(Luận văn thạc sĩ) điều khiển ổn định một số hệ phương trình có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————– o0o ————- TÔ THỊ PHƯƠNG ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHẬM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————– o0o ————- TÔ THỊ PHƯƠNG ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHẬM Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn PGS.TS NGUYỄN SINH BẢY Hà Nội, 2014 Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ điều khiển khơng có chậm 1.1.1 Hệ điều khiển khơng có chậm 1.1.2 Một vài định tính 1.2 Hệ điều khiển có chậm 1.2.1 Phương trình vi phân có chậm 1.2.2 Sự ổn định phương trình vi phân có chậm 1.2.3 Hệ tuyến tính khơng dừng phương trình Riccati Bài tốn điều khiển có nhớ 2.1 Giới thiệu toán 2.2 Dấu hiệu ổn định hóa 2.2.1 Trường hợp hệ có phận điều khiển 2.2.2 Trường hợp hệ có phận điều khiển Bài tốn điều khiển H∞ 3.1 Kiến thức chuẩn bị 3.1.1 Giới thiệu toán 3.1.2 Một số định nghĩa, mệnh đề 3.2 Dấu hiệu để tốn có nghiệm 7 10 11 11 14 18 dạng phi tuyến dạng tuyến tính 25 25 26 26 30 34 34 34 35 38 Bảng ký hiệu, chữ viết tắt R - tập số thực R+ - tập số thực không âm X - không gian Banach trạng thái U - không gian Banach điều khiển Rn - không gian véc tơ n-chiều (A, B ) - cặp ma trận điều khiển Φ(t, s) - ma trận x(t) ˙ = Ax(t) GC - điều khiển hoàn toàn GR - đạt hoàn toàn GNC - điều khiển hoàn toàn ROE - phương trình tốn tử Riccati Mở Đầu Các hệ thống có mặt khắp nơi Độ phức tạp hệ thống nói chung khơng có giới hạn Mỗi hệ thống hoạt động theo chế riêng khơng có tác động ngoại lai (thường gọi nhiễu yếu tố khơng chắn) Tính khơng chắn làm cho hệ thống sa vào tình mong muốn Để giảm thiểu ảnh hưởng yếu tố không chắn người ta thường đưa thêm vào hệ thống thành phần gọi phận điều khiển Với tác động thích hợp lúc, hiệu hoạt động hệ thống cao Điều đảm bảo tính chất quan trọng gọi tính ổn định hệ thống Lý thuyết ổn định phương trình vi phân hướng nghiên cứu quan trọng Toán học Ngày nay, việc nghiên cứu không dừng lại phương trình vi phân thường mà cịn mở rộng sang phương trình vi phân có chậm Luận văn nghiên cứu chủ yếu tính ổn định phương trình vi phân có chậm Tính ổn định trì nhờ tác động điều khiển nên tốn có tên gọi "ổn định hố" hệ điều khiển Một vài định tính khác hệ điều khiển số kiến thức hệ khơng có chậm nhắc tới, tuỳ theo mức độ liên quan Luận văn gồm phần mở đầu, chương chuẩn bị kiến thức, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số kiến thức sở hệ điều khiển phương trình vi phân khơng có chậm có chậm Chương hai trình bày kết ổn định hóa hệ có chậm với hàm điều khiển xây dựng từ thông tin chậm trạng thái hệ thống thông tin hành vi điều khiển có q khứ Chương ba trình bày kết cho toán điều khiển H∞ Kết nhận từ giả thiết điều khiển hoàn tồn khơng hệ thống xuất phát (chưa kể nhiễu điều khiển) Bản luận văn thực hướng dẫn PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn, giúp đỡ, kiểm tra để tơi hồn thành luận văn Tôi xin cám ơn thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cám ơn ban giám hiệu trường THPT Diêm Điền huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khố học Cuối cùng, tơi muốn nói lời cám ơn gia đình, người thân - chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý q thầy, bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tô Thị Phương SUMMARY Thesis title : “Stability control of some delayed systems” Full name : To Thi Phuong Specialization: Analysis Spec code : 60 46 01 02 Supervisor : Ass Prof Nguyen Sinh Bay The systems are everywhere In general, the complexity of the systems has not the limit Every system is operating under one of their own mechanisms if there are not exotic impacts from outside (often referred noise or perturbation or uncertain factor) There may be that, under perturbations the system can gradually away from the best designed state To decrease damages due this exotic impacts from outside there are often supplied an additional inside component which is called control unit By timely and efficient control operation, in general the system should be considered better It is ensured by a critical property, which is called “the stability” of this system Stability theory of differential equations is one important research area of Mathematics Today, the researchers not only to stop again on the ordinary differential equations, but also deal many attention on delayed equations For the delayed differential equations, the state spaces much be considered as the functional spaces This thesis deals on illustration on stability of delayed differential equations The stability of systems is supported by control, therefore the problem is referred by the term “stabilization control systems” Some other properties of control systems are also reminded, depending on the relevant level The dissertation consists of the introduction, a preparation outline of the basic knowledge, two chapters of main contents, conclusion and list of references Chapter one presents some basic knowledge of control systems and on the equations without delay and with delay Chapter two presents the results of memory stabilization on delayed systems with control functions built from the late information about status and from information about the driver behavior in the past Chapter three presents the results for the problem control H∞ Results received from assuming complete control of the system is not derived (excluding interference and control) In the total, this thesis presents the concept of control systems without delay and with delay, some of the basic properties of the control system The thesis also presents the sufficient conditions for the stabilizability of delayed control systems by feedback control functions built from delayed information of systems and information about previous behavior control Finally, the thesis presents condition for existence of solution for problem strong H∞ stabilization for the delayed systems with uncertain from outside impacts Feedback control function is formed on the basis of the test operator Riccati equation Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ điều khiển chậm Mỗi hệ điều khiển chứa nhiều biến, hai biến biến trạng thái, kí hiệu x biến điều khiển, kí hiệu u Biến x nhận giá trị khơng gian Banach X gọi khơng gian trạng thái Biến u nhận giá trị không gian Banach U đó, gọi khơng gian điều khiển Trong nhiều trường hợp toán xét khơng gian đặc biệt hơn, khơng gian Hilbert đơn giản: X = Rn , U = Rm 1.1.1 Hệ điều khiển khơng có chậm Hệ điều khiển dạng tổng quát Xét hệ thống mô tả phương trình vi phân thường (xem [1], [2]): x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ (1.1) t ∈ R+ := [0; +∞), x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Ω ⊆ Rm , f : R+ × Rn × Ω → Rn , x(t) trạng thái (state) hệ thống thời điểm t, u(t) hàm điều khiển t Nếu Ω = Rm hệ điều khiển bị hạn chế Nếu Ω = Rm hệ điều khiển không bị hạn chế Hàm điều khiển xây dựng hàm trạng thái u(t) = ϕ(x(t)) gọi hàm điều khiển phản hồi (hoặc điều khiển feedback) Trong trường hợp ta có phương trình x(t) ˙ = f (t, x(t), ϕ(x(t))) := h(t, x(t)) Hệ điều khiển dạng tuyến tính Xét hệ điều khiển (xem [2]) x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t) A(t) ma trận cỡ n × n, B(t) ma trận cỡ n × m, u(t) véc tơ m-chiều Trong trường hợp A, B ma trận ta có hệ điều khiển tuyến tính dừng x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) (1.2) Khi đó, với trạng thái ban đầu x(t0 ) = x0 điều khiển u(t) nghiệm hệ xác định công thức t x(t) = x(t0 , x0 , t) = S(t − t0 )x0 + S(t − s)Bu(s)ds, t0 đó, S(t) = eAt Trường hợp hệ không dừng, nghĩa A(t), B(t) ma trận phụ thuộc t: x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t) với điều kiện ban đầu (t0 , x0 ), công thức Cauchy (xem [1],[2]) cho nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 phương trình t Φ(t, s)B(s)u(s)ds x(t) = Φ(t, t0 )x0 + t0 Ở đây: Φ(t, s) ma trận hệ x(t) ˙ = A(t)x(t) Ma trận có tính chất: ˙ s) = A(t)Φ(t, s), (i) Φ(t, (ii) Φ(t, t) = I, (iii) Φ(t, r)Φ(r, s) = Φ(t, s) Trường hợp hàm điều khiển có dạng phi tuyến: x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ (1.3) Nghiệm hệ với hàm điều khiển u điểm xuất phát (t0 , x0 ) cho t x(t) = x(t0 , x0 , u, t) = x0 + f (s, x(s), u(s))ds t0 33 thời gian T ,   0, 00001 ≤ F¯12 + F¯22 + F¯32 ¯2 ¯2 ¯2 η1 η2 η3 F F F   12 + 22 + 32 < Các bất đẳng thức thoả mãn 0, 143 ≤ µ2 ν2 λ2 + + < 0, 00007 0, 002 0, 00017 Chẳng hạn với λ = 0, 005; ν = 0, 03; µ = 0, 008 Khi đó, hàm điều khiển phản hồi tức thời cho bởi: u(t) = 0, 005 0, 005 −1 x (t + s)ds + 0, 03e1−t x1 (t − 2) + 0, 01e−1−t x2 (t − 6) −3 −1 −5 x (t + s)ds + 0, 03e−t x2 (t − 2) + 0, 0048 −7 x1 (t + s)ds −3 Tóm lại, chương ta xét tốn ổn định hóa cho hệ điều khiển có phận điều khiển dạng tuyến tính dạng phi tuyến Ở đây, hàm điều khiển phản hồi xây dựng từ thông tin chậm trạng thái hệ thống mà cịn từ thơng tin hành vi điều khiển thực trước khoảng thời gian T 34 Chương Bài toán điều khiển H∞ 3.1 3.1.1 Kiến thức chuẩn bị Giới thiệu toán Bài tốn điều khiển có hạn chế kiểu H∞ quan tâm chục năm gần Bài tốn đặt cho hệ điều khiển khơng chắn dạng tuyến tính (xem [5,8,9,10]) Bài tốn điều khiển H∞ không gian véc tơ hữu hạn chiều thường giải nhờ kỹ thuật xây dựng hàm Lyapunov để nhận kết thường phải giải hàng loạt bất đẳng thức ma trận dạng bất phương trình ma trận (xem [6, 8, 9]) Đối với hệ vô hạn chiều, việc giải toán cần đến số kiến thức nửa nhóm Để mở rộng tốn điều khiển H∞ cho không gian Hilbert, cần phương trình bất phương trình "tựa Riccati" Bài báo [10] giải toán cho trường hợp hệ có hệ số biến thiên độ chậm số Ở đây, ta xét lớp hệ tuyến tính, khơng otonom có trễ biến trạng thái biến quan sát Hệ thống cho khơng gian Hilbert, nói chung vơ hạn chiều Về sau ta thấy lời giải toán điều khiển H∞ giải nhờ giả thiết tính điều khiển hồn tồn hệ thống Không gian Hilbert Cho H không gian tuyến tính trường R (hoặc C) phép nhân √ vô hướng H Nếu định nghĩa chuẩn x := < x, x > H trở thành khơng gian tuyến tính định chuẩn Dãy {xn }n , xn ∈ H gọi dãy Cauchy với số > tồn số nguyên dương n0 , cho xn − xm ≤ n, m ≥ n0 35 Không gian H gọi đầy đủ dãy Cauchy H hội tụ tới điểm thuộc H Khơng gian H với tích vơ hướng đầy đủ chuẩn xác định gọi không gian Hilbert Không gian Hilbert hữu hạn vơ hạn chiều Ta nhắc lại rằng, khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ X gọi không gian Banach Chuẩn khơng gian Banach cho cách khác (khơng thiết qua tích vô hướng) Như vậy, không gian Hilbert không gian Banach Một không gian Banach chưa khơng gian Hilbert (có thể khơng có tích vơ hướng) 3.1.2 Một số định nghĩa, mệnh đề Kí hiệu R+ := [0; +∞); X, Y hai khơng gian Hilbert với tích vơ hướng kí hiệu , ; L(X, Y) khơng gian Banach tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y ;C([t, s], X) không gian Banach hàm liên tục [t, s] nhận giá trị X; L2 ([t, s], X) tập hàm đo mạnh bình phương khả tích [t, s] nhận giá trị X; D(A), A∗ A−1 tương ứng tập xác định, toán tử liên hợp toán tử nghịch đảo toán tử A; cl M bao đóng tập M ; I toán tử đồng Toán tử Q ∈ L(X) gọi xác định không âm kí hiệu Q ≥ Qx, x ≥ 0, với x ∈ X Nếu với c > đó, Qx, x ≥ c x với x ∈ X, Q gọi xác định dương kí hiệu Q > Tốn tử A ∈ L(X) gọi tự liên hợp A = A∗ ; Toán tử hàm A(t) gọi bị chặn R+ , supt∈R+ A(t) < +∞ BC([0, ∞), X+ ) kí hiệu tập tốn tử tuyến tính, liên tục, bị chặn, tự liên hợp xác định không âm R+ Xét phương trình khơng chắn, khơng otonom có chậm phân phối t x(t) ˙ = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h(t)) + A2 (t) x(s)ds t−h(t) +B(t)u(t) + B1 (t)w(t), t≥0 (3.1) z(t) = C(t)x(t) + E(t)x(t − h(t)) + D(t)u(t), x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0] x ∈ X biến trạng thái; u ∈ U biến điều khiển; w ∈ W biến đầu vào không chắn (nhiễu); z ∈ Z đầu quan sát được; X, U, W, Z không gian Hilbert; A(t), A1 (t), A2 (t), B(t), B1 (t), C(t), E(t), D(t), t ≥ 0, hàm nhận giá trị 36 toán tử; Độ chậm biến thiên h(t) thỏa mãn điều kiện sau ˙ h(t) ≤ µ < 1, ≤ h(t) ≤ h, ∀t ≥ Điều kiện ban đầu φ ∈ C([−h, 0], X), với chuẩn φ = sups∈[−h,0] φ(s) Ta nói hàm điều khiển u(t) chấp nhận u(t) bình phương khả tích khoảng hữu hạn , i.e., u(t) ∈ L2 ([0, s], U) với s > Hàm không chắn w(t) chấp nhận w(t) ∈ L2 ([0, ∞), W) Ở [1] giả thiết sau đảm bảo cho tồn nghiêm phương trình (3.1): a) B ∈ L(U, X), B1 ∈ L(W, X), C, E ∈ L(X, Z), D ∈ L(U, Z), A1 (.)x, B(.)u, B1 (.)w, C(.)x, E(.)x, D(.)u, hàm liên tục R+ với x ∈ X, u ∈ U, w ∈ W b) Với t ∈ R+ , cl D(A(t)) = X, A(t) sinh C0 − nửa nhóm X tồn tốn tử tiến hóa U (t, τ ) : {(t, τ ) : t ≥ τ ≥ 0} → L(X), cho U ∗ (t, τ ) liên tục với x ∈ D(A(t)), U (t, τ )x ∈ D(A(t)) : ∂U (t, τ )x = A(t)U (t, τ )x, ∂t U (τ, τ ) = I Định nghĩa 3.1 Hệ (3.1) gọi L2 − ổn định hoá mạnh tồn hàm nhận giá trị toán tử liên tục K ∈ L(X, U), cho nghiệm x(t) hệ đóng x(t) ˙ = [A(t) + B(t)K(t)]x(t) + A1 (t)x(t − h(t)) t +A2 (t) x(s)ds + B1 (t)w(t), (3.2) t−h(t) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], thuộc L2 ([0, ∞), X) với hàm không chắn chấp nhận w(t) Bài toán điều khiển mạnh H∞ cho hệ (3.1) tiếp tục xem xét sau Định nghĩa 3.2 Nếu với γ > số dương cho trước, ln tìm hàm điều khiển phản hồi u(t) = K(t)x(t) cho: (i) Hệ (3.1) L2 − ổn định hoá mạnh (ii) Tồn số c0 > cho sup c0 φ ∞ 2+ z(t) dt ∞ w(t) dt ≤ γ, (3.3) đó, supremum lấy theo φ ∈ C([−h, 0], X) w(t) ∈ L2 ([0, ∞), W) không tầm thường (w(t) ≡ 0) Trong trường hợp ta nói tốn điều khiển H∞ (3.1) có lời giải hàm điều khiển phản hồi u(t) = K(t)x(t) ổn định hoá 37 mạnh hệ (3.1) Lời giải toán điều khiển H∞ dựa vào phương trình tốn tử Riccati sau đây: P˙ (t) + A∗ (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)R(t)P (t) + Q(t) = (3.4) Vì tốn tử A(t) bị chặn nên ta định nghĩa nghiệm đủ tốt P (t) phương trình Riccati (3.4) theo nghĩa rộng sau Một toán tử hàm P ∈ L(X) gọi nghiệm đủ tốt phương trình Riccati (3.4) tích vơ hướng P (t)x, y khả vi với x, y ∈ X hệ thức sau thoả mãn d P (t)x, x + P (t)A(t)x, x + P (t)x, A(t)x − P (t)R(t)P (t)x, x + Q(t)x, x = 0, dt với x ∈ D(A(t)), t ≥ Ta nói hệ tuyến tính [A(t), B(t)]: x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), t≥0 Q− ổn định hoá với trạng thái ban đầu x0 , tồn hàm điều khiển u(t) ∈ L2 ([0, ∞), U)], cho hàm mục tiêu ∞ J(u) = [ u(t) (3.5) + Q(t)x(t), x(t) ]dt, tồn hữu hạn Mệnh đề 3.1 [8] Giả sử hệ [A(t), B(t)] Q− ổn định hố được, Q ∈ BC([0, ∞), X+ ), (3.4), với R(t) = B(t)B ∗ (t), có nghiệm P ∈ BC([0, ∞), X+ ) Nhận xét Ta thấy, hệ [A(t), B(t)] gọi điều khiển hồn tồn khơng khoảng thời gian T > với điêù kiện ban đầu x0 , tồn hàm điều khiển u(t) ∈ L2 ([0, T ], U) cho T U (T, 0)x0 + U (T, τ )B(τ )u(τ )dτ = 0 Một tiêu chuẩn điều khiển được trình bày [2] cần dùng sau: Mệnh đề 3.2 ([1])Hệ [A(t), B(t)] điều khiển hồn tồn khơng sau khoảng thời gian T > T U ∗ (T, s)B ∗ (s)x∗ ds ≥ c U ∗ (T, 0)x∗ , ∃c > : ∀x∗ ∈ X∗ 38 Mệnh đề sau trình bày [9] cho thấy tính điều khiển hồn tồn hệ [A(t), B(t)] bảo đảm cho tồn nghiệm phương trình tốn tử Riccati (3.4) Mệnh đề 3.3 ([9]) Nếu hệ điều khiển dạng tuyến tính [A(t), B(t)] điều khiển hồn tồn khơng sau khoảng thời gian hữu hạn với Q ∈ BC([0, ∞), X+ ) phương trình tốn tử (3.4), R(t) = B(t)B ∗ (t), có nghiệm P ∈ BC([0, ∞), X+ ) Mệnh đề sau mang tính tuý kỹ thuật, cần dùng sau: Mệnh đề 3.4 Cho Q ∈ L(Y, X), S ∈ L(Y), S tự liên hợp xác định dương Khi Qy, x − Sy, y ≤ QS −1 Q∗ x, x , với (x, y) ∈ (X × Y) Việc chứng minh mệnh đề thực cách nâng lên bậc hai: ≤ S(y − S −1 Q∗ x), y − S −1 Q∗ x Xét hệ không otonom (3.1) Ta giả sử toán tử hàm B1 (t), C(t), E(t) bị chặn R+ Để đơn giản, khơng giảm tính tổng qt ta giả sử (xem [8,10]) D∗ (t)C(t) = D∗ (t)E(t) = 0, D∗ (t)D(t) = I, ∀t ≥ (3.6) Ta kí hiệu: η = (1 − µ)−1 , e = sup E ∗ (t)E(t) , xt = {x(t + s) : s ∈ [−h, 0]}, t≥0 Rγ (t) = B(t)B ∗ (t) − −1 −1 ∗ ∗ A1 (t)A1 (t) − η A2 (t)A2 (t) − Qh (t) = C ∗ (t)C(t) + C ∗ (t)E(t)E ∗ (t)C(t) + [ + η( 3.2 1 B1 (t)B1∗ (t) γ + e + 1) + h]I Dấu hiệu để tốn có nghiệm Với kí hiệu định nghĩa trên, ta có kết sau đây: Định lý 3.1 Bài tốn điều khiển H∞ mạnh cho hệ (3.1) có nghiệm tồn số dương , , cho phương trình tốn tử (3.4) với R(t) = Rγ (t), Q(t) = 39 Qh (t), có nghiệm P ∈ BC([0, ∞), X+ ) Hơn nữa, hàm điều khiển phản hồi ổn định hoá hệ thống u(t) = −B ∗ (t)P (t)x(t), t ≥ (3.7) Chứng minh Cho P ∈ BC([0, ∞), X+ ) nghiệm phương trình tốn tử (3.4) Sử dụng điều khiển phản hồi (3.7), ta chọn hàm Lyapunov-Krasovskii cho hệ đóng (3.2) sau V (t, xt ) = V1 + V2 + V3 , đó: V1 (t, x(t)) = P (t)x(t), x(t) , t V2 (t, xt ) = η( x(s) ds, + e + 1) t−h(t) V3 (t, xt ) = t x(s) dsdτ −h t+τ −h(t+τ ) Sử dụng công thức lấy đạo hàm d dt t = hf (t) − f (τ )dτ ds −h u(t ˙ + s)f (u(t + s))ds, −h u(t+s) V (t, ) dọc theo nghiệm x(t) hệ đóng, ta có V˙ (t, x(t)) = P˙ (t)x(t), x(t) + P (t)x(t), ˙ x(t) t = (P˙ + A∗ P + P A − 2P BB ∗ P )x(t), x(t) + P A2 x(s)ds, x(t) t−h(t) +2 P A1 x(t − h(t)), x(t) + P B1 w(t), x(t) Sử dụng Mệnh đề 3.4 với Q = I, S = η −1 I, ta t P A2 ≤ η x(s)ds, x(t) −1 P A2 A∗2 P x(t), x(t) t−h(t) x(t + s − h(t + s)) ds, + (1 − µ) −h từ đây: V˙ (t, x(t)) ≤ (P˙ + A∗ P + P A − 2P BB ∗ P + η −1 ∗ P A2 A2 P )x(t), x(t) x(t + s − h(t + s)) ds + (1 − µ) (3.8) −h +2 P A1 x(t − h(t)), x(t) + P B1 w(t), x(t) Tương tự, ta có V˙ (t, xt ) ≤ η( V˙ (t, xt ) ≤ 2h + e + 1) x(t) x(t) − − η( + e + 1)(1 − µ) x(t − h(t)) x(t + s − h(t + s)) ds (1 − µ) −h 40 Cho nên, {P˙ + A∗ P + P A − 2P BB ∗ P + η V˙ (t, xt ) ≤ +[η( + e + 1) + −1 ∗ P A2 A2 P h]I}x(t)), x(t) +2 P B1 w(t), x(t) + P A1 x(t − h(t)), x(t) −η( + e + 1)(1 − µ) x(t − h(t)) (3.9) ˙ Vì h(t) ≤ µ < 1, nên ta có V˙ (t, xt ) ≤ {P˙ + A∗ P + P A − 2P BB ∗ P + η +[η( + e + 1) + h]I}x(t)), x(t) +2 P A1 x(t − h(t)), x(t) − ( −1 ∗ P A2 A2 P + P B1 w(t), x(t) + e + 1) x(t − h(t)) Sử dụng Mệnh đề 3.4, ta có đánh giá P A1 x(t − h(t)), x(t) − x(t − h(t)) ≤ −1 P A1 A∗1 P x(t), x(t) , ta nhận V˙ (t, xt ) ≤ {P˙ + A∗ P + P A − 2P BB ∗ P + η +[η( + −1 1 + e + 1) + h]I}x(t)), x(t) −1 ∗ P A2 A2 P + P B1 w(t), x(t) P A1 A∗1 P x(t), x(t) − (e + 1) x(t − h(t)) Nhờ phương trình tốn tử (3.4), Q(t) = Qh (t) = C ∗ C + C ∗ EE ∗ C + ( + η( + e + 1) + h)I, ta có V˙ (t, xt ) ≤ − x(t) − C ∗ Cx(t), x(t) − P BB ∗ P x(t), x(t) +2 P B1 w(t), x(t) − (e + 1) x(t − h(t)) − P B1 B1∗ P x(t), x(t) − C ∗ EE ∗ Cx(t), x(t) γ (3.10) Vì C ∗ (t)C(t) ≥ 0, P (t)B(t)B ∗ (t)P (t) ≥ 0, P (t)B1 (t)B1∗ (t)P (t)x(t), x(t) ≥ 0, C ∗ (t)E(t)E ∗ (t)C(t)x(t), x(t) ≥ 0, ta có V˙ (t, xt ) ≤ − x(t) + P (t)B1 (t)w(t), x(t) (3.11) 41 Lấy tích phân hai vế (3.11) từ đến t ta nhận t t x(s) ds + V (t, xt ) − V (0, x0 ) ≤ − P (s)B1 (s)w(s), x(s) ds Vì V (t, ) ≥ 0, t t x(s) ds ≤ −1 −1 V (0, x0 ) + P (s)B1 (s)w(s), x(s) ds 0 Từ đây, t −1 x(s) ds ≤ P (0)φ(0), φ(0) + η( φ(s) ds + e + 1) −h 0 + φ(s) ds −h τ −h(τ ) t +2 −1 x(s) ds w(s) ds pb1 0 −1 ≤ ( P (0) + η( + e + 1)h + −1 x(s) ds pb1 w 2h ) φ 2 t +2 t , ∞ w(s) ds w= , b1 = sup B1 (t) , p = sup P (t) t≥0 t≥0 Đặt α= −1 ( P (0) + η( 2h ) + e + 1)h + φ 2, β = ta có t x(s) ds ≤ α + 2β pb1 w, t −1 x(s) ds , t x(s) ds ≤ β + β + α, ∀t ≥ 0 Cho t → ∞, bất đẳng thức cuối cho ta x(t) ∈ L2 ([0, ∞), X) Điều nói lên hệ (3.1) ổn định hố mạnh Để hoàn thành việc chứng minh ta cần kiểm tra điều kiện (3.3) Để làm điều đó, ta xét quan hệ s s 2 [ z(t) −γ w(t) ]dt = s z(t) −γ w(t) +V˙ (t, xt ) dt− V˙ (t, x(t))dt, 0 giá trị V˙ (t, xt ) đánh giá (3.9) Vì V (t, xt ) ≥ 0, t ≥ 0, ta có s V˙ (t, xt )dt = V (0, x0 ) − V (s, xs ) ≤ V (0, x0 ), − ∀s ≥ s ≥ 42 Cho nên, với s ≥ ta có s s [ z(t) − γ w(t) ]dt = z(t) − γ w(t) + V˙ (t, xt ) dt + V (0, x0 ) (3.12) Sử dụng hàm điều khiển phản hồi (3.7) giả thiết (3.6) ta có z(t) C ∗ Cx(t), x(t) + C ∗ Ex(t − h(t), x(t) + P BB ∗ P x(t), x(t) = + E ∗ Ex(t − h(t)), x(t − h(t)) C ∗ Cx(t), x(t) + C ∗ Ex(t − h(t), x(t) ≤ + P BB ∗ P x(t), x(t) + e x(t − h(t)) Tiến hành đánh giá V˙ (t, xt ) từ (3.10) thay vào đánh giá z(t) cuối, ta có s đánh giá s [ z(t) − γ w(t) ]dt ≤ − x(t) − C ∗ EE ∗ Cx(t), x(t) − P B1 B1∗ P x(t), x(t) + P B1 w(t), x(t) − γ w(t) γ +2 C ∗ Ex(t − h(t)), x(t) − x(t − h(t)) dt (3.13) +V (0, x0 ) Áp dụng Mệnh đề 3.4 cho đánh giá sau P B1 w, x − γ w, w ≤ P B1 B1∗ P x, x γ C ∗ Ex(t − h(t)), x(t) − x(t − h(t)) ≤ C ∗ EE ∗ Cx(t), x(t) , suy từ (3.13) s s [ z(t) 2 x(t) dt + V (0, x0 ) − γ w(t) ]dt ≤ − 0 Do V (0, x0 ) ≤ [|P (0) + η( ta có + e + 1)h + 2h ] φ 2, s [ z(t) − γ w(t) ]dt ≤ [ P (0) + η( + e + 1)h + 2h ] φ 2, hay cách tương đương, s s w(t) dt + [ P (0) + η( z(t) dt ≤ γ Cho s → ∞, đặt c0 = + e + 1)h + P (0) +η( +e+1)h+ h2 , γ c0 φ ∞ 2+ ta nhận z(t) dt ∞ w(t) dt ≤ γ, 2h ] φ 43 cho w(t) ∈ L2 ([0, ∞), W ), φ ∈ C([−h, 0], X) không tầm thường Định lý chứng minh Tiếp theo, ta giả sử toán tử Rγ (t), t ≥ 0, xác định Định lý 3.1 Rγ (t) = B(t)B ∗ (t) − −1 −1 ∗ ∗ A1 (t)A1 (t) − η A2 (t)A2 (t) − B1 (t)B1∗ (t) γ không tầm thường, xác định khơng âm, kéo theo tốn tử Bγ (t) = (Rγ (t))1/2 tồn Bγ (t)Bγ∗ (t) = Rγ (t), t ≥ Trong trường hợp này, phương trình Riccati (3.4) có dạng P˙ (t) + A∗ (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)Bγ (t)Bγ∗ (t)P (t) + Q(t) = (3.14) Lưu ý toán tử Bγ (t) chứa hai ma trận hàm A1 (t), A2 (t), hệ có chậm [A(t), Bγ (t)] điều khiển hồn tồn khơng, theo Mệnh đề 3.3 phương trình Riccati (3.14), với Q(t) = Qh (t) có nghiệm P ∈ BC([0, ∞), X+ ) từ đây, theo Định lý 3.1 tốn H∞ cho hệ (3.1) có nghiệm Cho nên, ta có Hệ 3.1 Giả sử Rγ (t) ≥ 0, t ≥ Bài toán điều khiển H∞ mạnh cho hệ (3.1) có nghiệm hệ điều khiển [A(t), Bγ (t)] điều khiển hồn tồn khơng sau khoảng thời gian hữu hạn Chú ý 3.1 Để kiểm tra tính điều khiển hồn tồn khơng hệ [A(t), Bγ (t)], ta dùng tiêu chuẩn điều khiển Mệnh đề 3.2 Ví dụ 3.1 Cho l2 không gian Hilbert dãy x = (x1 , x2 , ), xi ∈ R với chuẩn ∞ x2i x = < +∞ i=1 Xét hệ (3.1) l2 , h(t) = 41 sin2 t A(t) : (x1 , x2 , x3 , ) ∈ l2 → (−x1 sin2t, −x2 , −x3 , ) ∈ l2 , √ √ √ 0.1 x1 , 0.2x2 , 0.2x3 , ∈ l2 , A1 (t) : (x1 , x2 , x3 , ) ∈ l2 → t+1 √ √ √ 0.2 A2 (t) : (x1 , x2 , x3 , ) ∈ l2 → x1 , 0.3x2 , 0.3x3 , ∈ l2 , t+1 √ B(t) : (u1 , u2 , u3 , ) ∈ l2 → u1 , e−2t + 1u2 , e−2t + 1u3 , ∈ l2 , t+1 √ √ √ 0.6 B1 (t) : (w1 , w2 , w3 , ) ∈ l2 → w1 , 0.3w2 , 0.3w3 , ∈ l2 , t+1 44 C(t) = E(t) : (x1 , x2 , x3 , ) ∈ l2 → (x1 , 0, 0, ) ∈ l2 , a > 0, D(t) : (u1 , u2 , u3 , ) ∈ l2 → (0, u1 , u2 , u3 , ) ∈ l2 Đầu tiên ta lưu ý điều kiện (3.6) thoả mãn: D∗ (t)C(t) = D∗ (t)E(t) = 0, D∗ (t)D(t) = I, t ≥ ˙ h = 1/4, µ = 1/2 (vì h(t) = 1/2 sin t cos t ≤ 1/2), e = Hơn nữa, việc tìm tốn tử tiến hố U (t, τ ) giải cách giải phương trình vi phân d U (t, τ ) = A(t)U (t, τ ), dt U (τ, τ ) = I, ta có U (t, τ ), t ≥ τ, xác định U (t, τ ) : (x1 , x2 , ) ∈ l2 → (esin τ −sin2 t x1 , e−(t−τ ) x2 , e−(t−τ ) x3 , , ) ∈ l2 Có thể kiểm tra rằng, với T > ta có ∞ ∗ U (T, 0)x ∗ = e−2sin T x21 +e −2T x2i i=2 Lấy γ = 1, = = 0.5, = 2, ta có ≤ Rγ (t) : (x1 , x2 , x3 , ) ∈ l2 → x1 , e−2t x2 , e−2t x3 , (t + 1) ∈ l2 , từ Bγ (t) : (x1 , x2 , x3 , ) ∈ l2 → x1 , e−t x2 , e−t x3 , ∈ l2 t+1 Vậy, T U (T, τ )Bγ (τ )Bγ∗ (τ )U ∗ (T, τ )x∗ , x∗ dτ = T e−2sin T x21 0 ∞ −2T T x2i +e i=2 dτ ≥ = 1− T e−2sin T x21 e2sin τ dτ (τ + 1) dτ + e−2T (τ + 1)2 e−2sin T x21 + T e−2T T +1 ∞ T x2i i=2 dτ ∞ x2i i=2 Lấy T = 1, điều kiện điều khiển Mệnh đề 3.2 thoả mãn với c > đó, nghĩa hệ [A(t), Bγ (t)] điều khiển hoàn tồn khơng sau thời gian T = 1, từ đây, tốn điều khiển H∞ mạnh có lời giải Tóm lại, chương trình bày điều kiện để tốn điều khiển có hạn chế kiểu H∞ có lời giải Các giả thiết hầu hết cho dạng bất đẳng thức toán tử 45 Kết luận Luận văn trình bày lại khái niệm hệ điều khiển khơng có chậm có chậm, số định tính hệ điều khiển Luận văn trình bày điều kiện để hệ điều khiển có chậm ổn định hố hàm điều khiển phản hồi xây dựng từ thông tin chậm hệ thống thông tin hành vi điều khiển trước Cuối cùng, luận văn trình bày điều kiện tồn lời giải cho toán ổn định hoá mạnh H∞ cho hệ thống có chậm trạng thái điều khiển Hàm điều khiển phản hồi hình thành sở nghiệm phương trình tốn tử Riccati 46 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục (2000) [2] Vũ Ngọc Phát, Nhập mơn Lý thuyết điều khiển Tốn học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2001) [3] N S Bay, Stability and stabilization of nonlinear time-varying delay systems with non-autonomous kernels, Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 13, (2010), 59-69 [4] Nguyen S Bay, Stabilization of nonlinear nonautonomous time-delay systems with the memory of the past control, AMS, 4, 57 (2010), 2829-2841 [5] Nguyen S Bay, Nguyen M Linh and Vu N Phat, Robust H∞ control of linear time-varying systems with mixed delays in the Hilbert space, Optimal Control Appllication and Methods, 32 (2011), 545-557 [6] B A Francis and J C Doyle, Linear control theory with an H∞ optimality criterion, SIAM J Control Optim.,25(1987), 815-832 [7] J Hale and S.M V Lunel Introduction to Functional Differential Equations, Springer - Verlag, New York (1993) [8] B van Keulen, H∞ Control for Distributed Parameter Systems: A State-Space Approach Birkhauser, Boston, 1993 [9] V.N Phat, Nonlinear H∞ optimal control in Hilbert spaces via Riccati operator equations Nonl Funct Anal Appl., 9(2004), 79-92 [10] V.N Phat, D.Q Vinh and N S Bay, L2 −stabilization and H∞ control for linear non-autonomous time-delay systems in Hilbert spaces via Riccati equations, Adv in Nonl Var Ineq., 11(2008), 75-86 [11] T Yoshizawa, Stability theory by Lyapunov’s second method, Math Soc of Japan (1966) 47 [12] J.Zabczyk, Introduction to Mathematical Control Theory, Berlin, Birkhauzer, 1992 ... Chương trình bày số kiến thức sở hệ điều khiển phương trình vi phân khơng có chậm có chậm Chương hai trình bày kết ổn định hóa hệ có chậm với hàm điều khiển xây dựng từ thông tin chậm trạng thái hệ. .. có chậm, số định tính hệ điều khiển Luận văn trình bày điều kiện để hệ điều khiển có chậm ổn định hoá hàm điều khiển phản hồi xây dựng từ thông tin chậm hệ thống thơng tin hành vi điều khiển trước... Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ điều khiển khơng có chậm 1.1.1 Hệ điều khiển khơng có chậm 1.1.2 Một vài định tính 1.2 Hệ điều khiển có chậm