Góc định hướng và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH XUÂN HUY GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH XUÂN HUY GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRẦN TRUNG Thái Nguyên - 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa Học Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn - Tin, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Trần Trung, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy để luận văn hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức liên quan 1.1.1 Đoạn thẳng, đoạn thẳng định hướng 1.1.2 Vectơ, hướng vectơ 1.1.3 Hướng phương tia 1.1.4 Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng 1.2 Góc định hướng 1.2.1 Góc định hướng hai vectơ 1.2.2 Góc định hướng hai đường thẳng 1.2.3 Một số định lý góc định hướng hai vectơ góc định hướng hai đường thẳng 10 10 13 16 Ứng dụng góc định hướng giải tập hình học phẳng 2.1 Ứng dụng góc định hướng tốn góc 2.2 Ứng dụng toán đường thẳng 2.2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 2.2.2 Chứng minh đường thẳng đồng quy 2.2.3 Chứng minh đường thẳng song song, vng góc 2.3 Ứng dụng tốn đường trịn 2.4 Ứng dụng phép đồng dạng phép biến hình 2.5 Ứng dụng chứng minh số định lý điển hình 5 18 18 21 21 26 30 35 45 51 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 Mở đầu Hình học phẳng phận quan trọng tốn học Đây phân mơn có tính hệ thống chặt chẽ, có tính logic trừu tượng cao Rất nhiều tốn hình học phẳng tương đối khó việc tìm lời giải phải qua nhiều bước chứng minh, biện luận phức tạp đến kết luận Đặc biệt, tốn hình học phẳng góc, đường trịn, đường thẳng hay toán liên quan đến phép biến hình, phép đồng dạng thường khiến học sinh gặp nhiều khó khăn, lúng túng dễ mắc phải sai lầm Trong q trình học tập, nghiên cứu cơng tác, tơi nhận thấy việc giải tốn góc, đường trịn, đường thẳng, phép biến hình, đồng dạng đòi hỏi phải xét nhiều trường hợp thứ tự vị trí điểm, góc tốn Việc ứng dụng góc định hướng vào việc giải toán tạo nhiều thuận lợi Khái niệm tính chất liên quan đến góc định hướng khơng giảng dạy chương trình tốn Trung học phổ thơng đại trà chương trình Đại học giới thiệu sơ lược Với lí với mong muốn có tài liệu ví dụ minh họa cho đối tượng học sinh giỏi nên tác giả chọn đề tài "Góc định hướng ứng dụng giải tốn hình học phẳng" làm đề tài luận văn với mục tiêu tìm hiểu, nghiên cứu kiến thức góc định hướng hai tia, góc định hướng hai đường thẳng ứng dụng vào việc giải vài tốn hình học phẳng Thái Nguyên, ngày 28 tháng 12 năm 2015 Người thực Trịnh Xuân Huy Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số kiến thức liên quan Đoạn thẳng, đoạn thẳng định hướng Định nghĩa 1.1.1 [1] Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm khác A, B gọi đoạn thẳng, kí hiệu AB kí hiệu BA Bộ khơng phân biệt thứ tự gồm hai điểm trùng A, B gọi đoạn thẳng (đoạn thẳng-không, cần nhấn mạnh), kí hiệu cách sau AB, BA, AA, BB Định nghĩa 1.1.2 [1] Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai điểm (A, B) −→ gọi đoạn thẳng định hướng, kí hiệu AB −→ Khi điểm A, B trùng nhau, đoạn thẳng định hướng AB gọi đoạn thẳng định hướng-khơng, cịn kí hiệu cách sau −→ −−→ −→ BA, BB, AA Định nghĩa 1.1.3 [1] Hình thang tứ giác lồi có hai cạnh đối thuộc hai đường thẳng song song Định nghĩa 1.1.4 [1] Hình thang có cạnh đáy đoạn thẳng khơng gọi hình thang-khơng −→ −−→ Định nghĩa 1.1.5 [1] Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD gọi hướng tồn đoạn thẳng-khác không XY cho tứ giác ABY X CDY X hình thang (có thể hình thang-khơng) −→ −−→ −→ −−→ Để biểu thị AB, CD hướng ta viết AB CD ta viết −−→ −→ CD AB −→ −−→ Định nghĩa 1.1.6 [1] Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD gọi ngược hướng tồn đoạn thẳng-khác không XY cho tứ giác ABXY CDXY hình thang (có thể hình thang-khơng) −→ −−→ −→ −−→ Để biểu thị AB, CD ngược hướng ta viết AB ↑↓ CD ta viết −−→ −→ CD ↑↓ AB Định lý 1.1.1 [1] Với hai điểm A, B , ta có −→ −→ 1) AB ↑↑ AB −→ −→ 2) AB ↑↓ BA −→ −−→ −→ Định lý 1.1.2 [1] Với ba đoạn thẳng định hướng-khác khơng AB, CD, EF , ta có −→ −−→ −−→ −→ −→ −→ 1) Nếu AB ↑↑ CD; CD ↑↑ EF AB ↑↑ EF −→ −−→ −−→ −→ −→ −→ 2) Nếu AB ↑↑ CD; CD ↑↓ EF AB ↑↓ EF −→ −−→ −−→ −→ −→ −→ 3) Nếu AB ↑↓ CD; CD ↑↓ EF AB ↑↑ EF Nhận xét 1.1.1 [1] Theo định lý 1.1.1, định lý 1.1.2, dễ dàng thấy tập hợp đoạn thẳng định hướng-khác không quan hệ hướng quan hệ tương đương Định nghĩa 1.1.7 [1] Mỗi lớp tương đương sinh quan hệ hướng tập hợp đoạn thẳng định hướng-khác không gọi hướng đoạn thẳng định hướng −→ Hướng đoạn thẳng định hướng chứa đoạn thẳng định hướng AB −→ gọi đơn giản hướng đoạn thẳng định hướng AB Định nghĩa 1.1.8 [1] Hai hướng đoạn thẳng định hướng gọi ngược đoạn thẳng định hướng thuộc hướng đoạn thẳng định hướng đoạn thẳng định hướng thuộc hướng đoạn thẳng định hướng ngược hướng 1.1.2 Vectơ, hướng vectơ Theo định lý 1.1.1, định lý 1.1.2, ý tập hợp đoạn thẳng quan hệ quan hệ tương đương, dễ dàng thấy tập hợp đoạn thẳng định hướng quan hệ quan hệ tương đương Định nghĩa 1.1.9 [1] Mỗi lớp tương đương sinh quan hệ tập hợp đoạn thẳng định hướng gọi vectơ −→ −→ Vectơ chứa đoạn thẳng định hướng AB kí hiệu [AB] Vectơ chứa đoạn thẳng định hướng-không gọi vectơ-khơng, kí → − hiệu [ ] → − − Định nghĩa 1.1.10 [1] Hai vectơ [→ a ], [ b ] gọi hướng đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ hướng với đoạn thẳng → − − định hướng thuộc vectơ Kí hiệu [→ a ] [ b ] → − − Định nghĩa 1.1.11 [1] Hai vectơ [→ a ], [ b ] gọi ngược hướng đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ ngược hướng với đoạn → − − thẳng định hướng thuộc vectơ Kí hiệu [→ a ] ↑↓ [ b ] Định lý 1.1.3 [1] Với hai điểm A, B , ta có −→ −→ 1) [AB] ↑↑ [AB] −→ −→ 2) [AB] ↑↓ [BA] → − − − Định lý 1.1.4 [1] Với ba vectơ-khác không [→ a ], [ b ], [→ c ], ta có → − → − − −c ] [→ − −c ] 1) Nếu [→ a ] ↑↑ [ b ]; [ b ] ↑↑ [→ a ] ↑↑ [→ → − − 2) Nếu [→ a ] ↑↑ [ b ]; → − − 3) Nếu [→ a ] ↑↓ [ b ]; → − −c ] [→ − −c ] [ b ] ↑↓ [→ a ] ↑↓ [→ → − −c ] [→ − −c ] [ b ] ↑↓ [→ a ] ↑↑ [→ Nhận xét 1.1.2 [1] Theo định lý 1.1.3, định lý 1.1.4, dễ dàng thấy tập hợp vectơ-khác không quan hệ hướng quan hệ tương đương Định nghĩa 1.1.12 [1] Mỗi lớp tương đương sinh quan hệ hướng tập hợp vectơ-khác không gọi hướng vectơ Định nghĩa 1.1.13 [1] Hai hướng vectơ gọi ngược vectơ thuộc hướng vectơ vectơ thuộc hướng vectơ ngược hướng 1.1.3 Hướng phương tia Định nghĩa 1.1.14 [1] Hướng đoạn thẳng định hướng tương thích − → với tia Ix hướng đoạn thẳng định hướng IA với A thuộc tia Ix Định nghĩa 1.1.15 [1] Hai tia Ix, Jy gọi hướng hướng đoạn thẳng định hướng tương thích với chúng Hai tia Ix, Jy gọi ngược hướng hướng đoạn thẳng định hướng tương thích với chúng ngược Định nghĩa 1.1.16 [1] Hai tia Ix, Jy gọi phương chúng hướng ngược hướng Định lý 1.1.5 [1] Với tia Ix, ta có 1) Ix↑↑Ix 2) Ix↑↓ Ix , đây, Ix tia đối tia Ix Định lý 1.1.6 [1] Với ba tia Ix, Jy, Kz , ta có 1) Nếu Ix ↑↑ Jy; Jy ↑↑ Kz Ix ↑↑ Kz 2) Nếu Ix ↑↑ Jy; Jy ↑↓ Kz Ix ↑↓ Kz 3) Nếu Ix ↑↓ Jy; Jy ↑↓ Kz Ix ↑↑ Kz Nhận xét 1.1.3 [1] Theo định lí 1.1.5, định lý 1.1.6, dễ dàng thấy tập hợp tia quan hệ hướng quan hệ tương đương Định nghĩa 1.1.17 [1] Mỗi lớp tương đương sinh quan hệ hướng tập hợp tia gọi hướng tia Định nghĩa 1.1.18 [1] Hai hướng tia gọi ngược tia thuộc hướng tia tia thuộc hướng tia ngược hướng Định nghĩa 1.1.19 [1] Mỗi lớp tương đương sinh quan hệ phương tập hợp tia gọi phương tia 1.1.4 Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng −→ − Định nghĩa 1.1.20 [1] Đoạn thẳng định hướng AB vectơ [→ a ] −→ gọi hướng (ngược hướng) AB hướng (ngược hướng) với − đoạn thẳng định hướng thuộc [→ a ] ... 13 16 Ứng dụng góc định hướng giải tập hình học phẳng 2.1 Ứng dụng góc định hướng tốn góc 2.2 Ứng dụng toán đường thẳng 2.2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 2.2.2 Chứng minh... xét toán với hai lời giải khác Một lời giải không sử dụng khái niệm góc định hướng lời giải sử dụng khái niệm góc định hướng để thấy tính ưu việt việc sử dụng góc định hướng giải toán Bài toán. .. tượng học sinh giỏi nên tác giả chọn đề tài "Góc định hướng ứng dụng giải tốn hình học phẳng" làm đề tài luận văn với mục tiêu tìm hiểu, nghiên cứu kiến thức góc định hướng hai tia, góc định hướng