Trong rất nhiều tình huống khác nhau, bộ phát, bộ thu và (hoặc) vật cản di chuyển, cho nên kênh vô tuyến thường thay đổi theo thời gian và đã được mô hình hóa thành hệ thống biến đổi theo thời gian tuyến tính (LTV). Do đó, đáp ứng xung sẽ phụ thuộc thêm thời gian và ta có:
(3.14) Nếu đáp ứng xung không thay đổi một cách quá nhanh, ta gọi là kênh biến
đổi theo thời gian chậm, và ta có thể giải thích như là đáp ứng xung của hệ
thống LTI “bền vững” ở thời gian t. Để mô hình hóa một đáp ứng xung như vậy, ta cũng phải kể đến một thực tế là do bộ phát, bộ thu và (hoặc) vật cản di chuyển, sóng điện từ sẽ chịu một ảnh hưởng dịch tần số Doppler.Vì vậy,ta có :
(3.15) với biểu thị dịch tần số Doppler, và tất cả các tham số và
sẽ thay đổi theo thời gian. Một kênh thay đổi theo thời gian, phụ thuộc tần số được gọi là kênh phụ thuộc hai lần (doubly selective). Hệ thống đa sóng mang áp chụng cho kênh doubly selective không chỉ chịu nhiễu ISI từ lan truyền đa đường,
[63]
mà còn chịu nhiễu liên sóng mang (ICI): nếu dịch tần số Doppler của một MPC đủ lớn như tần số phân biệt giữa hai sóng mang con liền kề, kí tự của 2 sóng mang con này đến ở cùng một thời điểm sẽ giao thoa.
Lấy biến đổi Fourier riêng của đáp ứng xung với τ sẽ lại sinh ra hàm biến đổi thay đổi theo tần số và thời gian . Mối liên hệ giữa đầu vào – đầu ra (3.14) sẽ thành:
(3.16) và có thể giải thích như là hàm biến đổi “bền vững” ở thời gian t . Ngoài ra, ta có thể lấy biến đổi Fourier riêng với t sẽ cho hàm trải phổ . Đổi vị trí τ và cho nhau và viết lại (3.14) ta có:
(3.17) Ta có thể dễ dàng giải thích các yếu tố bằng một ví dụ của tín hiệu truyền đi s có trễ τ và độ dịch Doppler góp phần tạo nên tín hiệu nhận r.
Như đã giải thích trong phần 3.3.1, thực tế kênh vô tuyến không có tần số dịch Doppler và trễ thời gian vô hạn, vì vậy tích phân trong (3.17) tương ứng chỉ phải lấy từ 0 đến và từ đến , với và biểu thị trễ thời gian và tần số dịch Doppler lớn nhất. Dễ dàng quan sát tích là giới hạn trên cho kích thước của support hàm trải phổ, vì thế đo kênh truyền trải tín hiệu như thế nào trong miền trễ Doppler. Cả và tỉ lệ nghịch với tốc độ lan truyền c nên giống như 1/c2. Vì trong truyền dẫn qua môi trường không gian thông thường, tốc độ của ánh sáng , ta sẽ luôn có . Các kênh thế này gọi là underspread [4].