SỬ DỤNG TOÁN HỌC HÓA ĐỂ PHÁT TRIỂN CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG
2.2 THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG TOÁN HỌC HÓA
2.2.4 Các mức độ của tình huống toán học hóa
Theo Steen, Turner, Burkhart (2007, [58]) “cùng một học sinh nhưng có thể đạt mức độ cao về HBĐL khi làm việc với những vấn đề đơn giản và mức độ thấp khi giải quyết những vấn đề phức tạp”, vì vậy để đánh giá chính xác mức độ HBĐL của học sinh, chúng tôi nhận thấy cần đo các năng lực HBĐL trong những tình huống có cùng mức độ phức tạp. Có nhiều yếu tố góp phần tạo nên độ phức tạp của một tình huống thực tế (Manly, 2008, [44], Stillman, 2003, [59]), tuy nhiên đối với mỗi tình huống cụ thể, người ta thường tập trung vào một số đặc trưng để đánh giá độ phức tạp. Trong phạm vi của luận án, chúng tôi chỉ xét đến năm yếu tố sau:
- Ngữ cảnh: tình huống có ngữ cảnh không quen thuộc, không giống với các tình huống học sinh đã gặp sẽ làm cho học sinh khó khăn hơn trong việc hiểu tình huống và tìm ra mô hình toán phù hợp so với những ngữ cảnh quen thuộc.
- Thông tin: số lượng thông tin được cho nhiều hay ít, phương thức thông tin được trình bày trong tình huống đơn giản hay phức tạp cũng là yếu tố ảnh hưởng đến độ phức tạp của tình huống.
- Số yếu tố cần chuyển đổi: tình huống có ít yếu tố thực tế cần chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học và các yếu tố đó xuất hiện rõ ràng theo cách tình huống được tổ chức sẽ ít phức tạp hơn những tình huống cần nhiều chuyển đổi.
- Kĩ thuật tính toán: những tình huống đòi hỏi các kiến thức, kĩ năng toán phức tạp để giải sẽ khó hơn những tình huống chỉ cần các kiến thức, kĩ năng toán đơn giản.
- Hướng dẫn, gợi ý: một tình huống sẽ dễ dàng đối với học sinh hơn nếu các em nhận được sự hướng dẫn từ phía giáo viên hoặc từ chính tình huống đó.
Để thuận tiện cho việc xếp loại các tình huống trong luận án, chúng tôi phân chia các tình huống THH theo 3 mức độ, trong đó mức độ phức tạp tăng dần từ 1 đến 3, thể hiện qua ma trận hai chiều dưới đây.
Bảng 2.9 Các mức độ của tình huống toán học hóa Mức độ
Các
yếu tố 3 2 1
Ngữ cảnh Không quen thuộc
Ít quen thuộc Quen thuộc Thông tin Nhiều,
phức tạp
Vừa phải, ít phức tạp
Ít, đơn giản Số yếu tố cần
chuyển đổi Nhiều Vừa phải Ít
Kỹ thuật tính toán
Phức tạp,
nhiều phép toán.
Ít phức tạp, không có quá nhiều phép toán
Đơn giản, ít phép toán.
Hướng dẫn, gợi ý
Không Ít Nhiều
Sau khi thiết kế 19 tình huống THH, chúng tôi phân loại các tình huống theo 3 mức độ trên để có thể sử dụng trong nghiên cứu này.
Bảng 2.10 Phân loại các tình huống THH theo mức độ phức tạp Hàm số bậc hai Mức
độ
Bất phương trình – Hệ bất phương
trình bậc nhất
Mức độ
Hệ thức lượng trong tam
giác
Mức độ 1. Ném bóng
2. Phản ứng 3. Đài phun nước 4. Đường hầm 5. Chuồng bò 6. Kinh doanh
2 3 2 3 2 3
1. Nhịp tim
2. Cước điện thoại 3. Kệ gỗ
4. Cầu thang 5. Khiêu vũ 6. Nhà hàng Pizza 7. Quảng cáo
2 2 1 2 2 2 3
1. Máy bay 2. Mái hiên 3. Đu quay 4. Tàu kéo 5. Chỗ đỗ xe 6. Ngọn núi
1 2 2 1 2 2
Như vậy, có bốn tình huống ở mức độ 3, mười hai tình huống mức độ 2 và ba tình huống mức độ 1. Nhiều tình huống được xếp vào mức độ 2 vì thiết kế tương tự với tình huống của SGK nhưng đặt trong ngữ cảnh khác và không có những hướng dẫn toán học chi tiết.
Ví dụ tình huống ĐÀI PHUN NƯỚC dưới đây tương tự với Bài toán về cổng Arch (trang 61, Đại số 10 Nâng cao).
ĐÀI PHUN NƯỚC. Khi đến thủ đô Lima của Pêru vào ban đêm, du khách có thể chứng kiến nhiều hình ảnh rất đẹp của các đài phun nước. Trong hình vẽ là một đoạn đường đi bộ dài 32 m bên dưới một đài phun nước. Các dòng nước được đẩy lên đến chính xác cùng một độ cao và rơi xuống thành một hàng tạo nên các tia nước hình parabol. Điều đáng ngạc nhiên là bạn có thể đi qua con đường này mà không bị ướt. Thi muốn biết độ cao của đường hầm bằng nước này. Cô đo trên mặt đất khoảng cách giữa điểm nước phun lên và điểm nước rơi xuống là 4 m, ngoài ra nếu đứng cách chỗ vòi nước phun lên 0,6 m và đưa tay lên thẳng, cô có thể đụng được nước ở độ cao 1,53 m. Em hãy giúp Thi tính độ cao của đài phun nước này.
Bài toán về cổng Ac-xơ (Arch)
Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu-i (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Ac-xơ. Giả sử ta lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như trên hình 2.22 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ là (10; 43).
a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói trên.
b) Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hoặc tình huống CƯỚC ĐIỆN THOẠI tương tự với Bài toán máy bơm nước (trang 97, Đại số 10 Nâng cao).
CƯỚC ĐIỆN THOẠI Phí dịch vụ của gói cước QTeen mạng di động Mobiphone là 1280 đồng cho mỗi phút gọi. Gói cước Basic của mạng di động Viettel có phí thuê bao là 50000 đồng mỗi tháng cộng thêm 990 đồng cho mỗi phút gọi. Theo em, sử dụng gói cước nào sẽ tiết kiệm chi phí hơn? Tại sao?
Bài toán máy bơm nước
Một gia đình muốn mua một chiếc máy bơm nước. Có hai loại với cùng lưu lượng nước bơm được trong một giờ; loại thứ nhất giá 1,5 triệu đồng, loại thứ hai giá 2 triệu đồng. Tuy nhiên, nếu dùng máy bơm loại thứ nhất thì mỗi giờ tiền điện phải trả là 1200 đồng, trong khi dùng máy bơm loại thứ hai thì chỉ phải trả 1000 đồng cho mỗi giờ bơm.
Kí hiệu f(x) và g(x) lần lượt là số tiền (tính bằng nghìn đồng) phải trả khi sử dụng máy bơm loại thứ nhất và loại thứ hai trong x giờ (bao gồm tiền điện và tiền mua máy bơm).
a) Hãy biểu diễn f(x) và g(x) dưới dạng các biểu thức của x.
b) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
c) Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ấy. Hãy phân tích ý nghĩa kinh tế của giao điểm đó.
Sau khi thiết kế các tình huống và sắp xếp vào các mức độ tương ứng, chúng tôi chọn ra 10 tình huống (hai tình huống mức độ 1 và 8 tình huống mức độ 2) để dạy thực nghiệm và kiểm tra gồm:
Bảng 2.11 Các tình huống dạy thực nghiệm và kiểm tra Tình huống Nội dung toán Độ khó Ném bóng
Đài phun nước Chuồng bò
Hàm số bậc hai 1
2 2 Cước điện thoại
Kệ gỗ Cầu thang Nhà hàng Pizza
Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất
2 2 2 2 Máy bay
Đu quay Ngọn núi
Hệ thức lượng trong tam giác
1 2 2
Như vậy, phát triển các năng lực HBĐL trong nghiên cứu được xem xét đối với các tình huống THH ở mức độ 2 bởi vì học sinh chưa có kinh nghiệm với quá trình THH và các tình huống định lượng, nếu sử dụng các tình huống mức độ 3 là quá khó, quá phức tạp đối với các em trong khoảng thời gian hạn chế 30 phút. Ngược lại, các tình huống ở mức 1 thì khá đơn giản nên sẽ khó thấy được sự phát triển như Steen, Turner, Burkhardt (2007, [62]) đã nhận định “… để nhận ra sự tiến bộ trong HBĐL, học sinh cần giải quyết những vấn đề phức tạp trong những ngữ cảnh ít quen thuộc”. Hai tình huống mức độ 1 được sử dụng trong hai bài kiểm tra chỉ nhằm mục đích giúp học sinh làm quen với cách giải quyết một tình huống định lượng.