Phán đoán trong chu trình dạy học kiến tạo là hoạt động của HS thông qua sự tương tự để phát hiện dự đoán kiến thức mới. Còn kiểm nghiệm được tiến hành thông qua các hoạt động giải quyết vấn đề, thông qua chuỗi hành động có căn cứ để kiểm nghiệm kết quả bằng con đường suy diễn lôgíc. Nếu giả thuyết phán đoán không đúng thì phải tiến hành điều chỉnh lại phán đoán và giả thuyết, sau đó kiểm nghiệm lại để đi đến kết quả mong muốn, dẫn đến sự thích nghi với tình huống và tạo ra kiến thức mới, thực chất là tạo sơ đồ nhận thức mới cho bản thân. Và HS cũng đạt được tri thức
mới theo chu trình: Phán đoán → Kiểm nghiệm → (Thất bại) → Thích nghi → Kiến thức mới. Nếu giáo viên biết vận dụng tốt quan điểm dạy học này thì sẽ tạo được nhiều cơ hội từ những kiến thức đã có để HS khai thác ứng dụng, kiến tạo nên kiến thức mới cho bản thân
Ví dụ 11: Khi dạy về mặt phân giác của góc nhị diện, GV có thể đặt ra câu hỏi: tứ diện có bao nhiêu mặt phân giác? Rõ ràng trong tứ diện có sáu góc tam diện, nên sẽ có sáu mặt phẳng phân giác. GV đặt thêm câu hỏi: Các mặt phẳng phân giác có tính chất gì không? Học sinh sẽ liên tưởng đến các đường phân giác của tam giác trong mặt phẳng. Trong tam giác ba đường phân giác và ba đường phân giác đồng qui tại một điểm, đó là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. Bằng sự tương tự, học sinh sẽ phán đoán:
Có thể sáu mặt phân giác của tứ diện cùng đi qua một điểm. Học sinh sẽ tiến hành kiểm nghiệm điều mình vừa rút ra. Và dĩ nhiên họ sẽ xem xét lại cách chứng minh của ba đường phân giác đồng qui trong tam giác, biết đâu có một sự tương tự trong cách chứng minh này.
Thật vậy: Giả sử cho tam giác ABC, gọi AM, BN là hai đường phân giác của tam giác, I là giao điểm của AM và BN, E, F, H
lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh AB, BC, CA.
Khi đó ta có: IE = IH, IE = IF
Do đó IF = IH nên I thuộc vào đường phân giác trong góc C. Vậy ba đường phân giác của một tam giác đồng qui tại một điểm.
Bằng sự tương tự, ta sẽ bắt chước cách chứng minh này trong bài toán không gian trên.
Gọi (P), (Q) lần lượt là các mặt phân giác của các góc nhị diện cạnh
AB, AC và ∆ là giao tuyến của chúng. Khi đó A thuộc ∆. Trên đường thẳng
B C I E H F N M
∆, lấy điểm I khác A, gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của I đến các mặt (ABC), (ACD), (ADB). Khi đó ta có IM = IP, IM = IN
⇒IN = IP hay I thuộc mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh AD
⇒ ∆ ≡ AI thuộc mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh AD
Vậy ba mặt phẳng phân giác cùng đi qua một đỉnh thì cắt nhau theo một giao tuyến chung. Ta gọi đường này là đường phân giác của tứ diện xuất phát từ đỉnh đó. Vậy sẽ có 4 đường như vậy. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh được 4 đường này đồng qui là được.
Thật vậy: Xét hai đường phân giác bất kỳ, giả sử hai đường đó là ∆1 và ∆2 xuất phát từ đỉnh A và đỉnh B của tứ diện. Khi đó ∆1 và ∆2 cùng thuộc mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh AB nên ∆1 và ∆2 cắt nhau.
Do đó, hai đường phân giác bất kỳ luôn cắt nhau. Mặt khác 4 đường phân giác không có ba đường nào đồng phẳng nên ta suy ra 4 đường phân giác đồng qui tại một điểm và đó là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.
Ví dụ 12: Xét quan hệ giữa hai đường thẳng a, b trong không gian khi a ⊥c, b c⊥ , b và c không có điểm chung.
Vốn tri thức đã có: Trong mặt phẳng nếu a ⊥c, b c⊥ suy ra a // b .
Dự đoán: Trong không gian nếu a ⊥c, b c⊥ suy
ra a // b .
Kiểm nghiệm: Nhận thấy nếu a, b, c⊂(P) thì luôn có: a⊥c, b c⊥ suy
ra a // b .
Trong hình lập phương ABCD.A B C D .1 1 1 1
AB B C D M P N I A C B D A1 C1 B1 D1
Xét các cặp cạnh AA và BC hay cặp cạnh 1 BD và C D nhận thấy.1 1
- AA và BC cùng vuông góc với 1 AB nhưng chúng không song
song với nhau.
- BD và C D cùng vuông góc với 1 1 DD nhưng chúng không song 1
song với nhau.
Sai lầm: Dự đoán: “Trong không gian nếu a⊥c, b c⊥ suy ra a // b ” là sai.
Điều chỉnh: Trong không gian a⊥c, b c⊥ , b và c không có điểm
chung thì có thể a // b hoặc a và b chéo nhau.
Thích nghi và rút ra tri thức mới: Trong không gian cho a ⊥c, b c⊥ , b
và c không có điểm chung.
- Nếu a, b, c⊂(P) thì a // b
- Nếu a, b, c⊄(P) thì a và b chéo nhau.
1.3.2 Vận dụng hoạt động tương tự trong dạy học khám phá
Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ để nêu lên các giả định về các hiện tượng và quy luật chưa biết.
Nhà toán học G.Polya đã phát biểu: “Toán học được coi như là một môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên đó mới chỉ là những khía cạnh của nó. Toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại. Bạn phải dự đoán về một định lí toán học trước khi trước khi bạn chứng minh nó. Bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết. Nếu việc dạy toán phản ánh ở một mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào, thì trong việc giảng dạy đó, phải dành chỗ cho dự đoán cho suy luận có lí”. Dự đoán là khâu quan trọng giúp ta định hướng bài toán, và có thể một trong các dự đoán đó ta tìm được lời giải của bài toán. Việc dự đoán vấn đề chính xác tới đâu phụ thuộc vào kinh nghiệm và kiến thức vốn có của mỗi người. Trước những bài toán khó không vội đi vào tính toán, mày mò mà biết căn cứ vào dữ liệu và mục tiêu cần
giải quyết để có những trù liệu, dự đoán bằng hệ thống câu hỏi như: Nó thuộc loại vấn đề gì? Nên bắt đầu từ đâu? Sau đó mới bắt đầu đi vào tính toán, chứng minh. Nếu thấy có thể được thì tiếp tục theo phương pháp đó, nếu không được thì quay trở lại từ đầu, điều chỉnh lại quá trình dự đoán và kiểm nghiệm. Vậy quá trình dự đoán không chắc chắn đưa đến kiến thức mà giáo viên muốn truyền đạt, nhưng đối với học sinh, đó là bản thân hoạt động tự khám phá kiến thức dựa trên nền tảng những kinh nghiệm đã có. Trong dạy học khám phá khâu suy đoán rất quan trọng, trước hết khi đọc một bài toán, hay đứng trước một khái niệm nào đó cần hình thành, học sinh phải có sự liên tưởng đến đến các kiến thức đã học, họ xem xét vấn đề đặt ra giống với vấn đề nào mà họ đã từng gặp hay chưa, có kiến thức nào tương tự không? Hay có yếu tố nào tương tự mà họ đã từng làm không? Và từ đó họ đưa ra giả thuyết cho mình đồng thời bắt tay vào khám phá tri thức. Ví dụ 13: Khám phá quy tắc hình hộp và tính chất trọng tâm của tứ diện:
Nguồn (Trong mặt phẳng) Đích (Trong không gian) Trong hình bình hành ABCD ta có:
ACAD AD AB+ =
Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', liệu ta cũng có: AB+AD+AA' = AC'?
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì GA+GB+GC =0
Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì liệu có: 0 = + + +GB GC GD GA
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC và O là điểm bất kì thì