Phần này sẽ đưa ra điểm nhấn quan trọng để biểu diễn tín hiệu với cơ sở rời rạc. Quá trình đo tuyến tính được miêu tả trong hình 2.3 tính toán M < N tích trong giữa x và tập hợp vec-tơ được với j = 1,…,M . biểu thị cho ma trận chuyển vị của và biểu thị cho tích trong. Cho một vec-tơ y có kích cỡ M x 1, trong ký hiệu ma trận vec-tơ y thu được từ biểu thức:
[36]
Với là ma trận đo MxN, mỗi hàng là một vec-tơ đo và là hệ số vec-tơ với S thành phần khác 0. Một số ma trận đo có thể được dùng trong bất kỳ hoàn cảnh nào, chỉ cần chúng độc lập với cơ sở cố định như Gabor, sin hay wavelets. Quá trình đo Compressive sensing với vec-tơ x thưa S (S-sparse) được miêu tả trong hình 2.5:
Hình 2.5 Phương pháp đo trong lấy mẫu nén
Ma trận đo đóng vai trò quan trọng trong quá trình khôi phục lại tín hiệu gốc. Điều này đặt ra một vấn đề thú vị: Làm sao để thiết kế một ma trận đo về cơ bản là tập hợp của N vec-tơ M chiều? ”. Trong Compressive sensing, chúng ta có hai loại ma trận đo có thể sử dụng: ma trận đo Random và ma trận đo đã xác định trước. Nếu một tín hiệu x gồm N mẫu là thưa thì tín hiệu đó có thể khôi phục lại bằng việc dùng phép chiếu tuyến tính của x lên một cơ sở khác. Hơn nữa, x có thể khôi phục hoàn toàn sử dụng các kĩ thuật tối ưu khác nhau. Nếu là một ma trận cấu trúc ngẫu nhiên, thì các hàng của ma trận ngẫu nhiên độc lập vì chúng được ngẫu nhiên tạo ra từ cùng một vec-tơ con ngẫu nhiên. Ma trận ngẫu nhiên được chuyển vị và trực giao hóa. Điều này sẽ có tác dụng tạo ra một ma trận biểu diễn một cơ sở trực giao. Nếu ma trận đo là ma trận xác định trước, ma trận có thể được tạo ra bởi các hàm như hàm Dirac và hàm Sin .Trong trường hợp này, tín hiệu được nhân với một vài hàm Dirac tại các điểm khác nhau để thu được vec-tơ quan sát. Sau đó tín hiệu tiếng gốc có thể được khôi phục bằng phương pháp l1- minimization sử dụng vec-tơ quan sát và ma trận đo xác định trước.
Lập trình tuyến tính là một thủ tục khác đóng vai trò quan trọng trong việc khôi phục lại tín hiệu gốc. Đó là một cách tiếp cận toán học được thiết kế để có được kết quả tốt nhất trong một mô hình toán học cho trước, là trường hợp đặc biệt
[37]
của lập trình toán học. Lập trình tuyến tính có thể được diễn giải theo một số nguyên tắc sau:
cTx max sao cho A.x ≤ b (2.21) Với x biểu thị giá trị sẽ được xác định, c và b là vec-tơ các hệ số và A là ma trận của các hệ số. Biểu thức trên mà có thể cực đại hóa hay tối thiểu hóa được gọi là hàm mục tiêu và phương trình A.x ≤ b xác định những hạn chế mà hàm mục tiêu có thể tối ưu hóa được. Cuối cùng, việc khôi phục lại tín hiệu gốc phụ thuộc vào vec-tơ quan sát và ma trận đo.