5.1.2. Tác động của việc tham gia vào học chủ đề đạo hàm và tích phân đã được thiết kế đến năng lực toán học của sinh viên
5.1.2.1. Tác động của việc tham gia vào học chủ đề đạo hàm và tích phân đã được thiết kế đến hiểu khái niệm của sinh viên
Qua các kết quả phân tích định lượng (mục 4.2.1.1 (a), 4.2.1.2 (a), 4.2.1.3 (a)) và định tính (mục 4.2.2.1 (a), 4.2.2.1 (b)), giúp chúng tôi kết luận về tác động của việc tham gia học chủ đề ĐH và TP đã được thiết kế đến hiểu KN ĐH, TP của SV.
Về định lượng, từ kết quả ở mục 4.2.1.3 (a) cho thấy việc tham gia học chủ đề ĐH và TP được thiết kế theo nguyên lý DHTTBC đã làm tăng điểm hiểu KN của SV lớp thực nghiệm đầu ra so với đầu vào và kết quả này có ý nghĩa thống kê với mức ý nghĩa 0,05. Ngoài ra, khi so sánh điểm hiểu KN trung bình của SV hai lớp, cho thấy mặc dù điểm hiểu KN trung bình đầu vào của SV hai lớp đối chứng và thực nghiệm là tương đương (mục 4.2.1.1 (a)) nhưng kết quả đầu ra đã cho thấy điểm hiểu KN trung bình của SV lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng (4.2.1.2 (a)). Kết hợp các điều này giúp chúng tôi đưa ra kết luận về tác động tích cực của việc tham gia học chủ đề ĐH và TP đã thiết kế lên hiểu KN của SV, đã nâng cao điểm hiểu KN ĐH, TP của SV.
Về định tính, SV lớp thực nghiệm sau khi tham gia học các chủ đề đã được thiết kế có sự chuyển biến tích cực trong hiểu KN ĐH, TP thể hiện qua xu hướng tăng tỉ lệ SV đạt mức mã hóa 3 – mức mà SV thể hiện được đầy đủ và chính xác các đặc điểm hiểu KN ĐH/TP cần thiết để giải quyết BTTBC, và giảm tỉ lệ SV đạt mức mã hóa 0 trong hiểu KN ĐH và hiểu KN TP đầu ra so với đầu vào, với mức tăng tương ứng là 36,6%; 42,8% và mức giảm tương ứng là 30,2%; 30,7% (Bảng 4.37).
Đề cập đến tác động của việc tham gia học chủ đề ĐH và TP đã được thiết kế thiết kế theo nguyên lý DHTTBC với phương án REACT đến hiểu KN ĐH của SV, chúng tôi căn cứ trên những thay đổi trong biểu hiện của các đặc điểm của hiểu KN ĐH (Bảng 3.1) khi các em giải quyết các BTTBC trong phiếu kiểm tra đầu vào và đầu ra. Kết quả thực nghiệm cho thấy SV đã thể hiện hiểu biết về KN ĐH trong các bối cảnh thực tế tốt hơn. Kết quả từ Bảng 4.37 cho thấy 53,9% SV đạt mức 2 và 3 trong hiểu KN ĐH ở đầu ra, tăng 39,7% so với đầu vào. Như vậy sau khi tham gia học chủ đề ĐH và TP đã được thiết kế, có 53,9% SV đã thể hiện được đầy đủ và chính xác các đặc điểm hiểu KN ĐH cần thiết hoặc chỉ mắc một số lỗi nhỏ khi giải quyết
các bài toán với bối cảnh thực tế. Cụ thể, khi giải quyết các BTTBC trong phiếu kiểm tra đầu ra, SV đã có những biểu hiện tốt hơn trong hiểu (a) bản chất của KN ĐH như xác định đúng đơn vị của đại lượng có số đo được tính bởi ĐH, sử dụng được tốc độ biến thiên trung bình để ước tính ĐH hay có thể sử dụng công thức vi phân để tính gần đúng để có thể đưa ra các kết luận có ý nghĩa hơn trong bối cảnh thực tế của bài toán; (b) khả năng chuyển đổi giữa các biểu diễn khác nhau của ĐH, thể hiện trong việc SV có thể sử dụng các biểu diễn khác nhau của ĐH như hệ số góc của tiếp tuyến, tốc độ biến thiên của nồng độ oxy hòa tan trong nước, tốc độ xả thải của một động cơ, tốc độ biến thiên của tổng doanh thu; (c) mối quan hệ giữa các KN liên quan thể hiện qua việc sử dụng mối quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số với ĐH, ĐH cấp 2 âm (dương) có nghĩa là tốc độ biến thiên tức thời đang giảm (tăng), hay kết hợp sử dụng được ĐH cấp 1 và cấp 2 để mô tả về tốc độ tăng nhanh hay tăng chậm hay tăng với tốc độ hằng, phân biệt được cực trị địa phương và cực trị tuyệt đối cũng như quy tắc tìm cực trị địa phương với quy tắc tìm giá trị lớn nhất/giá trị nhỏ nhất và xác định được mối quan hệ giữa ĐH và TP, giữa ĐH và nguyên hàm để có thể giải quyết được các bài toán xác định tổng tích lũy của một đại lượng trong một khoảng biến thiên của đối số hay giá trị của một đại lượng tích lũy được tại một thời điểm khi đã cho tốc độ biến thiên tức thời của đại lượng đó.
Từ Bảng 4.38 cho thấy SV có sự chuyển biến về việc hiểu ĐH tốt nhất ở Bài toán 10, 11a, 11b, 13. Với Bài toán 10 trong phiếu kiểm tra đầu ra, phần lớn SV (93,1%, 27) đã chọn được đúng đáp án C và đưa ra được một số giải thích đúng như mối quan hệ giữa hình thù của bình (tiết diện của bình/bán kính của tiết diện bình) với tốc độ tăng nhanh/chậm của chiều cao của nước trong bình; mối quan hệ giữa tốc độ tăng nhanh/chậm của chiều cao của nước trong bình với ĐH cấp 1, ĐH cấp 2 của hàm số;
mối quan hệ giữa ĐH cấp 1, ĐH cấp 2 của hàm số với tính đơn điệu, tính lồi lõm của hàm số và đồ thị của hàm số đó. 93,1% SV đều chọn được đáp án đúng và đưa giải thích đúng liên quan đến mối quan hệ giữa hình thù của bình (tiết diện của bình/bán kính của tiết diện bình) với tốc độ tăng nhanh/chậm của chiều cao của nước trong bình, chẳng hạn “khi bình to dần thì tốc độ tăng của chiều cao của nước đang giảm”, “khi bình hẹp dần thì tốc độ tăng của chiều cao của nước đang tăng”, điều này có nghĩa các em đã sử dụng suy luận đồng biến thiên ở mức cao nhất (mức 5) theo phân loại của Carlson và cộng sự (2002), là mức mà SV có thể hình thành được các hình ảnh chính xác cho tốc độ biến thiên tức thời đang thay đổi một cách liên tục trong tình huống hàm động, tức có thể giải thích được chính xác tăng hay giảm với tốc độ như thế nào trong tình huống đó. Trong 93,1% SV đó, có 22,2% SV mắc sai sót nhỏ trong lập luận khi không ghi rõ diễn biến theo thời gian hay không ghi rõ tốc độ nhanh/chậm của đại
lượng nào. Kết quả này tốt hơn kết quả mà Carlson và cộng sự (2010) thu được khi trong 47 SV chọn đúng đáp án chỉ có 9 SV (19,1%) sử dụng suy luận đồng biến thiên ở mức cao nhất. Hơn nữa, trong nghiên cứu của Carlson và cộng sự (2010), khi thực hiện các phỏng vấn tiếp theo trên 38 SV còn lại thì vẫn có đến 23 SV (60,5%) không thể giải thích tính lồi lõm của đồ thị chiều cao của nước trong bình liên quan như thế nào đến tốc độ tăng nhanh/chậm của chiều cao đó theo lượng nước trong bình. Kết quả thực nghiệm của chúng tôi cũng tốt hơn kết quả nghiên cứu của Carlson và cộng sự (2002) khi thực hiện trên 20 SV đạt điểm A trong học phần Giải tích ở học kì II, tuy nhiên các em cũng gặp khó khăn trong việc hình thành các hình ảnh có tốc độ thay đổi liên tục và không thể biểu diễn và giải thích chính xác tốc độ tăng và giảm trong các tình huống hàm động. Một nguyên nhân để lý giải cho kết quả này có thể là do trong quá trình tham gia học chủ đề ĐH và TP đã thiết kế, các em được thực hành tính ĐH khi hàm số được cho dưới dạng đồ thị. Do đó, các em dễ dàng liên hệ đến tính đơn điệu hay lồi lõm của đồ thị hàm số. Đặc biệt Bài toán 3.5 (A) trong phương án REACT dạy học chủ đề ĐH là rất hữu ích cho các em khi kết hợp vận dụng ĐH cấp 1 và ĐH cấp 2 để đánh giá tốc độ tăng nhanh/chậm của số lượng sản phẩm bán được nhằm đánh giá tiềm năng và xu hướng bán hàng.
Ngoài ra, từ hiểu biết về bản chất của ĐH trong các bối cảnh thực tế tốt hơn đã giúp SV đưa ra các kết luận hợp lý hơn trong bối cảnh thực tế. Cụ thể qua Bài toán 9, thay vì trước đây chỉ ghi “Tốc độ biến thiên tức thời của I tại U = 5” (Hình 4.11) thì nhận định mà SV đưa ra ở Hình 4.12 “Tại T = 17 , S(17) sẽ giảm đi một lượng 0,2365 so với S(16)” trong phiếu kiểm tra đầu ra. Nhận định này có ý nghĩa hơn vì đã mô tả tại thời điểm 16 C, khi nhiệt độ tăng thêm 1 C thì nồng độ oxy hòa tan trong nước đã giảm đi một lượng 0,2365 so với nồng độ oxy hòa tan trong nước tại thời điểm nhiệt độ 16 C. Bên cạnh đó, với sự hiểu biết về bản chất của ĐH tốt hơn cũng giúp các em có thể đưa ra nhiều giải pháp hợp lý khi giải quyết các bài toán trong bối cảnh thực tế. Cụ thể, khi tính ĐH tại một điểm với hàm số cho dưới dạng bảng ở Bài toán 11 đầu ra, SV có xu hướng sử dụng giải pháp tính trung bình cộng của các tốc độ biến thiên trung bình trên các khoảng biến thiên nhỏ của đối số hay tìm một đường cong phù hợp với tập dữ liệu để từ đó tính ĐH, với tập dữ liệu bao gồm những điểm gần với điểm lấy ĐH, đồng thời diễn giải được ý nghĩa của ĐH là tốc độ biến thiên tức thời, xác định được đơn vị của đại lượng có số đo xác định bởi công thức ĐH.
Như vậy, với những biểu hiện trên có thể kết luận về tác động tích cực của việc tham gia vào học chủ đề ĐH và TP đã được thiết kế lên hiểu KN ĐH của SV. Tuy nhiên, một số khía cạnh về hiểu KN ĐH vẫn gây khó khăn cho SV. Ví dụ, SV vẫn còn nhầm lẫn về mối quan hệ giữa tốc độ tăng của chiều cao của nước trong bình
khi rót nước vào với tính đơn điệu của hàm số và tính lồi lõm của đồ thị hàm số khi giải quyết Bài toán 10. Cụ thể 24,1% SV nhầm lẫn khi chọn đáp án C nhưng giải thích thì không khớp với đồ thị. Các bạn nhầm lẫn khi cho rằng tăng nhanh thì ứng với hàm số tăng theo dạng lồi và tăng chậm khi hàm số tăng theo dạng lõm nên những em này chỉ đạt được mức mã hóa 1 trong hiểu KN ĐH. Ngoài ra SV vẫn còn khó khăn trong việc sử dụng ĐH để đưa ra các kết luận có ý nghĩa như trong Bài toán 9 về tốc độ biến thiên của nồng độ oxy hòa tan trong nước và Bài toán 12 về tốc độ biến thiên của tổng lợi nhuận.
Đề cập đến tác động của việc tham gia học chủ đề ĐH và TP đã được thiết kế theo nguyên lý DHTTBC với phương án REACT đến hiểu KN TP của SV, chúng tôi căn cứ trên những thay đổi trong biểu hiện của các đặc điểm của hiểu KN TP (Bảng 3.1) khi các em giải quyết các BTTBC trong phiếu kiểm tra đầu vào và đầu ra. Kết quả thực nghiệm cho thấy SV đã thể hiện hiểu biết về KN TP trong các bối cảnh thực tế tốt hơn. Kết quả từ Bảng 4.37 cho thấy 86,9% SV đạt mức 2 và 3 trong hiểu KN ĐH ở đầu ra, tăng 40,3% so với đầu vào. Như vậy sau khi tham gia học chủ đề ĐH và TP đã được thiết kế, có 86,9% SV đã thể hiện được đầy đủ và chính xác các đặc điểm hiểu KN TP cần thiết hoặc chỉ mắc một số lỗi nhỏ khi giải quyết các bài toán với bối cảnh thực tế. Cụ thể, khi giải quyết các BTTBC trong phiếu kiểm tra đầu ra, SV đã có những biểu hiện tốt hơn trong hiểu (a) bản chất của KN TP như xác định đúng đơn vị của đại lượng có số đo được tính bởi TP, sử dụng được tổng Riemann để ước tính TP; (b) khả năng chuyển đổi giữa các biểu diễn khác nhau của TP, thể hiện trong việc SV có thể sử dụng các biểu diễn khác nhau của TP như diện tích, tổng doanh thu, nồng độ của chất phenylbutazone trong huyết tương của một con bê, tổng lượng chất thải độc hại xả thải vào hồ, lượng hạt ô nhiễm thải ra của một động cơ, số người đã rời khỏi phòng, dân số của Phoenix, độ dịch chuyển của một chất điểm; (c) mối quan hệ giữa các KN liên quan thể hiện qua việc sử dụng mối quan hệ giữa nguyên hàm và TP; ĐH và TP.
Tỉ lệ SV đạt mức mã hóa 3 hiểu KN TP đã tăng lên một cách đáng kể sau tác động với đa số tăng từ 34,5% và ấn tượng nhất là với Bài toán 14b liên quan đến tìm tổng lượng chất thải độc hại xả vào hồ khi biết biểu đồ về tốc độ xả chất thải độc hại vào hồ, tỉ lệ SV có mức mã hóa 3 ở bài này đã tăng lên 69% so với đầu vào (Bảng 4.38). Phần lớn các em đã xác định được lượng chất thải độc hại xả vào hồ là một biểu diễn của TP, xác định được mối quan hệ giữa tốc độ xả chất thải với tổng lượng chất thải độc hại xả vào hồ, đơn vị của tổng lượng chất thải và tốc độ xả chất thải, từ việc kết hợp đầy đủ và chính xác các đặc điểm hiểu KN TP cần thiết đã giúp các em giải quyết thành công bài toán này. Điều này cũng thể hiện qua việc các em lựa chọn
được giải pháp hợp lý cho bài toán với hai xu hướng để giải quyết (a) sử dụng tổng Riemann để xấp xỉ cho tổng lượng chất thải độc hại xả vào hồ; (b) tìm một đường cong phù hợp với tập dữ liệu để từ đó tính TP. Có thể lý giải cho kết quả này là do chúng tôi đã thiết kế các BTTBC nhằm giúp SV có thể tính được ĐH, TP khi hàm số cho dưới dạng bảng, đồ thị hay biểu đồ theo cách sử dụng bản chất của KN hoặc sử dụng phần mềm để tìm đường cong phù hợp với tập dữ liệu; đồng thời luôn yêu cầu SV giải thích ý nghĩa của các giá trị tìm được trong bối cảnh thực tế ban đầu. Bên cạnh đó, chúng tôi đã luôn nhấn mạnh các biểu diễn khác nhau của ĐH, TP trong bối cảnh thực tế và mối quan hệ giữa các KN liên quan đến TP như nguyên hàm và ĐH trong quá trình dạy học.
Như vậy, cùng với những biểu hiện trên của hiểu KN TP, chúng tôi đưa ra kết luận về tác động tích cực của việc tham gia vào học chủ đề ĐH và TP đã được thiết kế theo nguyên lý của DHTTBC với phương án REACT lên hiểu KN ĐH và TP của SV, đã nâng cao hiểu KN ĐH, TP của SV.
Qua quá trình thực nghiệm dạy học, thông qua quan sát trên lớp học chúng tôi thấy rằng phần lớn SV lớp thực nghiệm ngoài thể hiện sự quan tâm đến các bối cảnh kinh doanh, kinh tế, các em cũng thể hiện sự quan tâm đến bối cảnh liên quan đến môi trường sống, sự cân bằng giữa lợi ích kinh tế với việc bảo vệ sự phát triển của hệ sinh thái thông qua bài toán khai thác động vật bền vững. Việc sử dụng các BTTBC đã thu hút được sự tham gia của SV trong việc tìm kiếm ý nghĩa của KN ĐH, TP trong nhiều bối cảnh khác nhau và các em đã thể hiện một sự quan tâm nhất định đến việc xem xét khi nào, trong trường hợp nào có thể vận dụng được các KN ĐH, TP vào giải quyết các vấn đề thực tế có ý nghĩa. Từ kết quả Bảng 4.17, Bảng 4.25 cho thấy điểm hiểu KN ĐH và TP của SV lớp thực nghiệm tăng lên đáng kể, song khoảng cách giữa điểm hiểu KN ĐH và điểm hiểu TP vẫn chưa được thu hẹp, các em vẫn còn khó khăn nhất định trong hiểu KN ĐH. Để hiểu sâu KN thì SV cần thiết phải thiết lập được mạng lưới các KN liên quan, mở rộng phạm vi và sự phong phú của các kết nối.