CHƯƠNG 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
4.2. Sự thay đổi trong năng lực toán học của sinh viên sau khi tham gia vào học chủ đề đạo hàm và tích phân đã được thiết kế
4.2.2. Phát triển hiểu khái niệm và năng lực giải quyết vấn đề theo bối cảnh của
4.2.2.1. Sự thay đổi trong hiểu khái niệm của sinh viên sau khi tham gia vào học chủ đề đạo hàm và tích phân đã được thiết kế
Kết quả về tỉ lệ phần trăm SV lớp thực nghiệm đạt các mức mã hóa hiểu KN trong phiếu kiểm tra đầu vào và đầu ra cho bởi Bảng 4.37. Lưu ý rằng, mức mã hóa cao cho thấy SV thể hiện được đầy đủ các đặc điểm của hiểu KN ĐH/TP chính xác cần thiết khi giải quyết BTTBC.
Bảng 4.37. Các mức mã hóa hiểu KN của lớp thực nghiệm Tỉ lệ % SV lớp thực nghiệm đạt các mức mã hóa hiểu KN
0 1 2 3
ĐV ĐR ĐV ĐR ĐV ĐR ĐV ĐR
Hiểu KN ĐH 66,8 36,6 19 9,5 12,9 16 1,3 37,9 Hiểu KN TP 41,7 11 11,7 2,1 9,7 7,2 36,9 79,7
Từ Bảng 4.37 cho thấy có sự chuyển biến tích cực trong hiểu KN ĐH và TP của các SV lớp thực nghiệm sau khi tham gia học các chủ đề đã được thiết kế.
Cụ thể về tỉ lệ phần trăm SV đạt mức mã hóa 3 trong hiểu KN ĐH, hiểu KN TP ở đầu ra đã tăng lần lượt là 36,6%; 42,8% so với đầu vào. Ngoài ra tỉ lệ phần trăm SV đạt mức 0 và 1 trong hiểu KN ĐH, hiểu KN TP đã giảm so với đầu vào, đặc biệt là đối với mức 0 thì tỉ lệ SV đạt mức mã hóa này đã giảm đi lần lượt là 30,2%; 30,7% .
Sau đây sẽ là kết quả cụ thể cho từng nội dung.
a) Về các đặc điểm của hiểu khái niệm đạo hàm
Bảng 4.38 mô tả kết quả mã hoá hiểu KN ĐH của SV trong từng câu hỏi cụ thể.
Bảng 4.38. Các mức mã hóa hiểu KN đạo hàm của lớp thực nghiệm Tỉ lệ % SV lớp thực nghiệm đạt các mã hóa hiểu KN ĐH
Bài toán 0 1 2 3
ĐV ĐR ĐV ĐR ĐV ĐR ĐV ĐR
9a 72,4 51,7 24,1 10,3 3,4 3,4 0,0 34,5
9b 96,6 62,1 0,0 0,0 3,4 3,4 0,0 34,5
10 13,8 6,9 13,8 24,1 69,0 20,7 3,4 48,3 11a 65,5 13,8 24,1 6,9 10,3 20,7 0,0 58,6 11b 79,3 17,2 10,3 6,9 6,9 27,6 3,4 48,3 12a 51,7 41,4 48,3 24,1 0,0 10,3 0,0 24,1
12b 100,0 82,8 0,0 0,0 0,0 17,2 0,0 0,0
13 55,2 17,2 31,0 3,4 10,3 24,1 3,4 55,2 SV sau khi tham gia học chủ đề ĐH và TP đã thể hiện hiểu biết về KN ĐH trong các bối cảnh thực tế tốt hơn. Hiểu KN ĐH được thể hiện trong việc SV có những biểu hiện tốt hơn trong việc hiểu bản chất của KN ĐH, mối quan hệ giữa các KN liên quan và khả năng chuyển đổi giữa các biểu diễn khác nhau của ĐH. Điều này được bộc lộ qua sự chuyển đổi trong tỉ lệ SV đạt các mức mã hóa 0, 1, 2, 3 trong hiểu KN ĐH giữa đầu vào và đầu ra cho bởi Bảng 4.37, giảm đáng kể các mức mã hóa 0 (30,2%), mã hóa 1 (9,5%) và tăng mạnh ở mã hóa 3 (36,6%). Kết quả từ Bảng 4.38 cho thấy hiểu KN ĐH có xu hướng tăng lên trong các bài toán dùng để đo hiểu KN ĐH, cụ thể, tỉ lệ phần trăm SV đạt mức mã hóa 3 hiểu KN ĐH trong hầu hết các bài toán đã tăng lên một cách đáng kể từ 34,5% đến 58,6% giữa đầu vào và đầu ra. Đặc biệt, có sự chuyển biến về việc hiểu tốt nhất ở Bài toán 10, 11a, 11b, 13 với tỉ lệ phần trăm SV đạt mức mã hóa 3 hiểu KN ĐH tăng từ 44,9% đến 58,6%. Ngược lại, bài toán mà SV có sự chuyển biến về việc hiểu không đáng kể nhất là Bài toán 12b, mặc dù đã có sự chuyển đổi nhỏ ở mức 0 và mức 2, song đã không có SV nào đạt được mức mã hóa cao nhất trong hiểu KN ĐH.
Bài làm của SV sau là một minh họa cho việc thể hiện hiểu KN ĐH tốt hơn trong giải quyết Bài toán 10 của phiếu kiểm tra đầu vào và đầu ra. SV này đã không làm bài trong phiếu kiểm tra đầu vào (mức mã hóa hiểu là 0), trong khi lại thể hiện rất tốt việc hiểu KN ĐH trong phiếu kiểm tra đầu ra (Hình 4.8).
Hình 4.8. Bài làm của SV trong Bài toán 10 của phiếu kiểm tra đầu ra
SV đã xác định được mối quan hệ giữa hình thù của bình (tiết diện bình hay bán kính của tiết diện) với tốc độ tăng của chiều cao của nước trong bình và do đó liên quan đến ĐH cấp hai của hàm chiều cao. Tuy nhiên, nếu SV thể hiện rõ hơn nữa tốc độ tăng của chiều cao của nước trong bình liên quan đến không chỉ ĐH cấp hai mà còn ĐH cấp một của hàm chiều cao thì sẽ thể hiện đầy đủ hơn hiểu biết của mình về ĐH. Vì nếu ĐH cấp một của chiều cao âm trong khi ĐH cấp hai dương thì có nghĩa chiều cao đang giảm nhanh (giảm với tốc độ tăng). Tuy nhiên hiện tượng này không thể xảy ra trong bối cảnh rót nước vào bình của bài toán nên chúng tôi đánh giá bài làm này ở mức mã hóa 3.
Tương tự trong Bài toán 12 tập trung vào sự tiến bộ trong hiểu KN ĐH của SV giữa đầu vào và đầu ra trong bối cảnh kinh doanh, kết quả cho thấy, SV đã có sự chuyển biến khá tốt trên tỉ lệ % SV đạt mức mã hóa 2 và 3 phiếu kiểm tra đầu vào và đầu ra, đã tăng lên 34,4%; 17,2% tương ứng trong câu a và b (Bảng 4.38). Tuy nhiên, không có SV nào đạt được mức độ cao nhất trong Bài toán 12b (Bảng 4.38).
Điều này cho thấy Bài toán 12 vẫn còn là một khó khăn đối với SV. Để giải quyết bài toán này SV cần xác định một biểu diễn khác của ĐH trong bối cảnh thực tế (ĐH2) đó là tốc độ biến thiên (tức thời) của tổng lợi nhuận. Hơn nữa, SV cần nắm bản chất của ĐH (ĐH1) là giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình nên khi lấy ĐH của hàm số là một đại lượng có số đo thì ĐH cũng là một đại lượng có đơn vị là tỉ số của đơn vị của hàm và đơn vị của biến số, từ việc nắm được đơn vị của đại lượng
có số đo tính bởi ĐH sẽ giúp SV không mắc sai lầm khi cho rằng x = 10 căn nhà/ngày ở bài toán 12 đầu vào và x = 500 căn nhà/ngày ở bài toán 12 đầu ra. Thực chất số căn nhà x ở đây là một hàm số theo thời gian t với t tính theo đơn vị ngày chứ không phải là hằng số và có giá trị ĐH tại thời điểm khi mà có 400 khách hàng (tương ứng 1000) đã ký kết hợp đồng. Ngoài ra, kết hợp với hiểu mối quan hệ giữa ĐH và tính đơn điệu của hàm số (ĐH3), SV có thể đưa ra kết luận Bài toán 12b một cách thuyết phục hơn. Chẳng hạn, ở bài đầu ra, do ĐH của tổng lợi nhuận tại thời điểm mà khách hàng thứ 1000 đã ký kết hợp đồng là 3000 đôla/ngày nên tại thời điểm đó tổng lợi nhuận mà công ty Hata thu được đang tăng với tốc độ 3000 đôla/ngày, mà tổng lợi nhuận của công ty tại thời điểm mà khách hàng thứ 1000 đã ký kết hợp đồng là 2000 đôla, đang dương, chính vì vậy công ty nên tăng việc bảo dưỡng cây xanh cho các khách hàng. Sau đây chúng tôi minh họa bài làm của SV thể hiện hiểu biết về ĐH tốt hơn sau quá trình tác động thông qua hai phiên bản bài làm đầu vào (Hình 4.9) và đầu ra (Hình 4.10).
Hình 4.9. Bài làm của SV trong Bài toán 12 của phiếu kiểm tra đầu vào Bài làm ở Hình 4.9 cho thấy SV đã tạo được một biểu diễn của KN ĐH trong bối cảnh thực, đó là tốc độ biến thiên của tổng lợi nhuận. Tuy nhiên sai lầm ở đây là SV xác định x là hằng số trong khi với việc hiểu bản chất của ĐH thông qua hiểu được đơn vị của đại lượng có số đo tính bởi ĐH thì sẽ xác định x là hàm số theo thời gian. Ngoài ra SV không chắc chắn về đơn vị nên đã xóa đi đôla/ngày. Ngoài ra ở câu b, SV không thể hiện hiểu biết về KN ĐH để giải quyết nên SV này đạt mã hoá mức độ 1 cho hiểu KN ĐH là 1 trong câu a và mức độ 0 cho bài làm ở câu b.
Hình 4.10. Bài làm của SV trong Bài toán 12 của phiếu kiểm tra đầu ra Với bài làm ở Hình 4.10 cho thấy SV đã nhận ra giá trị ĐH của x tại thời điểm khi mà có 1000 khách hàng đã ký kết hợp đồng là 500 căn/ngày và đã sử dụng quy tắc ĐH của hàm hợp để giải quyết bài toán và cho ra kết quả đúng cùng với đơn vị.
Tuy nhiên SV vẫn còn sai sót khi cho rằng
1000
(2000)hay 3000
x
dT dT
dx T dt
mà phải xác định lấy ĐH của T theo biến gì ở T (2000) và dT
dt không phải là hàm hằng mà nó là giá trị của ĐH tại một điểm. Bài làm này SV đạt mức độ hiểu là 2 đối với câu a và 0 đối với câu b.
Ngoài ra, từ hiểu biết về bản chất của ĐH trong các bối cảnh thực tế tốt hơn đã giúp SV đưa ra nhiều giải pháp hợp lý trong giải quyết các BTTBC mà trong đó ĐH được sử dụng. Cụ thể, khi tính ĐH tại một điểm với hàm số cho dưới dạng bảng ở Bài toán 11 đầu ra, SV có xu hướng sử dụng giải pháp tính trung bình cộng của các tốc độ biến thiên trung bình trên các khoảng biến thiên nhỏ của đối số hay tìm một đường cong phù hợp với tập dữ liệu để từ đó tính ĐH với tập dữ liệu là những điểm gần với điểm lấy ĐH, đồng thời diễn giải được ý nghĩa của ĐH là tốc độ biến thiên tức thời, xác định được đơn vị của đại lượng có số đo xác định bởi công thức ĐH.
Trong Hình 4.11 khi giải quyết Bài toán 9 đầu vào, SV đã thể hiện hiểu biết về một biểu diễn của ĐH là hệ số góc của tiếp tuyến và tốc độ biến thiên tức thời của hàm tỉ lệ lạm phát I khi tỉ lệ thất nghiệp là 4%. Tuy nhiên do không đưa ra
được đơn vị của I’(4) này nên SV đạt mức độ 2 cho cả câu a và b. Trong khi đó sau khi kết thúc học nội dung ĐH và TP, SV đã thể hiện hiểu được bản chất của KN ĐH tốt hơn trong việc xác định được đơn vị của S’(16) và khi số gia của đối số có trị tuyệt đối khá bé thì có thể sử dụng công thức vi phân để tính gần đúng, từ đó đã đưa ra kết luận có ý nghĩa hơn. Thay vì trước đây chỉ ghi “Tốc độ biến thiên tức thời của I tại U = 5” (Hình 4.11) thì nhận định mà SV đó đưa ra ở Hình 4.12 sẽ có ý nghĩa hơn. SV vẫn đã xác định đúng đơn vị của ĐH nên chúng tôi vẫn đánh giá bài làm ở Hình 4.12 với mức mã hóa 3 và bài làm ở Hình 4.11 với mức mã hóa 2. Ngoài ra, khi làm phiếu kiểm tra đầu ra SV đã biết sử dụng phần mềm Graph để tìm biểu thức hàm cho S(T) dựa trên tập dữ liệu được lấy từ đồ thị của S(T).
Hình 4.11. Bài làm của SV trong Bài toán 9 của phiếu kiểm tra đầu vào
Hình 4.12. Bài làm của SV trong Bài toán 9 của phiếu kiểm tra đầu ra
b) Về các đặc điểm của khái niệm tích phân
Bảng 4.39 mô tả kết quả mã hoá hiểu KN TP của SV trong từng câu hỏi cụ thể.
Bảng 4.39. Các mức mã hóa hiểu KN tích phân của SV lớp thực nghiệm Tỉ lệ % SV lớp thực nghiệm đạt các mã hóa hiểu KN TP
Bài toán 0 1 2 3
ĐV ĐR ĐV ĐR ĐV ĐR ĐV ĐR
1 13,8 10,3 13,8 0,0 20,7 13,8 51,7 75,9
2 31,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 69,0 100,0
3 0,0 0,0 10,3 0,0 0,0 0,0 89,7 100,0
4 65,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 34,5 100,0
5 37,9 10,3 37,9 3,4 17,2 20,7 6,9 65,5
6 27,6 0,0 6,9 0,0 13,8 13,8 51,7 86,2
7 31,0 0,0 3,4 0,0 17,2 3,4 48,3 96,6
8a 48,3 20,7 27,6 10,3 13,8 6,9 10,3 62,1
8b 75,9 44,8 3,4 0,0 13,8 13,8 6,9 41,4
14b 86,2 24,1 13,8 6,9 0,0 0,0 0,0 69,0
SV sau khi tham gia học chủ đề ĐH và TP đã thể hiện hiểu biết về KN TP trong các bối cảnh thực tế tốt hơn, cụ thể trong việc hiểu bản chất của TP, mối quan hệ giữa các KN liên quan đến TP, khả năng tạo và chuyển đổi giữa các biểu diễn khác nhau của TP. Điều này thể hiện qua tỉ lệ phần trăm SV đạt mức độ 3 hiểu KN TP trong hầu hết các bài toán đã tăng lên một cách đáng kể sau tác động của nghiên cứu với đa số tăng từ 34,5% và ấn tượng nhất là với Bài toán 14b tỉ lệ SV có mức mã hóa 3 đã tăng lên 69% (Bảng 4.39).
Chúng tôi minh họa cụ thể biểu hiện hiểu KN TP của SV tốt hơn sau khi tham gia vào học chủ đề ĐH và TP đã thiết kế. Trong bài làm ở Hình 4.13 khi giải quyết Bài toán 1 trong phiếu kiểm tra đầu vào, SV thể hiện được đầy đủ các đặc điểm của hiểu KN TP cần thiết nhưng có một số lỗi nhỏ liên quan đến hiểu KN TP. Cụ thể, bài làm thể hiện được mối quan hệ giữa ĐH và TP (TP3) là hai quá trình ngược của nhau 𝑅(𝑡) = ∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡; mối quan hệ giữa nguyên hàm và TP (TP3) thông qua định lý cơ bản thứ hai của giải tích ∫ 𝑟(𝑡)𝑑𝑡15 = 𝑅(5) − 𝑅(1); xác định đúng hàm dưới dấu TP là 𝑟(𝑡), cận lấy TP, đơn vị của đại lượng có số đo được tính bởi TP là ngàn đôla (TP1); biểu diễn R(1), R(5) lần lượt là tổng doanh thu của ColorMe vào cuối tháng 1 và cuối tháng 5 (TP2). Tuy nhiên, việc thiếu dt trong ký hiệu TP cho thấy SV có phần chưa hiểu được bản chất của TP. Cụ thể TP là giới hạn của tổng Riemann, là tổng vô hạn của các phần nhỏ, mà mỗi phần nhỏ được biểu diễn thành tích của giá trị của hàm số tại một điểm với số gia rất bé của đối số và số gia đó chính là dt nên về mặt bản
chất dt không thể thiếu trong ký hiệu của TP, cũng có khả năng SV tiết kiệm thời gian viết hoặc thấy việc viết dt không giúp ích gì cho tính toán TP. Bài làm này được đánh giá ở mức mã hóa hiểu 2.
Hình 4.13. Bài làm của SV trong Bài toán 1 của phiếu kiểm tra đầu vào Sau khi tham gia vào quá trình tác động của nghiên cứu, SV đã thể hiện được hiểu KN TP tốt hơn và đã đạt mức mã hóa hiểu là 3 trong phiếu kiểm tra đầu ra (Hình 4.14) khi thể hiện đầy đủ các đặc điểm hiểu KN TP cần thiết một cách chính xác trong bài làm.
Hình 4.14. Bài làm của SV trong Bài toán 1 của phiếu kiểm tra đầu ra