O A+ B+ C =3 G
3.2.2.3. Các tính chất về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
phẳng.
Tính chất 1: “Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước”
Tính chất 2: “Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước”
GV: Gợi mở đặt vấn đề. Bây giờ ta nghiên cứu về quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. Trước tiên, các em hãy trả lời câu hỏi sau: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d và một điểm O, có bao nhiêu đường thẳng qua O và vuông góc với d?
GV vẽ hình lên bảng HS: Có duy nhất.
GV: Đúng rồi, thế bây giờ ta sử dụng phép tương tự, cô thay yếu tố đường thẳng thành yếu tố mặt phẳng, khi đó ta sẽ thu được những kết quả gì?
HS: Cho mặt phẳng (P) và một điểm O.
Sẽ có những câu trả lời khác nhau, chẳng hạn:
+ Có duy nhất một mặt phẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng đã cho. + Có duy nhất một đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng đã cho.
+ Có duy nhất một đường thẳng qua O và vuông góc với đường thẳng d cho trước mà đường thẳng này nằm trong mặt phẳng đã cho.
GV: Vậy trong các kết luận trên, kết luận nào là kết quả chính xác? Hãy thử kiểm chứng kết luận thứ nhất? Ta có thể xét trong một số trường hợp riêng để kiểm tra tính đúng đắn của nó.
HS:
* HS có thể chỉ ra mô hình: xét hai mặt bờ tường cắt nhau và trần nhà, giả sử cho trước mặt phẳng là trần nhà, và điểm O thuộc vào giao tuyến của hai bờ tường. Khi đó luôn có ít nhất là hai mặt bờ tường qua điểm O đã cho và vuông góc với mặt phẳng cho trước, điều này chứng tỏ không tồn tại sự duy nhất.
* Học sinh có thể chỉ ra sự không hợp lí trên mô hình cụ thể: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, khi đó luôn có hai mặt phẳng qua C và vuông góc với (OAB) đó là mặt phẳng (OAC) và
(OBC).
GV: Đúng rồi, vậy kết luận thứ nhất không đúng rồi. Ta hãy xét các kết luận còn lại.
HS: Học sinh sử dụng luôn mô hình tứ diện vuông OABC ở trên. Gọi
H là hình chiếu của O lên AB, khi đó OC ⊥ OH và BC ⊥ OH. Vậy qua điểm C đã tồn tại hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng cho trước OH nằm trong mặt phẳng (OAB). Do đó kết luận thứ 3 cũng không đúng.
GV: Vậy ta còn kết luận thứ hai nữa, và đây chính là số đường thẳng đi qua một điểm cho trước vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
GV cho học sinh nhắc lại tính chất và nghi nhận kiến thức vào vở. Tính chất 1: “Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.”
GV: Cũng tương tự như trên, bây giờ trong không gian ta lại cho trước một đường thẳng d và một điểm O, khi đó điều gì sẽ xảy ra?
HS: Có học sinh bắt chước định lý của hình học phẳng, kết luận: + Có duy nhất một đường thẳng qua O và vuông góc với d.
Cũng có học sinh cho rằng trong không gian khả năng có nhiều hơn một đường thẳng và kết luận:
+ Có vô số đường thẳng đi qua điểm đó và vuông góc với d Có học sinh bắt chước tính chất trên, cho rằng:
+ Có duy nhất một mặt phẳng đi qua điểm O cho trước và vuông góc với đường thẳng đã cho.
GV: Hãy kiểm tra những kết luận vừa rút ra ở trên?
HS: Kết luận thứ nhất: Học sinh sẽ thấy sai ngay nhờ xét trên mô hình lập phương. Ta có AB ⊥ AD, AB⊥ DD1 nên có hai đường thẳng qua D và cùng vuông góc với AB.
Ở kết luận thứ hai: từ kết luận thứ nhất thì ta cũng có thể nhận thấy kết luận này cũng có cơ sở hơn, tuy nhiên, các đường thẳng ấy có tính chất gì không?
Trở lại với ví dụ ở kết luận 1, ta nhận thấy ngoài 2 đường thẳng trên tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng ADD1A1 đều vuông góc với AB. Do đó, kết luận thứ ba bao quát hơn kết luận thứ hai.
GV kết luận: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Đây chính là nội dung của tính chất 2 Tính chất 2: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước