CHƯƠNG 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
4.1. Đặc trưng của chủ đề đạo hàm và tích phân khi được thiết kế theo nguyên lý dạy học toán theo bối cảnh với phương án REACT
4.1.3. Đặc trưng của việc tổ chức dạy học chủ đề đạo hàm và tích phân theo nguyên lý dạy học toán theo bối cảnh với phương án REACT
Với việc tăng cường hoạt động hợp tác trong quá trình GQVĐTBC, chúng tôi luôn lưu ý đến việc phân công nhiệm vụ phản biện cho bài báo cáo của nhóm trình bày.
Điều này cũng giúp SV phát huy tư duy phản biện trong quá trình học tập. Ngoài ra chúng tôi còn sử dụng bốn loại rubric trong dạy học (PL5), đó là công cụ hỗ trợ SV tự đánh giá và cùng đánh giá lẫn nhau; giúp SV học tự điều chỉnh, phát huy tư duy phản biện và sáng tạo, đồng thời là công cụ để hỗ trợ GV đánh giá kết quả làm việc nhóm và kết quả của các cá nhân trong nhóm. Khi giao các nhiệm vụ học tập, các rubric liên quan đến nhiệm vụ đó đều được đồng thời cung cấp cho SV nhằm giúp SV định hướng, xác định được đầy đủ các yêu cầu của nhiệm vụ, xác định các mục tiêu cần đạt được và góp phần thúc đẩy quá trình học tập tích cực của SV. Tương tự phương pháp hỗ trợ quá trình MHH của Schukajlow và cộng sự (2015) khi sử dụng “Kế hoạch giải pháp”, chúng tôi cũng sử dụng các BTTBC với thiết kế gồm bảy nhiệm vụ tương ứng với các bước của quá trình GQVĐTBC nhằm hỗ trợ SV có thói quen thực hiện đầy đủ các bước của quá trình GQVĐTBC, việc sử dụng chiến lược hỗ trợ này cũng theo phương pháp mờ dần để đưa NH đến kĩ năng tự thực hiện đầy đủ các bước của quá trình GQVĐTBC (xem mục 2.2.5). Cụ thể là đến khi thực hiện dự án thì chúng tôi không giao trực tiếp bảy nhiệm vụ như trên, mà gián tiếp thông qua rubric đánh giá trình bày dự án của nhóm (xem mục 3.2.2.2 và Bảng 3.13).
Các phương án REACT dạy học chủ đề ĐH và TP được trình bày cụ thể trong các Bảng 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.10 và các Bảng 4.11, 4.12, 4.13, 4.14, 4.15.
Bảng 4.4. Liên kết 1 trong Phương án REACT dạy học chủ đề đạo hàm Liên kết 1
SV đã học các cách biểu diễn một hàm số và có khả năng sử dụng Internet để tìm kiếm thông tin, do đó Bài toán 3.1 nhằm kết nối kiến thức, kinh nghiệm sẵn có của SV để giúp các em chuyển đổi giữa các biểu diễn khác nhau của một hàm số thông qua phần mềm/ứng dụng web, chẳng hạn chuyển từ biểu diễn bằng bảng thành biểu diễn đại số thông qua việc xây dựng biểu thức hàm từ một tập dữ liệu tìm kiếm được. Đồng thời tìm hiểu được những vấn đề thực tế nào mà SV quan tâm. Việc so sánh ưu nhược điểm hay đề xuất cải tiến tính năng của phần mềm giúp tăng cường khả năng tư duy phản biện và sáng tạo của SV, đồng thời liên kết với nghề nghiệp kĩ sư phần mềm trong tương lai.
Hoạt động dạy học
Bài toán 3.1 (R1). Tìm hiểu hai phần mềm/ứng dụng web để tìm đường cong phù hợp với tập dữ liệu. Tìm một ví dụ thực tế rồi sử dụng hai phần mềm đó để giải quyết. Nêu ưu nhược điểm khi sử dụng các phần mềm/ứng dụng trong tìm đường cong phù hợp với tập dữ liệu và các đề xuất cải tiến của bạn đối với các phần mềm/ứng dụng đó (nếu có).
Tổ chức dạy học theo kế hoạch ở Bảng 3.11 Chương 3.
Bảng 4.5. Liên kết 2 trong Phương án REACT dạy học chủ đề đạo hàm Liên kết 2
Bối cảnh xem phim ở rạp của Bài toán 3.2 thường được SV quan tâm . SV cần liên kết cách sử dụng phần mềm/ứng dụng web để có thể xây dựng biểu thức hàm từ một tập dữ liệu tìm kiếm được và phân tích xu hướng của dữ liệu vào giải quyết bài toán dự báo với tập dữ liệu lớn và chưa được cung cấp trong đề bài. Để tăng cường khả năng tìm kiếm dữ liệu trên Internet và lựa chọn nguồn dữ liệu với độ tin cậy và chính xác cao của SV nên chúng tôi sử dụng Bài toán 3.2. Bài toán này giúp SV nhận ra một số tiêu chí để lựa chọn đường cong phù hợp với tập dữ liệu.
Bảy nhiệm vụ đầu sẽ giúp SV có kiến thức về quá trình GQVĐTBC, các nhiệm vụ 5, 6, 7, 8 giúp SV tăng cường hoạt động phản ánh về các giải pháp, phát triển tư duy phản biện và tư duy sáng tạo cho bản thân.
Hoạt động dạy học
Bài toán 3.2 (R2). Bạn có nhận thấy rằng giá vé xem phim dường như tăng lên không? Sử dụng dữ liệu giá vé xem phim trung bình ở Mỹ trong những năm từ 1950 đến 2010 để dự đoán giá vé xem phim trung bình ở Mỹ vào năm 2012, 2022.
Lần gần đây nhất bạn mua vé xem phim vào buổi tối là khi nào và giá vé bạn mua là bao nhiêu? Hãy so sánh với các giá xem phim trung bình trên để rút ra kết luận.
Tổ chức dạy học theo kế hoạch ở Bảng 3.11 Chương 3.
Bảng 4.6. Liên kết 3 trong Phương án REACT dạy học chủ đề đạo hàm Liên kết 3
SV liên kết hệ số góc của tiếp tuyến với ĐH, tính được ĐH khi hàm số cho dưới dạng đồ thị, giải thích được ý nghĩa của ĐH trong bối cảnh kinh tế dựa vào công thức xấp xỉ số gia và ĐH khi cho biến tăng lên 1 đơn vị. Từ đây xây dựng lại KN ĐH chính là giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình, thông qua hệ số góc của tiếp tuyến là giới hạn của hệ số góc của cát tuyến.
Hoạt động dạy học
Bài toán 3.3 (R3). Cho đồ thị của hàm I U( ) ở hình sau. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong I U( ) tại điểm A. Hãy cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.
Tổ chức dạy học theo kế hoạch ở Bảng 3.11 Chương 3.
Bảng 4.7. Trải nghiệm trong Phương án REACT dạy học chủ đề đạo hàm Trải nghiệm
SV trải nghiệm tính ĐH khi hàm số cho dưới dạng bảng, giải thích được ý nghĩa của ĐH trong bối cảnh kinh tế dựa vào công thức xấp xỉ số gia và ĐH khi cho biến tăng lên 1 đơn vị. Dữ liệu cho không đầy đủ nên SV có thể phải tìm kiếm thêm dữ liệu hoặc nắm chắc bản chất của giới hạn để giải quyết. Họ phải chú ý đơn vị của đại lượng có số đo được tính theo ĐH.
Có hai phương án giải quyết: một là sử dụng dữ liệu hiện có kết hợp với kiến thức về giới hạn của hàm số; hai là tìm kiếm thêm dữ liệu cho các năm từ 2010 đến 2021, sau đó sử dụng phần mềm/ứng dụng web để tìm biểu thức hàm D t( ), từ đó tính D (2018).
Hoạt động dạy học
Bài toán 3.4 (E). Cho D t( )là nợ công của Việt Nam, đơn vị nghìn tỷ đồng, theo thời gian t. Các giá trị xấp xỉ của hàm số này cho bởi bảng sau:
t D t( )
2010 889,4
2011 1092,8 2017 2587,4 2018 2767,2 2019 2897,9
(Nguồn: Bản tin nợ công – Bộ tài chính) Hãy ước tính D (2018) và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.
Tổ chức dạy học theo kế hoạch ở Bảng 3.11 Chương 3.
Bảng 4.8. Áp dụng trong Phương án REACT dạy học chủ đề đạo hàm Áp dụng
SV áp dụng kiến thức về bản chất của ĐH là giới hạn của tốc độ biến thiên trung bình hoặc dựa vào công thức vi phân để tính gần đúng khi cho biến tăng lên 1 đơn vị, mối quan hệ giữa hàm số và ĐH thể hiện qua tính đơn điệu của hàm số, để giải thích được ý nghĩa của ĐH cấp 1, cấp 2 trong bối cảnh kinh doanh, từ đó có thể đánh giá được thị trường tiềm năng và xu hướng bán hàng.
Hoạt động dạy học
Bài toán 3.5 (A). Một sản phẩm mới được đưa ra thị trường và trở nên rất phổ biến. Số lượng đã bán N của sản phẩm đó là một hàm số theo thời gian t, trong đó t là số tuần sau khi đưa sản phẩm ra thị trường:
2 2
250000 (2 1)
( ) t , 0.
N t t t
Hãy cho biết ý nghĩa của các kết quả sau:
A. N (52) 22, 5. B. N (208) 1, 4. C. N (52) 0, 852. D. N (208) 0, 014.
Từ các kết quả đó hãy giải thích điều gì đang diễn ra sau tuần thứ 52 và tuần thứ 208 đối với sản phẩm mới được đưa ra thị trường đó.
Sử dụng phần mềm để vẽ đồ thị nhằm đánh giá xu hướng tốt hơn hoặc dùng để kiểm nghiệm tính toán các ĐH.
Tổ chức dạy học theo kế hoạch ở Bảng 3.11 Chương 3.
Bảng 4.9. Hợp tác trong Phương án REACT dạy học chủ đề đạo hàm Hợp tác
SV giải quyết một số BTTBC theo nhóm dưới hình thức trắc nghiệm (C1) để củng cố kiến thức. SV làm việc theo nhóm để giải quyết Bài toán 3.6 nhằm phát huy các kĩ năng hợp tác và củng cố kiến thức liên quan đến các quy tắc tính ĐH và đặc biệt là quy tắc tính ĐH của hàm hợp.
Hoạt động dạy học
Bài toán 3.6 (C2). Một chiếc máy bay đang bay trên đầu ở độ cao không đổi 4000 ft. Một người đàn ông đang quan sát máy bay từ vị trí cách chân tháp viễn thông 3000 ft. Máy bay đang bay theo phương ngang ra khỏi người đàn ông đó. Nếu máy bay đang bay với tốc độ 600 ft/giây thì khoảng cách giữa người đàn ông và máy bay tăng lên với tốc độ bao nhiêu khi máy bay đi qua tháp vô tuyến?
Tổ chức dạy học theo kế hoạch ở Bảng 3.11 Chương 3.
Bảng 4.10. Chuyển đổi trong Phương án REACT dạy học chủ đề đạo hàm Chuyển đổi
SV chuyển đổi kiến thức từ cực trị địa phương sang cực trị tuyệt đối, quy tắc tìm cực trị địa phương sang quy tắc tìm cực trị tuyệt đối. SV cần hiểu khai thác bền vững một loài động vật nghĩa là như thế nào. Đây chính là bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm f(P) – P.
SV vận dụng kiến thức về ĐH vào bài toán tìm giá trị lớn nhất. Bài toán toán này giúp SV nâng cao ý thức trong việc bảo vệ sự phát triển bền vững của loài thỏ rừng giày tuyết ở Canada, cũng như các loài động vật khác. Đồng thời giúp SV củng cố kiến thức về việc tìm đường cong phù hợp với tập dữ liệu và hệ thống lại kiến thức liên quan đến vận dụng ĐH trong tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Hoạt động dạy học
Bài toán 3.7 (T). Dữ liệu về đường cong sinh trưởng của thỏ rừng giày tuyết (Snowshoe hare) ở vịnh Hudson Canada cho ở bảng sau:
Dân số, P (ngàn con)
Dân số sau 1 năm, f(P) (ngàn con)
10 37,5
20 70
30 97,5
40 120
50 137,5
60 150
70 157,5
80 160
90 157,5
100 150
(Nguồn: Bittinger & cộng sự, 2012)
Xác định số lượng thỏ được săn bắt lớn nhất sao cho vẫn đảm bảo khai thác bền vững loài thỏ này.
Tổ chức dạy học theo kế hoạch ở Bảng 3.11 Chương 3.
Bảng 4.11. Liên kết trong Phương án REACT dạy học chủ đề tích phân Liên kết
Bài toán tìm quãng đường đi được là bài toán quen thuộc ở phổ thông khi học ứng dụng của TP cũng như trong môn Vật lý. Vận tốc là đại lượng có hướng nên nó có thể có dấu tùy ý. Chúng tôi chọn vấn đề quãng đường đi được với vận tốc là hàm có dấu tùy ý trên miền lấy tích phân để có thể giúp SV nhận ra bản chất của TP; sự khác nhau giữa TP và diện tích hình phẳng; cũng như giữa quãng đường và độ dời (độ dịch chuyển).
Hoạt động dạy học
Bài toán 3.8 (R). Một chất điểm chuyển động dọc theo một đường thẳng với vận tốc v t( ) t2 t 6 (m/s). Tìm quãng đường mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ t = 1s đến t = 4s.
Tổ chức dạy học theo kế hoạch ở Bảng 3.11 Chương 3.
Bảng 4.12. Trải nghiệm trong Phương án REACT dạy học chủ đề tích phân Trải nghiệm
Bài toán 3.9 liên quan đến vấn đề tìm tổng lợi nhuận khi cho biết đồ thị của hàm lợi nhuận cận biên mà không có biểu thức hàm cho phép SV trải nghiệm để khám phá lại KN TP từ bài toán diện tích.
SV có thể ước tính bằng nhiều cách khác nhau dựa trên kinh nghiệm tìm diện tích của một đa giác (chia thành các mảnh nhỏ), xấp xỉ các mảnh bởi các hình chữ nhật rồi lấy tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ đó. SV thực hiện nhiệm vụ học tập theo nhóm và sau đó báo cáo kết quả. Kết hợp với việc sử dụng phần mềm Graph/Maple/GeoGebra/Desmos để SV nhận ra diện tích của miền S chính là giới hạn của tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ.
Kiểu giới hạn của tổng Riemann xuất hiện trong vấn đề quãng đường đi được, tổng lợi nhuận và nhiều tình huống khác cho thấy f(x) có thể có dấu tùy ý hoặc không cần phải liên tục và các đoạn con không nhất thiết phải có độ dài bằng nhau. Từ đó dẫn dắt vào định nghĩa TP với f(x) xác định trên [a, b] chính là giới hạn của tổng Riemann nếu giới hạn đó tồn tại.
Thông qua vấn đề tổng lợi nhuận này để hình thành bài toán tìm diện tích của miền nằm dưới đường cong f(x) không âm liên tục trên [a, b] thông qua giới hạn của tổng Riemann.
Từ bài toán diện tích dẫn dắt đến việc hình thành các Định lý cơ bản của giải tích.
- Để xác lập mối quan hệ giữa ĐH và TP, GV hướng dẫn để SV phát hiện ra mối quan hệ giữa diện tích A(x) của miền nằm dưới đường cong f(x) trên [0, x] với f(x), trong đó f(x) là hàm không âm liên tục trên [0, b] và 0 < x < b. Đó là A x( ) f x( ). - Từ mối quan hệ giữa diện tích và f(x) đã xác lập mối quan hệ giữa ĐH và TP khi f(x) không âm liên tục b ( ) b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
a f x dx aA x dx A b A a F b F a với F(x) là một nguyên hàm của f(x). Từ đây giúp SV đọc được ý nghĩa của diện tích vừa tìm được.
Đồng thời đưa ra công thức Newton - Leibniz khi f(x) không âm liên tục.
- GV đặt vấn đề: Vậy nếu f(x) có dấu tùy ý và liên tục trên [a, b] thì sao?
Công thức trên vẫn đúng, vậy mối quan hệ giữa ĐH và TP được biểu diễn thông qua công thức b ( ) ( ) ( )
a f x dx F b F a , với F(x) là một nguyên hàm của f(x) hay một cách viết khác là b ( ) ( ) ( )
a F x dx F b F a , với F(x) là một nguyên hàm của f(x) - Định lý thay đổi ròng (The Net Change Theorem).
Đồng thời nhấn mạnh khi f(x) không âm liên tục trên [a, b] thì b ( )
a f x dx chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi f(x) và các trục y = 0, x = a, x = b.
Hoạt động dạy học
Bài toán 3.9 (E). Lợi nhuận cận biên (đôla/sản phẩm) từ việc bán x bảng điều khiển kĩ thuật số của công ty Laso Industries là P x( ) có đồ thị cho bởi hình sau.
Hãy ước tính diện tích của miền S nằm dưới đường cong P x( ) trên [0, 150]?
Đồ thị của hàmP x( )
1. Hãy cho biết P(50) và P(100) bằng bao nhiêu? Ý nghĩa của P(50) và P(100) là gì?
2. Hãy thực hiện các yêu cầu sau (7 nhiệm vụ đầu trong Bài toán 3.2).
3. Hãy cho biết ý nghĩa của diện tích miền S đó.
Tổ chức dạy học theo kế hoạch ở Bảng 3.11 Chương 3.
Bảng 4.13. Áp dụng trong Phương án REACT dạy học chủ đề tích phân Áp dụng
Đầu tư sinh lời cho các khoản thu nhập phát sinh liên tục cũng là vấn đề mà SV quan tâm. SV áp dụng kiến thức về bản chất của TP là giới hạn của tổng Riemann để có thể xấp xỉ TP với tổng Riemann. Từ đó khái quát hóa thành công thức tính giá trị tương lai tích lũy của chuỗi tiền/chuỗi thu nhập liên tục với tốc độ R(t) (đơn vị tiền tệ/năm), được đầu tư với lãi suất k, ghép lãi liên tục trong vòng T năm là
0TR t e dt( ) kt .
Hoạt động dạy học
Bài toán 3.10 (A). Chủ của bãi đỗ xe gần một trung tâm hội nghị thu được lợi nhuận 3650 đôla vào cuối mỗi năm trong vòng 4 năm. Bốn khoản tiền thu nhập phát sinh vào cuối mỗi năm được gọi là chuỗi thu nhập hay chuỗi thu nhập với tốc độ 3650 đôla/năm. Ông chủ nên lựa chọn phương án thanh toán chuỗi thu nhập và phương án đầu tư như thế nào để tối ưu hóa lợi ích sau 4 năm? Dựa vào các câu hỏi sau để đưa ra quyết định.
Câu hỏi 1. Nếu ông chủ đầu tư các khoản tiền thu nhập trên với lãi suất 5%/năm, ghép lãi liên tục thì số tiền ông ta thu được (giá trị tương lai) tại cuối năm thứ 4 đối với từng khoản thu nhập là bao nhiêu? Giá trị tương lai tích lũy của chuỗi thu nhập là tổng các giá trị tương lai của các khoản tiền trong chuỗi thu thu nhập. Hãy điền các thông tin còn thiếu vào bảng sau:
Khoản thu nhập
(đôla) Thời gian phát sinh Số tiền thu được tại cuối năm thứ 4 3650 Cuối năm thứ nhất
3650 Cuối năm thứ hai 3650 Cuối năm thứ ba 3650 Cuối năm thứ tư
Giá trị tương lai tích lũy của chuỗi thu nhập
Câu hỏi 2. Giả sử ông chủ nhận được chuỗi thu nhập với tốc độ 3650 đôla/năm nhưng trong 365 khoản thanh toán tương ứng với 10 đôla mỗi ngày. Số tiền nhận được mỗi ngày được đầu tư với lãi suất 5%/năm, ghép lãi liên tục. Hỏi số tiền ông ta thu được (giá trị tương lai) tại cuối năm thứ 4 đối với từng khoản thu nhập là bao nhiêu? Giá trị tương lai tích lũy của chuỗi thu nhập này là bao nhiêu? Hãy điền công thức tính các giá trị vào bảng sau:
Khoản thu nhập
(đôla) Thời gian phát sinh Số tiền thu được tại cuối năm thứ 4 10 Cuối ngày thứ nhất
10 Cuối ngày thứ hai 10 Cuối ngày thứ ba
… …
10 Cuối ngày thứ i
… …
10 Ngày cuối năm thứ tư Giá trị tương lai tích lũy của chuỗi thu nhập
Câu hỏi 3. Hãy ước tính giá trị tương lai tích lũy của chuỗi thu nhập với tốc độ 3650 đôla/năm và các khoản thu nhập phát sinh mỗi ngày (trong 365 khoản thanh toán)?
Câu hỏi 4. Chuỗi thu nhập với các khoản thu nhập phát sinh một cách liên tục thì được gọi là chuỗi thu nhập liên tục hay dòng thu nhập. Nếu ông chủ nhận được chuỗi thu nhập liên tục với tốc độ 3650 đôla/năm trong vòng 4 năm và các khoản thu nhập phát sinh tức thời được đầu tư với lãi suất 5%/năm, ghép lãi liên tục thì giá trị tương lai tích lũy của chuỗi thu nhập này là bao nhiêu?
Tổ chức dạy học theo kế hoạch ở Bảng 3.11 Chương 3.