- Bớc 3: Củng cố khắc sâu định lý.
2.2.3.2. Gợi động cơ để tìm đờng lối chứng minh và trình bày chứng minh định lý.
minh định lý.
+ Gợi động cơ bằng cách tìm mối liên hệ giữa các kiến thức có trong định lý; Phân tích mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận để tìm đờng lối chứng minh.
+ Chứng minh định lý bằng cách phân chia trờng hợp.
Ví dụ: Phơng án dạy học nhằm hình thành, củng cố khắc sâu định lý
cosin trong tam giác.
a, Hoạt động gợi động cơ nhằm phát hiện định lý.
Chúng ta đã biết công thức tính cạnh huyền a của tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông b và c, suy ra từ định lý Pitago: a2 = b2 + c2 (1)
Nh vậy biết hai cạnh b,c và góc xem giữa ABC = 900 thì có thể tính đợc cạnh a nh công thức (1).
Vấn đề đặt ra nếu nếu góc BAC = α : 00 < α < 1800 thì việc tính a nh thế nào? So sánh với công thức (1), công thức tính a phụ thuộc b, c, còn phụ thuộc α hay không? Giả sử giữ nguyên độ dài các cạnh AB = c, AC = b và cho
α thay đổi.
* Nếu α > 900 thì cạnh BC của tam giác này lớn hơn cạnh huyền của tam giác vuôngABC. Khi đó tam giac ABC có góc A = α thì a2 đợc biểu diên qua b và c ng sau:
a2 = b2 + c2 + m, m > 0.
*Thử xét một tình huống suy biến: Nếu α = 1800 thì B, A,C thẳng hàng ta có ngay a = b + c. Từ đó:
a2 = b2 + c2 + 2bc
Vậy có thể dự đoán trờng hợp α > 900 thì ta có: a2 = b2 + c2 + 2bcp (2), p là số thực.
Đối chiếu với hệ thức (1) số p hoặc là cosα hoặc là cotgα vì nếu α = 900 , khi tam giác ABC vuông tại A thì p = 0 dẫn đến a2 = b2 + c2 .
Từ hệ thức (2) suy ra số bp không là cotgα vì nếu α = 1800 thì cotgα
không xác định. Vậy thử đoán p = cosα . Khi đó thay vào (2) với cosα = -1 = p và chọn dấy – trong đẳng thức (2) sẽ thỏa mãn.
a2= b2+c2- 2bcìcosα = b2+ c2- 2bcì(-1) = b2+ c2 + 2bc.
Nếu α > 900 thì cạnh BC của tam giác tơng ứng sẽ bé hơn cạnh huyền nên a2= b2+c2- 2bcìcosα hợp lý, vì khi đó cosα > 0 nên 2bcìcosα > 0.
Thử nghiệm với tam giác ABC đều, khi đó: a2= a2+a2- 2a aìcos600 = a2+a2- 2a2 1
2
ì = a2
Vậy học sinh có cơ sở khoa học dự đoán: a2= b2+c2- 2bcìcosA.
Và tơng tự:
c2= a2+b2- 2abìcosC.
b, Hớng dẫn học sinh chứng minh:
trớc hết lập luận chứng minh a2= b2+c2- 2bcìcosA (1). Các hệ thức khác đợc chứng minh tơng tự.
Hoạt động điều khiển của giáo viên thể hiện qua các câu hỏi định hớng sau. Biểu thức 2bcìcosA liên hệ với kiến thức nào đã biết? Yêu cầu trả lời câu hỏi trên để học sinh nhớ lại tích vô hớng của hai véc tơ AB, AC có độ dài lần lợt là c, b
Số a2 liên hệ với biểu thức nào đã có? Yêu cầu để học sinh biểu diễn a2 = BC2. Từ hai nhận xét trên hãy trình bày đờng lối chứng minh đẳng thức (1).
Biểu diễn véc tơ BC qua hai véc tơ AB, AC sau đó bình phơng vô h- ớng. BC = AC - AB 2 BC = AC2 + 2 AB - 2AC AB Hay: BC2 = AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA Vậy: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.
c, Một số hoạt động cơ bản củng cố định lý trên:
Trớc hết nhận dạng định lý cosin có thể đề xuất học sinh trả lời các câu hỏi sau:
Các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai, giải thích:
- Trong tam giác ABC góc A đợc tính theo ba cạnh a, b, cbằng công thức : cosA= bc a c b 2 2 2 2+ − ?
- Trong tam giác ABC. cosA > 0 khi và chỉ khi a2 < b2 + c2 ? A
B C
b c
Có thể sử dụng các bài toán tính góc theo các cạnh của tam giác; tính