SỬ DỤNG TOÁN HỌC HÓA ĐỂ PHÁT TRIỂN CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG
2.2 THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG TOÁN HỌC HÓA
2.2.5 Thử nghiệm và sửa chữa
Mỗi tình huống trong bảng 2.11 được thử nghiệm ở một lớp 10 học chương trình Toán nâng cao, thuộc trường THPT Hai Bà Trưng và THPT Nguyễn Huệ, Thành phố Huế. Thời gian dành cho mỗi tình huống là 30 phút, học sinh làm việc cá nhân và trình bày kết quả vào phiếu học tập. Đồng thời, học sinh được khuyến khích đưa
ra bất kì câu hỏi nào liên quan đến tình huống mà các em chưa hiểu rõ và mạnh dạn giải quyết tình huống theo cách hiểu của mình.
a. Mục đích thử nghiệm
Thử nghiệm được tiến hành nhằm các mục đích sau:
- Cung cấp thông tin về những vấn đề học sinh gặp phải đối với các tình huống, giúp chúng tôi có một hình dung ban đầu về thái độ, khả năng xử lý tình huống của học sinh và bất kì trở ngại nào khác. Chẳng hạn, học sinh có hiểu được tình huống mà chúng tôi đã thiết kế không; có những giả thiết, từ ngữ nào mơ hồ, khó hiểu hay gây hiểu nhầm ở học sinh không; có tình huống nào quá khó hay quá đơn giản đối với học sinh; học sinh có thể giải quyết tình huống trong thời gian 30 phút không; độ khó của tình huống là đã phù hợp chưa.
- Dựa trên những thông tin phản hồi thu nhận được, chúng tôi thực hiện cải tiến các tình huống như: thêm hoặc bớt thông tin, đưa ra các bước hướng dẫn, gợi ý đối với những tình huống khó, phức tạp; thêm vào các ràng buộc ở tình huống dễ với hầu hết học sinh; thay thế các từ ngữ có khả năng gây hiểu nhầm; đưa thêm các giải thích giúp học sinh hiểu đúng tình huống; loại bỏ những tình huống mà tất cả học sinh đều trả lời đúng hoặc trả lời không đúng.
- Đồng thời nghiên cứu thử nghiệm góp phần làm gia tăng độ tin cậy của bộ công cụ.
b. Kết quả thử nghiệm
Qua thử nghiệm cho thấy học sinh gặp nhiều trở ngại, khó khăn trong quá trình hiểu và giải quyết bốn tình huống dưới đây, vì vậy chúng tôi đã có những thay đổi, chỉnh sửa để phù hợp với mục đích thực nghiệm.
i. Tình huống “Nhà hàng pizza”
Tình huống này được chúng tôi xếp ở mức độ 2, nhưng kết quả thử nghiệm khá bất ngờ, khi phần lớn học sinh đều cho rằng tình huống khó đối với các em vì ba nguyên nhân chính sau đây:
- Tình huống phức tạp, có quá nhiều thông tin;
- Học sinh lúng túng khi xử lý thông tin “nhà hàng cần ít nhất 18 nhân viên trong thời gian cao điểm 16:00 – 20:00”;
- Học sinh không biết phải tính tiền lương như thế nào.
Nhằm giảm bớt những khó khăn trên, chúng tôi đã chỉnh sửa lại tình huống bằng cách:
- Thêm từ “mỗi ngày” vào yêu cầu của tình huống (“Em hãy giúp nhà hàng tính số nhân viên cần cho mỗi ca để số tiền lương phải trả mỗi ngày là thấp nhất.”) để học sinh có thể xác định số tiền mà nhà hàng phải trả.
- Đưa thêm hai nhiệm vụ giúp học sinh hiểu rõ hơn về tình huống Nhiệm vụ 1. Em hãy điền các thông tin còn thiếu vào bảng dưới đây:
Khoảng thời gian Ca Số nhân viên Tiền lương / 1 giờ
12:00 – 16:00 4
16:00 – 20:00 15000 đồng
20:00 – 24:00 Ca đêm
Số nhân viên ca đêm ………. số nhân viên ca ngày
Nhiệm vụ 2. Trả lời câu hỏi sau: Số tiền lương một ngày nhà hàng phải trả cho mỗi nhân viên ca ngày là bao nhiêu? Mỗi nhân viên ca đêm là bao nhiêu?
Do các gợi ý được đưa thêm vào mà tình huống vẫn xếp ở mức độ 2. Bởi vì, nếu trả lời đúng hai nhiệm vụ trên thì thông tin tình huống lúc này sẽ trở nên rõ ràng hơn và có thể được phát biểu hoàn toàn tương tự “Bài toán vitamin” trang 135, Đại số 10 Nâng cao.
Một nhà hàng bán bánh Pizza thuê nhân viên phục vụ làm việc theo hai ca: ca ngày và ca đêm.
- Tiền lương của nhân viên ca ngày là 104000 đồng / ngày và nhân viên ca đêm là 120000 đồng / ngày.
- Nhà hàng cần ít nhất 4 nhân viên ca ngày, không quá 16 nhân viên ca đêm và số nhân viên hai ca ít nhất là 18.
- Do khách ban đêm thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca đêm tối thiểu phải gấp đôi số nhân viên ca ngày.
Em hãy giúp nhà hàng tính số nhân viên cần cho mỗi ca để số tiền lương phải trả mỗi ngày là thấp nhất.
ii. Tình huống “Chuồng bò”
Đối với tình huống này, một số học sinh đã hiểu cụm từ “tận dụng một mặt tường nhà để làm chuồng” theo nghĩa “tận dụng toàn bộ một mặt tường nhà để làm một mặt chuồng”.
HS: Có phải chuồng bò là hình chữ nhật có một cạnh bằng 15 m?
Câu hỏi thứ hai của học sinh liên quan đến thông tin “thừa” của tình huống. Học sinh thường có thói quen sử dụng tất cả các thông số trong giả thiết vào giải toán, thói quen này đã được hình thành từ nhỏ đến lớn, từ những bài tập toán mà các em đã gặp. Vì vậy, khi đọc tình huống, một số học sinh đã phân vân không biết nên tính diện tích hay thể tích của chuồng bò.
HS: Tình huống yêu cầu tạo ra chuồng bò có diện tích lớn nhất hay thể tích lớn nhất, vì trong giả thiết có yếu tố “... hàng rào ... cao 0,8 m”?
Sau khi được giải thích và hiểu rõ tình huống, nhiều học sinh đã giải quyết rất tốt tình huống này. Và chúng tôi quyết định khi thực nghiệm sẽ giải thích cho học sinh hai vấn đề sau đây:
- Cụm từ “tận dụng một mặt tường nhà để làm chuồng” nghĩa là để tiết kiệm vật liệu, một mặt chuồng sẽ sử dụng bức tường có sẵn, tuy nhiên dùng bao nhiêu mét tường thì tùy thuộc vào kích thước chuồng mà anh Dân cần dựng.
- Trong một tình huống thực tế, đôi khi có những thông tin chỉ nhằm mục đích mô tả, làm cho tình huống cụ thể hơn, nhưng không cần thiết khi giải quyết
tình huống. Vì vậy, học sinh cần lựa chọn những thông tin phù hợp với mục đích của mình.
iii. Tình huống “Cầu thang”
Qua thử nghiệm, chúng tôi nhận thấy những khó khăn học sinh gặp phải khi giải quyết tình huống này là:
- Học sinh mất nhiều thời gian để phát hiện ra rằng họ cần xác định mối quan hệ giữa các đối tượng, cụ thể là chiều dài cầu thang và chiều sâu bậc, khoảng cách giữa hai sàn và chiều cao bậc để có thể giải quyết tình huống. Do đó, hai nhiệm vụ được đưa vào để giúp các em rút ngắn thời gian tìm ra phương pháp giải.
Nhiệm vụ 1. Chiều dài cầu thang có mối quan hệ với ………
A. Chiều cao bậc B. Chiều sâu bậc C. Khoảng cách giữa hai sàn Mối quan hệ đó là:
Chiều dài cầu thang = ………..
Nhiệm vụ 2. Khoảng cách giữa hai sàn có mối quan hệ với ………
A. Chiều cao bậc B. Chiều sâu bậc C. Chiều dài cầu thang Mối quan hệ đó là:
Khoảng cách giữa hai sàn = ……….
- Nhiều học sinh không biết rằng số bậc cầu thang được tính bao gồm cả sàn tầng hai, vì thế chúng tôi đã bổ sung thêm lưu ý này.
Lưu ý: số bậc được tính bao gồm cả sàn tầng 2, ví dụ trong hình vẽ, cầu thang có tất cả 9 bậc.
- Trên thực tế, khi thiết kế một cầu thang an toàn, người ta thường quan tâm đến ba yếu tố đó là chiều cao bậc, chiều sâu bậc và độ dốc của cầu thang. Vì vậy, tình huống cung cấp cho học sinh thông tin cả ba yếu tố trên. Theo dự kiến của chúng tôi, thông tin “độ dốc của cầu thang được tính bằng tỉ số giữa chiều cao bậc và chiều sâu bậc phải từ 0,5 đến 0,7” chỉ sử dụng để kiểm tra lại kết quả và lựa chọn những giá trị phù hợp. Nhưng qua thử nghiệm, phần lớn học sinh lại
đưa tình huống về giải hệ 4 bất phương trình, điều này làm cho tình huống trở nên phức tạp hơn ở bước giải toán. Do đó chúng tôi quyết định bỏ chi tiết độ dốc trong tình huống, hơn nữa các kết quả tìm được đều thỏa mãn điều kiện này.
- Ngoài ra, một số học sinh xác định sai mối quan hệ giữa chiều sâu bậc và chiều dài cầu thang, nghĩa là chiều dài cầu thang = số bậc chiều sâu bậc, nhưng kết quả vẫn có thể đúng vì số bậc tìm được là 13 hoặc 14, tình cờ đó cũng là tập con của tập nghiệm đúng {13; 14; 15}. Vì vậy, để tránh sự trùng hợp này, chúng tôi thay đổi khoảng cách giữa hai sàn là 2,8 m.
iv. Tình huống “Đu quay”
- Đối với tình huống này, nhiều học sinh cảm thấy bối rối, không hiểu ý nghĩa của câu “độ cao của các máy bay thay đổi khi độ dài của xi lanh thủy lực AC cố định tại điểm C thay đổi” hay nói cách khác là không hiểu được trong câu trên yếu tố nào thay đổi và yếu tố nào cố định. Do đó, chúng tôi sửa lại “độ cao của các máy bay thay đổi phụ thuộc vào độ dài của xi lanh thủy lực AC. Xi lanh này được gắn cố định tại điểm C nhưng độ dài AC có thể thay đổi”.
- Tình huống yêu cầu tính khoảng cách từ máy bay đến mặt đất trong hai trường hợp cao nhất và thấp nhất. Mặc dù, việc xây dựng mô hình và tìm kiếm phương pháp giải đối với trường hợp cao nhất là khá đơn giản, nhưng qua thử nghiệm chúng tôi nhận thấy không đảm bảo đủ lượng thời gian cần thiết để học sinh giải quyết tình huống. Nên trong phần thực nghiệm, chúng tôi chỉ yêu cầu học sinh tính khoảng cách thấp nhất từ máy bay đến mặt đất. Chúng tôi chọn trường hợp này bởi vì số đo gócABCkhông dễ dàng thấy ngay như khi độ dài trục thủy lực AC = 1,5 m và mô hình toán cần xây dựng không giống như hình vẽ 2 mà tình huống cung cấp, đòi hỏi học sinh phải phân tích, suy luận để có được một mô hình chính xác, phù hợp.
Dựa trên kết quả thử nghiệm, chúng tôi quyết định sắp xếp các tình huống để dạy thực nghiệm và kiểm tra như sau:
Bảng 2.12 Sắp xếp các tình huống theo mục đích thực nghiệm Mục đích Tình huống Độ khó
Pretest Máy bay
Cước điện thoại Đài phun nước
1 2 2 Dạy thực
nghiệm
Nhà hàng Pizza Chuồng bò Cầu thang Đu quay
2 2 2 2 Posttest Kệ gỗ
Ném bóng Ngọn núi
1 2 2
2.3 XÂY DỰNG THANG ĐÁNH GIÁ ĐỂ ĐO MỨC ĐỘ PHÁT TRIỂN CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG CỦA HỌC SINH QUA QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC HÓA
Thiết kế thang đánh giá giúp đo mức độ đạt được các năng lực HBĐL trong nhiều nhiệm vụ THH chứa đựng yếu tố định lượng khác nhau là cần thiết để nghiên cứu sự thay đổi của các năng lực đó. Dựa trên thang đánh giá năng lực HBĐL của sinh viên do Hiệp hội các trường Đại học Mỹ ACC&U đưa ra năm 2009, cùng với các hoạt động của quá trình THH trình bày ở mục 2.1.4, chúng tôi đã điều chỉnh và phát triển một thang đánh giá áp dụng để đo mức độ phát triển năng lực HBĐL qua bài làm của học sinh trong nghiên cứu này, bằng cách chỉnh sửa các năng lực sao cho phù hợp với tiếp cận của đề tài, viết lại các mô tả mức độ đạt được một cách chi tiết và thích hợp hơn với đối tượng học sinh lớp 10.
Cụ thể là thang đánh giá của AAC&U mô tả 4 mức độ của sáu năng lực HBĐL - gồm giải thích, biểu diễn, tính toán, phân tích/tổng hợp, đặt giả thiết, giao tiếp - mà ta có thể quan sát được qua sản phẩm hồ sơ học tập điện tử của sinh viên:
- Mức 1: nổ lực thực hiện các hoạt động liên quan đến năng lực nhưng không thành công;
- Mức 2: thực hiện các hoạt động liên quan đến năng lực nhưng có một số lỗi nhỏ, hoặc chỉ đúng một phần;
- Mức 3: thực hiện các hoạt động liên quan đến năng lực đúng, chính xác, đầy đủ;
- Mức 4: thực hiện các hoạt động liên quan đến năng lực không chỉ đúng, chính xác, đầy đủ mà còn thành thạo, hiệu quả, thuyết phục thể hiện một sự hiểu biết sâu sắc về HBĐL.
Dưới đây là ví dụ về bốn mức độ đánh giá năng lực “Biểu diễn” theo AAC&U:
4 3 2 1
Biểu diễn Chuyển đổi khéo léo các thông tin sang dạng toán học, thể hiện sự hiểu biết một cách sâu sắc về vấn đề cũng như kiến thức toán liên quan.
Chuyển đổi thành thạo các thông tin liên quan sang dạng toán học một cách phù hợp.
Hoàn thành việc chuyển đổi thông tin liên quan sang dạng toán học nhưng chỉ thích hợp hoặc chính xác một phần.
Hoàn thành việc chuyển đổi thông tin liên quan sang dạng toán học nhưng không phù hợp hoặc không chính xác.
Từ thang đánh giá của AAC&U, chúng tôi đã thực hiện một số thay đổi sau đây để tạo ra thang đánh giá sử dụng trong phạm vi luận án này:
- Thay đổi tên gọi của các năng lực;
- Thang đánh giá của AAC&U đã mặc định điểm 0 đối với một năng lực nếu năng lực đó không đáp ứng mức độ 1 hoặc không xuất hiện trong phần trả lời.
Chúng tôi đã thêm vào mức điểm 0 để thừa nhận một cách rõ ràng sự có mặt hay vắng mặt năng lực đó trong bài làm của học sinh;
- Trong thang đánh giá của AAC&U, mức độ 4 để chỉ sự thành thạo của năng lực, điều này đòi hỏi học sinh phải tích lũy kinh nghiệm qua một quá trình học tập chú trọng đến HBĐL. Tuy nhiên, đối với các nhiệm vụ THH, chúng tôi chỉ yêu cầu học sinh thực hiện các hoạt động đúng, phù hợp, chính xác, đầy đủ do đó chúng tôi đã kết hợp mức độ 3 và 4 với nhau;
- Ngoài ra, như đã phân tích ở phần 1.3, khi giải quyết một nhiệm vụ THH học sinh cần đến cả sáu năng lực HBĐL, vì vậy mỗi năng lực đều được chúng tôi xem xét trong ba giai đoạn của quá trình THH:
+ Chuyển đổi từ tình huống toán học hóa sang mô hình toán học;
+ Giải toán;
+ Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế và phản ánh.
Như vậy, các năng lực HBĐL sẽ được đánh giá ở mỗi giai đoạn của quá trình THH từ mức độ 0 đến mức độ 3 nên mức điểm cao nhất của mỗi năng lực là 9 và thấp nhất là 0. Dưới đây là các thang đánh giá sáu năng lực HBĐL gồm giao tiếp với toán học; phân tích và xây dựng mô hình toán học; suy luận; sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán; biểu diễn; giải quyết vấn đề.
Bảng 2.13 Thang đánh giá năng lực giao tiếp với toán học Năng
lực HBĐL
Các mức độ đạt được
3 2 1 0
Giao tiếp với toán học
Nhận ra tất cả thông tin liên quan và hiểu đúng yêu cầu của tình huống.
Nhận ra và hiểu đúng một số thông tin liên quan đến tình huống.
Nhận ra một số thông tin liên quan đến tình huống nhưng không hiểu đúng thông tin nào.
Không nhận ra thông tin nào.
Trình bày các bước giải một cách rõ ràng, đầy đủ và logic.
Trình bày các bước giải đúng, nhưng không đầy đủ hoặc thể hiện phương pháp giải đúng nhưng chưa hoàn thành.
Trình bày các bước giải thiếu logic, không đúng, không mạch lạc hoặc khó hiểu.
Không trình bày bước giải nào.
Giải thích kết quả toán trong tình huống ban đầu hợp lý.
Giải thích kết quả toán trong tình huống ban đầu chưa hợp lý nhưng có thể chấp nhận.
Giải thích kết quả toán trong tình huống ban đầu không hợp lý.
Không có giải thích.
Bảng 2.14 Thang đánh giá năng lực phân tích và xây dựng mô hình toán học Năng
lực HBĐL
Các mức độ đạt được
3 2 1 0
Phân tích và xây dựng mô hình toán học
Tạo ra một mô hình toán học phù hợp với tình huống.
Mô hình toán học được tạo ra chỉ phản ánh một phần tình huống được cho.
Mô hình toán học không phản ánh đúng tình huống.
Không tạo ra một mô hình toán học nào.
Sử dụng mô hình đã xây dựng để nắm bắt các điều kiện, mối quan hệ hướng dẫn quá trình GQVĐ.
Sử dụng mô hình đã xây dựng để nắm bắt một số điều kiện, mối quan hệ toán học quan trọng nhưng không đầy đủ.
Sử dụng mô hình đã xây dựng để nắm bắt các điều kiện, mối quan hệ toán học nhưng không đúng.
Không sử dụng mô hình đã xây dựng để hướng dẫn quá trình GQVĐ.
Nhận ra phạm vi, hạn chế của mô hình được sử dụng.
Nhận ra phạm vi, hạn chế của mô hình, nhưng không đầy đủ.
Nhận ra một số phạm vi, hạn chế của mô hình nhưng không đúng.
Không nhận ra phạm vi, hạn chế của mô hình được sử dụng.