O A+ B+ C =3 G
3.2.2.2. Định lý Talet trong không gian
Định lý: “Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.”
GV : Ta đã học định lý Talet trong mặt phẳng. Hãy nêu định lý Talet trong mặt phẳng?
HS: Hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng chắn trên ba đường thẳng song song những đoạn tỉ lệ.
GV: Hãy thiết lập sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học không gian trong định lý trên?
HS: Mặt phẳng tương tự đường thẳng Khi đó ta có thể nghĩ đến hai cách phát biểu:
“Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn tỷ lệ”
“Ba mặt phẳng song song chắn trên hai mặt phẳng bất kỳ những đoạn tỷ lệ”
GV: Theo các em trong hai mệnh đề vừa rút ra ở trên, mệnh đề nào đúng?
HS: Mệnh đề 2 không đúng vì mặt phẳng chắn mặt phẳng sẽ tạo ra đường giao tuyến chứ không thể tạo ra những đoạn tỷ lệ được.
GV: Đúng rồi, nội dung thứ nhất chính là nội dung của định lý Talet trong không gian. Bây giờ ta hãy chứng minh định lý trên?
HS: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song, đường thẳng a cắt mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C ; đường thẳng b cắt
(P), (Q), (R) lần lượt tại A',B',C'. Chứng minh rằng:
AB A'B' BC = B'C'
(định lý Talet trong không gian).
R Q Q P a b C' B' A C A' B R Q P a a' b B' C" B" A C A' C' B
GV: Để chứng minh định lý này ta làm như thế nào? Ta có thể sử dụng định lý Talet trong mặt phẳng được không?
HS: Được, bằng cách phân ra hai trường hợp a // b (khi đó ta có thể đưa về bài toán phẳng) và a không song song với b.
Trường hợp 1: Nếu a // b
Khi đó ta có A,B,A',B' đồng phẳng và AB// A 'B'
Gọi ( ) mp(a,b)α = thì ( )α cắt hai mặt phẳng (P), (Q) theo hai giao
tuyến AA ',BB' , suy ra AA '// BB' .
Vậy AA 'B'B là hình bình hành nên suy ra AB A 'B'=
Tương tự ta có: BC B'C'=
Vậy:
AB A'B' BC = B'C'
Từ A' dựng đường thẳnga '// a , a ' cắt (Q) và (R) tại B", C" Ta có AB A 'B"= , BC B"C"= Vì (Q) // (R) nên B'B"// C'C" ⇒ ∆AB'B'' ~ ∆AC'C'' ⇒ A 'B" A'B' AB B"C"= B'C' = BC Vậy AB A 'B' BC = B'C' . (đpcm)