CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.2. Nghiên cứu hỗn hợp
3.2.2. Công cụ nghiên cứu
3.2.2.1. Phiếu kiểm tra đầu vào và đầu ra
Chúng tôi sử dụng phiếu kiểm tra đầu vào và đầu ra để đánh giá hai thành tố hiểu KN và NL GQVĐTBC của NLTH trong chủ đề ĐH và TP của SV lớp đối chứng và lớp thực nghiệm.
Dựa vào phần tổng quan về hiểu KN cùng với những lưu ý về cách đo lường hiểu KN ở Chương 2 mục 2.3, cũng như nội dung và chuẩn đầu ra của học phần MAE101 liên quan đến ĐH và TP (PL9), chúng tôi thiết kế ma trận kiểm tra bao gồm các đặc điểm của hiểu KN ĐH và TP theo Bảng 3.1.
Bảng 3.1. Ma trận kiểm tra các đặc điểm của hiểu khái niệm đạo hàm, tích phân Hiểu khái
niệm đạo hàm
Mô tả hiểu khái niệm đạo hàm
Hiểu khái niệm tích phân
Mô tả hiểu khái niệm tích phân 1. Nhận ra
bản chất của KN ĐH, giải thích KN ĐH và xác định các điểm đặc trưng của
KN ĐH
(ĐH1)
Nhận ra bản chất của đạo hàm là giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình. Giải thích được KN ĐH. Xác định được hàm lấy đạo hàm, điểm lấy đạo hàm, đơn vị của đại lượng có số đo được tính bởi đạo hàm.
1. Nhận ra bản chất của KN TP, giải thích KN TP và xác định các điểm đặc trưng của KN TP (TP1)
Nhận ra bản chất của TP là giới hạn của tổng Riemann, nghĩa là tổng vô hạn của các phần nhỏ với mỗi phần nhỏ được biểu diễn thành tích của giá trị của hàm số tại một điểm với số gia rất bé của đối số, hay còn gọi là tổng tích lũy. Giải thích được KN TP. Xác định được
hàm dưới dấu tích phân, cận lấy tích phân, đơn vị của đại lượng có số đo được tính bởiabf x dx( )
trong các BTTBC là tích của đơn vị của hàm f(x) và đơn vị của biến x.
2. Tạo và chuyển đổi giữa các biểu diễn của KN ĐH (ĐH2)
Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong;
tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng như tốc độ phản ứng tức thời (của một chất hóa học), tốc độ (tăng trưởng dân số, tiêu thụ sản phẩm, biến thiên của lợi nhuận).
2. Tạo và chuyển đổi giữa các biểu diễn của KN TP (TP2)
Tạo được các biểu diễn khác nhau của tích phân như diện tích; tổng tích lũy của một đại lượng trong một khoảng thời gian; giá trị của một đại lượng tích lũy được tại một thời điểm (như quãng đường đi được, tổng doanh thu, tổng chi phí, tổng lợi nhuận).
3. Xác định mối quan hệ giữa các KN liên quan đến ĐH (ĐH3)
Xác định mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm (tính đơn điệu của hàm số, tính lồi lõm của đồ thị hàm số, cực trị của hàm số), đạo hàm và tích phân, đạo hàm và nguyên hàm.
3. Xác định mối quan hệ giữa các KN liên quan đến TP (TP3)
Xác định mối quan hệ giữa nguyên hàm và TP;
ĐH và TP.
Tiếp theo dựa vào quá trình GQVĐTBC chúng tôi đã xác định các NL thành phần của nó và mã hóa chúng theo Bảng 3.2.
Bảng 3.2. Mã hóa các năng lực thành phần của NL GQVĐTBC
Năng lực thành phần Mã hóa
NL hiểu và thiết lập mô hình thực mô tả BTTBC NL1 NL thiết lập mô hình toán học dựa trên mô hình thực NL2
NL giải toán NL3
NL diễn giải kết quả toán học NL4
NL xác nhận tính hợp lý NL5
Chúng tôi thiết kế hai phiên bản phiếu kiểm tra đầu vào và đầu ra tương đương để đo lường hai thành tố của NLTH. Phiếu kiểm tra đầu vào (PL1) gồm 14 bài toán nhằm tìm hiểu mức độ hiểu KN và NL GQVĐTBC trong chủ đề ĐH và TP thông qua các đặc điểm ở Bảng 3.1 và Bảng 3.2. Thời gian làm bài là 180 phút. SV được sử dụng máy tính hay điện thoại có kết nối internet trong quá trình làm bài. Chúng tôi phát bản giấy và bản mềm phiếu kiểm tra cho SV và các em có hai sự lựa chọn khi nộp bài: nộp bản giấy hoặc
file bài làm. Việc đánh giá thông qua nhiều bài toán dưới nhiều hình thức tạo nên độ tin cậy trong kết quả đánh giá hiểu KN và NL GQVĐTBC của người học. Chính vì vậy chúng tôi thiết kế phiếu kiểm tra gồm năm bài toán trắc nghiệm với bốn sự lựa chọn, một bài toán trắc nghiệm với năm sự lựa chọn và có yêu cầu SV đưa ra giải thích cho sự lựa chọn của mình; tám bài toán tự luận, trong đó có bài toán kết thúc mở (mở về giả thiết, có nhiều phương án giải quyết và có nhiều kết quả có thể được chấp nhận). Chúng tôi sử dụng các bài toán 9, 10, 11, 12, 13 để đánh giá hiểu KN ĐH; các bài toán 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14 để đánh giá hiểu KN TP. Các bài toán 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14 được dùng để đánh giá NL GQVĐTBC. Cụ thể thể hiện ở Bảng 3.3.
Bảng 3.3. Công cụ đo NLTH trong chủ đề đạo hàm và tích phân ở phiếu kiểm tra Bài
toán
Nội dung
toán Các thành tố của NLTH Chuẩn đầu ra học phần liên quan 1 Tích phân - Hiểu KN: TP1; TP2; TP3
- NL GQVĐTBC: NL3; NL4
LO2.2; LO4.1;
LO4.2; LO4.3; LO4.4 2 Tích phân - Hiểu KN: TP1; TP2; TP3
- NL GQVĐTBC: NL3; NL4
LO2.2; LO4.2;
LO4.3; LO4.4 3 Tích phân - Hiểu KN: TP1; TP2; TP3
- NL GQVĐTBC: NL3; NL4
LO2.2; LO4.1;
LO4.2; LO4.3; LO4.4 4 Tích phân - Hiểu KN: TP1; TP2; TP3
- NL GQVĐTBC: NL3; NL4
LO2.2; LO4.1;
LO4.2; LO4.3; LO4.4 5 Tích phân - Hiểu KN: TP1; TP2; TP3; ĐH1; ĐH3
- NL GQVĐTBC: NL3; NL4
LO2.2; LO4.1;
LO4.2; LO4.3; LO4.4 6 Tích phân - Hiểu KN: TP1; TP2; TP3
- NL GQVĐTBC: NL3; NL4
LO2.2; LO4.1;
LO4.2; LO4.3; LO4.4 7 Tích phân - Hiểu KN: TP1; TP2; TP3 LO4.1
8 Tích phân - Hiểu KN: TP1; TP2; TP3 - NL GQVĐTBC: NL3; NL4
LO2.2; LO4.1;
LO4.2; LO4.3;
LO4.4; LO4.5 9 Đạo hàm - Hiểu KN: ĐH1; ĐH2; ĐH3
- NL GQVĐTBC: NL3; NL4
LO2.1; LO2.2; LO2.3 10 Đạo hàm - Hiểu KN: ĐH1; ĐH2; ĐH3 LO2.2; LO3.4; LO3.5 11 Đạo hàm - Hiểu KN: ĐH1; ĐH2; ĐH3
- NL GQVĐTBC: NL2; NL3; NL4; NL5
LO2.1; LO2.2; LO2.3 12 Đạo hàm - Hiểu KN: ĐH1; ĐH2; ĐH3
- NL GQVĐTBC: NL3; NL4
LO2.1; LO2.2;
LO2.3; LO3.4 13 Đạo hàm - Hiểu KN: ĐH1; ĐH2; ĐH3
- NL GQVĐTBC: NL1; NL2; NL3; NL4
LO3.3; LO3.4
14 Tích phân
- Hiểu KN: TP1; TP2; TP3
- NL GQVĐTBC: NL1; NL2; NL3;
NL4; NL5
LO4.1; LO4.2;
LO4.3; LO4.4; LO4.5
Chúng tôi sẽ dùng Bài toán 1 và 11 trong phiếu kiểm tra đầu vào để minh hoạ việc đo lường các thành tố NLTH trên bằng một số tiếp cận có thể được sử dụng khi trả lời câu hỏi.
Giải thích. Ta có r(t) là đạo hàm của hàm tổng doanh thu của công ty ColorMe.
Chia khoảng thời gian [1, 5] thành n đoạn nhỏ [ti 1, ] (i=1, )ti n có độ rộng bằng nhau và bằng 5 1
t n . Trên mỗi đoạn nhỏ đó, tốc độ biến thiên tức thời của tổng doanh thu được xem như là hằng số và do đó r t( ).i t xấp xỉ tổng doanh thu của ColorMe trong khoảng thời gian [ti 1, ]ti . Tổng của tất cả các doanh thu trong n đoạn nhỏ trên xấp xỉ lượng tổng doanh thu thay đổi từ cuối tháng 1 đến cuối tháng 5 và khi n thì ta có 5
1 r t dt( ) chính là tổng doanh thu thay đổi từ cuối tháng 1 đến cuối tháng 5.
5
1 1
( ) lim ( )
( 1 , 5 1)
n n i i
i
r t dt r t t
t i t t
n nên 5
1 r t dt( ) là lượng thay đổi tổng doanh thu của ColorMe từ cuối tháng 1 đến cuối tháng 5. Mà 10 ngàn đôla là tổng doanh thu của ColorMe đến cuối tháng 1. Vậy
5
10 1 r t dt( ) chính là tổng doanh thu của ColorMe vào cuối tháng thứ 5 của năm 2017. Vậy D là đáp án chính xác.
Bảng 3.4. Các đặc điểm của hiểu KN TP thể hiện qua giải thích của Bài toán 1
Biểu hiện Đặc điểm của
hiểu KN TP Chia khoảng thời gian [1, 5] thành n đoạn nhỏ [ti 1, ] (i=1, )ti n có
độ rộng bằng nhau và bằng 5 1
t n . Trên mỗi đoạn nhỏ đó, tốc độ biến thiên tức thời của tổng doanh thu được xem như là hằng số và do đó r t( ).i t xấp xỉ tổng doanh thu của ColorMe trong khoảng thời gian [ti 1, ]ti . Tổng của tất cả các doanh thu trong n đoạn nhỏ trên xấp xỉ lượng tổng doanh thu thay đổi từ cuối tháng 1 đến cuối tháng 5 và khi n thì ta có 5
1 r t dt( ) chính là tổng doanh thu thay đổi từ cuối tháng 1 đến cuối tháng 5.
5
1 1
( ) lim ( )
( 1 , 5 1)
n n i i
i
r t dt r t t
t i t t
SV nhận ra TP là tổng tích lũy của vô số các phần nhỏ mà mỗi phần n nhỏ là tích của tốc độ biến thiên tức thời của tổng doanh thu tại một thời điểm r t( )i và số gia của đối số t.
TP1
Chọn đáp án D, chuyển đổi TP dưới biểu diễn khác là tổng doanh thu. TP2 Xác định mối quan hệ giữa ĐH và TP là hai quá trình ngược của
nhau thông qua định lý cơ bản thứ nhất của giải tích, giữa nguyên
hàm và TP thông qua định lý cơ bản thứ hai của giải tích. TP3
Câu a và b đánh giá hiểu KN ĐH và Câu c đánh giá NL GQVĐTBC.
Giải pháp 1. Ta có công thức
2018
( ) (2018) (2018) lim
2018
t
D t D
D t
Do t 2018 nên chỉ cần tính tốc độ biến thiên trung bình của D trên [2017, 2018] và [2018, 2019]. Các tốc độ đó lần lượt có giá trị là
2587, 4 2767,2
179, 8 2017 2018
2897, 9 2767,2
130, 7 2019 2018
Vậy D (2018) [130,7;179,8]. Giả thuyết rằng nợ công của Việt Nam tăng không quá nhiều giữa năm 2017 và 2019, khi đó 179, 8 130, 7
(2018) 155,25
D 2 (nghìn tỷ đồng/năm).
Vậy vào năm 2018, nợ công của Việt Nam đang tăng với tốc độ 155,25 nghìn tỷ đồng/năm.
Bảng 3.5. Các đặc điểm của hiểu KN ĐH thể hiện qua giải pháp 1 của Bài toán 11
Biểu hiện Đặc điểm của
hiểu KN ĐH Thiết lập công thức tính đạo hàm tại 2018 thông qua giới hạn.
Tính tốc độ biến thiên trung bình của D trên [2017, 2018] và [2018, 2019]. Lấy trung bình cộng của hai tốc độ biến thiên trung bình đó.
Xác định hàm cần lấy đạo hàm là D(t), điểm mà tại đó lấy đạo hàm là 2018, đơn vị của tốc độ biến thiên của nợ công của Việt Nam là nghìn tỷ đồng/năm.
ĐH1
Nêu được ý nghĩa của kết quả 155,25 nghìn tỷ đồng/năm là tốc
độ biến thiên của nợ công Việt Nam năm 2018. ĐH2 Ý nghĩa của kết quả 155,25 nghìn tỷ đồng/năm là tốc độ tăng của
nợ công Việt Nam năm 2018.
Việc xác định được hàm D(t) tăng với tốc độ nào cũng cho thấy SV đã xác định mối quan hệ giữa hàm số và ĐH. ĐH dương thì hàm số tăng, ĐH âm thì hàm số giảm.
ĐH3
Giải pháp 2. Thiết lập biểu thức của hàm số D(t) hoặc biểu thức của hàm số liên quan đến D(t) là f(x) với x là số năm kể từ 2010. Lấy tất cả năm điểm dữ liệu mà đề cho, sử dụng phần mềm Graph/Excel/Geogebra hay một số ứng dụng web như Desmos/Mycurvefit.com để tìm đường cong phù hợp với tập dữ liệu gồm 5 điểm đó.
Từ việc vẽ biểu đồ phân tán cho thấy xu hướng của dữ liệu phù hợp với mô hình hàm số bậc nhất. Do đó giả thuyết được đưa ra là f(x) là hàm bậc nhất.
Hình 3.1. Kết quả từ phần mềm Graph của Giải pháp 1
Kết quả từ phần mềm cho thấy f x( ) 226, 4657x 896, 3514, với x là số năm kể từ 2010. Từ phần mềm dễ dàng so sánh nợ công của Việt Nam tại các năm với dữ liệu thực tế để có thể xác nhận tính hợp lý của mô hình đã chọn. Đồng thời có thể căn cứ vào hệ số R2 0, 9909, cho thấy 99,09% sự biến thiên của nợ công có thể được giải thích thông qua sự biến thiên của thời gian, cho thấy sự phù hợp của mô hình đã chọn là rất cao.
Suy ra f x( ) 226, 4657. Do đó D(2018) f (8) 226, 4657 nghìn tỷ đồng/năm. Vậy vào năm 2018, nợ công của Việt Nam đang tăng với tốc độ 226,4657 nghìn tỷ đồng/năm.
Ta có
2018 0
( ) (2018) (2018) lim
(2018 ) 2018(2018) lim
(2018 ) (2018)
t t
D t D
D t
D t D
D t Dt
t
khi tcó trị tuyệt đối khá bé.
Thay t = 1, ta có: D(2019) D(2018) D(2018)
Như vậy nợ công của Việt Nam sẽ tăng xấp xỉ 155,25 nghìn tỷ đồng vào năm 2019 so với nợ công năm 2018.
Bảng 3.6. Các đặc điểm của hiểu KN ĐH thể hiện qua giải pháp 2 của Bài toán 11
Biểu hiện Đặc điểm của hiểu
KN ĐH Nêu được ý nghĩa của kết quả 226,4657 nghìn tỷ đồng/năm
là tốc độ biến thiên của nợ công Việt Nam năm 2018. ĐH2
2018 0
( ) (2018) (2018) lim
(2018 ) 2018(2018) lim
(2018 ) (2018)
t t
D t D
D t
D t D
D t Dt
t
khi t có trị tuyệt đối khá bé.
Thay t = 1, ta có: D(2019) D(2018) D(2018)
Như vậy nợ công của Việt Nam sẽ tăng xấp xỉ 226,4657 nghìn tỷ đồng vào năm 2019 so với nợ công năm 2018.
ĐH1
Ý nghĩa của kết quả 226,4657 nghìn tỷ đồng/năm là tốc độ tăng của nợ công Việt Nam năm 2018.
Việc xác định được hàm D(t) tăng với tốc độ nào cũng cho thấy SV đã xác định mối quan hệ giữa hàm số và ĐH. ĐH dương thì hàm số tăng, ĐH âm thì hàm số giảm.
ĐH3
Giải pháp 3. Thiết lập biểu thức của hàm số D(t) hoặc biểu thức của hàm số liên quan đến D(t) là f(x) với x là số năm kể từ 2010. Bảng số liệu cho thấy vẫn còn thiếu nhiều dữ liệu của hàm số D(t) tại các năm từ 2012 đến 2016, năm 2020, và 2021. Việc dự đoán xu hướng của một tập dữ sẽ có độ chính xác cao hơn nếu dựa trên nhiều điểm dữ liệu. Chính vì vậy, căn cứ vào thông tin về nguồn dữ liệu có trong đề bài để tìm kiếm thêm các dữ liệu về nợ công của Việt Nam vào các năm 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2020, 2021. Lấy tất cả 12 điểm dữ liệu đề cho và dữ liệu bổ sung, sử dụng phần mềm Graph/Excel/Geogebra hay một số ứng dụng web như Desmos/Mycurvefit.com để tìm đường cong phù hợp với tập dữ liệu gồm 12 điểm đó.
Bảng 3.7. Nợ công của Việt Nam từ năm 2010 đến 2021 Năm D(t) (nghìn tỷ đồng)
2010 889,4
2011 1092,8
2012 1279,5
2013 1528,1
2014 1826,1
2015 2064,6
2016 2373,2
2017 2587,4
2018 2767,2
2019 2897,9
2020 3138,6
2021 3283,4
Gọi f(x) là nợ công của Việt Nam, với x là số năm kể từ 2010. Từ việc vẽ biểu đồ phân tán cho thấy xu hướng của dữ liệu phù hợp với mô hình hàm số bậc nhất.
Giả thuyết được đưa ra là f(x) là hàm bậc nhất.
Hình 3.2. Kết quả từ phần mềm Graph của Giải pháp 2
Kết quả từ phần mềm cho thấy f x( ) 226,7937x 896,6513, với x là số năm kể từ 2010. Từ phần mềm dễ dàng so sánh nợ công của Việt Nam tại các năm với dữ liệu thực tế để có thể xác nhận tính hợp lý của mô hình đã chọn. Đồng thời có thể căn cứ vào hệ số R2 0, 9931, cho thấy 99,31% sự biến thiên của nợ công có thể được giải thích thông qua sự biến thiên của thời gian, cho thấy sự phù hợp của mô hình đã chọn là rất cao.
Suy ra f x( ) 226, 7937. Do đó D(2018) f (8) 226, 7937 nghìn tỷ đồng/năm.
Vậy vào năm 2018, nợ công của Việt Nam đang tăng với tốc độ 226,7937 nghìn tỷ đồng/năm.
Giải pháp 4. Cũng với tập dữ liệu thu thập được gồm 12 dữ liệu như ở Giải pháp 4. Từ việc vẽ biểu đồ phân tán cho thấy xu hướng của dữ liệu phù hợp với mô hình hàm số bậc hai. Giả thuyết được đưa ra là f(x) là hàm bậc hai.
Hình 3.3. Kết quả từ phần mềm Graph của Giải pháp 3
Biểu diễn hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ cùng với các điểm dữ liệu, cho thấy đường bậc hai phù hợp hơn so với đường bậc nhất vì đồ thị của nó gần như xấp xỉ đi qua các điểm dữ liệu hơn so với đồ thị hàm bậc nhất, hoặc so sánh các sai lệch giữa giá trị trên đường xu hướng với giá trị thực tế.
Kết quả từ phần mềm cho thấy f x ( ) 4,2128 x2 273,1349 x 819,4159, với x là số năm kể từ 2010. Từ phần mềm dễ dàng so sánh nợ công của Việt Nam tại các năm với dữ liệu thực tế để có thể xác nhận tính hợp lý của mô hình đã chọn.
Suy ra f x( ) 8, 4256x 273,1349. Do đó D(2018) f (8) 205, 7301
nghìn tỷ đồng/năm.
Vậy vào năm 2018, nợ công của Việt Nam đang tăng với tốc độ 205,7301 nghìn tỷ đồng/năm.
Với bài làm theo các giải pháp 3, 4 đều thể hiện các đặc điểm của hiểu KN ĐH như trong giải pháp 2.
Chúng tôi đánh giá hiểu KN ĐH, TP trong phiếu kiểm tra đầu vào và đầu ra thông qua biểu hiện của các đặc điểm hiểu KN ĐH, TP trong tất cả các bài toán được sử dụng để đo lường hiểu KN ĐH và TP của phiếu kiểm tra.
Tiếp theo chúng tôi sẽ minh họa đánh giá NL GQVĐTBC trong bài toán 11 của phiếu kiểm tra đầu vào.
Bảng 3.8. NL GQVĐTBC thể hiện qua Bài toán 11 của phiếu kiểm tra đầu vào NL
GQVĐTBC
thành phần Biểu hiện
NL2
- Xác định dữ liệu cần thiết. Phân biệt được các thông tin có liên quan và không liên quan. Chẳng hạn xác định các dữ liệu cần thiết như D(2017), D(2018), D(2019). Các dữ liệu nợ công Việt Nam tại các năm 2010, 2011 không liên quan nhiều vì các năm này cách khá xa so với 2018. Các thông tin liên quan như đơn vị của D(t), đơn vị của t; nguồn của thông tin.
- Làm rõ mục tiêu (xác định được yêu cầu của tình huống). Đối tượng cần tìm là đạo hàm của D tại t = 2018; các đối tượng đã cho:
D(2017), D(2018), D(2019), các đơn vị của D và t; các đối tượng chưa biết có liên quan đến đối tượng cần tìm: các tốc độ biến thiên trung bình của D trên các khoảng [2017, 2018], [2018, 2019].
- Xác định đạo hàm của hàm số tại một điểm là giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình của hàm số đó.
- Sử dụng các ký hiệu toán học sẵn có trong bài toán để gán cho các biến số liên quan: hàm số nợ công của Việt Nam D, biến số thời gian t và không cần thiết sử dụng thêm ký hiệu cho tốc độ biến thiên trung bình của D.
- Thiết lập mối quan hệ toán học:
2018
( ) (2018) (2018) lim
2018
t
D t D
D t
NL3
- Sử dụng phương pháp, công cụ toán học để giải quyết bài toán:
+ Sử dụng công thức tính tốc độ biến thiên trung bình của hàm số trên một khoảng biến thiên của đối số.
+D (2018)có giá trị nằm giữa tốc độ biến thiên trung bình của D trên [2017, 2018] và [2018, 2019].
+ Đặt thêm giả thuyết nợ công của Việt Nam tăng không quá nhiều giữa năm 2017 và 2019 để có thể xem trung bình cộng của hai tốc độ biến thiên của D trên [2017, 2018] và [2018, 2019] là giá trị xấp xỉ tốt cho D(2018).
+ Ta có:
2018 0
( ) (2018) (2018) lim
(2018 ) 2018(2018) lim
(2018 ) (2018)
t t
D t D
D t
D t D
D t Dt
t
khi tcó trị tuyệt đối khá bé.
Thay t = 1, ta có: D(2019) D(2018) D(2018)
Sử dụng vi phân để tính gần đúng để hỗ trợ đưa ra kết luận sâu sắc hơn.
- Tính toán chính xác, lập luận logic.