1 tan +α + tan +β + tan ≥ tan α tan β tan γ
3.4.1. Biện pháp 1: Luyện tập cho học sinh hoạt động tìm dấu hiệu tương tự giữa các khái niệm trong hình học phẳng và hình học không gian
tự giữa các khái niệm trong hình học phẳng và hình học không gian
Việc xác lập sự tương tự giữa phẳng và không gian là một trong những hoạt động đặc thù hình học trong hình học ở trường phổ thông. Hoạt động không những tạo mối liên hệ giữa kiến thức mới và kiến thức cũ mà còn là một quá trình tiềm ẩn nhiều sự phát hiện và giàu tính sáng tạo.
Đối với giáo viên, ta đã biết rằng sự xác lập mối liên hệ giữa một khái niệm trong không gian và trong phẳng là phải dựa trên những bất biến afin và các bất biến qua phép biến đổi trực giao. Những bất biến afin là những tính chất được bảo toàn qua phép biến đổi afin. Phép afin có tính chất: Biến đường thẳng (đoạn thẳng) thành đường thẳng (đoạn thẳng), biến hai đường thẳng cắt nhau (song song) thành hai đường thẳng cắt nhau (song song), ...Do vậy, qua phép afin, ảnh của một hình bình hành là một hình bình hành, ảnh của hình thang là một hình thang, ảnh trung điểm đoạn thẳng là trung điểm đoạn thẳng...Trong hình học không gian, cần chú trọng các tính chất afin (các tính chất không thay đổi qua bất kì phép biến đổi afin): Tính chất thẳng hàng của 3 điểm, tính chất song song hay đồng quy của các đường thẳng, ... và các khái niệm afin (các khái niệm không thay đổi qua bất kì phép biến đổi afin): điểm, đường, góc, tam giác, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác....Đồng thời có những khái niệm hình học thật ra đều cùng là một khái niệm trong hình học afin và hình học đồng dạng, đây là những kiến thức của hình học cao cấp, học sinh không được hiểu một cách cặn kẽ về điều này và vì vậy giáo viên cần lưu ý để định hướng quá trình nhận thức của học sinh. Trong luận văn này, tổ chức cho học sinh phát hiện sự tương tự giữa phẳng và không gian theo các định hướng sau:
*Khi học một khái niệm mới trong không gian, tạ o đi ều kiện cho học sinh phát hiện kiến thứ c tương t ự trong phẳng bằng hệ thống câu hỏi :
Hỏi: Em thấy khái niệm này tương tự như khái niệm nào trong phẳng mà em đã học?
Hỏi: Những tính chất nào liên quan đến khái niệm này trong phẳng mà em đã biết?
Hỏi: Những tính chất đó trong không gian có còn đúng nữa không?
Hỏi: Nếu thay thế những đối tượng hình học thì tính chất được phát biểu thế nào? Em hãy dùng mô hình thực tế khảo sát xem nó còn đúng nữa không? Theo em phải thêm điều kiện gì?
Hỏi: Hãy chứng minh những tính chất mới mà em vừa phát biểu?
Ví dụ 29: Khi ta dạy bài “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng”, sau khi học xong khái niệm mở đầu về mặt phẳng, điểm thuộc mặt phẳng, hình biểu diễn của một hình không gian ta chuyển sang phần tính chất được thừa nhận trong không gian, từ bài này giáo viên đã cho học sinh biết được sự tương tự giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
GV có thể cho học sinh nhận biết như sau: GV lấy hai điểm trên bảng.
Hỏi: Qua hai điểm đó gợi cho các em nghĩ đến điều gì? HS: Sẽ có duy nhất một đường thẳng đi qua chúng. GV: Lấy tiếp ba điểm trên bảng.
Hỏi: Trong không gian, qua ba điểm đó gợi cho các em nghĩ đến điều gì? HS: Sẽ có duy nhất một mặt phẳng đi qua chúng.
GV: Đúng rồi, trong mặt phẳng qua hai điểm thì tồn tại duy nhất một đường thẳng đi qua nó, trong không gian, qua ba điểm thì cũng tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua nó, vậy giữa đường thẳng trong mặt phẳng và mặt phẳng trong không gian có sự tương tự nhau vì nó đều được tạo nên bởi tối thiểu các yếu tố cơ bản. Chính vì vậy, sau này có một số khái niệm và tính chất về mặt phẳng trong không gian được phát biểu tương tự như khái niệm và tính chất đường thẳng trong mặt phẳng mà ta chỉ cần thay cụm từ đường thẳng thành mặt phẳng mà thôi.
Ví dụ 30: Khi ta dạy về khái niệm hình chóp và hình tứ diện, sau khi giáo viên hình thành các khái niệm liên quan về hình chóp, giáo viên cũng nên cho học sinh phát hiện được sự tương tự giữa hình tứ diện và hình tam giác. GV: Giáo viên vẽ một hình tam giác, lấy một điểm không thuộc mặt phẳng chứa tam giác. Nối các đỉnh lại với nhau. Chú ý đến các đường thẳng bị che khuất để biểu diễn bằng nét đứt.
Hỏi: Hình này là hình gì? HS: Hình tứ diện
GV: Thao tác vẽ hình như sau: Vẽ một đoạn thẳng và lấy một điểm không thuộc đường thẳng chứa đoạn thẳng đó. Nối các đỉnh lại với nhau.
Hỏi: Hình này là hình gì? HS: Hình tam giác.
GV: Đúng rồi, vậy các em nghĩ gì về hai hình này? HS: Hai hình này tương tự nhau
(Học sinh có thể kết luận được điều này vì nhìn thấy rất trực quan bằng sự thao tác vẽ hình của GV)
GV: Giải thích rõ hơn: Trên mặt phẳng, hai đường thẳng không thể tạo nên một hình có giới hạn còn ba đường thì có thể tạo thành một tam giác. Trong không gian, ba mặt phẳng không thể tạo nên được một vật thể có giới hạn, còn bốn mặt phẳng thì có thể tạo nên một tứ diện. Quan hệ tam giác trong mặt phẳng cũng giống như quan hệ tứ diện trong không gian. Do đó, hình tam giác trong mặt phẳng tương tự với hình tứ diện trong không gian.
Hỏi: Theo em, trong không gian, hình hộp chữ nhật, hình lập phương tương tự với những hình nào trong mặt phẳng?
HS: Hình hộp chữ nhật tương tự với hình chữ nhật trong mặt phẳng Hình lập phương tương tự với hình vuông trong mặt phẳng.
Hỏi: Tương tự như vậy, tam giác đều tương tự với hình nào trong không gian? Vì sao?
HS: Tam giác đều tương tự với hình tứ diện đều do đều có các cạnh bằng nhau.
Trên cơ sở đó, GV thiết lập xác lập những sự tương đồng về một số khái niệm ban đầu giữa hình học phẳng và hình học không gian như sau:
Mặt phẳng Không gian
Tam giác Tứ diện
Đường thẳng Mặt phẳng
Đường tròn Mặt cầu
Hình bình hành Hình hộp
Hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật
Hình vuông Hình lập phương
Ví dụ 31: Khi dạy về hai mặt phẳng song song.
Hỏi: Theo em, khái niệm hai mặt phẳng song song tương tự với khái niệm nào trong mặt phẳng?
HS: Hai đường thẳng song song.
GV: Hãy nêu khái niệm hai đường thẳng song song trong mặt phẳng? Từ đó hãy nêu khái niệm hai mặt phẳng song song?
HS: Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. Do đó: hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.
Hỏi: Nói đến hai đường thẳng song song ta có những tính chất nào? HS: + Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng qua nó và song song với đường thẳng đã cho.
+ Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
+ Định lý Talet: Nếu hai đường thẳng trong mặt phẳng bị ba đường thẳng song song cắt thì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với nhau.
GV: Theo em, hai mặt phẳng song song có những tính chất đó không? Hãy phát biểu những tính chất tương tự?
HS: + Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, có duy nhất một mặt phẳng qua nó và song song với mặt phẳng đã cho.
+ Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
+ Nếu hai mặt phẳng trong không gian bị ba mặt phẳng đôi một song song cắt thì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với nhau.
GV: Trong các kết luận trên, kết luận nào là đúng? HS: Kết luận 1, 2 là đúng, còn kết luận 3 là sai.
GV: Theo em, ta thay đổi điều kiện nào để được một mệnh đề đúng? HS: Nếu hai đường thẳng trong không gian bị ba mặt phẳng đôi một song song cắt thì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với nhau.
GV: Đây chính là định lý Talet trong không gian.
Khi dạy học một định lý trong hình học không gian, nếu định lý đó có thể hình thành bằng sự tương tự, giáo viên tổ chức cho học sinh phát hiện định lý đó thông qua hệ thống câu hỏi gợi mở của giáo viên.
Ví dụ 32: Trong hình học phẳng ta có định lý: “Qua một điểm O ở ngoài một đường thẳng a có thể dựng được một đường thẳng ∆ duy nhất vuông góc với đường thẳng a”.Liệu có thể có một định lý tương tự như vậy trong không gian hay không? Có thể phát biểu định lý đó như thế nào? Ta biết mặt phẳng trong không gian giống như đường thẳng trong mặt phẳng, vậy nếu thay đường thẳng bởi mặt phẳng định lí còn đúng nữa không? Từ những câu hỏi định hướng, qua khảo sát - mô hình - dự đoán - chứng minh, ta có những định lí sau trong không gian:
“Trong không gian, qua một điểm O ở ngoài một đường thẳng a có thể dựng được một đường thẳng ∆ duy nhất vuông góc với đường thẳng a”. “Trong không gian, qua một điểm O ở ngoài một đường thẳng a có thể dựng được một mặt phẳng (α ) duy nhất vuông góc với đường thẳng a”.
“Trong không gian, qua một điểm O ở ngoài một mặt phẳng (P) có thể dựng được một mặt phẳng (Q) duy nhất vuông góc với mặt phẳng (P) ”. “Trong không gian, qua một điểm O ở ngoài một mặt phẳng (P) có thể dựng được một đường thẳng duy nhất vuông góc với mặt phẳng (P) ”.
3.4.2.Biện pháp 2: Sử dụng kết hợp thao tác đặc biệt hoá và tương tự hoá
Ta nhận thấy rằng không thể nói theo ngôn ngữ toán học cao cấp cho học sinh thấy sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học không gian, GV cần chuyển ngôn ngữ toán cao cấp sang ngôn ngữ toán phổ thông. Ở trên ta đã sử dụng phương pháp trực quan cho học sinh thấy được sự tương tự giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa tam giác và tứ diện, ..., Tuy nhiên, ngoài cách trên, để học sinh xác lập được sự tương ứng này, và để cho kiến thức đến tự nhiên, ta có thể sử dụng thao tác đặc biệt hoá, xem đối tượng hình học này là trường hợp riêng của đối tượng kia, sau đó yêu cầu học sinh dự đoán và chứng minh tính chất vừa dự đoán. Như vậy ở đây cần bồi dưỡng và kết hợp hai thao tác tư duy đặc biệt: đặc biệt hoá để liên hệ kiến thức trong phẳng và tương tự hoá để đề xuất và giải quyết các bài toán không gian. Cụ thể có thể minh hoạ tư tưởng này qua tình huống dạy học sau:
Ví dụ 33 :
Hình thành cho học sinh khả năng liên tưởng giữa tứ diện và tam giác
bằng cách: Đặc biệt hoá tứ diện khi có hai đỉnh trùng nhau, ta được hình tam giác, như vậy, ta xem tam giác là trường hợp riêng của tứ diện trong không gian. Từ đó, xây dựng các tính chất của tứ diện.
Ví dụ : từ tính chất trọng tâm tam giác để hình thành các tính chất tương ứng của trọng tâm tứ diện.
Hỏi: Hãy nêu các tính chất trọng tâm tam giác ABC mà em biết? HS: G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có: