Đang tải... (xem toàn văn)
Cho đường tròn có bán kính cố định bằng R 0 , tam giác ABC nội tiếp đờng tròn đó... Tương tự ta có tan..[r]
(1)1 DAYHOCTOAN.VN Bài Cho ba số thực dương thỏa mãn 1 1
x y z xyz 1 Tìm giá trị lớn
2
1 1
y
x z
P
x y z
Lời giải:
Ta có A B C, , (0; ), A B C tan tan tan tan tan tan
2 2 2
A B B C C A
Theo giả thiết 1 x y y z z x 1 Ta có tan
2
A
x , tan
2
B
y , tan
2
C
z với A B C, , (0; ), A B C Ta có PsinAsinBcosC cos cos cos2
2 2
C AB C
2
1
2(cos cos ) cos
2 2 2
C AB AB
Vậy max
2
P Khi
2
6 C
A B
2
tan
12 3
x y z
Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 2
( 2)(2 1) ( 2)(2 1) ( 2)(2 1)
a b c
S
ab ab bc bc ac ac
Lời giải:
2
2
1 4
2 1
( 2)(2 1)
( )(2 ) ( ) ( )
a
a
ab ab
b b b b b
a a a a
đáp số : Min
3
S Dấu "" xảy a b c
Bài Tìm giá trị lớn biểu thức:
3
2
( )( )( )
x y P
x yz y zx z xy
, x, y, z số dương thỏa mãn: x y z
Lời giải:
Ta có : xyz z y yzy1z1
1 1
yzx z x zx x z
1 1
zxy x y xy x y
3 3
3 3
x y x y
P = =
(x+1) (y+1) (z-1) (x+1) (y+1) (x+ y) Theo CơSi ta có :
2
x x x
+ +1
2 ;
2
y y y
+ +1
2 ;
2
(2)2 DAYHOCTOAN.VN Vậy
3
2
x y
P
27 27 729
( x )( y )4 xy
4
Dấu "" xảy x y 2; z5 Vậy MaxP = 729
Bài Cho số dương a, b, c thoả
a b c CMR: B 13 13 13 729
a b c
Lời giải:
Ta có: B 13 13 13 313 3 31 3 31 313 3
a b c a b a c b c a b c
B 3
3 3 3 3 3 3
1 3 1 1
a b c a b c a b c a b c
= 3 2 21 3 31 abc a b c a b c
= 1 abc
Mặt khác:
3
ab
8
c a b c
3
3
1 729
1 B
Vậy 13 13 13 729
a b c
Dấu "" xảy
2
a b c Bài Cho
xyz z y x z y
x, , 0
CMR:
2 2
1 1
2
1 1
x y z
Lời giải: ) ( ) ( ) )( ( ) ( 1
2 x z
z y x y z x y x yz xyz z y x x xyz x
Tương tự VT
) ( ) ( 1 ; ) ( ) ( 1
2 y z
y z x z z z y z y x x y
Dấu "" xảy x y z 3
Bài Cho ABC nhọn thoả mãn hệ thức: tan3 tan3 tan3 tan tan tan
A B C
B C A Chứng minh tam giác ABC
Lời giải:
Do tam giác ABC nhọn nên tanA ,tanB , tanC Viết lại bất đẳng thức :
3 3
cot cot cot
1
cot cot cot
B C A
A B C
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
2
cot
cot cot cot cot
B
A B B
A
3
2
cot
cot cot cot cot
C
B C C
B
3
2
cot
cot cot cot cot
A
C A A
(3)3 DAYHOCTOAN.VN Suy ra :
3 3
2 2
cot cot cot
2( cot cot cot )
cot cot cot
B C A
A B C
A B C
vì cotAcotB cotBcotC cotCcotA Ta lại có 2
cot Acot Bcot CcotAcotB cotBcotC cotCcotA Từ suy :
3 3
cot cot cot
1
cot cot cot
B C A
A B C
Bài Cho ABC thỏa mãn
12 cot cot cot sin sin sin
2
A B C A B C
Chứng minh ABC cân
Lời giải:
Ta có 12
2 cot cot cot sin sin sin
2
A B C A B C
(1) 15 B sin B sin A sin C sin B sin A sin 2 2 (2)
Theo bất đăng thức si ta có :
12 A sin A sin A sin A sin A sin A sin 2
12
2 A sin A sin 16
Dấu "" xảy
3 A 2 A sin A sin A sin 16
Tương tự ta có 12 B sin B sin 16
; 12
2 C sin C sin 16 36 B sin B sin A sin C sin B sin A sin 16 2 (3)
Mặt khác ta có
2 B A cos B A cos B A sin 2 C sin B sin A
sin
2 B A sin 2 B A sin B A sin 2
2
Do đó: C sin B sin A
sin (4) Dấu "" xảy
3 B
A
Từ (3) (4) ta có:
2 14 36 C sin B sin A sin 14 B sin B sin A sin C sin B sin A sin 16 2 15 B sin B sin A sin C sin B sin A sin 2 2 (5)
(4)4 DAYHOCTOAN.VN Như tam giác ABC
Bài Với ; ;x y z0 thoả mãn: x4 y4z4 3 Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y 2z
Lời giải:
Ta có: với a0 Áp dụng BĐT Bunhiakopsky
2
2 1 2 2
ax
a
P a x a y z ay z
a a
2
4 2 4
1 16
P a x y z
a
2 43 1 2 16
P a
a
Dấu "=" xảy 2
2 2
2
4
x y
x y
ax z a x z
x z x az
a
3 2 2 16 a x z x z
a 316
Vậy dấu "=" xảy 4
4 4
16 x y
z x
x y z
3
4
3
3
;
2 16 16
x y z
Do
2
max 3
2
3 16
16
P
Bài Cho số dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện abc1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2 2
bc ca ab
P
a b a c b a b c c a c b
Lời giải:
2 2
( ) ( ) ( )
bc ca ab
P
a b c b a c c a b
2 2
1 1
a b c
b c a c a b
bc ac ab
2
1 1
1 1 1
a b c
b c c a a b
Đặt x a
, y b
, z c
Do abc 1 xyz1 , ,a b c dương suy x y z, , dương Ta có
2 2
x y z
P
y z z x x y
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có
4
x y z
x y z
,
2
4
y z x
y z x
,
2
4
z x y
z
x y
x y z
P x y z
3
3
2 2
x y z
P xyz
Dấu “=” xảy x y z hay a b c Vậy
3
(5)5 DAYHOCTOAN.VN Bài 10 Cho số dơng a b c, , thoả mãn :
4
a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức
3 3
1 1
3 3
P
a b b c c a
Lời giải:
áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có
3
1 1
3
x y z xyz
x y z xyz
1 1
x y z x y z
(*) áp dụng (*) ta có
3 3
1 1
3 3
P
a b b c c a
3
9
3 3
a b b c c a
áp dụng BĐT Cô si cho số dương ta có 3( 3 ).1.1 1 1( 3 2)
3
a b
a b a b
3( 3 ).1.1 1 1( 3 2)
3
b c
b c b c
3( 3 ).1.1 1 1( 3 2)
3
c a
c a c a
3 3
3 3 [4( ) 6]
3
a b b c c a a b c
3 P
Dấu “=” xảy
3
3 3
a b c
a b b c c a
1
a b c
Vậy minP =
Bài 11 Cho số dương , ,a b c thoả mãn a b c 3 Chứng minh rằng:
2 2
1 1
3
1 1
a b c
b c a
Lời giải: :
Bất đẳng thức tương đương với:
2 2
1 1
1 1 3
1 1
a b c
a b c a b c
b c a
Hay
2 2
2 2
1
3
1 1
a b b c c a
b c a
Bây ta dùng bất đẳng thức AM – GM cho mẫu thức:
2 2
1 1 1
1 1 2
a b b c c a a b b c c a
b c a b c a
1 1 1
2 2
a b b c c a
(6)6 DAYHOCTOAN.VN
3
3
ab bc ca
Vì
2 3
a b c ab bc ca
Bài 12 Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC tam giác
2 2
2
2 2 2
A B C A B B C C A
cos cos cos cos cos cos (*)
Lời giải:
2 2
(*) 4
2 2 2
A B C A B B C C A
cos cos cos cos cos cos
2 cos cos cos
2 2
A B B C C A
A A A cos cos cos
8sin sin sin
2 2 2
A B C A B B C C A
cos cos cos
(Nhân vế với
2 2
A B C
cos cos cos )
8sin sin sinA B C sinA sinB sinB sinC sinC sinA
sinA sinB sinC
(áp dụng BĐT Côsi)
A B C
(ĐPCM)
Bài 13 Chứng minh x, y, z ba số dương tuỳ ý với tam giác ABC, ta có: a) 1cos 1cos 1cos
2 2
x y z
A B C
x y z yz xz xy
b) Tam giác ABC có đặc điểm thoả mãn điều kiện: cos cos cos 2
C
A B
Lời giải
a) 1cos 1cos 1cos
2 2
x y z
A B C
x y z yz xz xy
Bất đẳng thức tương đương với:
2 2
2 cos cos cos
x y z yz A xz B xy C
2 2 2 2
cos sin cos sin cos cos cos
x B B y A A z yz A xz B xy A B
2 2 2 2
2
cos cos cos cos sin sin sin sin
2 cos cos
x B y A xy A B x B y A xy A B
z z y A x B
2 2
cos cos sin sin
x B A z x B y A
(luôn đúng)
Dấu xảy hệ sau thoả mãn:
cos cos
sin sin
x B y A z
x B y A
sin
cos cos
sin sin sin
x B
x B A z
A
x y
A B
sin sin
sin sin
x A B z A
x y
A B
sin sin
sin sin
x C z A
x y
A B
sin sin sin
x y z
A B C
(7)7 DAYHOCTOAN.VN
Tức tam giác ABC đồng dạng với tam giác có ba cạnh x, y, z
b) Tam giác ABC có đặc điểm thoả mãn điều kiện: cos cos cos 2
C
A B
Áp dụng phần a với x y 1, z
Nhận thấy
2 2
x y z
yz zx xy Theo kết câu a ABC đồng dạng với tam giác có ba cạnh 1, 1, Nghĩa tam giác ABC vuông cân C
Bài 14 Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc1 Chứng minh rằng:
1 1
1
1 1
a b b c c a
Lời giải
3 3 3 3
a b a b a ab b ab a b
3 3
1
a b ab a b
3
ab a b abc
3 3
ab a b c
3
3 3
3 3 3 3
1
1
abc c
a b ab a b c ab a b c a b c
Tương tự
3 3
1
a
b c a b c ,
3
3 3
1
b
c a a b c
Vậy 1 1
1 1
a b b c c a Đẳng thức xảy a b c
Bài 15 Cho ABC không tù Chứng minh rằng: tan tan tan tan tan tan 10
2 2 2
A B C A B C
Dấu xảy nào?
Lời giải
Đặt tan
A
x , tan
2
B
y , tan
2
C z
, , 0;1 x y z
xy yz zx x y z
Áp dụng BĐT Cơsi cho ba só khơng âm 1x, 1y, 1z ta được: 1 1 1 3
1 1
3
x y z
x y z
31 x y z xyyzzxxyz
32 x y z xyz
3
3 10
2
3
x y z
x y z xyz
(ĐPCM)
Dấu xảy 3 x y z
Bài 16 Cho số thực dương x, y, z thoả mãn x y z xyz Chứng minh rằng:
2 2
3 1
xyyzzx x y z
(8)8 DAYHOCTOAN.VN Ta có xyz x y z xyz
2
2
z xy xy z
xy 1 z2
z
(ta loại trường
hợp
2 1 z z
xy ,x y0)
Với
2 1 z xy
z
, ta có:
2
2 1
2 z 1
z x y z xy z z
z
Nên z x y2 1 1z2
Tương tự, ta có 2 1
x zy x , y x z2 1 1y2
Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta 2
3 1
xyyzzx x y z (ĐPCM) Bài 17 Tính góc tam giác ABC, biết cạnh a, b, c góc A, B, C thoả mãn hệ thức:
4
2 3 sin sin sin
2 2
p p a bc
A B C
với p nửa chu vi tam giác ABC
Lời giải:
4p p a bc a b c b c a bc b c 2a2bc b2 c2 a22bcbc
1
cos
2
A
cos
2
A
sin
2
A
sin
2 A
1
sin sin sin sin cos cos
2 2 2 2
A B C A B C B C
1
sin cos
2 2
A B C
2
1 1
sin
8 2
A
2
1 3
8 2
Dấu xảy
3 sin
2
cos
2 A
B C
2
6 A
B C
Bài 18 Cho , ,a b c0 thoả 21ab2bc8ca12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P
a b c
Lời giải
Đặt x a
, y b
, z c
Điều kiện toán trở thành , ,
2
x y z
xyz x y z
Bài toán quy tìm giá trị nhỏ P x y z
Từ 2xyz2x4y7z z2xy72x4y
2
2
2
xy
x y
z xy
Khi
14
2 11
2 2
x
x y x
P x y x y
xy x x xy
11
2
x
x x
(9)9 DAYHOCTOAN.VN Dễ dàng chứng minh được: 2
7
2 x x
7
11 9 11
2
2 2 2
x
P x x x
x x x
Vậy 15
P
3
a ,
5
b ,
2
c Dễ dàng CM 2
7
2 x x
Bài 19 Cho hai số x, y thoả x24y2 4 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức
2
4
M x xy y
Lời giải
Từ
2
2 2
4
2
x
x y y
Đặt sin
x
, ycos
2
16sin sin cos cos 3sin cos
M
Áp dụng BĐT Bunhiacopki ta có M đạt giá trị lớn 9 58 giá trị nhỏ 9 58
Cách 2:
2
2
4
4
x xy y
M
x y
sử dụng điều kiện có nghiệm phương tình bậc hai, ta có kết
Bài 20 Cho , ,a b c0 ab bc ca 1 Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2
2 2 1
1 1 1 1 1
a b c
a b c a b c
Lời giải
Từ điều kiện đầu bài, ta đặt tan
A
a , tan
2
B
b , tan
2
C
c A, B, C ba góc tam giác
Từ 2 2 2
2 2
2 2 1
1 1 1 1 1
a b c
a b c a b c
sin sin sin cos cos cos
2 2
A B C
A B C
*
Mặt khác ta có: sin sin sin cos sin cos
2 2
A B A B A B C
A B ,
sin sin cos
A
B C , sin sin cos
2
B
C A
Cộng bất đẳng thức trên, ta chứng minh * Bài 21 Cho tam giác ABC có góc thoả mãn
2
(10)10 DAYHOCTOAN.VN
Lời giải
Ta có:
2
A B C
3 C
cos
2
C
cos 2Acos 2B2 cos A B cos A B 2 cosCcos A B 2 cosC(do cosC0
cos A B 1)
Dấu xảy AB
2
C
Từ 2
4 cos 2 cos 1 cos
P C C C
8cos2C2cos2C 1 2cosC
2
4 2
16 cos C 8cos c 1 cosC 4 cos C 1 cosC 4
Dấu xảy
3
C Vậy P đạt giá trị nhỏ
3
A B C
Bài 22 Cho ba số dương a , b, c thoả mãn ab 1 c a b Tìm giá trị lớn biểu thức
2 2
1 1
a b c
P
a b c
Lời giải
Đặt atan, btan , c tan với , 0;
, 2;0
Từ giả thiết, ta có:
1 tan tan tan tan tan
ab c a b
1 tan tan tan tan tan
tan 2 tan
Đặt atan, btan, c tan với , 0; , ;0
2
2 k
,
2
nên
2
Mà Ptan cos 2tan cos 2tan cos 2 1sin sin 2 sin2
2
1
2 sin cos sin cos cos cos
2
P
2
cos cos
cos
2 4
P
Đẳng thức xảy
2
cos
cos
cos
2
1 cos
2
5 12
2
a b
(11)11 DAYHOCTOAN.VN Vậy GTLN P
4 a b 3, c
Bài 23 cho , ,x y z 0 Chứng minh
2 2 3 53
xy yz zx
P
z x z y x y x z y z y x
Lời giải
Đặt a y z, b z x, c x y
Khi a, b , c ba cạnh tam giác ABC
Ta có:
2
4
b c a c a b c a b
xy
z x z y ab ab
2 2
1 1
cos
4 2
c a b
C ab
Tương tự
12cos 12 yz
A
xy xz ,
1
cos
2
zx
B y z yx Suy cos cos 3cos
2
P C A B
Ta có cos cos 3cos cos cos 3cos
2 2
A C A C
C A B B
2
2sin cos 2sin
2 2
B A C B
2
3sin sin
2 2
B B
2
2 11 11
3 sin
2 6
B
Suy 11
2
P
Dấu xảy
2
sin
2 3
B
b a
A C a c
2
x y z
Bài 24. Câu Cho , ,
6 a b c a b c
Tìm GTNN
2 2
S a b c
b c a c a b
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có:
2 2
( ) (4 )
a a
b c b c
2 2
( ) (4 )
b b
a c a c
2 2
( ) (4 )
c c
b a b a
Cộng theo vế bất đẳng thức ta đợc: S 17 4(a b c) ( 1 )
a b b c a c
3
3
4( )
a b c
a b b c c a
( theo bất đẳng thức Côsi)
4(a b c)
a b b c a c
(12)12 DAYHOCTOAN.VN
2 2
9
4( )
(1 1 ) ( ) ( ) ( ) a b c
a b a c b c
9
4( )
6( )
a b c
a b c
31 9
( )
8 6( ) 6( )
a b c a b c
a b c a b c
2
31 93 51
.6
8
51 17 S
17
2
Vậy ưMin 17
S a b c
Bài 25 Câu Chứng minh tam giác ABC thoả mãn:
2 tan tan tan
2 2
A B C R
S
Bài giải:
Trong S, R diện tích bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC Ta có sin
2
S ab C 2 sin sin sinR A B C vào đẳng thức cho ta được: tan tan tan sin si
( ) R A nBsinC 9R
2
4 sin sin sin sin sin sin sin sin sin
2 2
A B C
B C A C A B
sin BsinCsinAsinCsinAsinB
2 sin sin cos sin sin cos sin sin cos
4
B C A A C B A B C
Theo BĐT Côsi: 2
sin s
sin Asin Bsin C A inBsinBsinCsinAsinC Nên
2 2 2
2 sin sin sin sin sin sin sin sin sin
4
VT A B C A B C A B C (*)
Dấu đẳng thức xảy ABC Chứng minh BĐT (*):
Ta có sin2 sin2 sin2 cos cos sin2
2
A B
M A B C C
1 cos A B cos A B cos C
2
2 cos C cosCcos A B
Xét cos2 c s
4 C o Ccos B
M A
2
1
cos cos sin
2
C A B A B
Dấu đẳng thức xảy ABC Suy điều phải chứng minh
Bài 26 Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức A2 11 2 y4 x y 5, với x, y số thực
thoả mãn 2
– – 6
(13)13 DAYHOCTOAN.VN
Bài giải:
Ta thấy 2 – – 6 6 0
x y x y phương trình đường trịn C tâmI 1;3 , bán kính R2 Vì x y, thoả mãn x2y2 – – 6x y 6 nên ta có
2 11
A y x y =2( 11 2 y+ 4x4y20)
=2( (x2y22x6y 6) (11 ) y + (x2y22x6y 6) (4x4y20)) = = 2(
2
(x1) (y4) + 2
(x1) (y5) )2NM PM, N 1; nằm bên C , 1;5
P nằm bên ngoài C ,M x y ; C Gọi Mo giao điểm đoạn thẳng PN với C
( ) vµ cïng h-íng
o
NMo NP M C
toạ độ điểm Mo nghiệm hệ
2
- - 6
1
0
2
x y x y
x y
1 23
5 x
y
1 23 ; 5
o
M
Với M x y ; C ta thấyNM PM PN 5, dấu “=” xảy M x y ; 23; 5
o
M
= PN ( )C
Vậy min A 2NMoPM 2.PN 2 , đạt
1 23
5 x
y
Bài 27 Câu Cho số thực a b c, , 1, a2b2c2 4 Tìm phần nguyên
1 1
2
a b c
B
a b c
(Phần nguyên số thực x số nguyên lớn không vượt quáx, kí hiệu x )
Bài giải:
Từ giả thiết suy 1a b c, , 2 Nh 2 –a a –1 0
2
a a ≤
2 Tương tự
b b ≤
2 ,
c c ≤
2
Do ta có 1
2
a b c
B
a b c
≤
2 (1)
Theo BĐT Cauchy ta có
2
a a
≥ .1 a
a= Tơng tự
2
b b
≥ 2,
2
c c
≥ Suy B = 1
2
a b c
a b c
(14)14 DAYHOCTOAN.VN
Bài 28 Câu Tìm giá trị lớn hàm số: f x y z , , yz x xz y xy z xyz
miền ( , , ) : 1; 2; 3
D x y z x y z
Bài giải:
, ,
f x y z x y z
x y z
Vận dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số ta có: x x 1.1
x x
2
2
y y
y y
2
; 3
3
z z
z z
2
Cộng vế vế bất đẳng thức ta đợc f x y z , , 1(1 1 )
2
Đẳng thức xảy x2,y4,z6 Do max f x y z , , 1(1 1 )
2 với x y z, , D Bài 29 Câu Cho x y, hai số dương thay đổi, có tổng bằng17
4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
2
1 11 11
1
x y
P x x
y y xy
Bài giải:
Ta có:
2
1
11
1
P x x
y y
x y
Đặt: t x y
Ta có:
2
2 3 47
11 12 12
2 4
P t t t t t
t t t
Đẳng thức xảy
2
t Giải hệ:
17 1 x y
x y
được:
4
x vày4
Vậy: Min 47
P đạt
4
x y4
Bài 30 Câu Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
2
2
3
x xy y
P
x xy y
Bài giải:
•y0 P1 • y0
2
3 1
t t
P
t t
với x t
(15)15 DAYHOCTOAN.VN
Gọi P giá trị phương trình sau ẩn t phải có nghiệm
1
P t t t t
1 3 – 1 0
P t P t P
có nghiệm
Hay 2 2
(3 ) 4(1 ) (*) P
P P
(*) 3P2 – 6P13 0 1 3 P 1 Vậy giá trị lớn P1
Vậy giá trị nhỏ P 1 3
Bài 31 Câu Cho , ,a b c ba số thực dương.Chứng minh rằng: a b c b c a c b a
Bài giải:
2 ( )
a a a
b c a b c a b c
( )
b b b
a c b a c a b c
( )
c c c
b a c b a a b c
Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta có điều phải chứng minh Bài 32 Câu Tìm GTNN 2 2
6 12 45 10 16 89
P x y x y x y x y
Bài giải:
2 2
6 12 45 10 16 89
P x y x y x y x y Biến đổi; 2 2 2 2
3
P x y x y
Trong mặt phẳng toạ độ với hệ Oxy ta gọi đường thẳng có phương trình:x2y 4 0và điểm M x y ; ,A 3;6 ,B 5;8 PMAMB
Bài tốn trở thành tìm toạ độ điểm M thuộc cho tổng MAMB đạt giá trị nhỏ Rõ ràng ,A B nằm phía với
Ta tìm điểm A 5; ,đối xứng A qua
Với M thuộc ta có:MAMBMAMBA B (khơng đổi)
Đẳng thức xảy ,A M B , thẳng hàng hay M giao điểm với đường thẳng A B
Tìm PT đường thẳng A B x– 0
Giải hệ PT: x
x y
5 x y
Kết kuận:MinP6
5 x y
(16)16 DAYHOCTOAN.VN Bài 33 Câu 10 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn: 12 12 12
a b c Tìm GTLN biểu thức:
2 2 2
1 1
5 2 2 2
T
a ab b b bc c c ac a
Bài giải:
Ta có: •
2 2 2
1
5a 2ab 2b 3a 2a 2ab 2b
1 3a 6ab
2
3a 6ab 4
1 1
3a 3ab 3ab 9 a b 3 a b
3 3
1
3 a b a a b
3 3
1 1
3 a a b
1 12 12 12
3 a a b
2 2
3
1 1 1
3
3 a b a a b
2 2
2 2 2
1 1
1
1 1 1 1 1
2
3 3 6
a a b
a a b a a b
Suy ra: 2 2 2
2
1 1 1
6
5a 2ab 2b a a b
Tương tự ta có: 2 2 2
2
1 1 1
6
5b 2bc 2c b b c
2 2 2
2
1 1 1
6
5c 2ac 2a c c a
12 12 12 1
6 3 3
T
a b c
Vậy
3
T
Max a b c
Bài 34 Câu 11 Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x y z xyz.Chứng minh rằng:
2
1
1 x y 1 z
xyz
x y z
(I)
Bài giải:
Giả thiết suy ra: 1 1 xy yzzx Ta có:
2
2
1 x 1 1 1 1
x x xy yz zx x y x z
1 1 x y z
Dấu ""xảy y z
(17)17 DAYHOCTOAN.VN
2
1
1 x y 1 z
x y z
1
x y z
Dấu ""xảy x y z Ta chứng minh:3 1 xyz
x y z
2
3 xy yz zx xyz x y z
2 2 2
0
x y y z z x
(Điều luông đúng) Dấu có x y z
Vậy I chứng minh,dấu có x y z
Bài 35 Câu 12 Cho x y z, , số dương thỏa mãn điều kiện: x2y2z2 2011 Tìm giá trị nhỏ P xy yz zx
z x y
Bài giải:
2 2 2
2 2
2 2
x y x z z y
P x y z
z y x
=
2 2 2
2 2 2.2011
x y x z z y
z y x
Ta có,theo BĐT Cosi:
2 2 2
2 2
2 2
x y x z z y
x y z
z y x
Nên P2 3.2011 P 3.2011
Vậy GTLN P 3.2011 đạt đợc 2011 x y z
Bài 36 [0D4-4] Cho a,b,c số dương thỏa mãn:ab bc ca 3 Chứng minh :
2 2 2
1 1 1 1
+ +
1+ a b+ c 1+b c + a 1+ c a +b abc Lời giải
Từ giả thiết 3 = ab+bc+ca3 a b c3 2 2 2 3 a b c2 2 2 1
abc 1
Nên ta có :
2
1 1
1a b c abca b c a ab bc ca 3a Tương tự:
2
1 1
1+b c + a 3b; 2
1 1
1+ c a +b 3c Cộng vế với vế BĐT ta được:
2 2
1 1 1 1
3 3
1 ( ) ( ) ( )
ab bc ca
a b c abc abc
a b c b a c c b a
Dấu xảy a b c 1.
Bài 37 [0D4-4] G Cho ba số thực không âm a b c, , thỏa mãn điều kiện: a b c 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Fab bc ca 2abc
(18)18 DAYHOCTOAN.VN Điều kiện: x 2
Từ giả thiết, a; b;c 0;1 0 abc1
Ta có ab bc ca 3 (abc)3 3 (abc)3 3abc2abc, suy F0 Dấu có xảy ra, chẳng hạn a b 0; c1
Vậy giá trị nhỏ Flà đạt a b 0; c1 hốn vị Khơng tính tổng qt giải sử a b c a 0;
3
Ta có: ab bc ca 2abc a b c bc 2a a a 1b c 2 2a
1 2
a a a 2a
4
1
1 a 2a a 1 2a a
4 4
3
1 2a a a
1
4 27
Vậy giá trị lớn P
27 đạt khi:
1
a b c
3
Bài 38 [0D4-4] Cho a,b,c số thực khác 0.Chứn minh rằng: a b b c c a
c a b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 6 Dấu
đẳng thức xảy nào?
Lời giải
2
t t mx m 2 Ta có:
( ) ( ) ( )
a b b c c a a b a c b c
c a b b a c a c b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Do a,b,c khác0 nên a2, b2,c2 số dương.Á dụng bất đẳng thức cauchy ta có: a b
b a
2 2 2 2 a b
b a 2 2 2 2
2 2, a c
c a
2 2 2 2
a c c a 2 2 2 2
2 2, b c
c b
2 2 2 2
b c c b 2 2 2 2
2 2
Vậy a b b c c a
c a b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 6
Dấu “=” xảy a2 b2 c2
Bài 39 [2D1-4] Chứng minh: x2ax b 2 x2cxd 2 2x212 với a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: 2 2
1 a b c d
Lời giải
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho cặp số:x x; ;1 x a b; ; ta có:
2 2 2 2 2 2
) ( 1)( ) (2 1)( )
(19)19 DAYHOCTOAN.VN
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho cặp số:x x; ;1 x c d; ; ta có:
) d c x )( x ( ) d c x )( x x ( ) d cx x
( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Từ 1 2 suy ra:
2 2 2 2 2 2
(x ax b ) (x cxd) (2x 1)(x a b ) (2 x 1)(x c d )
) d c b a x )( x
( 2 2 2 2 2
2 2 ) x ( ) x )( x (
( Vì a2b2 c2 d2 1) Vậy: 2 2 2
2
x ax b x cxd x Đẳng thức xảy
2 1
x a b c d
x x
a c bxdx
Bài 40 [0D4-4] Cho a1,a2, a10 số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 2
1 10
10
a a a
P
a a a a
Lời giải
Ta có: 2 2 2 2
1 10 10 10 10
1 1
9 9
a a a a a a a a a Áp dụng BĐT cauchy ta có: 1 10
10
1 a a
3 a
a
22 102 a2a10
3 a
a
2
9 10 10
1
9
a a a a
12 22 102 a10a1 a2 a9
2 a a
a
) a a a ( a ) a a a ( a a a a a a a a P 10 10 10 10 2
Bài 41 [0D4-4] Chứng minh rằng: 1 2; ,
n n
n n n n n n
n n
Lời giải Từ điều kiện n , n1 ta có: n
n n
n
n n
n
n n
Áp dụng BĐT cauchy cho n số dương: ;1;1; ;1
n
n n
ta có:
1 1.1
n n
n n n n
n n
(20)20 DAYHOCTOAN.VN
1
n
n
n n
1 n
n n
n n
n
n n
1 Áp dụng BĐT cauchy cho n số dương: ;1;1; ;1
n
n n
ta có:
1 1.1
n n
n n n n
n n
1
1
n
n
n n
1 n
n n
n n
n
n n
2
Từ 1 và 2 suy ra:
n n n
n n
n n
n
n
n n
n n
n
Đẳng thức khơng thể xảy n , n1 ta có:
n n 1 n
n
n n
Vậy:
n n n
n
1 n
n n
n
Bài 42 [0D4-4] Cho ai,bi ,i1, 2,3
a)Chứng minh rằng: 2
3 2 1 2 2 2
1 a a b b b a b a b a b
a 1
b) Giả sử a a1 2a a2 3a a3 14 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4
1
Pa a a Lời giải
a) TH1: Nếu a1a2 a30 b1 b2 b3 0 BĐT TH2: Nếu 2
1
a a a
Xét hàm số: 2 2 2 2
1 1 2 3
f x a a a x a b a b a b x b b b a x b1 1 2 a x b2 2 2 a x b3 320 với x Theo định lý dấu tam thức bậc hai thì:
2 2
1
0
a a a
mà 2
1
a a a 0a b1 1a b2 2a b3 32 a12a22a32b12b22b32 Đẳng thức xảy
1
a
a a
b b b
b) Áp dụng BĐT 1 ta có:
2 2
4 4 4
1 1 2 3
a a a a a a a a a a a a 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 1 2 3
a a a a a a a a a a a a
2 2
1 2 3
16
3
a a a a a a
3
Thay 3 vào 2 ta được:
2
4 4
1
16
a a a
16
3
(21)21 DAYHOCTOAN.VN Vậy giá trị nhỏ P là: 16
3
P 1 2 3
3
a a a
Bài 43 [0D4-4] Cho x y z, , không âm thỏa mãn: xyyzzxxyz4 Chứng minh rằng: x y z xyyzzx
Lời giải
Ta có: xyyzzxxyz4 xyyzzx4xyz 1 Do đó: xyzxyyzzx xyz4xyz (2)
Từ điều kiện đề bày , ,x y z không đồng thời không, có tối đa số khơng Khơng tính tổng quát giả sử rằng: ,x y0
Từ 1 ta có:
xy y x
xy z
Khi đó: 2 x y xy xy xy
x y xy x y xy
xy2xy x y 4 xy4xy4xy4xyx y2 x y 22xy1x1y (3)
i) Nếu 1x1y0 3 hiển nhiên
Đẳng thức xảy xy22 xy(1x)(1y)0xy1 Kết hợp với 2 ta có: x y z
ii) Nếu (1x)(1y)0 Ta có:
2 2
2 1
x y x y (1 x)2 (1 y)22(1x)(1y)4(1x)(1y)
xy22 4(1x)(1y)
4
Nhưng do:
xy y x
xy
z
,x y 0 xy0 4 xy 5 Từ 4 5 suy 3 chứng minh
Bài 44 Bài 27. Cho số thực a b c d, , , thoả mãn 4a2b2 2vàc d 4 Tìm giá trị lớn biểu thức P2ac bd cd
Bài giải:
Ta có
2
2
4
c
ac a
2
2
d
bd b
2
3
8
c d cd
cd
Cộng vế 1 , , ta có
2 2
2
2 2
2 4
4 8
c d c d
c d cd
P ac bd cd a b a b
8 ; ; ; ;1; 2; 2
P a b c d
Vậy giá trị lớp Pbằng
Bài 45 Bài 31 Cho a b c, , ba cạnh tam giác, chứng minh
2 2
2( ).
a b c abbcca
(22)22 DAYHOCTOAN.VN Trước hết ta chứng minh 2
(b c ) a
Tương tự: 2 2
(a c ) b , (b a ) c Từ suy ra:
2 2 2
2 2
( ) ( ) ( )
2( ) ( ).
b c a c b a a b c
a b c ab bc ca dpcm
Bài 46 Bài 33 Cho , ,x y zlà số dương thỏa mãn điều kiện x2 y2 z2 2012. Tìm giá trị nhỏ P xy yz zx
z x y
Bài giải:
2 2 2
2 2
2 2 2
x y x z z y
P x y z
z y x
2 2 2
2 2 2.2012
x y x z z y
z y x
Ta có, theo BĐT Cơsi:
2 2 2
2 2
2 2
x y x z z y
x y z
z y x
2
3.2012 3.2012
P P
3.2012 MinP
2012
3 x y z
Bài 47 Bài 34 Cho x y z, , số thực thỏa mãn :x2 xy 4y2 3yz z2 3 2 Chứng minh
rằng x 5y z 13 2
2 2 Dấu " " xảy nào?
Bài giải:
Ta có: x2 xy 4y2 3yz z2 (x 1y)2 (3y z)2 3y2 3 2
2 2 2
Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có:
(x y z) (x y) ( y z) y 2 2
5 1 3 1
2 2 2 2 (x y) ( y z) ( y)
2
1 3 1 3
2 2 6 2
( 2 2 ( 1 ) ) (2 x 1y)2 (3y z)2 3y2
1 1
2 2 2
6
(x 5y z)2 13 2
2 2 x y z
5 13
2
(23)23 DAYHOCTOAN.VN Dấu " " xảy
x xy y yz z
y
x y y z
2 2 2
4 3 3 2
3 1 3 2 2 2 1 1 1 6 x y z
5 2 2 2 13
2 2 13 3 2 2 2 13
Bài 48 Bài 38 Cho , ,x y z0, x y z Tìm MaxP ,
2 2 2
xy yz zx
P
x y y z z x
Bài giải:
1
2
2 1
cyc cyc cyc
xy xy xy xy xy
P xy
x y x y x y
3 ( )
3
xyyzzx x y z xyyzzx 2
2
xy x y
x y x y xy
x y
Nên (2 2 )
9 9
x y y z z x
P
Bài 49 Bài 39 Chứng minh:
3 2 4
xy yz xz x y z
x y z x y z x y z
Bài giải:
Áp dụng BĐT :
9 1 1 1 )
( A B C
(24)24 DAYHOCTOAN.VN
Tương tự 9( )(3)
2 81
2
4 x y z
xz x
z z y x
xz
Từ (1);(2);(3) ta có
9 27
) (
2 27 )
(
) (
2 27
z y x z y x z y x z y x
zx yz xy z
y x
Q
Vì 2
3
z y x zx yz
xy
Cách 2: xy yz zx x y z.
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 9
Áp dụng
2 2
(a b c) a b c
A B C A B C
với , ,a b c không âm A B, dương Dấu " " xảy a b c
A B C ta có:
2
6 2 1
xy xy xy xy 18 2 1
.
3x 4y 2z 2(x y z) 2y x 81 2(x y z) 2y x 81 x y z y x
xy 1 18xy
2x y (1)
3x 4y 2z 81 x y z Dấu " " xảy x y z
Tương tự ta có: yz 1 18yz 2y z
3y 4z 2x 81 x y z
(2)
Dấu " " xảy x y z
zx 1 18zx
2z x
3z 4x 2y 81 x y z
(3) Dấu " " xảy x y z Cộng vế với vế (1);(2) (3) ta được:
xy yz zx 1 18(xy yz zx)
3x 3y 3z
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 81 x y z
Lại có 3(xyyzzx)(x y z)2
2
xy yz zx 1 6(x y z)
3x 3y 3z
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 81 x y z
x y z 9
(ĐPCM) Dấu " " xảy x y z
Cách 3: xy yz zx x y z
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 9
9xy 9yz 9zx
x y z
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y
(25)25 DAYHOCTOAN.VN Ta có:
1 1
x y z x y z x 2y 3x 4y 2z
2xy xy 9xy
x y z x 2y 3x 4y 2z
Tương tự: 2yz yz 9yz x y zy 2z 3y 4z 2x ;
2zx zx 9zx
x y zz 2x 3z 4x 2y Cộng vế bất đẳng thức trên, ta được:
2
9xy 9yz 9zx xy yz zx xy yz zx
2
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y x y z x 2y y 2z z 2x
x y z xy yz zx xy yz zx
2 x y z
3 x y z x 2y y 2z z 2x x 2y y 2z z 2x
Ta cần chứng minh: xy yz zx x y z x 2y y 2z z 2x 3
Thật vậy: x 2y 2x y x y y x x y 9xy 2x y xy
9 x 2y
Tương tự: 2y z yz ; 2z x zx
9 y 2z 9 z 2x
3
Suy xy yz zx x y z. x 2y y 2z z 2x 3
(Điều phải chứng minh)
Bất đẳng thức chứng minh
Dấu xảy x y z Bài 50 Bài 42 Chứng minh bất đẳng thức :
2 2 3 1 2 z y x x z z z y y y x
x
biết , ,x y z
là số thực dương
Bài giải:
Ta có: 1 (1)
2 1 2
2 2
2 3
x y x y x y
x y
x x
1 (2)
1
2 2
2
z y z
y y
; 1 (3)
1
2 2
2
x z x
z z
Cộng với vế (1);(2);(3) ta đpcm
Bài 51 Bài 44 Cho x ylà hai số dương thỏa mãn x y 2010 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu
thức:
2010 2010 x y P x y Bài giải:
2010 y 2010 x 2010( ) ( )(1)
P x y
(26)26 DAYHOCTOAN.VN Theo BĐT Cô si ta có
y x y
x
4
1
Đẳng thức xảy x y(2)
TheoBĐT Bunhiacốpski ta có( x y )2 2(x y)2.20104020 x y 4020(3) Đẳng thức xảy x y
Từ (1);(2) (3) ta suy 2010.4 4020 4020 4020
P Đẳng thức xảy x y
Vậy P đạt GTNN 4020 khix y 1005
Bài 52 Bài 45 Cho , ,x y z số thực dương thỏa mãn x y z xyz Chứng minh rằng:
2 1 1
1 1
(1) y
x z
xyz
x y z
Bài giải:
Giả thiết suy ra: 1 1 xyyzzx
Ta Có:
2
1 x 1 1 1 1
x x xy yz zx x y x z
1 1
;" " y z x y z
Viết hai BĐT tương tự cộng lại ta được:
2
2
1
1 1 1 1
y
x z
x y z
1 1
3 ;" " x y z x y z
Ta CM:3 1 xyz x y z
2
3 xy yz zx xyz x y z
xy 2 y z 2 z x2 0Điều lng
Dấu có , ,x y zVậy (I) CM, dấu có khix y z
Bài 53 Bài 49 Cho , ,a b clà số dương thỏa mãn : ab bc ca 3 Chứng minh :
2 2
1 1 1 1
1 a bc 1 b c a 1 c a b abc
Bài giải:
Từ giả thiết 2
3ab bc ca 3 a b c abc1 Nên ta có :
2
1 1
1 a b c abc a b c a ab bc ca 3a Tương tự
2
1 1
;
(27)27 DAYHOCTOAN.VN
Bài 54 Bài 51 Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện : 3 3c
1 2b
1 a 1
Tìm giá trị lớn biểu thức : 3 3 3 3 3 3
27c a
3ca c
27 8b
6bc b
8 a
2ab F
Bài giải:
Với ,x y0, ta có :x3y3xy x( y) Từ :
y x
1 y
x xy
3
3
Mà )
y 1 x 1 ( 4 1 y x
1
Vậy : 3 3 3 3 3 3
c 27 a
3ca c
27 8b
6bc b
8 a
2ab F
2 3 ) a 1 3c
1 3c
1 2b
1 2b
1 a 1 ( 4
1
Dấu xảy a2b3c1,khi
2 3 max F
Bài 55 Cho a b hai số thực dương, m số tự nhiên Chứng minh:
1
m m
m
b a
a b
Bài giải:
0,
a b nên b 0,1 a
a b
Áp dụng bđt Cosi:
1
m m
m m
b a
a b
Nên 1 1
m m m m
b a b a
a b a b
Hay: 1 2
m m m
b a b a
a b a b
Áp dụng bđt Cosi cho số b 0,a
a b : Ta có:
b a
a b
Bài 56. Cho hai số x y, thoả mãn 2
4x y 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ M x23xy2y2
Bài giải:
Ta có
2 2
2 2
4( - ) -12
4
x xy y x xy y
M
x y x y
+ y0 M 1
+ y0
2 -12
, ( ) (*)
t t x
M t
t y
Gọi M giá trị * 4M 1t212tM 8 0có nghiệm t *, 1,
12
(28)28 DAYHOCTOAN.VN *, M 1 để * có nghiệm ’ 4 2– 9 –1 0
D M M M 85 9; 85
2
Vậy giá trị nhỏ 85 M
Bài 57 Cho x y, thỏa mãn: x2y2 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P 2x2xy 2y2
Bài giải: Cách 1: Ta xét trường hợp:
TH1:y 0 x2 1 Khi P
TH2: y0 ta đặt xk y ĐK toán trở thành 2
(k 1)y 1 P( 2k k 2)y2 Do
2 2
2
2 2
( 2) 2
( 2) ( 2)
1 ( 1)
P k k y k k
P P k k P
k y k
(*)
Để (*) có nghiệm 0 hay 4.( 2)( 2)
P P P
suy
2
P Khi
2
P thay vào (*) k 2
Suy
2
2
1 (3 2)
1 18 12
1 2 y
k
Nếu y 2
18 12
1 18 12 x
Nếu y 2
18 12
1 18 12
x
Vậy ax
3 m
P với x y; nhận giá trị
Cách 2: Áp dụng BĐT aba2b2 ta
2
2 2 2
P x y x y
2
2
2 2 2
2
2
x y
x y
(29)29 DAYHOCTOAN.VN Trong mặt phẳng tọa độ chọn u v cho
2
.( )
2
P u v
u v x y
Khi chọn xong ta có BĐT: u v u v
Từ tìm GTLN P xét điều kiện xảy dấu “=” u v Bài 58 Cho số x y z t; ; ; x4;y6;z7;t8 Tìm giá trị lớn
A xyz t xyt z xzt y yzt x 4 xyzt
Bài giải:
Từ gt ta có A t z y x
t z y x
= 8 7 6 4
8
y
t z x
t z y x
1 1
2 8
t z y x
t z y x
Vậy GTLN A MaxA= 1 1
2 82 2 2
4
6
7
8
x y z t
hay
8; 12 14; 16
x y z t
Bài 59 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x A
x
Với x14;
Bài giải:
5
8
2
8 8
x x
A x x
x x x
- Áp dụng Cosi
2
x
x
Đẳng thức xảy khi:
2
x
x
x14 - Với 14
2
x x Đẳng thức xảy x14 Vậy:
2
A Đẳng thức xảy x14
Bài 60 Cho số dương a b c; ; thỏa mãn điều kiện a b c 3 Chứng minh: 2 2 2
1 1
a b c
b c a
Bài giải:
Ta có:
2
2
1 2
a ab ab ab
a a a
b b b
(30)30 DAYHOCTOAN.VN
2 2 2
1 1 2
a b c ab bc ca
a b c
b c a
(Do a b c 3 nên dễ có: ab bc ca 3) Đẳng thức xảy a b c
Bài 61 CMR với tam giác ABC ta có: 1) sin2 Asin2Bsin2C 2 cos cos cosA B C
2) sin sin sin cos cos cos
4 4
A B C
A B C
Bài giải:
1) cos cos 2
sin cos( ).cos( ) cos
2
A B
VT C AB AB C
2 cosC cos(A B) cosC cosC cos(A B) cos(A B)
2 2cos cos cosA B C
2)Áp dụng BĐT Bunhia ta có:
1 sin sin 2(2 sin sin ) 2(2 2sin cos )
2
A B A B
A B A B
2 cos 2 cos , (1)
2
C C
1 sin sin 2 cos , (2) sin sin 2 cos , (3)
4
A B
B C C A
Cộng theo vế ba BĐT suy điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy khi tam giác ABC
Bài 62 Cho đường trịn có bán kính cố định R0, tam giác ABC nội tiếp đờng trịn Gọi m m ma, b, c lần lợt độ dài đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh A B C, , tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức sin sin sin
a b c
A B C
P
m m m
Bài giải:
Áp dụng định lí Sin ta có :
0 1
(1) 2 a 2 b 2 c
a b c
P
R m m m
Mặt khác:
2 2
2 4 3 2 2
2 4
a a
b c a
m m a a b c
Theo BĐT Côsi: 4 3 4
a a
m a a m Suy
2
2 2
3 2 a
a a
m a b c ,
Tơng tự:
2
2 2
3 2 b
b b
m a b c ,
2
2 2
3 2 c
c c
m a b c
Thay vào 1 :
0 3 P
R
KL: Giá trị nhỏ
0 3 P
R
(31)31 DAYHOCTOAN.VN
Bài 63 Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn xyyzzx3 Chứng minh bất đẳng thức:
2 2
3 3
8 8
x y z
x y z
Bài giải:
Theo bất đẳng thức Cauchy cho số thực dương ta có:
2
3 ( 2) ( 4)
8 ( 2)( 4)
2
x x x x x
x x x x
2
2
2
x x
x x
x
Tương tự, ta có: 2 2 2
3
2
;
6
8
y y z z
y y z z
y z
Từ suy ra:
2 2 2
2 2
3 3
2 2
6 6
8 8
x y z x y z
x x y y z z
x y z
(1)
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
2 2
2 2 2
2 2 2( )
6 6 ( ) 18
x y z x y z
x x y y z z x y z x y z
(2)
Ta chứng minh:
2
2 2
2( )
1
( ) 18
x y z
x y z x y z
Thật vậy, ta có:
x2y2 z2 (x y z) 18
2
2 18
x y z x y z xy yz zx
2
12
x y z x y z
Nên 3 2(x y z)2x2y2 z2 (x y z) 18 x2y2 z2 x y z
Mặt khác, x, y, z số dương nên ta có: x2y2z2 xyyzzx,
3( )
x y z xyyzzx
Mà xyyzzx3 nên bất đẳng thức (3) Từ (1), (2) (3), ta có đpcm
Đẳng thức xảy x y z Bài 64 Tìm GTLN 2 3
1 , 1;3
y x x x
Bài giải:
Ta có :72y(3x3) (6 )2 x
Áp dụng Côsi :(3x 3) (3x 3) (6 ) (6 ) (6 )x x x 5 725 y
13 13
5
3
min
8.5 8.5
y y
5
x
Bài 65 Cho a b c, , số dương thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng:
a b b c c a
ab c bc a ca b
(32)32 DAYHOCTOAN.VN
Biến đổi 1
1 (1 )(1 )
a b c c
ab c ab b a a b
Từ 1
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
VT
a b c a c b
Do a b c, , dương a b c 1 nên a b c, , thuộc khoảng 0;1 1 a,1b,1c dương áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta
3
1 1
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
VT
a b c a c b
3 (đpcm)
Đẳng thức xảy
3
a b c
Bài 66 Cho số thực x, y thỏa mãn x2 xy y2 3 Chứng minh rằng:
2
4 3 x xy 3y 4 3
Bài giải:
Đặt 2
3
Px xy y Qx2xyy2 Khi 0 Q
Nếu y0 0 Q x2 3 4 3 0 Q x2 3 3 bất đẳng thức cần chứng minh
Nếu y0
2
2
3 P x xy y
P Q Q
Q x xy y
Chia tử mẫu cho
0
y đặt x t y
2
3
1 t t
P Q
t t
+ Để ý 0 Q 3, nên cần chứng minh:
2
3
3
4 3 t t 4 3
R
t t
Ta có
2
2
3
1
1 t t
R R t R t R
t t
1 Nếu R1 1 phương trình bậc nhất, có nghiệm t 2 2
+ Với R1, 1 ln có nghiệm t, nên R124R1R 3 Giải bất phương trình thu
3
4 3 4 3
R
R1 3 Từ 1 , 3 suy điều phải chứng minh
Bài 67 Chứng minh với ABC nhọn ta ln có tan tan tanA B C1 Hướng dẫn giải
Vì ABC nhọn nên tan , tan , tanA B C0 1 Lại có tanA B tan C tanC0 Vì
tan tan tan
A B
A B
nên
tan tan
tan tan 1
tan
A B
A B
A B
(33)33 DAYHOCTOAN.VN Từ ba bất đẳng thức vừa kể suy 2
tan A tan B tan C1 2 Vậy tan tan tanA B C1 (do 1 2 )
Bài 68 Cho số thực dương x y z, , thỏa mãn điều kiện x5y5z5 3 Chứng minh
5 5
2 4 2
5
2 14 19
x y z
y y z x z x x y xx y Hướng dẫn giải
Ta có
5
2
2
2
x x
y y
y y
(1) Đẳng thức xảy y1 Xét hàm số
( ) 14
f z z zx x ( với x tham số) 0; ta có
( ) 4; ( )
f z z f z z
Bảng biến thiên hàm số f z sau
Từ bảng biến thiên ta có:
( ) 11 10
f z f x x Đẳng thức xảy z1,x1 Khi
5 5
4
5
4 14 10
y y y
z x z x (2)
Xét hàm số 2
( ) 19
g x x y xx y ( với y tham số) 0; ta có
( ) 6; ( )
g x x x g x x
Bảng biến thiên hàm số g x sau
Từ bảng biến thiên ta có:
( ) 15 14
g x g y y Đẳng thức xảy x1, y1 Khi
5 5
4 2
7
6 19 14
z z z
x y xx y (3)
(34)34 DAYHOCTOAN.VN
Bài 69 Cho a b c, , 0 Chứng minh 2abca1 2 b 1 2 c 12 2a b c 2 Hướng dẫn giải
Trong ba số a1,b1,c1 tồn hai số có tích khơng âm (ngun lý Dirchlet) Khơng tính tổng quát, giả sử b1c 1
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
2 2 2 2 1 2
1 1 2
2
a b c a b c a b c
Do 2 2 2
2 1 2
2
abc a b c abc a b c Mà abc 2 a 2 b c a b c a b 1c 1 a b c
Suy 1 2 1 2 12
abc a b c a b c (1) Dấu “=” a b c 0, 1
2
a b c hoán vị
Bài 70 Cho số thực không âm a b c, , thỏa mãn a b c 1 Chứng minh 5
ab ac bc Hướng dẫn giải
Theo giả thiết ta có
1 0
1 0
c a b a b
a c b b
Khi
2
3 3 (
3
ab ac bc ab c a b bc ab a b a b b a b
a b a b b b ab
Xét hàm f x x2 x x, 0;1 Chứng minh 0;1
4
f x x
Theo chứng minh a b 0;1 ;b 0;1 nên 1; 1;
4
f ab f b ab Suy 3.1 2.1
4 4
ab ac bc
Dấu đẳng thức xảy 0;
a b c
Bài 71 Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x y z Tìm GTNN biểu thức:
9 9 9
3 6 3 6 3 6
2x y 2y z 2z x
P
x y y x z y y z x z z x
Hướng dẫn giải
(35)35 DAYHOCTOAN.VN 9
3 3 6
2x y
x
x y y x
Từ ta có:
9 9 9
3 3
3 6 3 6 3 6
2 2
3 3
x y y z z x
P x y z xyz
x y y x z y y z x z z x
Đẳng thức xảy
3
x y z Bài 72 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2
a b c b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 2 2
1 1
1 1
1 1
P
a b c
a b c
Hướng dẫn giải
Từ điều kiện rút 2 2 2
2
a b c a b c b c b c
a
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
2
1
1 1 1
1
P
b c a b c
a
Và
2
2
2
1
1 2
4
a
b c b c
a a
Suy ra:
3
3
2
,
a a a
P f a a
a
Có 4
2 1
'
5
a
f a a
a
Lập bảng biến thiên rút được: 91
108
P , xảy 1, 5
a b c
Bài 73 Cho x y z, , số thực dương thay đổi thỏa mãn: x2 y2 z2 xyz Chứng minh:
2 2
1
x y z
x yz y zxz xy
Lời giải
Đặt P 2 x 2 y 2 z
x yz y zx z xy
Vì , ,x y z0, áp dụng BĐT Cơsi ta có
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
1 2 1 1 1
4
1 1
2 2
x y z
P
yz zx xy
x yz y zx z xy
y z z x x y
yz zx xy
xy yz zx x y z xyz
xyz xyz xyz
(36)36 DAYHOCTOAN.VN
Bài 74 Cho số không âm a b c, , thỏa mãn a b c 2 Chứng minh rằng:
2
3 3
4 4
a b c
a bc b ca c ab
Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy Shwars ta có
2
3 3
4 4
=2
3 3
4 4
a b c
VT a b c
a bc b ca c ab
a b c
a bc b ca c ab
Mặt khác 3
3 4
4
cylic
a bc ca ab
a bc b ca c ab
a bc
2
2 2 2 2
2 2 2 2
3
4 4
=
4
=
2 bc ca ab
bc a bc ca b ca ab c ab
bc ca ab
b c c a a b abc bc ca ab
b c c a a b abc a b c
Tư suy
3
3 3
4 4
a b c
a bc b ca c ab
Dấu xẩy , , 2 2, , 3 a b c
a b c, , 1,1, 0 hốn vị Bài 75 Cho x y z, , số thực thỏa mãn x2y2z2 9, tìm giá trị lớn biểu thức:
+ – F xy z xyz
Bài giải:
Do vai trị x y z, , bình đẳng giả sử x y z
3
z
Ta có F 2xy –xy z
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
2xy 2 xy z 2 22 2 xy 2 xy2z2
2 2 2 2 2
2 x y xy z 4xy x y x 2xy y z
(37)37 DAYHOCTOAN.VN
2 2
2 xy x y 9 z 6 nên 3 t 3, từ bất đẳng thức (1) trở thành:
2
8
F t t t F 2t3 t2 20t72 Xét hàm số
2 20 72
f t t t t với t 3;3, ta chứng minh: f t 2t3 t2 20t72 100 (2)
3
2t t 20t 28
2 14
t t t
2
2
t t
Do t 3;3 nên bất đẳng thức đúng, dấu ‘=’ xảy t 2 Suy ra: F10 (3)
Dấu ‘=” bđt (1) xảy
2 2
2
0 xy
x y z
x y z
Xét hệ: 2
2
0
xy
x y z
x y z
xy
x y z, , 2; 1; , 1; 2; 2
Vậy gtln F10 đạt x y z, , 2; 1; 2 hoán vị chúng Bài 76 Giả sử x y, số thực dương thỏa mãn x y Chứng minh rằng:
3
2
3
xy x y >
36 104 81
Bài giải:
3
3 3 3
1 1 4
4 3xyx y 3xy xy x y x 3xy xy y xy (1) Mặt khác,
2
1 1
4
4 9
x y xy
xy x y xy
(2)
Từ (1) (2) ta có:
3
2
3
xy x y
3
4
9 5 1 36 104
9xy x y 3xy 81 81
Bài 77 Cho a b c, , số thực dương Chứng minh 2a 2b 2c
abbcca
Lời giải
Đặt x b, y c, z a
a b c
, ta có x y z, , 0 xyz1 Bất đẳng thức cho trở thành: 2 2 2
(38)38 DAYHOCTOAN.VN Giả sử xy 1 z
* Ta chứng minh đẳng thức sau: 2 2 1 1x 1y 1xy Thật vậy, 2 2 2
1 2x y 1xy 2 1x 1y 1 xyxy2 0(đúng)
Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski
2 2 2
2 2 1
2
1 x y x y x y
Theo bất đẳng thức (1) suy ra: 2 2 8
1 1
z
x y xy z
Suy 2 2 2
1 1
z
x y z
Mặt khác, ta lại có 2 1z 1z
Suy 2 2 2 2
1 1 1
z
x y z z z
Do vậy, ta chứng minh : 2
1
z
z z
Thật vậy, ta có: 2 2 1 1
1
z
z z z
z z
2z 2 1z z z
2z 1z20(luôn đúng) Vậy bất đẳng thức chứng minh
Dấu “=” xảy x y z
Bài 78 Cho số thực không âm a b c, , thỏa mãn 2
2
a b c Chứng minh
1 1
2ab2bc2ca 4
Lời giải
Bất đẳng thức tương đương với
2 2
1 1
2 2 2 2
ab bc ca
ab bc ca ab bc ca
2 2 2 2 2 2
2a 2a 2a
2 2a ( )
ab b b b
ab a b c b a b c c a b a b c c
2 2
2 2 2 2
1 ( )
2 ( ) ( )
a b a b
c a c b c a c b
(Sử dụng BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy-Schwarz)
Tương tự ta có
2 2
2 2 2 2
1
;
2 2
bc b c ca c a
bc a b a c ca c b a b
(39)39 DAYHOCTOAN.VN
Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có đpcm, dấu "=" a b c Bài 79 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng:
4 4
1 1 25
a b c
b c c a a b
(1)
Lời giải
Không giảm tổng quát, giả sử c số lớn ba số a, b, c Đặt S a b c R, abbcca P, abc
3
3
3
(1) ( )( )( ) 25( )( )( )
3 ( ) ( ) 27
25[ ( ) ( ) ]
4 27 25( )
4 13 0.(2)
S a S b S c S a S b S c
S S a b c S ab bc ca abc
S S a b c S ab bc ca abc
S SR P SR P
S SR P
Ta chứng minh (2) Thật vậy,
2 2
2
(2) ( ) 4( )( ) 13
=( )[( ) -4( )] 13 = ( )[( ) -4 ] 13
=( )( ) -4 ( ) 13 ( )( ) (9 4
VT a b c a b c ab bc ca
a b c a b c ab bc ca abc
a b c a b c ab abc
a b c a b c ab a b c abc
a b c a b c ab c a
)
(do 4 0)
b
c a b c
Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài 80 Cho ba số thực dương a, b, c chứng minh
2 2
2 2 2 2 2
2 2
a bc b ca c ab
a b c b c a c a b
Lời giải
Bất đẳng thức tương đương với
2 2
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
3
2 2
b c c a a b
a b c b c a c a b
Ta có
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
2 ( ) ( )
b c b c b c
a b c a b a c a b a c
Tương tự với hai BẤT ĐẲNG THỨC lại suy đpcm Bài 81 Cho a b c; ; 0 thỏa mãn a b c abc 4 Chứng minh
2
a b c
a b c b c a c a b
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopxki ta
2 a b c
a b c
T
c b a c a b a b c b a c c a b
(40)40 DAYHOCTOAN.VN
Lại có a b c b a c c a b 2 a b c 2ab2bc2ac Suy ra:
2
a b c a b c
T
ab bc ac
(*)
Ta chứng minh a b c ab bc ca (1)
Đặt ; ; ( 2)
4
S a b S abP P
Từ giả thiết suy S c
P
S
Vậy (1) 4 22
1
S S
S
S P P P S S
P P
(2)
Nếu P 1 S VT 0 VP Nếu P 1 S Ta có
2
1
4
S S
P P S S
(vì 4
2
S P )
Suy
2
2
1 2
16
S
P P S S S (vì S 4) Vậy: a b c ab bc ac Từ (*) suy
2
a b c
T
Bài 82 Cho a b c, , số thực dương Chứng minh bất đẳng thức
2 2
10
2
a b c abc
b c a c a b a b b c c a
Lời giải
Biến đổi bất đẳng thức sau
2
10
a a b a c
abc a b
b c
2
3
2 10
a a bc
a a abc a b
b c
2
3
2
a a b a c
a abc a b
b c
2
3
2
a a b a c
a abc a b c b c
2
2
2
0 a a b a c
a a b a c b c
a b c
a a b a c b c
Theo bất đẳng thức Schur bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức ban đầu chứng minh
Bài 83 Cho , ,x y z0 x y z Chứng minh rằng:
2
2
(41)41 DAYHOCTOAN.VN
Lời giải
Cần chứng minh
2
2
2
1
2
xy z x y z x y
x y z xy
x z y z x y x y z xy
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2 2
2
2
2 2
2
x y x y xy x y x y x y
x y x y
Cần chứng minh: zxzy z xy
2
2
2
z xy z x y z xy z xy z x y
(Đúng)
Đẳng thức xảy
1 x y z
Bài 84 Cho số thực không âm x y, , z thỏa mãn 2 2
x y z Chứng minh rằng:
2 2
(xy y)( z z)( x) 4xyz xy( yzzx 2) 4xyz x( y z )
Lời giải
Ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề: Xét biểu thức 2
( ) z ( ) x ( ) y
S xy S yz S x z S Nếu x y z S Sy; yS Sz; ySx 0 S0
Chứng minh
2 2
2
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) 2( )(y z)
z x y
z y y x y
S x y S y z S x z S
S S x y S S y z x y S
Chứng minh
Nếu x y z0 Bất đẳng thức Nếu x y z0 Ta có
2 2
( )( )( ) ( 2) ( )
( )( )( )
2
x y y z z x xyz xy yz zx xyz x y z
x y y z z x
xy yz zx xyz
( )( )( )
2
4
x y y z z x
xy yz zx xyz
(1)
Ta có
2 2
( )(y )( ) ( ) ( ) ( )
2
4
x y z z x x y z y z x z x y
xyz xyz
(42)42 DAYHOCTOAN.VN
2 2
2 2
1
2(1 ) ( ) ( ) ( )
2
xy yz zx
x y y z z x
x y z
Do (1) 1 1 1
( ) ( ) ( )
4 4
x y y z z x
xy yz zx
Đặt 1 ; 1 ; 1
4 4
z x y
S S S
xy yz xz
Giả sử 1
4
y
x y z S
xz
Mà 2 2 2 2
1 1
+ =
4 4
2 (x )
(y )( )
=
4
y x
y z xyz
S S
xz yz xyz
yz yz xyz
z x y z xyz
xyz xyz
Tương tự SySz 0
Áp dụng bổ đề suy điều cần chứng minh Đẳng thức xảy
3 x y z
Bài 85 Cho a b c, , số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a b c
P
b c c a a b
3 3
Bài giải:
Ta có: a b a b
3
3
2
c c
a b a b
3
3
4
Do
c c
a b a b
3 3
3
4 (1) Đẳng thức xảy a b
Tương tự ta có:
a a
b c b c
3 3
3
4 (2),
b b
c a c a
3 3
3
4 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có
a b c
P a b b c c a
c c a a b b c c a a b
b
3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3
1 1
4
2
P 9 3
2
Đẳng thức xảy a b c Vậy MinP3
(43)43 DAYHOCTOAN.VN
Bài 86 Cho số dương a b c, , thỏa mãn a b c 2 abc Tìm giá trị nhỏ củaS
a b c
1 1
Bài giải:
Chú ý a b c 2 abc nên suy (a1)(b1)(c 1) (a1)(b 1) (b 1)(c 1) (c 1)(a1) Do ta thu
a b c
a b c
1 1 1
1
1 1
1 1 1 1 1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta
a b c
a b c
1 1 1
1 1
1 1 2
1 1
Từ hai điều ta suy
a b c
1 1
2 Vậy S nhỏ
2, dấu xảy a b c nghiệm a a a b c
3 3 2 0 2
Bài 87 Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn xyyzzx3xyz Chứng minh
y z x
x y y z z x
2 2
2 2
3
1 1
Bài giải:
Ta viết lại giả thiết xyyzzx3xyzthành
x y z
1 1
Đặt a ,b ,c
x y z
1 1 Ta có a b c 3
Thay vào (1), ta cần chứng minh a b c
b c a
3
1 1
Thật a a ab a ab a ab b b b
2
2
1 2
Làm tương tự cộng lại ta có
a b c
a b c ab bc ca
b c a
1
1 1
Ta có bất đẳng thức quen thuộc a b c 2 3ab bc ca Do a b c a b c a b c
b c a
2
2 2
1
1 1
Sử dụng giả thiết a b c 3 ta suy
a b c
b c a
3
1 1
(44)44 DAYHOCTOAN.VN
Bài 88 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Chứng minh 2 2
2 2 2 ab bc ca
a b c
a b b c c a
Bài giải:
Đặt tab bc ca , suy
1
3
a b c
t
Áp dụng điều kiện a b c 1, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2
2
2 t
a b c ab bc ca
t abc a b c
2
2
t
t
t abc
Do abc0 nên ta có đánh giá: 2 2
2
t t
t abc t t Để kết thúc toán ta chứng minh 2 t
t
Thật
16t 8t
2
4t
Điều
Dấu xảy
1
1 a b c
abc
t ab bc ca
Khi a, b, c nghiệm phương trình
x x x Do ; ; 1; ;0
2 a b c
hoán vị
Bài 89 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:
2 2
3
a b c
ab b bc c ca a
Bài giải:
Ta có
2 2
1 1
a b c
a b c b c a
a b c
ab b bc c ca a
b c a
2
1 1
a b c
b c a
a b c
b c a
Đặt x a b
, y b c
, z c a
(45)45 DAYHOCTOAN.VN
Ta có
2
2
1 1
1 1
a b c
x y z
b c a
a b c x y z
b c a
2 6
3 3
x y z xy yz zx x y z
x y z x y z
Suy
2 2
3
a b c S
S
ab b bc c ca a
S x y z 6
Ta có 3 3
2 2 2
S S
S
S S
Suy
3
3
S S
Bất đẳng thức chứng
minh
Dấu xảy a b c
Bài 90 Cho số thực , , ,a b c d thỏa mãn :a2b2 c2 d2 1 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: 2 1
2
E a c ac bd
Bài giải:
2 2 2 2
2
Ea c ac bd a c a c b d
2 2 2
2
a c a c b d
2 2
2 2
2
a c b d
a c
2 2
2
2 a c b d
Đẳng thức xảy khi:
2 2
2 2
;
8
2
2 2
;
8
1
a c
a c
b d
a b
b d
a b c d
hoặc
2 2
;
8
2 2
;
8
a c
b d
2 2 2 2
2
Ea c ac bd a c a c b d
2 2 2
2
a c a c b d
2 2
2 2
2
a c b d
a c
(46)46 DAYHOCTOAN.VN 2 2
1 2
2 a c b d
Đẳng thức xảy khi:
2 2
2 1
a c
b d
a b
a b c d
,
2 2
;
8
2 2
;
8
a c
b d
Bài 91 Cho số thực không âm , ,a b c thoả mãn a2b2c2 2 Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2
3 3
2
8 ; ;
3 max a b b c c a
a b c abc
a b c
Bài giải:
Do tính đối xứng bất đẳng thức nên không tổng quát giả sử a b c Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 3 3
3
a b c abca b ab ab
Và 2 2
2 2 2
a b c a b c ab bc ca ab ab
Từ 1 2 suy a3 b3 c3 3abc a b c 2 8a b2 8max a b b c c a 2; 2; 2
Hay
2 2 2
3 3
2
8 ; ;
3 max a b b c c a
a b c abc
a b c
Dấu đẳng thức xảy a b 1;c0
Tóm lại :
2 2 2
3 3
2
8 ; ;
3 max a b b c c a
a b c abc
a b c
Dấu đẳng thức a b 1;c0 hoán vị
Bài 92 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 2
4
a b c a b c Chứng minh bất đẳng thức 2 2 2
1 1
3
ab bc ca
a b b c c a
Bài giải:
Ta có a2b2 c2 a b c 2 4 a2b2 c2 ab bc ca 2 Ta chứng minh
2 2 2
2 2 2
6
ab bc ca
a b b c c a
Thật vậy, 2
2a b c ab bc ca nên ta có :
2 2
2
2ab 2ab a b c ab bc ca
a b a b
2
a b c a c b c a c b
a b a b
Suy
2
2
1 c a c b
ab
a b a b
Tương tự ta có
2
2
1 a b c a
bc
b c b c
,
2
2
1 a b b c
ca
c a c a
(47)47 DAYHOCTOAN.VN Cộng BĐT 1 , 2 3 theo vế với vế ta có :
2 2 2
2 2 2
3 c a b c a b c a b c a b
ab bc ca
a b b c c a a b b c c a
Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có
2 2
c a b c a b c a b c a b
a b b c c a
Suy
điều phải chứng minh
Dấu "" xảy 3 a b c
Bài 93 Chứng tỏ tổng 20142 20142 20142 20142
2013 2013 2013 2013 2013
A
n
(2013 số hạng)
không phải số nguyên dương
Bài giải:
Trước hết ta giải toán tổng quát:
“Chứng minh tổng (n số hạng, n1) 2 2 2
1
n n n
A
n n n n
(n số hạng) số nguyên dương”
Ta có A n 21 n 21 n 21
n n n
(n số hạng) n 21.n 1
n n
Mặt khác A n2 n2 n2
n n n n n n
(n số hạng)
1
n n
n n
Do 1 A
Vậy A số nguyên dương Với n2013 ta có tốn cho
Bài 94 Cho , ,a b c số thực dương thỏa mãn: a b c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ab 1bc 1ca 1
P
abc
Bài giải:
Ta có: P a b c abc 1 1
b c a abc a b c
Vì a b c 1 nên từ BĐT CauChy cho số dương ta có:
3 27
a b c
abc abc
Do đó: 27 27 1 27
27 27
abc abc
abc
abc abc
Suy ra: 27 730 27 27
abc abc
Mặt khác ta lại có: a b c 1 1
a b c a b c
(48)48 DAYHOCTOAN.VN Từ suy ra:
2
730 10
9
27
P Vậy
2
10
3
P
1
x y z
Bài 95 Tìm giá trị lớn số thực k cho bất đẳng thức sau :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1a 1b 1c 2 1b 1c 1d 2 1c 1d 1a
2 2 2
2 d a b k ab bc cd ac bd da
với số thực a, b, c, d thay đổi tùy ý
Bài giải:
Điều kiện cần Bất đẳng thức với a b c d thay vào BĐT ta
4.2.8k 6.3 2 k
Điều kiện đủ Ta chứng minh BĐT với k4
2 2 2
, , ,
2 1
a b c d
a b c ab ac ad bc bd cd
2 2 2
, , ,
1 1 2
a b c d
a b c ab ac ad bc bd cd
Ta có 1a21b21c2 1a2bc1 2 b c2 bc 1 a b c ab bc ca 1 Tương tự ta
2 2 2
, , ,
1 1 2
a b c d
a b c ab ac ad bc bd cd
Dấu xảy a b c d
Vậy giá trị lớn k d Khi BĐT ln với số thực a, b, c, d thay đổi tùy ý Bài 96 Giả sử x, y số thực dương thỏa mãn x y Chứng minh rằng:
3
2
3
xy x y >
36 104 81
Bài giải:
3
3 3 3
1 1 4
4
3xyx y 3xy xy x y x 3xy xy y xy 1 Mặt khác,
2
1 1
4
4 9
x y xy
xy x y xy
2
Từ 1 2 ta có:
3
2
3
xy x y
3
4
9 5 1 36 104
9xy x y 3xy 81 81
Bài 97 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 2a 2b 2c
a b b c c a
(49)49 DAYHOCTOAN.VN Đặt x b
a
, y c b
, z a c
, ta có: , , x y z0 xyz1
Bất đẳng thức cho trở thành: 2 2 2 1x 1y 1z Giả sử xy 1 z
* Ta chứng minh đẳng thức sau: 2 2 1 1x 1y 1xy Thật vậy, 2 2 2
1 2x y 1xy 2 1x 1y 1 xyxy2 0 (đúng)
Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski
2 2 2
2 2 1
2
1 x y x y x y
Theo bất đẳng thức 1 suy ra: 2 2 8
1 1
z
x y xy z
Suy 2 2 2
1 1
z
x y z
Mặt khác, ta lại có 2 1z 1z
Suy 2 2 2 2
1 1 1
z
x y z z z
Do vậy, ta chứng minh : 2
1
z
z z
Thật vậy, ta có: 2 2 1 1
1
z
z z z
z z
2z 2 1z z z
2z 1z2 0(luôn đúng) Vậy bất đẳng thức chứng minh
(50)50 DAYHOCTOAN.VN
Bài 98 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 2 Chứng minh
1 1 1 9
2ab2bc2ca4
Bài giải:
BĐT tương đương với
2 2
1 1
2 ab bc ca
3
2 2
ab bc ca
ab bc ca
2 2
2
2 2
ab ab
ab a b c ab
2 2 2 2
2
( )
ab ab
a b c c a b a b c c
2 2
2 2 2 2
1 ( )
2 ( ) ( )
a b a b
c a c b c a c b
(Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz)
Tương tự ta có
2 2
2 2 2 2
1
;
2 2
bc b c ca c a
bc a b a c ca c b a b
Cộng vế với vế BĐT ta có đpcm, dấu "" a b c
Bài 99 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh 4a 4b 4c 25
b c c a a b
1
Bài giải:
Không giảm tổng quát, giả sử c số lớn ba số a, b, c
Đặt S a b c, Rab bc ca , Pabc 1 S3aS3b S 3c25SaSb S c
3
3 27 25
S S a b c S ab bc ca abc S S a b c S ab bc ca abc
3
4S 9SR 27P 25 SR P
4 13
S SR P
2 Ta chứng minh 2 Thật vậy,
3
VT a b c 4 a b c ab bc ca 13a b c a b c 24ab bc ca13abc
2
4 13
a b c a b c ab abc
2
4 13
a b c a b c ab a b c abc
2
9 4
a b c a b c ab c a b
do 9c4a4b c 0 Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài 100 Cho ba số thực dương a, b, c chứng minh
2 2
2 2 2 2 2
2 2
a bc b ca c ab
a b c b c a c a b
Bài giải:
BĐT tương đương với
2 2
2 2 2 2 2
2 2
b c c a a b
a b c b c a c a b
(51)51 DAYHOCTOAN.VN
Ta có
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
2
b c b c b c
a b c a b a c a b a c
Tương tự với hai BĐT lại suy đpcm
Bài 101 Cho , , a b c0 thỏa mãn a b c abc 4 Chứng minh
2
a b c
a b c b c a c a b
Bài giải:
Áp dụng BĐT Bunhiakopxki ta
2 a b c
a b c
T
b c a c a b a b c b a c c a b
Lại có a b c b a c c a b 2 a b c 2ab2bc2ac Suy ra:
2
a b c a b c
T
ab bc ac
*
Ta chứng minh a b c ab bc ca 1 Đặt a b S, abP,
2 S p
Từ giả thiết suy
1
S c
P
S Vậy 1 4
1
S S
S
S P
P P
2
1
P P S S
2
Nếu P 1 S 0VT 0 VP NếuP 1 S Ta có
2
1
4
S S
P P S S (vì
2 S P )
Suy
2
2
1 2
16 S
P P S S S (vì S4)
Vậy:a b c ab bc ac Từ * suy