Tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH THỊ NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ TUYẾN TÍNH KHƠNG ƠTƠNƠM VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Hà Nội – Năm 2015 Mục lục MỞ ĐẦU CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.1 Hệ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm 1.1.2 Các định lý tồn nghiệm 1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.1 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.2.3 Một số bổ đề bổ trợ Tính ổn định hệ phương trình vi 2.1 Hệ tuyến tính ơtơnơm 2.1.1 Một số định lý sở 2.1.2 Bài tốn ổn định hóa 2.2 Hệ tuyến tính khơng ơtơnơm 2.2.1 Bài toán ổn định 2.2.2 Bài tốn ổn định hóa KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo phân tuyến tính 6 7 10 12 13 13 13 18 20 22 26 36 37 MỞ ĐẦU Bài toán ổn định toán quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân tích phân Nói cách hình tượng, hệ thống gọi ổn định trạng thái cân nhiễu bé điều kiện ban đầu cấu trúc hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân Được bắt đầu nghiên cứu từ năm cuối kỉ XIX nhà toán học V Lyapunov, đến lý thuyết ổn định Lyapunov trở thành phận nghiên cứu thiếu lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ thống ứng dụng Đặc biệt từ năm 60 kỉ XX, với phát triển lý thuyết điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi tính ổn định hóa hệ điều khiển, tính ổn định mà Lyapunov đề xướng trước thể tầm quan trọng phát triển liên tục tốn học.Vì lý vừa phân tích mà tính ổn định nghiên cứu phát triển lý thuyết toán học độc lập có nhiều ứng dụng hữu hiệu tất lĩnh vực từ kinh tế đến khoa học kĩ thuật Như biết, có nhiều phương pháp để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân Chẳng hạn như: phương pháp thứ Lyapunov (hay gọi phương pháp số mũ đặc trưng), phương pháp thứ hai Lyapunov (hay gọi phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp xấp xỉ, phương pháp so sánh, Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hệ tuyến tính khơng ơtơnơm ứng dụng điều khiển theo phương pháp thứ hai: phương pháp hàm Lyapunov Luận văn chia thành hai chương: Chương Cơ sở tốn học Chương trình bày số kiến thức sở chuẩn bị cho nội dung luận văn Cụ thể trình bày MỞ ĐẦU khái niệm hệ phương trình vi phân, tốn ổn định, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Chương trình bày số kết tính ổn định hệ phương trình vi phân Nội dung chương trình bày điều kiện cần đủ tính ổn định hệ tuyến tính khơng ơtơnơm Để chứng minh, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kĩ thuật đánh giá bất đẳng thức ma trận tuyến tính Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày ứng dụng hệ khơng ơtơnơm tốn ổn định hóa hệ điều khiển Đóng góp chúng tơi luận văn trình bày cách hệ thống tốn ổn định, ổn định hóa hệ tuyến tính khơng ơtơnơm với ví dụ minh họa Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt q trình học tập tơi nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để tơi hồn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả luận văn Trịnh Thị Ngọc Bảng kí hiệu R Khơng gian số thực Rn Không gian vecto n chiều R+ Tập hợp số thực khơng âm n×r R Khơng gian ma trận n × r chiều T A Ma trận chuyển vị ma trận A I Ma trận đơn vị λ(A) Tập tất giá trị riêng A λmax (A) max {Reλ, λ ∈ λ(A)} A≥0 Ma trận A xác định không âm A>0 Ma trận A xác định dương + BM (0, ∞) Tập hàm ma trận đối xứng, xác định không âm bị chặn (0, ∞) C([a, b], Rn ) Tập tất hàm liên tục [a, b] nhận giá trị n R A Chuẩn phổ ma trận A, A = λmax (AT A) BC([0, ∞), Rn×m ) Tập tất ma trận hàm cấp n × m, liên tục bị chặn [0, ∞) BC + ([0, ∞), Rn×m ) Tập tất ma trận hàm đối xứng, xác định dương cấp n × m, liên tục bị chặn R+ L2 ([t, s], Rn ) Tập tất không gian khả tích Rn nhận giá trị [t, s] Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở hệ phương trình vi phân: khái niệm hệ ôtônôm, không ôtônôm ổn định hệ phương trình vi phân, chúng tơi có trình bày phương pháp thứ hai Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov toán ổn định hệ phương trình vi phân Chúng tơi nhắc lại số kết làm sở cho nội dung nghiên cứu chương sau Nội dung chương trình bày từ tài liệu [1, 2, 5] 1.1 1.1.1 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm Rất nhiều trình tự nhiên, vật lý, học, sinh học mơ tả phương trình vi phân Các phương trình vi phân thể mối quan hệ biến thời gian, trạng thái hệ thống vận tốc thay đổi trạng thái thời điểm Ở ta phân làm hai loại: hệ phương trình vi phân ơtơnơm hệ phương trình khơng ôtônôm Một hệ phương trình vi phân ôtônôm hệ phương trình vi phân có dạng: x(t) ˙ = f (x), t ≥ 0, x ∈ Rn ; f (.) : Rn → Rn Hay nói cách khác, hệ phương trình vi phân ơtơnơm hệ phương trình vi phân mà vế phải khơng phụ thuộc vào biến thời gian t Ngược lại, hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm hệ phương trình vi phân mà vế phải phụ thuộc vào biến thời gian t, tức phương trình có dạng x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1) Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC với x ∈ Rn ; f (.) : [0, +∞) × Rn → Rn 1.1.2 Các định lý tồn nghiệm Xét phương trình vi phân khơng ơtơnơm (1.1), f xác định liên tục miền G = (a, b) × {y ∈ Rn : y − y0 ≤ r} Cùng với phương trình (1.1) ta xét toán Cauchy : t ≥ 0, x(t) ˙ = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 (1.2) Định lý sau khẳng định tồn nghiệm x(.) lân cận t0 Định lý 1.1 (Định lý tồn địa phương) Giả sử f ánh xạ liên tục từ G sang Rn thỏa mãn điều kiện sau với t ∈ (a, b), x, y ∈ B n (x0 ) = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ η} f (t, x) ≤ M1 , f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y , M1 , M2 số không phụ thuộc vào t, x, y Khi đó, tồn số δ > (δ = Mη1 , M12 ) cho với t0 ∈ (a, b), khoảng (t0 − δ, t0 + δ) ∩ (a, b) toán Cauchy (1.2) có nghiệm x(t) thỏa mãn φ(t) − x0 ≤ η Định lý 1.2 (Định lý tồn toàn cục) Giả sử f (.) : R+ × Rn → Rn liên tục thỏa mãn điều kiện sau : f (t, x) ≤ M1 + M0 x , ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn , f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y , ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn Khi đó, với điểm x0 ∈ Rn , t0 ∈ R+ , tồn nghiệm x(t) tốn Cauchy phương trình (1.2) tồn khoảng R+ 1.2 1.2.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.3) Chương CƠ SỞ TỐN HỌC f : R+ × Rn → Rn Giả sử f thỏa mãn điều kiện cần thiết để toán Cauchy (1.2) có nghiệm R+ Giả sử x = η(t) nghiệm (1.3) xác định R+ Ta đặt y = x − η(t), tức y độ lệch nghiệm x với nghiệm η(t) Vì η(t) ˙ = f (t, η(t)) nên ta nhận phương trình vi phân y : y˙ = g(t, y), g(t, 0) = nên hệ phương trình y˙ = g(t, y) có nghiệm tầm thường y = ứng với nghiệm cho x = η(t) phương trình x˙ = f (t, x) Như việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm x = η(t) không gian Rn đưa nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường y = Rn Do đó, khơng tính tổng qt, ta ln giả sử phương trình (1.1) có nghiệm tầm thường x = 0, tức f (t, 0) = Định nghĩa 1.1 Nghiệm tầm thường x = gọi ổn định ∀ε > 0, ∀t0 ≥ 0, ∃δ = δ(ε, t0 ) > cho từ bất đẳng thức x(t0 ) ≤ δ suy x(t) < ε, với ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.2 Nghiệm tầm thường x = gọi ổn định tiệm cận ổn định nghiệm x(t) thỏa mãn: lim t→+∞ x(t) = Định nghĩa 1.3 Nghiệm tầm thường x = gọi ổn định mũ ∃M > 0, α > cho với nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn: x(t) M x(t0 ) e−α(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 Ta quy ước thay nói nghiệm tầm thường hệ (1.1) ổn định ( ổn định tiệm cận, ổn định mũ ) ta nói hệ (1.1) ổn định ( ổn định tiệm cận, ổn định mũ ) Ví dụ 1.1 Xét hệ phương trình vi phân sau Rn x(t) ˙ = αx(t), t ≥ Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho công thức x(t) = x0 eαt , t ≥ Khi hệ ổn định (tiệm cận, mũ) α < Nếu α = hệ ổn định Ví dụ 1.2 Xét phương trình vi phân x(t) ˙ = a(t)x(t), t ≥ 0, đó, a(t) : R+ → R hàm liên tục, nghiệm x(t) hệ với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 cho t a(t)dt x(t) = x0 t0 Do dễ kiểm tra hệ ổn định t a(τ )dτ ≤ µ(t0 ) < +∞, ∀t ≥ t0 t0 ổn định tiệm cận t a(τ )dτ = −∞ lim t→∞ t0 Để giải toán ổn định hệ phi tuyến, Lyapunov đưa hai phương pháp: - Phương pháp thứ nhất: Nội dung phương pháp nghiên cứu tính ổn định thơng qua số mũ Lyapunov thông thường dựa vào hệ xấp xỉ tuyến tính Nếu vế phải đủ tốt tính ổn định rút từ tính ổn định xấp xỉ tuyến tính - Phương pháp thứ hai: Phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp xem cách tiếp cận nghiên cứu tính ổn định Nội dung phương pháp dựa vào tồn lớp hàm toàn phương đặc biệt (gọi hàm Lyapunov) mà tính ổn định hệ cho kiểm tra trực tiếp qua dấu đạo hàm (dọc theo quỹ đạo xét) hàm Lyapunov tương ứng Hiện chưa có thuật tốn tổng quát để tìm hàm Lyapunov cho tất phương trình Sau chúng tơi xin trình bày kết phương pháp Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính (ii) Bất đẳng thức Lyapunov (LE + ) có nghiệm P ∈ BC([0, ∞), Rn×n ) với Q ∈ MA Chứng minh (i) → (ii) Cho A ∈ BC([0, ∞), Rn×n ), Q ∈ MA , xét hàm P (t) sau: ∞ U T (τ, t)QU (τ, t)dτ, P (t) = ∀t ≥ t + Ta chứng minh P (t) nghiệm (LE + ) Thật vậy, dễ thấy P (t) ma trận đối xứng, xác định dương Hơn nữa, từ giả thiết (i), hệ (2.12) ổn định mũ nên ta có ∃N > 0, δ > : U (t, s) ≤ N e−δ(t−s) , ∀t ≥ s ≥ 0, U (t, s) ma trận chuyển hệ + Ta chứng minh P ∈ BC([0, ∞), Rn×n ) Ta có: ∞ ∞ T U (τ, t)QU (τ, t)dτ ≤ P (t) = t ∞ = t Q Ne −δ(τ −t) N ∞ dτ ≤ N Q t = U (τ, t) dτ Q e−2δ(τ −t) dτ t Q 2δ Vậy P (t) bị chặn + Ta chứng minh P (t) nghiệm (LE + ) Thay U (τ, t) = S(τ )S −1 (t) (2.13), nhận xét rằng: −1 U T (τ, t) = S T (t)S T (τ ), ta có ∞ P (t) = −1 S T (t)S T (τ )QS(τ )S −1 (t)dτ t Vi phân hai vế hàm theo t sử dụng đẳng thức S˙ −1 (t) = −S −1 (t)A(t), −1 −1 S˙ T (t) = −AT (t)S T (t), 23 (2.13) Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính ta có ∞ d −1 P˙ (t) = −AT (t)P (t) − P (t)A(t) + S T (t) dt = −AT (t)P (t) − P (t)A(t) − Q Vì: d dt S T (τ )QS(τ )dτ S −1 (t) t ∞ S T (τ )QS(τ )dτ = −S T (t)QS(t), t Vậy bất đẳng thức Lyapunov có nghiệm P (t) (ii) → (i) Giả sử Q ∈ MA , P ∈ BC([0, ∞), Rn×n ) cho P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) + Q = 0, ∀t ≥ Xét hàm Lyapunov hệ (2.12) : V (t, x) =< P (t)x, x > + x , x ∈ Rn Đặt p = supt∈Rn P (t) Ta có x ≤ V (t, x) ≤ (p + 1) x , ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn Lấy đạo hàm dọc theo nghiệm x(t) hệ (2.12) ta ∂V (.) ∂V (.) + A(t)x(t) V˙ (t, x(t)) = ∂t ∂x =< P˙ (t)x(t), x(t) > +2 < P (t)x(t), ˙ x(t) > +2 < x(t), ˙ x(t) > =< [P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)]x(t), x(t) > + < [AT (t) + A(t)]x(t), x(t)) > ≤ − < [Q − (A(t) + AT (t))]x(t), x(t) > Mặt khác, Q ∈ MA , tức ma trận: Q − [A(t) + AT (t)] >> 0, nên ∃ > cho : < (Q − [A(t) + AT (t)])x(t), x(t) >≥ Vậy ta có: V˙ (t, x(t)) ≤ − x , 24 ∀t ≥ x Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Theo Định lý 1.4, hệ (2.12) ổn định mũ Ví dụ 2.7 Xét hệ LTV R2 x˙1 (t) = 12 (cost − esint )x1 (t) + sin2 t x2 (t), x˙2 (t) = −sin2 t x1 (t) + 21 (cost − esint )x2 (t) Khi A(t) = (cost − esint ) −sin2 t sin2 t , sint ) (cost − e t ≥ Đặt Q = I, ta thấy Q ∈ MA , từ I > A(t) + AT (t) = cost − esint cost − esint Bằng tính tốn đơn giản, ta P (t) = e−sint −sint , e nghiệm (LE + ) Khi hệ ổn định mũ Ta xét hệ (2.12), A ∈ BC + ([0, ∞), Rn×n ), Đặt V (t, x) =< P (t)x, x > + x Lấy đạo hàm V (t, x) dọc theo nghiệm x(t) hệ (2.12) ta ∂V (.) ∂V (.) V˙ (t, x(t)) = + A(t)x(t) ∂t ∂x =< P˙ (t)x(t), x(t) > +2 < P (t)x(t), ˙ x(t) > +2 < x(t), ˙ x(t) > =< P˙ (t)x(t), x(t) > +2 < P (t)x(t), ˙ x(t) > + < (AT (t) + A(t)x(t), x(t) > Vậy, hệ (2.12) ổn định mũ với x(0) = x0 = cho V˙ (t, x(t)) < 0, ∀x(t) = 0, x(t) ˙ = A(t)x(t), t ∈ R+ , Cho Q ∈ MA , ta đặt T z = [x(t), x(t)] ˙ , Nt = [A(t) − I], 25 Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính ˙ Q Lt (P ) = P (t) P (t) + 0 P (t) Khi tính ổn định mũ hệ tương đương với điều kiện z T Lt (P )z < 0, Nt z = 0, t ∈ R+ Từ Mệnh đề 2.2 Định lý 2.3, ta đưa hệ cho tính ổn định mũ hệ LTV (2.12) sau Hệ 2.1 [7] Cho A ∈ BC([0, ∞)Rn×n ), điều kiện sau tương đương (i) Hệ LTV (2.12) ổn định mũ, tức z T Lt (P )z < 0, (ii) ∃β > 0, ∀t ∈ R+ : Nt z = 0, z = 0, t ∈ R+ Lt (P ) − βNtT Nt < (iii) ∃M ∈ R2n×n , ∀t ∈ R+ : Lt (P ) + M Nt + NtT M T < 2.2.2 Bài tốn ổn định hóa Xét hệ điều khiển tuyến tính khơng ơtơnơm x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), , x(0) = x0 , ∀t ≥ (2.14) x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm vectơ điều khiển, A(t) ∈ Rn×n , B(t) ∈ Rn×m ma trận hàm Xét hệ điều khiển liên hệ ngược u(t) = K(t)x(t), t ≥ (2.15) Định nghĩa 2.5 Hệ điều khiển (2.14) ổn định hóa có hàm điều khiển liên hệ ngược (2.15) cho hệ đóng x(t) ˙ = [A(t) + B(t)K(t)]x(t), ổn định tiệm cận 26 t ∈ R+ (2.16) Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Định lý 2.6 Hệ (2.14) ổn định hóa tồn ma trận P (t) đối xứng, xác định dương đều, bị chặn ma trận số Q > thỏa mãn phương trình Riccati sau : P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q = 0, hàm điều khiển liên hệ ngược là: u(t) = − B T (t)P (t)x(t), t ≥ Chứng minh Xét hàm Lyapunov cho hệ đóng (2.14): V (t, x(t)) =< P (t)x(t), x(t) >, ta có ngay: α2 x(t) ≤ V (t, x(t)) ≤ α1 x(t) , : α1 = sup P (t) t≥0 α2 = c, (< P (t)x, x >≥ c x , ∀t, ∀x) Đạo hàm theo t hàm V (.) ta có: V˙ (t, x(t)) =< P˙ (t)x(t), x(t) > +2 < P (t)x(t), ˙ x(t) > =< P˙ (t)x(t), x(t) > + < (AT (t)P (t) + P (t)A(t))x(t), x(t) > − < P (t)B(t)B T (t)x(t), x(t) > = − < Qx(t), x(t) > ≤ −λmin (Q) x(t) Vậy V (t, x(t)) hàm Lyapunov chặt hệ đóng Định lý chứng minh Ví dụ 2.8 Xét tính ổn định hệ sau:  −et −   x˙ = x t 2e 2t t   y˙ = e − e − y 2et 27 Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Khi :  −et − t   A(t) =  2e , 2t t e − e − 1 2et  Vì ma trận et , et P (t) = ma trận đối xứng, xác định dương ma trận số Q= , t B(t) = , thỏa mãn phương trình Riccati: P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q = 0, Vậy hệ ổn định hóa Sau ta xét tốn ổn định hóa thơng qua điều khiển liên hệ ngược theo đầu u(t) = F y(t) cho hệ điều khiển quan sát sau x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), y(t) = C(t)x(t), t ≥ 0, (2.17) đó, y(t) ∈ RP biến quan sát đầu ra, C(t) ∈ Rp×n Định nghĩa 2.6 Hệ (2.17) ổn định hóa ma trận ổn định liên hệ ngược theo đầu u(t) = K(t)y(t), hệ đóng: x(t) ˙ = [A(t) + B(t)K(t)C(t)]x(t), ổn định tiệm cận Ta giả sử ma trận hàm A(t), B(t), C(t) liên tục t ∈ R+ , hàm điều khiển u(t) ∈ L2 ([0, T ], Rm ), ∀T > Do với x0 ∈ Rn với điều khiển u(t), nghiệm hệ (2.17) cho t x(t) = Φ(t, 0)x0 + Φ(t, s)B(s)u(s)ds, φ(t, s) ma trận chuyển ổn định hệ 28 Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Định nghĩa 2.7 [6] Hệ [A(t), B(t)] điều khiển hoàn toàn thời gian hữu hạn với x0 ∈ Rn , ∃T > điều khiển u(t) cho T Φ(N, 0)x0 + Φ(T, s)B(s)u(s)ds = 0 Đặt N Φ(T, s)B(s)B T (s)ΦT (s)ds, CT = M (t) = [M0 (t), M1 (t), , Mn−1 (t)], M0 = B(t), d Mi+1 (t) = −A(t)Mi (t) + Mi (t), i = 0, 1, , n − dt Mệnh đề 2.3 [6] Hệ điều khiển [A(t), B(t)] điều khiển hoàn toàn thời gian hữu hạn thỏa mãn điều kiện sau: (i) Ma trận CT xác định dương với T > (ii) A(t), B(t) hàm khả tích rank M (t0 ) = n với t0 > Cùng với hệ [A(t), B(t)] ta xét RDE sau: P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q(t) = 0, (2.18) P (.), Q(.) ∈ Rn×n Mệnh đề 2.4 [3] Nếu hệ [A(t), B(t)] điều khiển hoàn thời gian hữu hạn, với ma trận Q(t) đối xứng, xác định dương phương trình RDE (2.18) có nghiệm P (t) ∈ M ([0, +∞), Rn+ ) Mệnh đề 2.5 [7] Với ma trận thực A(t) ∈ Rn×n , tồn ma trận Q(t) ≥ cho Q(t) − A(t) ≥ 0, ∀t ≥ 29 Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Chứng minh Cho αt = (α1 (t), α2 (t), , αn (t) ∈ Rn , t ∈ R+ , ta đặt   α1 (t) 0  α2 (t)  Q(αt ) =   0 αn (t) Ta tồn số αi (t), i = 1, 2, , n cho Q(α(t) − A(t) ≥ Đặt A(t) = [aij (t)], i, j = 1, 2, , n Với vectơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , ta có n n a2ij (t)x2i < A(t)x, x >= + i=1 [aij (t) + aji (t)]xi xj i=j Đặt αi (t) = aii (t) + n a2ij (t) + n − 1, j=i Ta thấy n < (Q(α(t)) − A(t))x, x >= (xi − aji (t)xj )2 ≥ i,j=1,i=j với x ∈ Rn Đặt αi (t) ≥ max {αi (t), 0} Mệnh đề 2.6 [4] Cho A, B ∈ Rn×n ma trận thực Khi điều kiện sau tương đương: (i) AB + BA ≥ 0, A ≥ 0, B ≥ 0, (ii) λmin (A) ≥ 0, A ≥ đối xứng Xét hệ điều khiển tuyến tính (2.17), A(t) ∈ Rn×n , B(t) ∈ Rn×m hàm liên tục Ta sử dụng giả thiết sau cho đầu ổn định hóa: H.1 Hệ điều khiển tuyến tính [A(t), B(t)] điều khiển hoàn toàn thời gian hữu hạn H.2 Có D ∈ Rn×r cho DC đối xứng thỏa mãn λmax (I − D(t)C(t)) ≤ ∀t ∈ R+ (2.19) Định lý sau điều khiển hoàn toàn đảm bảo cho tính ổn định hóa ngược hệ (2.14) 30 Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Định lý 2.7 [7] Giả sử giả thiết H.1 H.2 thỏa mãn Khi hệ tuyến tính (2.17) ổn định Điều khiển ngược ổn định cho : u(t) = − B T (t)[P (t) + I]D(t)y(t), ∀t ∈ R+ , P (t) nghiệm RDE (2.18) với Q(t) = Q(αt ) + I, > 0, thỏa mãn Q(αt ) ≥ A(t) + AT (t) − B(t)B T (t)D(t)C(t) (2.20) Chứng minh Cho D(t) ∈ Rn×r ma trận xác định từ giả thiết H.2 Từ Mệnh đề 2.6 có αt ≥ cho ma trận Q(αt ) ≥ thỏa mãn điều kiện (2.20) Với > 0, từ tính điều khiển hoàn toàn hệ [A(t), B(t)] với hệ RDE (2.18), Q(t) = Q(αt ) + I, n ).Cho: từ Mệnh đề 2.5, có nghiệm P (t) ∈ M ([0, ∞), R+ sup P (t) ∞ = p < +∞ t∈R+ Xét hàm sau: V (t, x) =< P (t)x, x > + x Ta hàm V (t, x) hàm Lyapunov hệ đóng (2.17) với điều khiển ngược u(t) = − B T (t)[P (t) + I]H(t)x(t), t ∈ R+ , H(t) = D(t)C(t) Thật vậy, ta có V (t, x) ≤ p x + x = (p + 1) x Mặt khác, từ P (t) ≥ 0, ta có V (t, x) =< P (t)x, x > + x ≥ x 2, Khi x ≤ V (t, x) ≤ (p + 1) x , 31 ∀x ∈ Rn Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Lấy đạo hàm V (.) dọc theo nghiệm x(t) hệ (2.17), ta V˙ (t, x) =< P˙ x, x > +2 < P x, ˙ x > +2 < x, ˙ x> = − x − < (Q − A − AT + BB T H)x, x > + < P BB T P x, x > − < P BB T P Hx, x > − < [P BB T H + BB T P H]x, x > = − x − < (Q − A − AT + BB T H)x, x > + < W P BB T P x, x > − < RHx, x >, (2.21) W = I − H, R = P BB T + BB T P , ý < RHx, x > =< P BB T (I − H)x, x > + < BB T P (I − H)x, x > − < (P BB T + BB T P )x, x > =< W BB T P x, x > + < W P BB T x, x > − < Rx, x > Vì P (t), H(t) đối xứng Khi từ (2.21) ta có V˙ (t, x) = − x − < (Q − A − AT + BB T H)x, x > + < W P BB T P x, x > + < W BB T P x, x > + < W P BB T x, x > − < Rx, x > Sử dụng mệnh đề 2.6 (ii), ta có V˙ (t, x) ≤ x + < (Q − A − AT + BB T H)x, x > +λmax (W ) < P BB T P x, x > + λmax (W ) < P BB T x, x > +λmax (W ) < BB T P x, x > − < Rx, x > ≤ λmax (W )[< P BB T P x, x > + < Rx, x >]− < Rx, x > (2.22) Hơn nữa, ta có : < Rx, x >=< [P (t)B(t)B T (t) + B(t)B T (t)P (t)]x(t), x(t) >≥ Vì λmax (W ) ≤ 0, < P BB T x, x >≥ 0, < Rx, x >≥ 0, Từ (2.22) ta có: V˙ (t, x) ≤ − x − < (Q − A − AT + BB T H)x, x > Sử dụng điều kiện (2.19) (2.20) chọn Q(t) trên, ta có V˙ (t, x) ≤ − x 32 < 0, ∀t, x, Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Mặt khác, V (t, x) ≤ (p + 1) x , ∀t ≥ Nên ta có − V˙ (t, x(t)) ≤ − V (t, x(t)), p+1 ∀t ≥ Định lý chứng minh Hệ 2.2 Nếu C(t) = I, ta lấy D = I, điều kiện (2.19) thỏa mãn Trong trường hợp này, Định lý 2.7 hệ [A(t), B(t)]- hệ điều khiển hoàn toàn ổn định điều khiển liên hệ ngược Tuy nhiên, C(t) có hạng đầy, để C(t)C T (t) khả nghịch, D = C T (CC T )−1 , ta có D(t)C(t) = I, tức W = điều kiện (2.19) thỏa mãn Từ chứng minh Định lý 2.7, ta bước tìm điều khiển ngược hệ (2.15) Bước Thử lại tính điều khiển hoàn toàn hệ (2.15) điều kiện Mệnh đề 2.4 Bước Xác định D(t) thỏa mãn điều kiện H.2 sau Q(αt ) ≥ thỏa mãn điều kiện (2.20) Ma trận Q(αt ) tìm từ Mệnh đề 2.6 Bước Giải RDE (2.18), Q(t) = Q(αt ) + I ∀ > Bước Điều khiển liên hệ ngược theo đầu xác định (2.16), K(t) = − B T (t)[P (t) + I]D(t), t ∈ R+ Ví dụ 2.9 Xét hệ (2.14) R2 , 0.0625e−t − 0.5et + 0.5 , A(t) = −2t 0.5e − 0.5 0.5 B(t) = e−t , C(t) = (t + 1) , 1 Vì A(t), B(t) khả vi, ta có rank M(0)=2 xét R2 M (0) = [M0 (0), M1 (0)] mà M0 (0) = B(0) = 0.5 0 , nên ta có rankM0 (0) = 33 Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa: M1 (0) = −A(0)M0 (0) + d 0.46875 M0 (0) = , dt nên rankM1 (0) = Vậy rank M(0) = 2, tức hệ [A(t), B(t)] Mệnh đề 2.4 điều khiển hoàn toàn Với 0.0625 0 = 0.0625 λ(A(0)) = λ ma trận A(t) khơng ổn định t+1 Tuy nhiên, ta tìm D(t) = , H(t) = I, W (t) = 0 Nếu ta lấy αt = (0.45, 0.95), ta có Q(αt ) ≥ A(t) + AT (t) − B(t)B T (t)H(t) Lấy = 0.05, cho Q(t) = Q(αt ) + 0.05I, RDE (2.18) có nghiệm P(t) = 0.5e−t Vì thế, hệ ổn định với điều khiển liên hệ ngược theo đầu u(t) = K(t)y(t), K(t) = − t+1 (0.125e−t + 0.25) −e−t 0 Với điều khiển liên hệ ngược theo đầu trên, hệ đóng có nghiệm x(t), x(0) = (x10 , x20 ) vectơ trạng thái ban đầu Dễ dàng |x1 (t)| ≤ |x10 |e−0.125t , |x2 (t)| ≤ |x20 |e−0.5t Khi hệ đóng ổn định mũ Ví dụ 2.10 Xét hệ điều khiển (2.14), R2 , A(t), B(t) xác định ví dụ C(t) = 1+t −1 −(1 + e−t ) 34 Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Từ C(t)C T (t) khả nghịch, ta lấy D = C T (CC T )−1 với D= (1+t)(1+e−t )2 −(1+t) (1+t)2 (1+e−t )2 −(1+t)2 −(1+t)(1+e−t ) (1+t)2 (1+e−t )2 −(1+t)2 −(1+t) (1+e−t ) (1+t)2 (1+e−t )2 −(1+t)2 Trong trường hợp ta có DC = 0 −(1+e−t )2 (1+e−t )2 −1 W (t) = I − D(t)C(t) = , (1+e−t )2 Vậy điều kiện (2.19) thỏa mãn.Điều khiển liên hệ ngược theo đầu −0.125e−t − 0.25 u(t) = y(t) e−t (1+t)(1+e−t ) e−t (1+t)2 (1+e−t ) (1+t)2 (1+e−t )2 −(1+t)2 35 (1+t)2 (1+e−t )2 −(1+t)2 KẾT LUẬN Luận văn giới thiệu cách tổng quan vấn đề sau: Các kiến thức sở hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển, khái niệm tính ổn định, tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân ơtơnơm khơng ơtơnơm Trình bày số kết tính ổn định phương pháp hàm Lyapunov với ví dụ minh họa Một số kết tốn ổn định hóa hệ điều khiển 36 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo Dục, 2000 [2] Vũ Ngọc Phát , Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [3] A Bensoussan et al, Representation and Control of Infinite- Dimensional System , Vol II, Birkhauser, Boston, 1993 [4] P Finsler, Uber das Vokommen definiter und semidefiniter Formen in Scharen quadratischer Formen, Comment Math Helv (1973), 1432-1436 [5] J Klamka, Controllability of Dynamical Systems, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 1991 [6] V N Phat, Global stabilization for linear continuous time-varying systems, Appl Math Comput 175 (2006) 1730-1743 [7] V N Phat and V Jeyakumar, Stability, stabilization and duality for linear time-varying systems, optimization, 59 (2010), 447-460 37 ... cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi tính ổn định hóa hệ điều khiển, tính ổn định mà Lyapunov đề xướng trước thể tầm quan trọng phát triển liên tục tốn học.Vì lý vừa phân tích mà tính ổn định. .. trận tuyến tính Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày ứng dụng hệ khơng ơtơnơm tốn ổn định hóa hệ điều khiển Đóng góp chúng tơi luận văn trình bày cách hệ thống tốn ổn định, ổn định hóa hệ tuyến tính. .. bảo cho tính ổn định hóa ngược hệ (2.14) 30 Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Định lý 2.7 [7] Giả sử giả thiết H.1 H.2 thỏa mãn Khi hệ tuyến tính (2.17) ổn định Điều khiển