Chúng ta giả thiết rằng kênh bao gồm P đường truyền tương ứng với các tán xạ đặc biệt P (điểm) với các trễ cố định và các dịch tần Doppler với . Cấu trúc đơn giản này thường là một xấp xỉ tốt đối với các kênh vô tuyến di động thực tế. Đáp ứng xung kênh thì có dạng như sau
(3.71)
Trong đó đặc trưng cho suy hao và pha khởi tạo của p đường. Đáp ứng xung rời rạc-thời gian (3.70) trở thành
[83]
Thêm nữa, chèn (3.72) vào (3.66) và áp dụng công thức tổng hình học, hàm trải phổ trễ Doppler thu được như sau:
(3.73) Với (3.74) Trong đó, (3.75)
Sau đây, chúng ta khảo sát tính thưa của . Theo biểu thức (3.73), đầu tiên chúng ta khảo sát tính thưa của . Sử dụng xấp xỉ của định lý Paseval, có thể thấy rằng , tổng năng lượng của bằng 1. Tiếp theo, chúng ta tính toán cận trên theo phần trăm năng lượng của mà được đặt ngoài lân cận chữ nhật của điểm trễ Doppler của tán xạ thứ p, ( ). Để kết thúc điều này, đầu tiên chúng ta khảo sát năng lượng của các mẫu của
mà khoảng cách từ là lớn hơn . Cho Ɱ biểu
diễn tập của tất cả số nguyên với . Chúng ta có
(3.76)
Trong đó, và một số đối số đơn điệu được sử dụng. Theo cách tương tự, chúng ta khảo sát năng lượng của các mẫu của mà khoảng cách từ thì lớn hơn ( giả thiết là chẵn). Cho Ɱ biểu diễn tập với loại trừ tất cả trong đó là giá trị nguyên bất kỳ với . Chúng ta có
[84] (3.77)
Trong đó, chúng ta sử dụng , một vài đối số đơn điệu, và
trong đoạn . Kết hợp (3.75)-(3.77), chúng ta thấy rằng
(3.78)
Do đó, hầu hết phần trăm của của năng lượng của
được đặt ngoài lân cận chữ nhật của bao gồm
mẫu. Khi miền của là với thường là lớn, chúng ta kết luận rằng là một hàm xấp xỉ thưa.