Để phát triển phương pháp ước lượng kênh mới, đầu tiên chúng ta chỉ ra rằng ước lượng kênh dựa trên pilot có dạng thức như một bài toán khôi phục thưa.
Đối với các kênh thực tế giống như các xung phát và thu, hàm trong (3.68) được hỗ trợ hiệu quả trong miền con của mặt phẳng trễ Doppler. Điều này cho phép chúng ta thực hiện lấy mẫu con trong miền thời gian-tần số. Do đó, chúng ta giả thiết rằng support của được cho trong , trong đó là chẵn, và D và I được chọn như và
là nguyên. Bởi vì (3.69), hàm hệ số kênh thì được quyết định bởi các giá trị của nó trên lưới lấy mẫu con với ,
[85] (3.79) Trong đó là phiên bản mở rộng theo chu kỳ của mà các phương trình với và với .
Cho rằng các ký tự pilot được truyền tại các vị trí thời gian-tần số
, trong đó P là tập con của lưới lấy mẫu con ,
, . Các pilot và các vị trí thời gian-tần số của chúng được biết tới bên thu. Từ (3.64), với . Bộ thu tính toán hệ số kênh ước lượng tại các vị trí pilot theo
(3.80)
Do đó, được biết đến lên tới các chu kỳ nhiễu cộng .
Tiếp theo, chúng ta sử dụng yếu tố mà có thể biểu diễn được qua quan hệ biến đổi Fourier (3.79). Theo ký hiệu vector, (3.79) sẽ như sau
(3.81)
Trong đó chúng ta định nghĩa (i) vector tham số phức ID-chiều
với ; vector kênh phức ID-chiều với
; và ma trận khối IDxID U với IxI khối
SF với trong đó F là ma trận IDFT IxI với đầu vào
với và S là ma trận đường chéo IxI với các đầu vào chéo 1,-1,1,-1,…. Chúng ta lưu ý rằng U là không phân chia với
.
Các đầu vào xác định của vector kênh h được cho bởi các hệ số kênh tại các vị trí pilot . Cho biểu diễn vector con - chiều tương ứng của h. Thêm nữa, cho biểu thị ma trận con của U thu được bằng cách lựa
[86]
chọn hàng tương ứng của U và nhân ma trận kết quả với .Chúng ta có
, khi lên tới một hằng số, thì (3.81) được giảm tới các vị trí pilot.
Tiếp theo, chúng ta định nghĩa như vector nhưng với các đầu
vào của được thay thế bởi ước lượng của chúng . Sau đó, bởi vì (3.80),
, trong đó bao gồm các chu kỳ nhiễu quy mô
. Chèn thêm , chúng ta thu được
. Điều này tương đương với
(3.82)
Trong đó, , , , và ф là phiên bản thực của . Theo cấu trúc của chúng ta, u là 2PN -thưa. Do đó, (3.82) được xem là bài toán khôi phục thưa, với số chiều M = 2ID và và tính thưa S = 2PN .
Chúng ta có thể sử dụng dạng thức mở rộng của (bộ ước lượng của u) để thu được ước lượng của u hoặc . Từ ước lượng này, ước lượng tất cả hệ số kênh để thu được kết quả cuối cùng qua (3.69). Phương trình tuyến tính là một ví dụ đơn giản của phương trình nón bậc hai mà có thể giải được bằng phương pháp interior-point [4]. Do đó, ước lượng kênh dựa trên lấy mẫu nén là hoàn toàn thực hiện được mặc dù nó phức tạp hơn ước lượng kênh LS (least-squares) truyền thống.
Liên quan đến việc lựa chọn các vị trí pilot , chúng ta nhắc lại rằng các vị trí này đáp ứng chỉ số nằm trong dải hệ số của vector kênh h. Chúng ta lựa chọn các vị trí này một cách ngẫu nhiên [8]. Đối với xấp xỉ tốt, số pilot thỏa mãn điều kiện
(3.83) Giới hạn này là không thuận lợi để xác định bởi vì hằng số . Tuy nhiên, giới hạn đưa ra yêu cầu một số quy mô pilot chỉ tuyến tính với số P của các
[87]
đường truyền kênh (các tán xạ) và tham số thưa , và poly-loga với tham số thiết kế hệ thống I và D. Trên thực tế, các vị trí pilot sẽ được chọn một cách ngẫu nhiên (và được truyền tới bộ thu) chỉ một lần trước khi bắt đầu truyền phát dữ liệu. Với xác suất cao, chúng dẫn tới hiệu suất tốt đối với kênh truyền tùy ý với hầu hết các đường truyền P.