Để bắt đầu xét điểm A tự nhiên bằng cách xem xét một không gian rỗng A, kí hiệu:
N(A) = {z : Az = 0} (2.23) Nếu chúng ta muốn phục hồi tất cả các tín hiệu thưa thớt x từ các phép đo Ax, sau đó nó là ngay lập tức phân biệt rõ ràng cho bất kỳ cặp vector riêng biệt x, x’
k, chúng ta phải có Ax Ax’, vì nếu không sẽ không thể phân biệt x từ x’ chỉ dựa trên các phép đo y. Chính thức hơn, bằng cách quan sát rằng nếu Ax Ax’ sau đó A (x – x’) = 0 với x – x’ 2k, chúng ta thấy rằng A biểu diễn duy nhất cho tất cả x
k khi và chỉ khi N (A) không chứa vectơ trong 2k. Trong khi có rất nhiều cách tương đương biểu diễn tính chất này, một trong những phổ biến được gọi là spark.
Định nghĩa 2.3 Các spark của một ma trận A đưa ra là số lượng nhỏ nhất của cột A có phụ thuộc tuyến tính.
Định nghĩa này cho phép chúng ta đặt ra sự đảm bảo đơn giản sau.
Định lý 2.1 Đối với bất kỳ vector y m
, tồn tại nhiều nhất một tín hiệu x
k sao cho y = Ax khi và chỉ khi spark (A) > 2 ...
Chứng minh: Trước tiên chúng ta giả định rằng, đối với bất kỳ y m
, tồn tại nhiều nhất một tín hiệu x k sao cho y = Ax. Bây giả sử ta xét điều kiện ngược lại (A) 2k. Điều này có nghĩa là tồn tại một vài bộ giá trị tuyến tính độc lập với khoảng 2k cột, do đó ngụ ý rằng có tồn tại một h N(A) sao cho h 2k. Trong trường hợp này, vì h 2k nên chúng ta có thể viết h = x – x’, trong đó x, x’ 2 . Như vậy, vì h N(A) nên ta có: A (x – x’) = 0 và do đó Ax = Ax’. Nhưng điều này
[39]
mâu thuẫn với giả định rằng có tồn tại nhiều nhất một tín hiệu x k sao cho y = Ax. Vì vậy, chúng ta phải có spark(A)> 2k. Bây giờ giả sử rằng spark (A) > 2k. Giả thiết đối với một số y có tồn tại x, x’ k sao cho y = Ax = Ax’. Do đó ta có A (x – x’) = 0. Cho h = x – x’, chúng ta có thể viết là Ah = 0. Từ spark(A)> 2k, tất cả các bộ giá trị lên đến 2k cột của A là độc lập tuyến tính, và do đó h = 0. Điều này sẽ có nghĩa x = x’, chứng minh định lý.
Dễ dàng thấy rằng spark(A) [2;m + 1]. Vì vậy, định lý 2.1 thỏa mãn yêu cầu
.
Khi xử lý các vector thưa thớt có giá trị xác định, Spark sẽ cung cấp một cách hoàn chỉnh các đặc tính khi giá trị thô có thể khôi phục được. Tuy nhiên, khi xử lý với tín hiệu xấp xỉ thô chúng ta phải xem xét điều kiện phần nào hạn chế hơn trên không gian rỗng của A. Nói một cách khái quát, chúng ta cũng phải đảm bảo rằng N(A) không chứa bất kỳ vector có thể nén nhiều ngoài các vector thưa thớt. Để làm rõ phát biểu trên, chúng tôi định nghĩa các ký hiệu sau đây sẽ chứng tỏ là hữu ích từ đầu đến cuối cuốn sách này. Giả thiết rằng {1,2,…,n} là tập con của số mũ và cho phép c = {1,2,…,n}\ . Bởi x được hiểu là thu được vectơ có chiều dài n bằng cách thiết lập các chỉ số đầu vào x từ cvề 0. Tương tự như vậy, bằng A có nghĩa là thu được ma trận bằng cách thiết lập chỉ số các cột của ma trận A từ ’ về 0.
Định lý 2.2: Một ma trận A thỏa mãn tính chất không gian rỗng (NSP) trật tự k nếu có tồn tại một hằng số C > 0 sao cho,
(2.24)
Sao cho tất cả h N (A) và tất cả sao cho | | k.
Theo quan điểm của NSP cụ thể cho rằng những vectơ trong không gian rỗng của A không nên quá tập trung vào một tập con của các số mũ. Ví dụ, một vectơ h là giá trị k-thưa thớt xác định, sau đó tồn tại một giá trị sao cho || ||1 = 0 và do đó (2.24) ngụ ý rằng =0 là đúng. Vì vậy, nếu ma trận A thỏa mãn NSP thì chỉ K - vector thưa thớt trong N(A) là có h=0.
[40]
Để làm rõ ý nghĩa của NSP trong việc khôi phục lại tín hiệu thưa thới, giờ chúng ta sẽ tìm hiểu một cách ngắn gọn làm thế nào để đo được hiệu suất của thuật toán khôi phục tín hiệu thưa khi xử lý những tín hiệu không thưa thớt chung. Để giải quyết điều này, hãy xét : m n biểu diễn phương pháp khôi phục rõ ràng. Chúng ta sẽ tập trung chủ yếu vào việc đảm bảo mẫu
(2.25)
Với mọi x, k(x)1 được xác định giống như (2.24). Điều này có thể đảm bảo phục hồi chính xác tất cả các tín hiệu K – thưa thớt, nhưng cũng đảm bảo một mức độ thô với các tín hiệu không thưa trực tiếp phụ thuộc vào cách các tín hiệu được xấp xỉ bởi K - vectơ thưa thớt. Như vậy sự đảm bảo này được gọi là minh chứng tối ưu vì chúng đảm bảo hiệu suất tối ưu cho từng trường hợp của . Sự khác biệt này giữa chúng đảm bảo rằng chỉ giữ một số tập hợp con của tín hiệu có thể lấy mẫu, chẳng hạn như tín hiệu thưa thớt hoặc nén - chất lượng của sự đảm bảo tương thích để lựa chọn ra những đặc tính cụ thể của . Đây cũng được gọi chung là đảm bảo đồng bộ khi chúng giữ đồng bộ cho tất cả các giá trị của .
Chúng ta có thể dễ dàng tính toán được các lỗi khôi phục sử dụng các chuẩn p khác. Có thể chọn giá trị cho p, tuy nhiên, có thể sẽ làm hạn chế những tính chất của guarantee, và cũng có khả năng sẽ dẫn đến những thay đổi của công thức trong NSP. Hơn nữa, vế bên phải của (2.25) có vẻ hơi bất thường trong đó chúng tôi đo lỗi xấp xỉ là k(x)1/ chứ không phải chỉ đơn giản là k(x)2. Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy trong phần sau một sự bảo đảm như vậy thực sự là điều không thể nếu như không dùng đến một lượng lớn các phép đo, và (2.25) là phép đảm bảo tốt nhất có thể biểu diễn mà chúng tôi hi vọng có được.
Chúng ta lưu ý rằng kí hiệu này thường xuyên bị lạm dụng để xét chiều dài | | vector thu được bằng cách chỉ giữ lại các đầu vào tương ứng với hoặc các
| | ma trận thu được bằng cách chỉ giữ lại những cột tương ứng với tương đương. Việc sử dụng phải rõ ràng từ ngữ cảnh, nhưng trong nhiều trường hợp không tồn tại sự khác biệt giữa hai kí hiệu này.
[41]
Chúng ta sẽ thấy rằng trong phần sau, NSP số bậc 2k là phù hợp hơn để thiết lập một bảo đảm theo (2.25) cho một thuật toán phục hồi thực tế ( 1-minimization). Hơn nữa, sự tương thích sau đây của một định lý chứng minh rằng nếu có bất kỳ thuật toán phục hồi thỏa mãn (2.25), thì A nhất thiết phải thỏa mãn các NSP với số hàng là 2k.
Định lý 2.3: Cho A: n m biểu diễn một ma trận mẫu và : n m biểu diễn một thuật toán phục hồi tùy ý. Nếu cặp (A; ) thỏa mãn (2.25) thì A thỏa mãn NSP với số hàng 2 .
Chứng minh: Giả sử h N(A) và để đạt các chỉ số tương ứng với lớn nhất 2k Đầu vào của h. Tiếp theo chúng tôi tách thành và , sao cho . Đặt và , do đó h = x – x’. Khi x’ k.Chúng ta có thể áp dụng công thức (2.25) để thu được x’ = (Ax’). Hơn nữa, vì h N(A), chúng ta có
Ah = A(x-x’) = 0 (2.26)
Vì vậy Ax’ = Ax. Do đó x’ = (Ax’). Cuối cùng ta thấy rằng
(2.27)
Có sự sai lệch với công thức (2.25)