Biểu diễn tín hiệu và tính thưa đóng một vai trò quan trọng trong lấy mẫu nén. Cho x RL biểu diễn một tín hiệu thực, giả sử rằng tín hiệu x là thưa trong cơ sở trực giao ψ = {ψ1,ψ2,ψ3,…,ψN} với N là chiều dài của tín hiệu, thì x có thể được biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính của S ( S << N ) hàm cơ sở:
[32]
(2.11)
Với là vector hệ số của tín hiệu x trong . Hoặc ta có thể đưa ra định nghĩa như sau:
Định nghĩa 2.1 Một vec-tơ xCNđược gọi là thưa S(S-sparse) với SN,nếu có
nhiều nhất S thành phần của nó khác 0, tức là nếu:
(2.12)
Ta biểu thị tập hợp các vec-tơ thưa s trong là .
Thực tế, ta bỏ chỉ số chỉ chiều của vec-tơ và viết ∑S mỗi khi chiều của tín hiệu là rõ ràng trong phần trình bày.
Định nghĩa 2.2. Cho một vec-tơ , với và p ≥ 1, ta định nghĩa lỗi xấp xỉ giới hạn S của x với hệ số p là:
(2.13)
Mệnh đề 2.1. Cho , và cho thỏa mãn sao cho . Khi đó, với p ≥ 1 thì , với là vec-tơ trùng với x tại S hệ số với các giá trị tuyệt đối lớn nhất, và bằng 0 tại các vị trí còn lại.
Chứng minh: Cho π là hoán vị của các chỉ số {0,…,N-1} sao cho sắp xếp các thành
phần của x là thứ tự giảm dần theo độ lớn, tức , và cho S tùy ý. Lúc đó, ta có: (2.14) Mặt khác, ta có thể viết: (2.15)
Vì theo định nghĩa của π tổng cuối này được thực hiện trên N-S thành phần nhỏ nhất của x, và vì , ta chắc chắn có:
[33] (2.16)
Là điều phải chứng minh vì được chọn tùy ý trong S.
Dễ dàng nhận thấy, với tất cả tín hiệu thưa S , S ta có với tất cả p ≥ 1. Nhưng không may, rất nhiều tín hiệu phát sinh trong các tình huống thực tế không thực sự thưa. Nếu một tín hiệu x có thể xấp xỉ hợp lý bằng một tín hiệu thưa, tức nếu lỗi xấp xỉ giới hạn S, của nó phân rã nhanh trong S với p ≥ 1, như vậy nó có tính nén được. Khái niệm khá chung này có thể được định lượng bằng cách sử dụng hoán vị π định nghĩa trong chứng minh của mệnh đề 1.2.3. Nếu các hệ số này tuân theo định luật phân rã hàm mũ, nghĩa là:
(2.17) với q > 0 và hằng số c0 > 0, có tồn tại một số r > 0 và hằng số c1 > 0 thỏa mãn:
(2.18)
Dễ dàng quan sát tính nén của tín hiệu sẽ càng tốt hơn nếu r (hay tương đương q) càng lớn hơn. Bây giờ, ta trở lại với vấn đề cơ bản của việc thu nhận dữ liệu. Định nghĩa phép đo ngẫu nhiên tín hiệu x có thể được biểu diễn như sau:
(2.19) với là ma trận đo, y là vector đo của tín hiệu x và là vec-tơ nhiễu. Đầu tiên chúng ta xem xét với trường hợp không nhiễu, nghĩa là giả sử z = 0M. Trong trường hợp N phép đo tuyến tính độc lập cần thiết để khôi phục một tín hiệu tùy ý một cách chính xác, tức là ϕ cần phải vuông và khả đảo, và ta không thể trông chờ thành công với ít phép đo hơn trong trường hợp tổng quát. Mặt khác, với tín hiệu thưa, ta ít nhất có thể hi vọng làm tốt hơn. Nếu các vị trí của các hệ số khác 0 của một tín hiệu x thưa S đã được biết trước, ta có thể khôi phục nó một cách chính xác từ S phép đo tuyến tính nếu mỗi hàng của ϕ bằng 0 tại mọi vị trí trừ vị trí của thành phần khác 0 trong x. Tuy nhiên, thông tin này không thể có sẵn trong tình huống thực tế, và vì vậy ta chỉ có thể mong thành công với một số trung gian M phép đo, tức là S ≤ M ≤ N.
[34]
Đây chính xác là điều mà lý thuyết lấy mẫu nén muốn phát huy. Nó giới thiệu một lược đồ phép đo và phép khôi phục mà phép đo tuyến tính là đủ chính xác cho việc khôi phục tín hiệu thưa S (tất nhiên vẫn phải có ). Ma trận đo ϕ vì thế là một ma trận “béo”, nghĩa là nó có ít hàng hơn cột, và hệ thống (2.2) của biểu thức tuyến tính là không xác định.Vì vậy, tổng quát có vô hạn lời giải nhưng hạn chế trong trường hợp tín hiệu thưa, một chiến lược sẽ đơn giản lựa chọn vec-tơ thưa nhất phù hợp với các phép đo. Ở đây M=cS biểu thị số phép đo cần thiết cho việc khôi phục lại hoàn hảo. Nếu tất cả các thành phần của ϕ là phân phối Gaussian, tín hiệu có thể được khôi phục một cách chính xác với khả năng thành công cao khi hằng số “c” trong khoảng 2 và 5 [4]. Các thủ tục sử dụng để đảm bảo tính thưa của tín hiệu được gọi là mã hóa biến đổi, được thực hiện bởi 4 bước sau [11]:
Bước 1: Thu được đầy đủ N-điểm tín hiệu x sử dụng tần số Nyquist. Bước 2: Tính toán đầy đủ các bộ hệ số biến đổi (ví dụ DFT).
Bước 3: Xác định S hệ số lớn nhất và loại bỏ các hệ số nhỏ nhất.
Bươc 4: Nhân tín hiệu với ma trận đo để thu được vector quan sát có chiều dài M.
Trong hình 2.4 là một ví dụ về cách mà lấy mẫu nén có thể được dùng để nén một tín hiệu thấp hơn tần số Nyquist [14]. Trong ví dụ này, tín hiệu lấy mẫu gốc bao gồm 300 mẫu. Mục tiêu là khôi phục lại tín hiệu chỉ sử dụng 30 mẫu. Hình 2.4(a) cho thấy biểu diễn miền thời gian của tín hiệu lấy mẫu. Từ hình này, rõ ràng bằng cách lựa chọn 30 mẫu (chấm đỏ) từ 300 mẫu, ta không thể khôi phục lại tín hiệu gốc một cách hoàn toàn. Mặt khác, bằng cách áp dụng lấy mẫu nén cho miền biểu diễn tần số của tín hiệu, ta có thể khôi phục hoàn toàn nó từ một số lượng nhỏ các mẫu quan trọng. Để đạt được điều này, cần phải triển khai một kĩ thuật tối ưu. Tuy nhiên, không phải kĩ thuật tối ưu nào cũng có thể dùng cho bài toán này. Ví dụ, hình 2.4(c) biểu diễn phổ khôi phục sử dụng l2 minimization. Rõ ràng, có những khác nhau đáng kể giữa tín hiệu trong hình 2.4(b) và tín hiệu trong hình 2.4(c).
[35]
Hìh 2.4 Ví dụ lấy mẫu nén tín hiệu
(a)Biểu diễn tín hiệu trong miền thời gian gồm 300 mẫu (b)Phổ Fourier của tín hiệu được mã hóa
(c)Khôi phục lại phổ Fourier dùng l2 minimization (d)Khôi phục lại phổ Fourier dùng l1 minimization
Ngược lại, nếu khôi phục dùng l1 minimization cho kết quả gần như là hoàn hảo. Ta có thể thấy rõ bằng việc so sánh hình 2(b) với hình 2(d). Tóm lại, kĩ thuật tối ưu dựa trên l1 minimization sẽ được sử dụng để khôi phục lại tín hiệu trong lấy mẫu nén.