Tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển

46 295 0
Tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - TR NH TH NG C TÍNH N Đ NH H TUY N TÍNH KHÔNG ÔTÔNÔM NG D NG TRONG ĐI U KHI N Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60.46.01.02 LU N VĂN TH C S KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: GS.TSKH Vũ Ng c Phát Hà N i - Năm 2015 M cl c M ĐU CƠ S TOÁN H C 1.1 H phương trình vi phân 1.1.1 H phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm 61.1.2 Các đ nh lý t n t i nh t nghi m 1.2 Tính n đ nh h phương trình vi phân 1.2.1 Bài toán n đ nh h phương trình vi phân 71.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.2.3 M t s b đ b tr Tính n đ nh c a h phương trình vi 2.1 H n tính ôtônôm 2.1.1 M t s đ nh lý s 2.1.2 Bài toán n đ nh hóa 2.2 H n tính không ôtônôm 2.2.1 Bài toán n đ nh 2.2.2 Bài toán n đ nh hóa K T LU N Tài li u tham kh o phân n tính 6 7 10 12 13 13 13 18 20 22 26 36 37 M ĐU Bài toán n đ nh m t nh ng toán quan tr ng lý thuy t đ nh tính phương trình vi phân tích phân Nói m t cách hình tư ng, m t h th ng đư c g i n đ nh t i tr ng thái cân b ng n u nhi u bé u ki n ban đ u ho c c u trúc c a h th ng không làm cho h th ng thay đ i nhi u so v i tr ng thái cân b ng Đư c b t đ u nghiên c u t nh ng năm cu i th k XIX b i nhà toán h c V Lyapunov, đ n lý thuy t n đ nh Lyapunov tr thành m t b ph n nghiên c u không th thi u lý thuy t phương trình vi phân, lý thuy t h th ng ng d ng Đ c bi t t nh ng năm 60 c a th k XX, v i s phát tri n c a lý thuy t u n, ngư i ta b t đ u nghiên c u tính n đ nh c a h u n hay g i tính n đ nh hóa c a h u n, tính n đ nh mà Lyapunov đ xư ng trư c th hi n t m quan tr ng c a s phát tri n liên t c c a toán h c.Vì nh ng lý v a phân tích mà cho đ n tính n đ nh đư c nghiên c u phát tri n m t lý thuy t toán h c đ c l p có nhi u ng d ng h u hi u t t c lĩnh v c t kinh t đ n khoa h c kĩ thu t Như bi t, có nhi u phương pháp đ nghiên c u tính n đ nh h phương trình vi phân Ch ng h n như: phương pháp th nh t Lyapunov (hay g i phương pháp s mũ đ c trưng), phương pháp th hai Lyapunov (hay g i phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp x p x , phương pháp so sánh, M i phương pháp đ u có ưu c m riêng Trong lu n văn này, nghiên c u tính n đ nh h n tính không ôtônôm ng d ng u n theo phương pháp th hai: phương pháp hàm Lyapunov Lu n văn đư c chia thành hai chương: Chương Cơ s toán h c Chương trình bày m t s ki n th c s chu n b cho n i dung c a lu n văn C th trình bày nh ng M ĐU khái ni m b n v h phương trình vi phân, toán n đ nh, phương pháp hàm Lyapunov đ nghiên c u tính n đ nh c a h phương trình vi phân Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Chương trình bày m t s k t qu v tính n đ nh c a h phương trình vi phân N i dung c a chương trình bày u ki n c n đ tính n đ nh c a h n tính không ôtônôm Đ ch ng minh, s d ng phương pháp hàm Lyapunov kĩ thu t đánh giá b t đ ng th c ma tr n n tính Ngoài ra, trình bày ng d ng c a h không ôtônôm toán n đ nh hóa h u n Đóng góp c a lu n văn trình bày m t cách h th ng toán n đ nh, n đ nh hóa h n tính không ôtônôm v i ví d minh h a m i L i c m ơn Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n nhi t tình nghiêm kh c c a GS.TSKH Vũ Ng c Phát Th y dành nhi u th i gian hư ng d n gi i đáp th c m c c a su t trình làm lu n văn Tôi mu n bày t lòng bi t ơn sâu s c đ n th y Qua đây, xin g i t i quý th y cô Khoa Toán-Cơ-Tin h c, Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, th y cô tham gia gi ng d y khóa cao h c 2012- 2014, l i c m ơn sâu s c nh t đ i v i công lao d y d su t trình h c t p c a t i nhà trư ng Tôi xin c m ơn gia đình, b n bè b n đ ng nghi p thân m n quan tâm, t o u ki n c vũ, đ ng viên đ hoàn thành t t lu n văn c a Hà N i, tháng năm 2015 Tác gi lu n văn Tr nh Th Ng c B ng kí hi u R Rn R+ Không gian s th c Không gian vecto n chi u T p h p s th c không âm R AT I λ(A) λmax(A) A≥0 A>0 BM +(0, ∞) b ch n (0, ∞) Không gian ma tr n n ⋅ r chi u Ma tr n chuy n v c a ma tr n A Ma tr n đơn v T p t t c giá tr riêng c a A max {Reλ, λ ∈ λ(A)} Ma tr n A xác đ nh không âm Ma tr n A xác đ nh dương T p hàm ma tr n đ i x ng, xác đ nh không âm n ⋅r C([a, b], Rn) T p t t c hàm liên t c [a, b] nh n giá tr n R Chu n ph c a ma tr n A, A = λmax(AT A) A BC([0, ∞), Rn⋅m) T p t t c ma tr n hàm c p n ⋅ m, liên t c b ch n [0, ∞) BC+([0, ∞), Rn⋅m) T p t t c ma tr n hàm đ i x ng, xác đ nh dương c p n ⋅ m, liên t c b ch n R+ L2([t, s], Rn) T p t t c không gian kh tích Rn nh n giá tr [t, s] Chương CƠ S TOÁN H C Trong chương này, trình bày nh ng ki n th c s v h phương trình vi phân: khái ni m b n v h ôtônôm, không ôtônôm n đ nh h phương trình vi phân, có trình bày phương pháp th hai c a Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov đ i v i toán n đ nh h phương trình vi phân Chúng nh c l i m t s k t qu làm s cho n i dung nghiên c u chương sau N i dung chương đư c trình bày t tài li u [1, 2, 5] 1.1 1.1.1 H phương trình vi phân H phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm R t nhi u trình t nhiên, v t lý, h c, sinh h c đư c mô t b i phương trình vi phân Các phương trình vi phân th hi n m i quan h gi a bi n th i gian, tr ng thái c a h th ng v n t c thay đ i c a tr ng thái t i m t th i m ta phân làm hai lo i: h phương trình vi phân ôtônôm h phương trình không ôtônôm M t h phương trình vi phân ôtônôm h phương trình vi phân có d ng: x(t) = f (x), ˙ t ≥ 0, x ∈ Rn; f (.) : Rn → Rn Hay nói cách khác, h phương trình vi phân ôtônôm h phương trình vi phân mà v ph i không ph thu c vào bi n th i gian t Ngư c l i, h phương trình vi phân không ôtônôm h phương trình vi phân mà v ph i ph thu c vào bi n th i gian t, t c phương trình c a có d ng x(t) = f (t, x(t)), ˙ t ≥ 0, (1.1) Chương CƠ S TOÁN H C v i x ∈ Rn; f (.) : [0, +∞) ⋅ Rn → Rn 1.1.2 Các đ nh lý t n t i nh t nghi m Xét phương trình vi phân không ôtônôm (1.1), f xác đ nh liên t c mi n G = (a, b) ⋅ {y ∈ Rn : y − y0 ≤ r} Cùng v i phương trình (1.1) ta xét toán Cauchy : t ≥ 0, x(t) = f (t, x(t)), ˙ x(t0) = x0 (1.2) Đ nh lý sau kh ng đ nh s t n t i nghi m x(.) m t lân c n c a t0 Đ nh lý 1.1 (Đ nh lý t n t i đ a phương) Gi s f ánh x liên t c t G sang Rn th a mãn u ki n sau v i m i t ∈ (a, b), x, y ∈ Bn(x0) = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ η} f (t, x) ≤ M1, f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y , M1, M2 h ng s không ph thu c vào t, x, y Khi đó, t n t i s δ > (δ = M1 , M2 ) cho v i m i t0 ∈ (a, b), kho ng η (t0 − δ, t0 + δ) ∩ (a, b) toán Cauchy (1.2) có m t nghi m x(t) th a mãn φ(t) − x0 ≤ η Đ nh lý 1.2 (Đ nh lý t n t i toàn c c) Gi s f (.) : R+ ⋅ Rn → Rn liên t c th a mãn u ki n sau : ∀t ∈ R+, x ∈ Rn, f (t, x) ≤ M1 + M0 x , ∀t ∈ R+, x ∈ Rn f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y , Khi đó, v i b t kì m x0 ∈ Rn, t0 ∈ R+, t n t i nh t m t nghi m x(t) c a toán Cauchy c a phương trình (1.2) toàn kho ng R+ 1.2 1.2.1 Tính n đ nh h phương trình vi phân Bài toán n đ nh h phương trình vi phân Xét h phương trình vi phân không ôtônôm x(t) = f (t, x(t)), ˙ t ≥ 0, (1.3) Chương CƠ S TOÁN H C f : R+ ⋅ Rn → Rn Gi s f th a mãn u ki n c n thi t đ toán Cauchy (1.2) có nghi m nh t R+ Gi s x = η(t) nghi m c a (1.3) xác đ nh R+ Ta đ t y = x − η(t), t c y đ l ch c a nghi m x v i nghi m η(t) Vì η˙(t) = f (t, η(t)) nên ta nh n đư c phương trình vi phân đ i v i y: y˙ = g(t, y), g(t, 0) = nên h phương trình y˙ = g(t, y) có nghi m t m thư ng y = ng v i nghi m cho x = η(t) c a phương trình x = f (t, x) ˙ Như v y vi c nghiên c u tính n đ nh c a nghi m x = η(t) không gian Rn đư c đưa v nghiên c u tính n đ nh c a nghi m t m thư ng y = Rn Do đó, không m t tính t ng quát, ta gi s phương trình (1.1) có nghi m t m thư ng x = 0, t c f (t, 0) = Đ nh nghĩa 1.1 Nghi m t m thư ng x = đư c g i n đ nh n u ∀ε > 0, ∀t0 ≥ 0, ∃δ = δ(ε, t0) > cho t b t đ ng th c x(t0) ≤ δ suy x(t) < ε, v i ∀t ≥ t0 Đ nh nghĩa 1.2 Nghi m t m thư ng x = đư c g i n đ nh ti m c n n u n đ nh m i nghi m x(t) th a mãn: lim t→+∞ x(t) = Đ nh nghĩa 1.3 Nghi m t m thư ng x = đư c g i n đ nh mũ n u ∃M > 0, α > cho v i m i nghi m x(t) c a phương trình (1.1) th a mãn: − x(t) M x(t0) e α(t−t0), ∀t ≥ t0 Ta quy c thay nói nghi m t m thư ng c a h (1.1) n đ nh ( n đ nh ti m c n, n đ nh mũ ) ta nói r ng h (1.1) n đ nh ( n đ nh ti m c n, n đ nh mũ ) Ví d 1.1 Xét h phương trình vi phân sau Rn x(t) = αx(t), ˙ t ≥ Chương CƠ S TOÁN H C Nghi m x(t), v i x(t0) = x0 cho b i công th c α x(t) = x0e t, Khi h t ≥ n đ nh (ti m c n, mũ) n u α < N u α = h n đ nh Ví d 1.2 Xét phương trình vi phân t ≥ 0, x(t) = a(t)x(t), ˙ đó, a(t) : R+ → R hàm liên t c, nghi m x(t) c a h v i u ki n ban đ u x(t0) = x0 cho b i t x(t) = x0 a(t)dt t0 Do d ki m tra đư c h n đ nh n u t t0 a(τ )dτ ≤ µ(t0) < +∞, ∀ t ≥ t0 n đ nh ti m c n n u t lim t→∞ t0 a(τ )dτ = −∞ Đ gi i toán n đ nh h phi n, Lyapunov đưa hai phương pháp: - Phương pháp th nh t: N i dung c a phương pháp nghiên c u tính n đ nh thông qua s mũ Lyapunov ho c thông thư ng d a vào h x p x n tính N u v ph i đ t t tính n đ nh s đư c rút t tính n đ nh c a x p x n tính - Phương pháp th hai: Phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp đư c xem cách ti p c n nghiên c u v tính n đ nh N i dung c a phương pháp d a vào s t n t i c a m t l p hàm toàn phương đ c bi t (g i hàm Lyapunov) mà tính n đ nh c a h cho đư c ki m tra tr c ti p qua d u c a đ o hàm (d c theo qu đ o xét) c a hàm Lyapunov tương ng Hi n chưa có m t thu t toán t ng quát đ tìm đư c hàm Lyapunov cho t t c phương trình Sau xin trình bày nh ng k t qu c a phương pháp Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Lt (P ) = P (t) P (t) + Q ˙ P (t) 00 Khi tính n đ nh mũ c a h tương đương v i u ki n zT Lt(P )z < 0, Ntz = 0, t ∈ R+ T M nh đ 2.2 Đ nh lý 2.3, ta đưa h qu cho tính n đ nh mũ c a h LTV (2.12) sau H qu 2.1 [7] Cho A ∈ BC([0, ∞)Rn⋅n), u ki n sau tương đương (i) H LTV (2.12) n đ nh mũ, t c zT Lt(P )z < 0, (ii) ∃β > 0, ∀t ∈ R+ : t ∈ R+ Ntz = 0, z = 0, Lt(P ) − βNtT Nt < (iii) ∃M ∈ R2n⋅n, ∀t ∈ R+ : Lt(P ) + M Nt + NtT M T < 2.2.2 Bài toán n đ nh hóa Xét h u n n tính không ôtônôm x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), , ˙ x(0) = x0, (2.14) ∀t ≥ x(t) ∈ Rn vectơ tr ng thái, u(t) ∈ Rm vectơ u n, A(t) ∈ Rn⋅n, B(t) ∈ Rn⋅m ma tr n hàm Xét h u n liên h ngư c u(t) = K(t)x(t), t ≥ (2.15) Đ nh nghĩa 2.5 H u n (2.14) n đ nh hóa đư c n u có hàm u n liên h ngư c (2.15) cho h đóng x(t) = [A(t) + B(t)K(t)]x(t), ˙ n đ nh ti m c n 26 t ∈ R+ (2.16) Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Đ nh lý 2.6 H (2.14) n đ nh hóa đư c n u t n t i ma tr n P (t) đ i x ng, xác đ nh dương đ u, b ch n ma tr n h ng s Q > th a mãn phương trình Riccati sau : P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)BT (t)P (t) + Q = 0, hàm u n liên h ngư c là: t ≥ u(t) = −1BT (t)P (t)x(t), Ch ng minh Xét hàm Lyapunov cho h đóng (2.14): V (t, x(t)) =< P (t)x(t), x(t) >, ta có ngay: α2 x(t) ≤ V (t, x(t)) ≤ α1 x(t) 2, : α1 = sup P (t) t≥0 α2 = c, (< P (t)x, x >≥ c x 2, ∀t, ∀x) Đ o hàm theo t c a hàm V (.) ta có: V˙ (t, x(t)) =< P˙ (t)x(t), x(t) > +2 < P (t)x(t), x(t) > ˙ =< P˙ (t)x(t), x(t) > + < (AT (t)P (t) + P (t)A(t))x(t), x(t) > − < P (t)B(t)BT (t)x(t), x(t) > = − < Qx(t), x(t) > ≤ −λmin(Q) x(t) V y V (t, x(t)) hàm Lyapunov ch t c a h đóng Đ nh lý đư c ch ng minh Ví d 2.8 Xét tính n đ nh c a h sau:  ˙  x  =− et − 1x  t t 2− e − e t 2et 27 y Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Khi :  −et − A(t) =    2et e t − et −  , 2et Vì ma tr n P (t) = e0 e0t , t ma tr n đ i x ng, xác đ nh dương đ u ma tr n h ng s B(t) = t , Q= , 01 th a mãn phương trình Riccati: P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)BT (t)P (t) + Q = 0, V y h n đ nh hóa Sau ta xét toán n đ nh hóa đư c thông qua u n liên h ngư c theo đ u u(t) = F y(t) cho h u n quan sát sau x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), ˙ y(t) = C(t)x(t), t ≥ 0, đó, y(t) ∈ RP bi n quan sát đ u ra, C(t) ∈ Rp⋅n Đ nh nghĩa 2.6 H (2.17) n đ nh hóa đư c b i ma tr n n đ nh liên h ngư c theo đ u u(t) = K(t)y(t), n u h đóng: x(t) = [A(t) + B(t)K(t)C(t)]x(t), ˙ n đ nh ti m c n Ta gi s ma tr n hàm A(t), B(t), C(t) liên t c t ∈ R+, hàm u n u(t) ∈ L2([0, T ], Rm), ∀T > Do v i m i x0 ∈ Rn v i m i u n u(t), nghi m c a h (2.17) đư c cho b i x(t) = Φ(t, 0)x0 + t Φ(t, s)B(s)u(s)ds, φ(t, s) ma tr n chuy n n đ nh c a h 28 (2.17) Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Đ nh nghĩa 2.7 [6] H [A(t), B(t)] u n đư c hoàn toàn v th i gian h u h n n u v i m i x0 ∈ Rn, ∃T > u n u(t) cho Φ(N, 0)x0 + T Φ(T, s)B(s)u(s)ds = Đt N CT = Φ(T, s)B(s)BT (s)ΦT (s)ds, M (t) = [M0(t), M1(t), , Mn−1(t)], M0 = B(t), d Mi+1(t) = −A(t)Mi(t) + dtMi(t), i = 0, 1, , n − M nh đ 2.3 [6] H u n [A(t), B(t)] u n đư c hoàn toàn v th i gian h u h n n u ch n u th a mãn m t u ki n sau: (i) Ma tr n CT xác đ nh dương v i T > (ii) A(t), B(t) hàm kh tích rank M (t0) = n v i t0 > Cùng v i h [A(t), B(t)] ta xét RDE sau: P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)BT (t)P (t) + Q(t) = 0, (2.18) P (.), Q(.) ∈ Rn⋅n M nh đ 2.4 [3] N u h [A(t), B(t)] u n đư c hoàn v th i gian h u h n, v i m i ma tr n Q(t) đ i x ng, xác đ nh dương phương trình RDE (2.18) có nghi m P (t) ∈ M ([0, +∞), Rn ) + M nh đ 2.5 [7] V i m i ma tr n th c A(t) ∈ Rn⋅n, t n t i ma tr n Q(t) ≥ cho Q(t) − A(t) ≥ 0, ∀t ≥ 29 Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Ch ng minh Cho αt = (α1(t), α2(t), , αn(t) ∈ Rn, t ∈ R+, ta đ t  α (t) 0  α2(t) 0 Q ( α t) =    0 αn(t) Ta s ch r ng t n t i s αi(t), i = 1, 2, , n cho Q(α(t) − A(t) ≥ Đ t A(t) = [aij(t)], i, j = 1, 2, , n V i m i vectơ x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, ta có n < A(t)x, x >= i=1 n a2 (t)x2 + ij i i=j [aij(t) + aji(t)]xixj n Đt αi(t) = aii(t) + j=i a2 (t) + n − 1, ij Ta th y n < (Q(α(t)) − A(t))x, x >= (xi − 1aji(t)xj)2 ≥ i,j=1,i=j v i m i x ∈ Rn Đ t αi(t) ≥ max {αi(t), 0} M nh đ 2.6 [4] Cho A, B ∈ Rn⋅n ma tr n th c Khi u ki n sau tương đương: (i) AB + BA ≥ 0, n u A ≥ 0, B ≥ 0, (ii) λmin(A) ≥ 0, n u A ≥ đ i x ng Xét h u n n tính (2.17), A(t) ∈ Rn⋅n, B(t) ∈ Rn⋅m hàm liên t c Ta s s d ng gi thi t sau cho đ u c a n đ nh hóa: H.1 H u n n tính [A(t), B(t)] u n đư c hoàn toàn v th i gian h u h n H.2 Có D ∈ Rn⋅r cho DC đ i x ng th a mãn λmax(I − D(t)C(t)) ≤ ∀t ∈ R+ Đ nh lý sau ch r ng u n đư c hoàn toàn v đ m b o cho tính n đ nh hóa ngư c c a h (2.14) 30 (2.19) Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Đ nh lý 2.7 [7] Gi s r ng gi thi t H.1 H.2 th a mãn Khi h n tính (2.17) n đ nh Đi u n ngư c n đ nh đư c cho b i : ∀t ∈ R+, u(t) = −1BT (t)[P (t) + I]D(t)y(t), P (t) nghi m c a RDE (2.18) v i Q(t) = Q(αt) + I, > 0, th a mãn Q(αt) ≥ A(t) + AT (t) − B(t)BT (t)D(t)C(t) (2.20) Ch ng minh Cho D(t) ∈ Rn⋅r ma tr n xác đ nh t gi thi t H.2 T M nh đ 2.6 có αt ≥ cho ma tr n Q(αt) ≥ th a mãn u ki n (2.20) V i > 0, t tính u n đư c hoàn toàn v c a h [A(t), B(t)] v i h RDE (2.18), Q(t) = Q(αt) + I, t M nh đ 2.5, có nghi m P (t) ∈ M ([0, ∞), Rn ).Cho: + sup P (t) ∞ t∈R+ = p < +∞ Xét hàm sau: V (t, x) =< P (t)x, x > + x Ta s ch r ng hàm V (t, x) hàm Lyapunov c a h đóng (2.17) v i u n ngư c t ∈ R+ , u(t) = −1BT (t)[P (t) + I]H(t)x(t), H(t) = D(t)C(t) Th t v y, ta có V (t, x) ≤ p x +x = (p + 1) x M t khác, t P (t) ≥ 0, ta có V (t, x) =< P (t)x, x > + x ≥ x 2, Khi x ≤ V (t, x) ≤ (p + 1) x 2, 31 ∀x ∈ Rn Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính L y đ o hàm c a V (.) d c theo nghi m x(t) c a h (2.17), ta đư c V˙ (t, x) =< P˙ x, x > +2 < P x, x > +2 < x, x > ˙ ˙ T T = − x − < (Q − A − A + BB H)x, x > + < P BBT P x, x > − < P BBT P Hx, x > − < [P BBT H + BBT P H]x, x > = − x 2− < (Q − A − AT + BBT H)x, x > + < W P BBT P x, x > − < RHx, x >, (2.21) W = I − H, R = P BBT + BBT P , ý r ng < RHx, x > =< P BBT (I − H)x, x > + < BBT P (I − H)x, x > − < (P BBT + BBT P )x, x > =< W BBT P x, x > + < W P BBT x, x > − < Rx, x > Vì P (t), H(t) đ i x ng Khi t (2.21) ta có V˙ (t, x) = − x 2− < (Q − A − AT + BBT H)x, x > + < W P BBT P x, x > + < W BBT P x, x > + < W P BBT x, x > − < Rx, x > S d ng m nh đ 2.6 (ii), ta có V˙ (t, x) ≤ x 2+ < (Q − A − AT + BBT H)x, x > +λmax(W ) < P BBT P x, x > + λmax(W ) < P BBT x, x > +λmax(W ) < BBT P x, x > − < Rx, x > ≤ λmax(W )[< P BBT P x, x > + < Rx, x >]− < Rx, x > Hơn n a, ta có : < Rx, x >=< [P (t)B(t)BT (t) + B(t)BT (t)P (t)]x(t), x(t) >≥ Vì λmax(W ) ≤ 0, < P BBT x, x >≥ 0, < Rx, x >≥ 0, T (2.22) ta có: V˙ (t, x) ≤ − x 2− < (Q − A − AT + BBT H)x, x > S d ng u ki n (2.19) (2.20) ch n Q(t) trên, ta có < 0, ∀t, x, V˙ (t, x) ≤ − x 32 (2.22) Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính M t khác, V (t, x) ≤ (p + 1) x 2, ∀t ≥ Nên ta có ∀t ≥ V˙ (t, x(t)) ≤ −p− 1V (t, x(t)), + Đ nh lý đư c ch ng minh H qu 2.2 N u C(t) = I, ta có th l y D = I, u ki n (2.19) đư c th a mãn Trong trư ng h p này, Đ nh lý 2.7 ch r ng h [A(t), B(t)]- h u n đư c hoàn toàn v n đ nh b i u n liên h ngư c Tuy nhiên, − n u C(t) có h ng đ y, đ C(t)CT (t) kh ngh ch, D = CT (CCT ) 1, ta có D(t)C(t) = I, t c W = u ki n (2.19) th a mãn T ch ng minh c a Đ nh lý 2.7, ta t ng bư c tìm đư c u n ngư c c a h (2.15) Bư c Th l i tính u n đư c hoàn toàn v c a h (2.15) b i nh ng u ki n M nh đ 2.4 Bư c Xác đ nh D(t) th a mãn u ki n H.2 sau Q(αt) ≥ th a mãn u ki n (2.20) Ma tr n Q(αt) có th tìm đư c t M nh đ 2.6 Bư c Gi i RDE (2.18), Q(t) = Q(αt) + I ∀ > Bư c Đi u n liên h ngư c theo đ u đư c xác đ nh b i (2.16), K(t) = −1BT (t)[P (t) + I]D(t), t ∈ R+ Ví d 2.9 Xét h (2.14) R2, − 0.0625e t − 0.5et + 0.5 A(t) = B(t) = 005 e0 t , 0.5e C(t) = −2 − 0.5 , t (t + 1) , − 1 Vì A(t), B(t) kh vi, ta có rank M(0)=2 xét R2 M (0) = [M0(0), M1(0)] mà M0(0) = B(0) = 005 , nên ta có rankM0(0) = 33 Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Hơn n a: M1(0) = −A(0)M0(0) + dtM0(0) = 0.46875 , d nên rankM1(0) = V y rank M(0) = 2, t c h [A(t), B(t)] b i M nh đ 2.4 u n đư c hoàn toàn v V i λ(A(0)) = λ 0.0625 = 0.0625 0 ma tr n A(t) không n đ nh t+1 , H(t) = I, th W (t) = Tuy nhiên, ta tìm đư c D(t) = 0 N u ta l y αt = (0.45, 0.95), ta có Q(αt) ≥ A(t) + AT (t) − B(t)BT (t)H(t) Ly = 0.05, cho Q(t) = Q(αt) + 0.05I, RDE (2.18) có nghi m − 0.5e t P(t) = Vì th , h n đ nh v i u n liên h ngư c theo đ u u(t) = K(t)y(t), − K(t) = −t+1(0.125e t + 0.25) − −e t V i u n liên h ngư c theo đ u trên, h đóng có nghi m x(t), x(0) = (x1, x2) vectơ tr ng thái ban đ u D dàng ch đư c 00 r ng − − |x1(t)| ≤ |x1|e 0.125t, |x2(t)| ≤ |x2|e 0.5t 0 Khi h đóng n đ nh mũ Ví d 2.10 Xét h u n (2.14), R2, A(t), B(t) xác đ nh ví d 1+t C(t) = −t −1 −(1 + e ) Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính − T C(t)CT (t) kh ngh ch, ta l y D = CT (CCT ) v i − D= (1+t)(1+e t)2−(1+t) − (1+t)2(1+e t)2−(1+t)2 − −(1+t)(1+e t) −t 2 (1+t) (1+e ) −(1+t)2 − −(1+t) (1+e t) − (1+t)2(1+e t)2−(1+t)2 Trong trư ng h p ta có DC = 0 , − −(1+e t)2 − (1+e t)2−1 0 W (t) = I − D(t)C(t) = − (1+e t)2 V y u ki n (2.19) đư c th a mãn.Đi u n liên h ngư c theo đ u − −0.−125e t −−0.25 u(t) = t −t t − e (1+t) (1+e t) − (1+t)2(1+e t)2−(1+t)2 e (1+t)(1+e ) − (1+t)2(1+e t)2−(1+t)2 35 y(t) K T LU N Lu n văn gi i thi u m t cách t ng quan v n đ sau: Các ki n th c s v h phương trình vi phân, h phương trình vi phân u n, khái ni m v tính n đ nh, tính n đ nh hóa c a h phương trình vi phân ôtônôm không ôtônôm Trình bày m t s k t qu v tính n đ nh b ng phương pháp hàm Lyapunov v i ví d minh h a m i M t s k t qu v toán n đ nh hóa h u n 36 Tài li u tham kh o [1] Nguy n Th Hoàn Ph m Phu, Cơ s phương trình vi phân lý thuy t n đ nh, NXB Giáo D c, 2000 [2] Vũ Ng c Phát , Nh p môn lý thuy t u n toán h c , NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i, 2001 [3] A Bensoussan et al, Representation and Control of Infinite- Dimensional System , Vol II, Birkhauser, Boston, 1993 [4] P Finsler, Uber das Vokommen definiter und semidefiniter Formen in Scharen quadratischer Formen, Comment Math Helv (1973), 1432-1436 [5] J Klamka, Controllability of Dynamical Systems, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 1991 [6] V N Phat, Global stabilization for linear continuous time-varying systems, Appl Math Comput 175 (2006) 1730-1743 [7] V N Phat and V Jeyakumar, Stability, stabilization and duality for linear time-varying systems, optimization, 59 (2010), 447-460 37 ... Chương Tính n đ nh c a h phương trình vi phân n tính Trong chương này, trình bày m t s k t qu v tính n đ nh h phương trình vi phân n tính ôtônôm, không ôtônôm tính n đ nh hóa h u n không ôtônôm. .. ki n c n đ tính n đ nh c a h n tính không ôtônôm Đ ch ng minh, s d ng phương pháp hàm Lyapunov kĩ thu t đánh giá b t đ ng th c ma tr n n tính Ngoài ra, trình bày ng d ng c a h không ôtônôm toán... a phương pháp nghiên c u tính n đ nh thông qua s mũ Lyapunov ho c thông thư ng d a vào h x p x n tính N u v ph i đ t t tính n đ nh s đư c rút t tính n đ nh c a x p x n tính - Phương pháp th hai:

Ngày đăng: 02/05/2017, 12:27

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan