Trong phần này, nội dung thực nghiệm chính của chúng ta là mô phỏng các thuật toán khôi phục tín hiệu được sử dụng trong lấy mẫu nén.
Đầu tiên, chúng ta sẽ khảo sát mô tả toán học của lấy mẫu nén với đối tượng thực nghiệm là tín hiệu miền thời gian thưa và tín hiệu miền tần số thưa. Kết quả khôi phục tín hiệu trong miền thời gian thưa như hình 4.1 với tín hiệu ban đầu bao gồm 256 giá trị, nhưng chúng ta đã khôi phục gần như hoàn hảo tín hiệu chỉ với 64 mẫu giá trị đo ngẫu nhiên. Và với kết quả trên hình 4.2, một lần nữa chúng ta thấy được rằng chỉ với 64 giá trị riêng biệt ( tức là 25% ) từ 256 giá trị ban đầu chúng ta vẫn có thể khôi phục rất tốt tín hiệu ban đầu.
[95]
Hình 4.1 Khôi phục tín hiệu trong miền thời gian thưa
[96]
Tiếp theo, chúng ta sẽ có một thực nghiệm khôi phục tín hiệu để đánh giá, so sánh giữa hai thuật toán khôi phục là ℓ1-minimization và ℓ2-minimization.
Trong mô hình thực nghiệm này, chúng ta sử dụng biến đổi DCT như một nguyên lý cơ bản. Tín hiệu được tạo ra bởi phím “A” khi bấm phím điện thoại f(t) = sin(1394πt) + sin(3266πt).
Thời gian lấy mẫu 1/8 s tại tần số 4000 Hz Chiều dài vector f, n = 5000
Kết quả biểu diễn trên hình 4.3a là một phần của tín hiệu với số mẫu ngẫu nhiên m = 500
Kết quả biểu diễn trên hình 4.3b là các hệ số c thu được bằng cách lấy biến đổi IDCT của f với hai xung tần số thích hợp. Bởi vì hai tần số thì không cân xứng, nên tín hiệu này không rơi chính xác trong không gian kéo dài bởi hàm nguyên lý DCT, và có vài chục hệ số khác không.
Hình 4.3 Các mẫu ngẫu nhiên của tín hiệu gốc (a) và IDCT của tín hiệu (b)
Để khôi phục tín hiệu, chúng ta cần tìm lời giải cho bài toán Ax = b mà tối thiểu chỉ số ℓ1 của x. Đây là bài toán tối ưu phi tuyến. Chúng ta cùng xem kết quả lời giải, x trên hình 4.4a và tín hiệu khôi phục trên hình 4.4b khá giống tín hiệu ban đầu trên hình 4.3a,
[97]
Hình 4.4 Kết quả khôi phục tín hiệu với ℓ1-minimization
Tiếp theo, để so sánh, chúng ta thực hiện khôi phục tín hiệu với ℓ2- minimization, hay thuật toán LS truyền thống. Thực hiện giải bài toán Ay = b. Chúng ta có thể thấy rằng kết quả khôi phục trên hình 4.5b ít giống với bản gốc, hay nói cách khác cho kết quả khôi phục không chính xác,
[98]
Cuối cùng chúng ta khảo sát kết quả thực nghiệm với thuật toán OMP. Một tín hiệu thưa x ngẫu nhiên được tạo ra cùng với một ma trận quan sát ngẫu nhiên θ, chúng ta tính toán quan sát của x khi y = θ*x và thực hiện khôi phục x thông qua thuật toán OMP.
Hình 4.6 Kết quả khôi phục với thuật toán OMP