OA+OB+OC=3OG; với mọi điểm O
2. G chia trung tuyến có tỉ lệ :
12 2
GM GN GPGA = GB =GC = GA = GB =GC =
3. G chia tam giác ABC thành 3 tam giác GAB, GAC,GBC có diện tích bằng nhau.
Hỏi: Nếu xem tam giác là trường hợp đặc biệt của tứ diện có hai đỉnh trùng nhau, em có dự đoán gì về trọng tâm của tứ diện?
HS: Học sinh sẽ dự đoán những tính chât tương ứng, đồng thời bổ sung điều kiện (nếu cần).
Ta có thể hình dung dự đoán như sau: trong tứ diện ABCD
1’. GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0
OA+OB+OC+OD=4OG, với mọi điểm O
2’. G chia trọng tuyến có tỉ lệ : 3 1 2 GG 4 GG GG GG k GA = GB = GC = GD =
với G1, G2,G3, G4 là trọng tâm các mặt đối diện A, B, C, D.
3’. G chia tứ diện ABCD thành 4 tứ diện G.ABC,G.DAB,G.CBD, G.CAD có thể tích bằng nhau.
Việc chứng minh những dự đoán trên và khẳng định lại tính đúng đắn của k là một sự tương tự từ mặt phẳng sang không gian. Điều này có thể thực hiện nhờ chính quá trình chứng minh tính chất đã có trong mặt phẳng, tức là vận dụng cách chứng minh trong phẳng để chứng minh trong không gian. Sau khi cho học sinh kiến tạo lại cách chứng minh trong phẳng, yêu cầu học sinh phát hiện xem tương ứng với các phương pháp đó có thể chứng minh bài toán mở rộng hay không.
Ví dụ 34:
Đặc biệt hoá tứ diện “OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau” với trường hợp C trùng B. Khi đó xem tam giác OBC là một
trường hợp riêng của tứ diện. Lúc này ta có: Tam giác OBC là tam giác vuông tại O.
Hỏi: Em hãy nêu các tính chất của một tam giác vuông? HS1. Tam giác OBC vuông tại O có đường cao OH. Khi đó ta có hệ thức: 2 2 2
1 1 1