O H= B+ C
3.4.5. Biện pháp 5: Luyện tập cho học sinh sáng tạo bài toán mới nhờ phép tương tự.
phép tương tự.
Ví dụ 37: Khi ta dạy về trọng tâm của tứ diện và ứng dụng trọng tâm của tứ diện vào giải toán, GV có thể khai thác từ bài toán trọng tâm của tam giác. GV: Vẽ hình tam giác có ba đường trung tuyến cắt nhau tại một điểm. Hỏi: Qua hình vẽ trên gợi cho ta liên tưởng đến điều gì?
HS: Trọng tâm tam giác.
Hỏi: Nói đến trọng tâm tam giác, ta nghĩ đến hệ thức véc tơ nào? HS: + GA+GB+GC=0
+ MA+MB+MC=3MG, với mọi điểm M
GV nêu bài toán: “Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác, M là một điểm bất kỳ, chứng minh rằng: MA2 +MB2 +MC2 =3MG2+GA2 +GB2 +GC2”
Hỏi: Bài toán này có quen thuộc không? Để giải bài toán này ta làm như thế nào?
HS: Chuyển bình phương độ dài thành bình phương vô hướng của véc tơ, sau đó dùng quy tắc ba điểm.
Ta có: MA2+MB2+MC2 =(MG+GA)2 +(MG+GB)2 +(MG+GC)2
=3MG2 +GA2 +GB2+GC2 +2MG(GA+GB+GC) =3MG2+GA2+GB2+GC2 (đpcm)
GV: Em hãy nghĩ ra một bài toán khác từ bài toán trên được không? HS:
Đây là một câu hỏi mở, học sinh có thể tạo bài toán bằng cách giữ nguyên giả thiết mà chỉ biến đổi kết luận, hoặc thay đổi luôn cả giả thiết và kết luận. Sau đây là một số dự kiến học sinh trả lời. Trong trường hợp nếu học sinh không tìm được phương án nào, GV có thể đặt câu hỏi gợi ý để học sinh nhận ra đặc điểm đặc trưng của bài toán.
Bài toán 1: “Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác, M là một điểm bất kỳ, chứng minh rằng: MA2 +MB2 +MC2 ≥GA2 +GB2 +GC2”
Bài toán 2: “Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng, tìm điểm M sao cho P = MA2 +MB2 +MC2đạt giá trị nhỏ nhất”.
Giải Ta có: MA2 +MB2 +MC2 =3MG2+GA2+GB2 +GC2
nên MA2 +MB2+MC2 ≥GA2 +GB2 +GC2
Dấu đẳng thức xảy ra khi M ≡G. Vậy M chính là trọng tâm trong tam giác.
Bài toán 3: “Cho tam giác ABC, và một đường thẳng d. Tìm điểm M trên d để MA2+MB2+MC2 đạt GTNN”
Giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác.
Ta có: MA2 +MB2 +MC2 =3MG2+GA2 +GB2 +GC2
Do GA2+GB2+GC2không đổi nên MA2 +MB2+MC2 nhỏ nhất khi MG2nhỏ nhất hay M là hình chiếu của G trên d.
Bài toán 4: “Tìm tập hợp điểm M trong không gian sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M đến ba đỉnh của tam giác ABC bằng k2”
Giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác.
Ta có: MA2+MB2+MC2 =k2 ⇔3MG2+GA2+GB2+GC2 =k2 2 1 2 2 2 2 ( ) 3 MG k GA GB GC ⇔ = − − − Ta có: + Nếu k2 <GA2+GB2+GC2thì tập hợp điểm M là tập rỗng.
+ Nếu k2 =GA2+GB2+GC2thì tập hợp điểm M chỉ gồm một điểm, đó là
điểm G. + Nếu k2 >GA2+GB2+GC2 2 ( 2 2 2) 3 k GA GB GC MG − + + ⇒ =
Tập hợp điểm M là đường tròn tâm G, bán kính R =
2 ( 2 2 2)
3
k − GA GB+ +GC
Nguồn (Trong mặt phẳng) Đích (Trong không gian)
Bài toán gốc: Cho tam giác ABC, G
là trọng tâm của tam giác, M là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: