nhận một ý nghĩa đặc biệt trong xã hội thương mại và tri thức.
Vào giữa thế kỉ 17, một quý tộc Pháp thách đố nhà toán học nổi tiếng Pascal giải quyết một bài toán đã xuất hiện cách thời điểm đó 200 năm, đó là làm thế nào để chia tiền thưởng trong một trò chơi tung đồng xu chưa kết thúc. Qua thư từ trao đổi, Pascal và Fermat đã mô hình hóa trò chơi may rủi và đi đến lời giải cho bài toán.
Điều đáng nói là qua cuộc trao đổi này, những mầm mống của lý thuyết xác suất đã xuất hiện. Lúc này, các con số không chỉ là một công cụ để đo thời gian và khoảng cách, mà nó còn là phương tiện để hạn chế rủi ro và dự đoán tương lai.
Như vậy, nguồn gốc của HBĐL đã có cách đây nhiều thế kỉ, nhưng HBĐL theo nghĩa hiện nay chỉ mới hình thành và phát triển cách đây vài thập kỉ. Thuật ngữ HBĐL được sử dụng chính thức đầu tiên vào năm 1959 trong báo cáo của Crowther về giáo dục trẻ em tuổi 15-18 ở nước Anh, báo cáo này mô tả HBĐL là khả năng để đối phó thành công với các khía cạnh định lượng của cuộc sống hàng ngày chứ không bó hẹp ở khả năng sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia. Nhưng sau đó, khái niệm HBĐL theo báo cáo trên dần dần mất đi yêu cầu giải quyết các vấn đề phức tạp như mong đợi mà trở thành các kĩ năng số học đơn giản thông thường.
Hiện nay, đối với nhiều người, khái niệm HBĐL vẫn được hiểu theo nghĩa hẹp này (Westwood, 2008, [70]).
Hai thập kỉ sau (1982), một báo cáo khác của chính phủ Anh đã cố gắng để phục hồi nghĩa ban đầu của HBĐL. Báo cáo này xác định hai thuộc tính của HBĐL: khả năng sử dụng kiến thức, kĩ năng toán trong cuộc sống hằng ngày và hiểu được các thông tin biểu diễn bởi những thuật ngữ toán học (Cockroft). Báo cáo đã khởi đầu giai đoạn HBĐL trong giáo dục toán. Một kết quả khác từ báo cáo của Cockroft, thống kê được đưa vào chương trình toán của nước Anh, nhấn mạnh đến những áp dụng thống kê và phân tích dữ liệu vào thực hành. Đồng thời ở Mỹ, một mô hình về xu hướng thống kê và phân tích dữ liệu được đưa vào chuẩn đánh giá và chương trình toán học nhà trường năm 1989 (NCTM 1989) nhằm hưởng ứng sự thay đổi nhu cầu toán học của xã hội, xác nhận vai trò của HBĐL trong giáo dục và xu hướng này ngày càng gia tăng trong chuẩn của NCTM 2000.
Khi nhu cầu HBĐL của con người tỉ lệ nghịch với khả năng HBĐL, nhiều tài liệu được xuất bản nhằm nâng cao nhận thức của xã hội về hệ quả của việc không có HBĐL (Buxton 1991, Tobias 1993, Paulos 1996). Cùng lúc đó, các tác phẩm của Tufte (1990, 1997) đã bộc lộ sức mạnh của HBĐL trong giao tiếp và đưa ra những bằng chứng thuyết phục (Steen, 2001, [57]).
Sau đó, các bài viết liên quan đến HBĐL gia tăng một cách đáng kể, đặc biệt là các xuất bản của Lynn Arthur Steen, giáo sư toán trường ĐH St. Olaf, Mỹ như Tại sao phải đếm “Why Numbers Count” (Steen, 1997), Toán học và dân chủ “Mathematics and Democracy” (Steen, 2001), Các vấn đề về HBĐL cho nhà trường phổ thông và đại học “Quantitative Literacy: Why Numeracy Matters for Schools and Colleges”
(Madison & Steen, 2003). HBĐL ngày càng giành được nhiều sự quan tâm trong giáo dục toán và được xem là một trong những kĩ năng cần thiết mà học sinh cần rèn luyện ở nhà trường, điều này cũng đã chi phối đến việc đánh giá và ảnh hưởng đến chương trình toán ở nhiều nước (Anh, Đức, Úc, New Zealand, Mỹ, Đan Mạch, Hà Lan). Trong 10 năm trở lại đây, HBĐL ngày càng thu hút sự chú ý và ngày càng được hiểu tốt hơn. Cùng lúc đó, phạm vi của HBĐL đã rộng hơn các khái niệm ban đầu, tiến đến nhiều lĩnh vực khác nhau, vượt ra khỏi phạm vi học tập truyền thống.
1.3 MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC HÓA VÀ HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG Trong khi HBĐL là khả năng sử dụng toán như một công cụ để đương đầu với các tình huống định lượng trong thực tế, thì toán học hóa (theo quan điểm của PISA) là quá trình sử dụng toán để giải quyết một vấn đề thực tế. Như vậy, hiểu biết định lượng và toán học hóa đều đòi hỏi học sinh phải có kiến thức, kĩ năng ở nhiều lĩnh vực toán khác nhau cũng như có sự hiểu biết liên quan đến các tình huống thực tế được xem xét. Ngoài ra, De Lange (2003, [21]) đã đề cập đến một mối quan hệ giữa HBĐL và toán học hóa “Một quá trình cơ bản hướng dẫn giải quyết hiệu quả các vấn đề xuất phát từ những tình huống định lượng là quá trình toán học hóa”. Tuy nhiên, không phải tình huống định lượng nào cũng cần sử dụng quá trình toán học hóa để giải quyết.
Ví dụ. TRẢI THẢM
1. Xác định diện tích của căn phòng hình chữ nhật có kích thước 5,5 m và 8,25 m.
2. Cần bao nhiêu tiền để trải thảm căn phòng hình chữ nhật có kích thước 5,5 m và 8,25 m, biết rằng cuộn thảm có khổ rộng 4m với giá là 130 nghìn đồng mỗi mét và tiền công trải thảm là 10 nghìn đồng mỗi m2?
3. Để trải thảm phòng khách của bạn cần tốn bao nhiêu tiền?
Hình 1.12 Trải thảm
Cả ba tình huống trên đều là tình huống định lượng. Với tình huống 3, học sinh phải xem xét nhiều yếu tố liên quan đến kết quả bài toán, chẳng hạn như hình dạng căn phòng, giá thảm, tiền công trải thảm, sau đó thực hiện đo đạc, ước lượng, tính toán kích thước tấm thảm cần mua sao cho có lợi nhất. Còn ở tình huống 2, để giảm thời gian học sinh đo đạc, tìm hiểu giá cả... tình huống đã cung cấp những số liệu phù hợp cho các em. Với tình huống 2 và 3, quá trình toán học hóa sẽ giúp hướng dẫn học sinh thực hiện các bước để tìm được lời giải phù hợp, đồng thời tình huống đem lại nhiều thông tin khác về những gì học sinh đã học được và có thể làm được hơn là chỉ kiểm tra kĩ năng tính toán. Nhưng đối với tình huống 1, học sinh chỉ cần nhớ lại công thức tính diện tích của hình chữ nhật và kĩ thuật nhân hai số thập phân mà không cần đến quá trình toán học hóa. Mục đích chính của tình huống này là thực hành kĩ năng toán liên quan đến nội dung bài học hơn là sử dụng kiến thức toán để giải quyết một vấn đề thực tế.
Mặt khác, theo Madison (2007, [43]), người ta có thể đánh giá các năng lực HBĐL một cách riêng lẻ, nhưng cũng giống như đánh giá một người chơi bóng đá, các kĩ năng riêng lẻ là chưa đủ mà các kĩ năng đó cần được phối hợp và thể hiện trong một trận đấu thực sự. Vậy làm thế nào để đánh giá đồng thời cả sáu năng lực HBĐL?
PISA (2012, [51]) đã chỉ ra rằng, khi giải quyết một tình huống thực tế bằng quá
trình toán học hóa, ba giai đoạn của quá trình này đều đòi hỏi cả sáu năng lực HBĐL, được thể hiện cụ thể trong bảng sau đây:
Bảng 1.3 Các năng lực HBĐL thể hiện qua quá trình toán học hóa Chuyển đổi từ tình
huống thực tế sang mô hình toán học
Giải toán Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế và phản ánh Giao tiếp
với toán học
Đọc, làm rõ ý nghĩa lời văn, đối tượng, hình ảnh, câu hỏi, nhiệm vụ... để hiểu tình huống
Chỉ ra các công việc liên quan để tìm ra lời giải.
Trình bày lời giải.
Giải thích kết quả toán trong tình huống thực tế.
Phân tích và xây dựng mô hình toán học
Nhận ra các biến số và các cấu trúc toán học ẩn phía sau tình huống.
Xây dựng mô hình toán học của tình huống.
Sử dụng hiểu biết về mô hình để hướng dẫn quá trình giải quyết vấn đề toán học.
Nhận ra phạm vi và hạn chế của mô hình toán học đã xây dựng.
Biểu diễn Biểu diễn thông tin thực tế một cách toán học.
Liên kết nhiều biểu diễn khác nhau khi tương tác với vấn đề để tìm ra phương pháp giải.
Biểu diễn kết quả thực tế dưới dạng phù hợp;
Suy luận Sử dụng suy luận để hiểu đúng các mối quan hệ của tình huống
Sử dụng suy luận cùng với các quá trình toán học, kết nối các thông tin được cho để đi đến lời giải toán.
Đưa ra các lập luận ủng hộ hay bác bỏ kết quả đối với tình huống. Đánh giá tính khả thi và những hạn chế của kết quả.
Giải quyết vấn đề
Lựa chọn một phương pháp để trình bày lại tình huống thực tế một cách toán học.
Lựa chọn và thực hiện một phương pháp giải để đi đến kết quả toán.
Lựa chọn cách để giải thích, đánh giá và làm cho kết quả toán có ý nghĩa đối với tình huống ban đầu.
Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán
Sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ toán học phù hợp để biểu diễn tình huống.
Hiểu và sử dụng các kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán dựa trên các khái niệm, quy tắc, thuật toán, quá trình, suy luận toán học để đi đến kết quả toán
Hiểu mối quan hệ giữa ngôn ngữ toán và ngôn ngữ thực tế để có thể chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế.
Các phân tích trên đã chỉ ra mối quan hệ giữa HBĐL và toán học hóa, đồng thời cũng chứng tỏ rằng có thể sử dụng quá trình toán học hóa để phát triển các năng lực HBĐL của học sinh.
Tóm tắt chương 1
Trong chương này, nhằm trình bày lý thuyết liên quan đến hai khái niệm chính của luận án là toán học hóa và năng lực hiểu biết định lượng, chúng tôi đã xem xét hai khái niệm này trong mối quan hệ với hai chủ đề tương ứng, mô hình hóa toán học và hiểu biết định lượng. Mỗi chủ đề đều gồm định nghĩa khái niệm, đưa ra các ví dụ minh họa và phân tích mối quan hệ giữa khái niệm đó với các khái niệm khác giúp làm rõ hơn bản chất của khái niệm, đồng thời giới thiệu sơ lược lịch sử cùng với các kết quả nghiên cứu liên quan để mô tả phần nào xu hướng phát triển của hai chủ đề này trong nghiên cứu giáo dục toán hiện nay.
Hiện tại, có ít nhất ba quan điểm về toán học hóa, tuy nhiên chúng tôi quan tâm đến quan điểm của PISA, xem toán học hóa là toàn bộ quá trình mô hình hóa toán học.
Bên cạnh đó, để có thể đánh giá và phát triển HBĐL, khái niệm HBĐL sử dụng trong luận án đã được cụ thể hóa bởi sáu năng lực cơ bản, gồm giao tiếp với toán
học, phân tích và xây dựng mô hình toán học, sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán, suy luận, biểu diễn, giải quyết vấn đề. Hơn nữa, với việc nhận ra sự tồn tại của các năng lực HBĐL trong ba giai đoạn của quá trình toán học hóa cho phép chúng tôi có thể sử dụng quá trình toán học hóa để phát triển các năng lực HBĐL của học sinh.
CHƯƠNG 2