Tín hiệu thường được lấy gần đúng như một tổ hợp tuyến tính của một vài yếu tố từ một thành phần cơ bản đã biết hoặc trong thư viện. Khi phép biểu diễn này chính xác chúng ta nói rằng tín hiệu là rời rạc. Mô hình tín hiệu thưa thớt cung cấp một nghiên cứu toán học để chụp hình thực trong nhiều trường hợp các tín hiệu đa chiều chứa tương đối ít thông tin so với kích thước môi trường xung quanh nó. Rời rạc hóa tín hiệu có thể được coi là một sự thay thế Occam's razor - khi phải đối mặt với nhiều phương thức để đại diện cho một tín hiệu, sự lựa chọn đơn giản nhất là tốt nhất.
Phép lấy mẫu thưa thớt và gần đúng phi tuyến
Trong toán học, chúng ta nói rằng một tín hiệu x có giá trị thưa thớt khi nó có ở hầu hết các điểm khác 0, nghĩa là: cho phép.
(2.4) biểu diễn tập hợp tất cả các tín hiệu - rải rác. Thông thường chúng ta phải làm việc với những tín hiệu liên tục. Nhưng nó nhận một giá trị rải rác trong một vài ϕ cơ sở. Trong trường hợp này chúng ta vẫn coi x tương đương với mẫu rải rác, có thể biểu diễn x như sau:
[29]
Phép lấy mẫu rời rạc từ lâu đã được khai thác trong xử lý tín hiệu và lý thuyết xấp xỉ cho các nhiệm vụ như nén và giảm nhiễu, và trong số lý thuyết thống kê và nghiên cứu như một phương pháp để tránh overfitting. Lấy mẫu rời rạc cũng mô tả tính nổi bật trong lý thuyết xác suất thống kê và mô hình chọn lọc, trong việc nghiên cứu hệ thống thị giác của con người, và đã được khai thác rất nhiều trong công việc xử lý hình ảnh, kể từ khi chuyển đổi wavelet multiscale cung cấp phép biểu diễn gần như rời rạc cho hình ảnh tự nhiên.
Dạng hình học của tín hiệu rời rạc
Rời rạc hóa là một mô hình rất phi tuyến, từ việc lựa chọn các yếu tố thư viện cơ sở được sử dụng có thể thay đổi từ tín hiệu đến tín hiệu. Điều này có thể thấy được bằng cách quan sát được một cặp tín hiệu thưa thớt, một tổ hợp tuyến tính của hai tín hiệu không còn thưa thớt, từ dẫn chứng đó có thể tín hiệu không trùng khớp. Đó là, cho bất kỳ , z k, chúng ta không nhất thiết phải có x + z k
(mặc dù chúng ta có x + z 2k). Điều này được minh họa trong hình 2.3, trong đó cho thấy 2 được ẩn trong 3,, tức là tập tất cả các tín hiệu hai giá trị thưa thớt trong
3,.
Hình 2.3 Tập hợp không gian con được tạo bởi 2⊂ 3, tức là tập tất cả các tín hiệu hai giá trị thưa thớt trong 3,…,tập tất cả hai tín hiệu rời rạc trong 3
[30]
Tập tín hiệu rải rác k không tạo thành một không gian tuyến tính. Thay vào đó nó bao gồm tập tất cả các không gian con chính tắc ( ). Trong hình 2.3 chúng ta chỉ có = 3 không gian con có được, nhưng đối với giá trị lớn hơn của và chúng ta phải xem xét một số tiềm năng rất lớn của không gian con. Điều này sẽ có những kết quả đầy ý nghĩa trong sự phát triển của các thuật toán gần đúng thưa thớt và phục hồi tín hiệu thưa thớt.