Điều khiển ổn định một số hệ phương trình có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————– o0o ————- TÔ THỊ PHƯƠNG ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHẬM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————– o0o ————- TÔ THỊ PHƯƠNG ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHẬM Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn PGS.TS NGUYỄN SINH BẢY Hà Nội, 2014 Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ điều khiển chậm 1.1.1 Hệ điều khiển chậm 1.1.2 Một vài định tính 1.2 Hệ điều khiển có chậm 1.2.1 Phương trình vi phân có chậm 1.2.2 Sự ổn định phương trình vi phân có chậm 1.2.3 Hệ tuyến tính không dừng phương trình Riccati Bài toán điều khiển có nhớ 2.1 Giới thiệu toán 2.2 Dấu hiệu ổn định hóa 2.2.1 Trường hợp hệ có phận điều khiển 2.2.2 Trường hợp hệ có phận điều khiển Bài toán điều khiển H∞ 3.1 Kiến thức chuẩn bị 3.1.1 Giới thiệu toán 3.1.2 Một số định nghĩa, mệnh đề 3.2 Dấu hiệu để toán có nghiệm 7 10 11 11 14 18 dạng phi tuyến dạng tuyến tính 25 25 26 26 30 34 34 34 35 38 Bảng ký hiệu, chữ viết tắt R - tập số thực R+ - tập số thực không âm X - không gian Banach trạng thái U - không gian Banach điều khiển Rn - không gian véc tơ n-chiều (A, B ) - cặp ma trận điều khiển Φ(t, s) - ma trận x(t) ˙ = Ax(t) GC - điều khiển hoàn toàn GR - đạt hoàn toàn GNC - điều khiển hoàn toàn ROE - phương trình toán tử Riccati 3 Mở Đầu Các hệ thống có mặt khắp nơi Độ phức tạp hệ thống nói chung giới hạn Mỗi hệ thống hoạt động theo chế riêng tác động ngoại lai (thường gọi nhiễu yếu tố không chắn) Tính không chắn làm cho hệ thống sa vào tình mong muốn Để giảm thiểu ảnh hưởng yếu tố không chắn người ta thường đưa thêm vào hệ thống thành phần gọi phận điều khiển Với tác động thích hợp lúc, hiệu hoạt động hệ thống cao Điều đảm bảo tính chất quan trọng gọi tính ổn định hệ thống Lý thuyết ổn định phương trình vi phân hướng nghiên cứu quan trọng Toán học Ngày nay, việc nghiên cứu không dừng lại phương trình vi phân thường mà mở rộng sang phương trình vi phân có chậm Luận văn nghiên cứu chủ yếu tính ổn định phương trình vi phân có chậm Tính ổn định trì nhờ tác động điều khiển nên toán có tên gọi "ổn định hoá" hệ điều khiển Một vài định tính khác hệ điều khiển số kiến thức hệ chậm nhắc tới, tuỳ theo mức độ liên quan Luận văn gồm phần mở đầu, chương chuẩn bị kiến thức, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số kiến thức sở hệ điều khiển phương trình vi phân chậm có chậm Chương hai trình bày kết ổn định hóa hệ có chậm với hàm điều khiển xây dựng từ thông tin chậm trạng thái hệ thống thông tin hành vi điều khiển có khứ Chương ba trình bày kết cho toán điều khiển H∞ Kết nhận từ giả thiết điều khiển hoàn toàn không hệ thống xuất phát (chưa kể nhiễu điều khiển) Bản luận văn thực hướng dẫn PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn, giúp đỡ, kiểm tra để hoàn thành luận văn 4 Tôi xin cám ơn thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cám ơn ban giám hiệu trường THPT Diêm Điền huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành khoá học Cuối cùng, muốn nói lời cám ơn gia đình, người thân - chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận góp ý quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tô Thị Phương SUMMARY Thesis title : “Stability control of some delayed systems” Full name : To Thi Phuong Specialization: Analysis Spec code : 60 46 01 02 Supervisor : Ass Prof Nguyen Sinh Bay The systems are everywhere In general, the complexity of the systems has not the limit Every system is operating under one of their own mechanisms if there are not exotic impacts from outside (often referred noise or perturbation or uncertain factor) There may be that, under perturbations the system can gradually away from the best designed state To decrease damages due this exotic impacts from outside there are often supplied an additional inside component which is called control unit By timely and efficient control operation, in general the system should be considered better It is ensured by a critical property, which is called “the stability” of this system Stability theory of differential equations is one important research area of Mathematics Today, the researchers not only to stop again on the ordinary differential equations, but also deal many attention on delayed equations For the delayed differential equations, the state spaces much be considered as the functional spaces This thesis deals on illustration on stability of delayed differential equations The stability of systems is supported by control, therefore the problem is referred by the term “stabilization control systems” Some other properties of control systems are also reminded, depending on the relevant level The dissertation consists of the introduction, a preparation outline of the basic knowledge, two chapters of main contents, conclusion and list of references Chapter one presents some basic knowledge of control systems and on the equations without delay and with delay 6 Chapter two presents the results of memory stabilization on delayed systems with control functions built from the late information about status and from information about the driver behavior in the past Chapter three presents the results for the problem control H∞ Results received from assuming complete control of the system is not derived (excluding interference and control) In the total, this thesis presents the concept of control systems without delay and with delay, some of the basic properties of the control system The thesis also presents the sufficient conditions for the stabilizability of delayed control systems by feedback control functions built from delayed information of systems and information about previous behavior control Finally, the thesis presents condition for existence of solution for problem strong H∞ stabilization for the delayed systems with uncertain from outside impacts Feedback control function is formed on the basis of the test operator Riccati equation 7 Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ điều khiển chậm Mỗi hệ điều khiển chứa nhiều biến, hai biến biến trạng thái, kí hiệu x biến điều khiển, kí hiệu u Biến x nhận giá trị không gian Banach X gọi không gian trạng thái Biến u nhận giá trị không gian Banach U đó, gọi không gian điều khiển Trong nhiều trường hợp toán xét không gian đặc biệt hơn, không gian Hilbert đơn giản: X = Rn , U = Rm 1.1.1 Hệ điều khiển chậm Hệ điều khiển dạng tổng quát Xét hệ thống mô tả phương trình vi phân thường (xem [1], [2]): x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ (1.1) t ∈ R+ := [0; +∞), x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Ω ⊆ Rm , f : R+ × Rn × Ω → Rn , x(t) trạng thái (state) hệ thống thời điểm t, u(t) hàm điều khiển t Nếu Ω = Rm hệ điều khiển bị hạn chế Nếu Ω = Rm hệ điều khiển không bị hạn chế Hàm điều khiển xây dựng hàm trạng thái u(t) = ϕ(x(t)) gọi hàm điều khiển phản hồi (hoặc điều khiển feedback) Trong trường hợp ta có phương trình x(t) ˙ = f (t, x(t), ϕ(x(t))) := h(t, x(t)) 8 Hệ điều khiển dạng tuyến tính Xét hệ điều khiển (xem [2]) x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t) A(t) ma trận cỡ n × n, B(t) ma trận cỡ n × m, u(t) véc tơ m-chiều Trong trường hợp A, B ma trận ta có hệ điều khiển tuyến tính dừng x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) (1.2) Khi đó, với trạng thái ban đầu x(t0 ) = x0 điều khiển u(t) nghiệm hệ xác định công thức t x(t) = x(t0 , x0 , t) = S(t − t0 )x0 + S(t − s)Bu(s)ds, t0 đó, S(t) = eAt Trường hợp hệ không dừng, nghĩa A(t), B(t) ma trận phụ thuộc t: x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t) với điều kiện ban đầu (t0 , x0 ), công thức Cauchy (xem [1],[2]) cho nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 phương trình t Φ(t, s)B(s)u(s)ds x(t) = Φ(t, t0 )x0 + t0 Ở đây: Φ(t, s) ma trận hệ x(t) ˙ = A(t)x(t) Ma trận có tính chất: ˙ s) = A(t)Φ(t, s), (i) Φ(t, (ii) Φ(t, t) = I, (iii) Φ(t, r)Φ(r, s) = Φ(t, s) Trường hợp hàm điều khiển có dạng phi tuyến: x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ (1.3) Nghiệm hệ với hàm điều khiển u điểm xuất phát (t0 , x0 ) cho t x(t) = x(t0 , x0 , u, t) = x0 + f (s, x(s), u(s))ds t0 46 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục (2000) [2] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn Lý thuyết điều khiển Toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2001) [3] N S Bay, Stability and stabilization of nonlinear time-varying delay systems with non-autonomous kernels, Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 13, (2010), 59-69 [4] Nguyen S Bay, Stabilization of nonlinear nonautonomous time-delay systems with the memory of the past control, AMS, 4, 57 (2010), 2829-2841 [5] Nguyen S Bay, Nguyen M Linh and Vu N Phat, Robust H∞ control of linear time-varying systems with mixed delays in the Hilbert space, Optimal Control Appllication and Methods, 32 (2011), 545-557 [6] B A Francis and J C Doyle, Linear control theory with an H∞ optimality criterion, SIAM J Control Optim.,25(1987), 815-832 [7] J Hale and S.M V Lunel Introduction to Functional Differential Equations, Springer - Verlag, New York (1993) [8] B van Keulen, H∞ Control for Distributed Parameter Systems: A State-Space Approach Birkhauser, Boston, 1993 [9] V.N Phat, Nonlinear H∞ optimal control in Hilbert spaces via Riccati operator equations Nonl Funct Anal Appl., 9(2004), 79-92 [10] V.N Phat, D.Q Vinh and N S Bay, L2 −stabilization and H∞ control for linear non-autonomous time-delay systems in Hilbert spaces via Riccati equations, Adv in Nonl Var Ineq., 11(2008), 75-86 [11] T Yoshizawa, Stability theory by Lyapunov’s second method, Math Soc of Japan (1966) 47 [12] J.Zabczyk, Introduction to Mathematical Control Theory, Berlin, Birkhauzer, 1992 [...]...46 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn và Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục (2000) [2] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn Lý thuyết điều khiển Toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2001) [3] N S Bay, Stability and stabilization of nonlinear time-varying delay systems with non-autonomous