O A+ B+ C =3 G
3.2.2.1 Định lý về sự biểu thị một véctơ qua ba vec tơ không đồng phẳng
Định lý:“Nếu a, b,c là ba véc tơ không đồng phẳng thì mỗi véc tơ d ta tìm được các số m,n,p sao cho d =ma+nb+ pc. Hơn nữa, các số m, n, p là duy nhất.”
Để học sinh nhận biết được định lý và cách chứng minh định lý, giáo viên sử dụng sự tương tự giữa ba véc tơ đồng phẳng trong không gian với hai véc tơ cùng phương trong mặt phẳng.
Sau khi dạy định nghĩa ba véc đồng phẳng, giáo viên đã khẳng định sự tương tự trong sự hình thành khái niệm giữa ba véc tơ đồng phẳng trong không gian với hai véc tơ cùng phương trong mặt phẳng.
Giáo viên có thể đặt ra câu hỏi để học sinh nhớ lại kiến thức cũ:
GV: Với hai véc tơ không cùng phương, hãy nhắc lại một số tính chất của nó?
HS: Với hai véc tơ không cùng phương bất kỳ a,b. Mọi véc tơ bất kì
c ta đều biểu diễn được qua hai véc tơ đó và sự biểu thị là duy nhất.
- Nếu HS chưa phát biểu đầy đủ các tính chất thì giáo viên có thể phát vấn cho HS khác bổ sung.
GV: Điều đó có nghĩa là gì?
GV khẳng định: Đúng rồi, các em đã nhớ chính xác về tính chất của hai véc tơ không cùng phương, giáo viên vẽ hình lên bảng.
GV: Để chứng minh tính chất này ta làm như thế nào?
HS: Ta sử dụng tính chất đường chéo của hình bình hành bằng cách dựng hình bình hành OABC trong đó OB=c; véc tơ OA cùng phương với véc tơ a; véc tơ OC cùng phương với véc tơ b.
GV: Thế bây giờ ta chuyển sang không gian, theo các em ta có tính chất tương tự như vậy không? Hãy thử phát biểu tính chất tương tự?
HS: Cho 3 véc tơ không đồng phẳng, khi đó mọi véc tơ bất kỳ đều biểu diễn được qua 3 véc tơ đó và sự biểu diễn là duy nhất.
GV: Điều đó có nghĩa là gì? Ta biễu diễn như thế nào? HS: d =ma+nb+ pc, (m,n,p) là duy nhất.
GV: Hãy chứng minh tính chất trên. HS: Suy nghĩ
GV: Gợi ý: Ta có thể vận dụng sự tương tự trong chứng minh trên được không? Trước hết ta làm điều gì? Cái gì tương tự với hình bình hành?
HS: Hình bình hành trong mặt phẳng tương tự với hình hộp trong không gian.
GV: Đúng rồi, ta hãy vận dụng sự tương tự đó để chứng minh tính chất trên.
HS chứng minh.
Dựng hình hộp ABCDA1B1C1D1 trong đó d = AC1; véc tơ AB cùng
phương với a, véc tơ AD cùng phương với b, véc tơ AA1 cùng phương với
c. Khi đó theo quy tắc đường chéo của hình hộp ta có: AC1 = AB+AD+AA1
= ma+nb+ pc Hay d =ma+nb+ pc
Sự biểu diễn đó là duy nhất vì nếu tồn tại bộ số khác m1,n1,p1 sao cho c p b n a m d = 1 + 1 + 1 Dẫn đến: ma+nb+ pc=m1a+n1b+ p1c ⇔(m−m1)a=(n1−n)b+(p1 −p)c
Nếu m ≠m1 thì ba véc tơ đó đồng phẳng, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy ta có điều phải chứng minh.