Điều khiển ổn định một số hệ phương trình có chậm

1 Mục lục 1 Một số kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Hệ điều khiển không có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Hệ điều khiển không có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Một vài định tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Hệ điều khiển có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Phương trình vi phân có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Sự ổn định của các phương trình vi phân có chậm . . . . . . 14 1.2.3 Hệ tuyến tính không dừng và phương trình Riccati . . . . 18 2 Bài toán điều khiển có nhớ 25 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Dấu hiệu ổn định hóa được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Trường hợp hệ có bộ phận điều khiển dạng phi tuyến . . . 26 2.2.2 Trường hợp hệ có bộ phận điều khiển dạng tuyến tính . . . 30 3 Bài toán điều khiển H ∞ 34 3.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2 Một số định nghĩa, mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Dấu hiệu để bài toán có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2 Bảng các ký hiệu, chữ viết tắt . R - tập các số thực. R + - tập các số thực không âm. X - không gian Banach của các trạng thái. U - không gian Banach của các điều khiển. R n - không gian véc tơ n-chiều. (A, B) - một cặp ma trận điều khiển. Φ(t, s) - ma trận cơ bản của ˙x(t) = Ax(t). GC - điều khiển được hoàn toàn. GR - đạt được hoàn toàn. GNC - điều khiển được hoàn toàn về 0. ROE - phương trình toán tử Riccati. 3 Mở Đầu Các hệ thống có mặt ở khắp nơi. Độ phức tạp của các hệ thống nói chung là không có giới hạn. Mỗi hệ thống hoạt động theo một cơ chế riêng của mình nếu như không có các tác động ngoại lai (thường gọi là nhiễu hay là yếu tố không chắc chắn). Tính không chắc chắn có thể làm cho hệ thống sa vào các tình huống ngoài mong muốn. Để giảm thiểu ảnh hưởng của yếu tố không chắc chắn người ta thường đưa thêm vào hệ thống một thành phần gọi là bộ phận điều khiển. Với các tác động thích hợp và đúng lúc, hiệu quả hoạt động của hệ thống sẽ cao hơn. Điều đó được đảm bảo bởi một tính chất quan trọng gọi là tính ổn định của hệ thống. Lý thuyết ổn định các phương trình vi phân là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán học. Ngày nay, việc nghiên cứu không chỉ dừng lại trên các phương trình vi phân thường mà còn được mở rộng sang các phương trình vi phân có chậm. Luận văn này nghiên cứu chủ yếu về tính ổn định của các phương trình vi phân có chậm. Tính ổn định được duy trì nhờ các tác động điều khiển nên bài toán có tên gọi là "ổn định hoá" các hệ điều khiển. Một vài định tính khác của các hệ điều khiển và một số kiến thức cơ bản về hệ không có chậm cũng được nhắc tới, tuỳ theo mức độ liên quan. Luận văn gồm phần mở đầu, một chương chuẩn bị kiến thức, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ điều khiển và về các phương trình vi phân không có chậm và có chậm. Chương hai trình bày một kết quả về ổn định hóa hệ có chậm với hàm điều khiển được xây dựng từ các thông tin chậm về trạng thái hệ thống cũng như thông tin về các hành vi điều khiển đã có trong quá khứ. Chương ba trình bày một kết quả cho bài toán điều khiển H ∞ . Kết quả nhận được từ giả thiết điều khiển được hoàn toàn về không của hệ thống xuất phát (chưa kể nhiễu và điều khiển). Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sinh Bảy. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn, giúp đỡ, kiểm tra để tôi có thể hoàn thành bản luận văn. 4 Tôi xin cám ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn. Cám ơn ban giám hiệu trường THPT Diêm Điền huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình về sự tạo điều kiện thuận lợi cho tôi có thể hoàn thành khoá học. Cuối cùng, tôi muốn nói lời cám ơn gia đình, người thân - chỗ dựa về tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tô Thị Phương 5 SUMMARY Thesis title : “Stability control of some delayed systems”. Full name : To Thi Phuong Specialization: Analysis Spec. code : 60 46 01 02 Supervisor : Ass. Prof. Nguyen Sinh Bay The systems are everywhere. In general, the complexity of the systems has not the limit. Every system is operating under one of their own mechanisms if there are not exotic impacts from outside (often referred noise or perturbation or uncertain factor). There may be that, under perturbations the system can gradually away from the best designed state. To decrease damages due this exotic impacts from outside there are often supplied an additional inside component which is called con- trol unit. By timely and efficient control operation, in general the system should be considered better. It is ensured by a critical property, which is called “the stability” of this system. Stability theory of differential equations is one important research area of Math- ematics. Today, the researchers not only to stop again on the ordinary differential equations, but also deal many attention on delayed equations. For the delayed dif- ferential equations, the state spaces much be considered as the functional spaces. This thesis deals on illustration on stability of delayed differential equations. The stability of systems is supported by control, therefore the problem is referred by the term “stabilization control systems”. Some other properties of control systems are also reminded, depending on the relevant level. The dissertation consists of the introduction, a preparation outline of the basic knowledge, two chapters of main contents, conclusion and list of references. Chapter one presents some basic knowledge of control systems and on the equa- tions without delay and with delay. 6 Chapter two presents the results of memory stabilization on delayed systems with control functions built from the late information about status and from in- formation about the driver behavior in the past. Chapter three presents the results for the problem control H ∞ . Results received from assuming complete control of the system is not derived (excluding interference and control). In the total, this thesis presents the concept of control systems without delay and with delay, some of the basic properties of the control system. The thesis also presents the sufficient conditions for the stabilizability of delayed control systems by feedback control functions built from delayed information of systems and infor- mation about previous behavior control. Finally, the thesis presents condition for existence of solution for problem strong H ∞ stabilization for the delayed systems with uncertain from outside impacts. Feedback control function is formed on the basis of the test operator Riccati equation. 7 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ điều khiển không có chậm Mỗi hệ điều khiển có thể chứa nhiều biến, trong đó hai biến cơ bản là biến trạng thái, kí hiệu là x và biến điều khiển, kí hiệu là u. Biến x nhận giá trị trong một không gian Banach X nào đó được gọi là không gian trạng thái. Biến u nhận giá trị trong không gian Banach U nào đó, gọi là không gian điều khiển. Trong nhiều trường hợp bài toán được xét trong không gian đặc biệt hơn, đó là các không gian Hilbert hoặc đơn giản: X = R n , U = R m . 1.1.1 Hệ điều khiển không có chậm Hệ điều khiển dạng tổng quát Xét hệ thống được mô tả bởi một phương trình vi phân thường (xem [1], [2]): ˙x(t) = f(t, x(t), u(t)), t ≥ 0 (1.1) trong đó t ∈ R + := [0; +∞), x(t) ∈ R n , u(t) ∈ Ω ⊆ R m , f : R + × R n × Ω → R n , x(t) là trạng thái (state) của hệ thống tại thời điểm t, u(t) là hàm điều khiển tại t. Nếu Ω = R m thì hệ điều khiển là bị hạn chế. Nếu Ω = R m thì hệ điều khiển là không bị hạn chế. Hàm điều khiển được xây dựng như một hàm của trạng thái u(t) = ϕ(x(t)) gọi là hàm điều khiển phản hồi (hoặc điều khiển feedback). Trong trường hợp đó ta có phương trình ˙x(t) = f(t, x(t), ϕ(x(t))) := h(t, x(t)). 8 Hệ điều khiển dạng tuyến tính Xét hệ điều khiển (xem [2]) ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t). trong đó A(t) là ma trận cỡ n ×n, B(t) là ma trận cỡ n ×m, u(t) là véc tơ m-chiều. Trong trường hợp A, B là các ma trận hằng ta có hệ điều khiển tuyến tính dừng. ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t). (1.2) Khi đó, với bất kì trạng thái ban đầu x(t 0 ) = x 0 và điều khiển u(t) thì nghiệm của hệ được xác định bởi công thức x(t) = x(t 0 , x 0 , t) = S(t − t 0 )x 0 +  t t 0 S(t − s)Bu(s)ds, trong đó, S(t) = e At . Trường hợp hệ không dừng, nghĩa là khi A(t), B(t) là các ma trận phụ thuộc t: ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) với điều kiện ban đầu (t 0 , x 0 ), công thức Cauchy (xem [1],[2]) cho nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 của phương trình là x(t) = Φ(t, t 0 )x 0 +  t t 0 Φ(t, s)B(s)u(s)ds. Ở đây: Φ(t, s) là ma trận cơ bản của hệ thuần nhất ˙x(t) = A(t)x(t). Ma trận này có các tính chất: (i) ˙ Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), (ii) Φ(t, t) = I, (iii) Φ(t, r)Φ(r, s) = Φ(t, s). Trường hợp hàm điều khiển có dạng phi tuyến: ˙x(t) = f(t, x(t), u(t)), t ≥ 0. (1.3) Nghiệm của hệ này với hàm điều khiển u và điểm xuất phát (t 0 , x 0 ) được cho bởi x(t) = x(t 0 , x 0 , u, t) = x 0 +  t t 0 f(s, x(s), u(s))ds. 9 Hệ điều khiển có hàm quan sát Khi một hệ thống đang hoạt động có rất nhiều thông số để xác định trạng thái của nó. Tuy nhiên người ta thường chỉ quan tâm đến một lượng thông số vừa đủ để có thể khôi phục được toàn bộ trạng thái hệ thống khi cần thiết. Xét hệ động lực được mô tả bởi hệ phương trình    ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t). (1.4) A, B, C là các ma trận thực tương ứng có cỡ là n × n, n × m, r × n, x(t) - véc tơ n chiều biểu thị trạng thái hệ thống tại thời điểm t, u(t) - véc tơ m chiều biểu thị tác động đầu vào, thường gọi là hàm điều khiển, y(t) - véc tơ r chiều biểu thị đầu ra của biến trạng thái (output). Như vậy x(t), u(t), y(t) khi t ∈ R cho ta các dãy véc tơ trong các không gian tương ứng là R n , R m và R r . Từ (1.4) ta thấy nếu cho trạng thái ban đầu x 0 và đầu vào u(t) thì các trạng thái x(t) và đầu ra y(t) xác định duy nhất. Nghiệm của hệ (1.4) được hiểu là mọi bộ (x(t), u(t), y(t)) của các dãy véc tơ {x(t)}, {u(t)}, {y(t)}, thỏa mãn hệ phương trình với mọi t Hệ không chắc chắn. Xét hệ phương trình ([3], [4])    ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + C(t)w(t), y(t) = D(t)x(t) + E(t)u(t). (1.5) Ở đây, w(t) là đầu vào không chắc chắn hay còn gọi là nhiễu. Khi nhiễu là quá lớn thì nói chung hệ thống sẽ hoạt động không đúng với ý định đặt ra ban đầu. Các loại hạn chế Ở phần trên ta đã nói đến các hệ điều khiển có hạn chế. Dưới đây, ta phân biệt một vài loại hạn chế thường gặp ([2], [12]): • Hạn chế kiểu tập hợp: Cho tập Ω ⊆ R m . Hàm điều kiện cần thỏa mãn u ∈ Ω. • Hạn chế theo chuẩn: Cho trước một số M > 0. Hàm điều kiện cần thỏa mãn u ≤ M. 10 • Hạn chế hầu khắp nơi: Cho p > 0. Hàm điều kiện cần thỏa mãn  +∞ 0 u(t) p dt ≤ +∞. Thông thường chỉ xét cho p = 2. Nói cách khác u(t) là các hàm bình phương khả tích trên [0; +∞). • Hạn chế kiểu H ∞ : Cho trước một số γ > 0. Hàm điều kiện cần thỏa mãn  +∞ 0 y(t) 2 dt  +∞ 0 w(t) 2 dt ≤ γ, ∀x 0 . Điều kiện này nói lên rằng, các hàm điều khiển cần được chọn sao cho tỷ số của tổng tích luỹ của bình phương sai số đầu ra (quan sát được) so với tổng tích luỹ của các bình phương của nhiễu không được quá lớn (bị chặn trên bởi hằng số γ). Dĩ nhiên, γ càng nhỏ thì càng tốt, nhưng khi đó tập hạn chế sẽ hẹp đi, khả năng chọn hàm u cũng bị giảm bớt. • Hạn chế kiểu H ∞ kết hợp hạn chế sai số đầu vào: Cho trước một số γ > 0 và điều kiện ban đầu (0, x 0 ). Việc khởi động đúng với điều kiện ban đầu là khó. Trong thực tế luôn là các trạng thái xấp xỉ. Sai số khởi động không được phép quá lớn. Vậy, hàm điều kiện cần thỏa mãn  +∞ 0 y(t) 2 dt cx 0  +  +∞ 0 w(t) 2 dt ≤ γ, ∀x 0 . 1.1.2 Một vài định tính Tính điều khiển được hoàn toàn của hệ tuyến tính otonom Xét hệ điều khiển tuyến tính otonom (1.2): ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t). Định nghĩa 1.1. ([2], [12]) • Hệ (1.2) được gọi là điều khiển được hoàn toàn (GC) nếu với bất kì t 0 ∈ R + , bất kì trạng thái ban đầu x 0 , bất kì trạng thái kết thúc x f , tồn tại thời gian hữu hạn T > t 0 và một biến điều khiển u(t), sao cho x(t 0 ) = x 0 và x(T ) = x f . • Hệ (1.2) được gọi là điều khiển được hoàn toàn về 0 (GNC) nếu với bất kì t 0 ∈ R + , x(t 0 ) = x 0 ∈ R n , tồn tại thời gian hữu hạn T và một điều khiển u(t), sao cho x(T ) = 0. • Hệ (1.2) được gọi là đạt được hoàn toàn (GR) nếu với trạng thái ban đầu x(t 0 ) = 0, bất kì trạng thái kết thúc x f , tồn tại thời gian hữu hạn T > t 0 và một điều khiển u(t), sao cho x(T ) = x f . [...]... chương này đã tóm tắt lại khái niệm phương trình vi phân thường và vi phân có chậm, khái niệm nghiệm ổn định, các phương pháp nghiên cứu tính ổn định Ngoài ra một số định tính của hệ điều khiển như tính điều khiển được, tính ổn định hoá được cũng đã được trình bày 25 Chương 2 Bài toán điều khiển có nhớ 2.1 Giới thiệu bài toán Các hệ điều khiển sử dụng hàm điều khiển phản hồi (feedback) đã được biết... nghiệm cổ điển của các phương trình vi phân thường Hệ điều khiển có chậm trên trạng thái Xét hệ điều khiển (xem [2,3,10]) x(t) = f (t, xt , u(t)), ˙ (1.10) trong đó t ∈ R+ , x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , xt ∈ C := C([−h, 0], Rn ) và hàm điều khiển có dạng tuyến tính Có nhiều cách xây dựng hàm điều khiển nhưng ở đây ta chỉ quan tâm đến các hàm điều khiển phản hồi, nghĩa là hàm điều khiển tại thời điểm t ∈... định trên C 1.2.2 Sự ổn định của các phương trình vi phân có chậm Xét phương trình có chậm tổng quát (1.8) x(t) = f (t, xt ), t ≥ 0 ˙ f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ Điều kiện f (t, 0) = 0 đảm bảm rằng hệ trên có nghiệm cân bằng tầm thường x(t) ≡ 0 Ta luôn giả thiết hàm f đủ tốt để các điều kiện về tồn tại, duy nhất và kéo dài nghiệm trên R+ được thỏa mãn Định nghĩa 1.4 ([7,10]) • Nghiệm x = 0 của phương trình. .. Rn Đây là phương trình tổng quát của các phương trình có chậm với độ chậm h Nghiệm và định lý tồn tại duy nhất nghiệm Định nghĩa 1.2 ([7]) Hàm liên tục x = x(t) có đạo hàm phải hầu khắp nơi trên R+ mà khi thay vào (1.8) được đẳng thức được gọi là một nghiệm của phương trình có chậm (1.8) Điều kiện ban đầu 13 Định nghĩa 1.3 ([7]) Cho trước φ ∈ C và t0 ∈ R+ Nghiệm x(.) của (1.8) thỏa mãn điều kiện... = 0 được gọi là ổn định mũ nếu với mọi φ ∈ C, tồn tại δ > 0, N > 0 sao cho ||x(t0 , φ, t)|| ≤ N ||φ||e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 • Với α > 0 cho trước nghiệm x = 0 ổn định mũ với chỉ số α (δ = α) thì nói nghiệm đó là α - ổn định mũ Khi nghiệm tầm thường x = 0 ổn định ta sẽ nói ngắn gọn là hệ phương trình ổn định (theo các nghĩa khác nhau nói trên) 15 Định nghĩa 1.5 ([2,3,10]) Nói hệ điều khiển x(t) = f (t,... là ổn định hoá được nếu với mỗi hàm điều khiển lấy từ Ω u(t) = φ(xt ) hệ đóng x(t) = f (t, xt , φ(xt )) ˙ (1.13) là ổn định tiệm cận Thông thường người ta đưa thêm giả thiết f (t, 0, 0) = 0 để đưa bài toán về việc xét tính ổn định của điểm cân bằng x = 0 Phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ có chậm Phương pháp thứ nhất Lyapunov dựa vào khái niệm tập phổ rất được ưa chuộng trong nghiên cứu ổn định. ..11 Định nghĩa trên cũng được phát biểu tương tự cho các hệ không otonom cũng như các hệ dạng phi tuyến Nhận xét 1.1 Một hệ là điều khiển được hoàn toàn (GC) thì hệ đó là đạt được hoàn toàn (GR) và điều khiển được hoàn toàn về 0 (GNC) Hệ (1.2) hoàn toàn xác định bởi ma trận A, B nên chúng ta có thể nói về tính điều khiển được của cặp (A, B) Chúng ta xây dựng ma trận điều khiển của hệ là ma trận... dạng bất phương trình ma trận (xem [6, 8, 9]) Đối với các hệ vô hạn chiều, việc giải quyết bài toán này sẽ cần đến một số kiến thức về nửa nhóm Để mở rộng bài toán điều khiển H∞ cho các không gian Hilbert, chúng ta sẽ cần các phương trình và bất phương trình "tựa Riccati" Bài báo [10] đã giải quyết bài toán cho trường hợp hệ có hệ số biến thiên nhưng độ chậm là hằng số Ở đây, ta sẽ xét lớp các hệ tuyến... ¯ ¯ F1 + 2 + 3 . các phương trình vi phân có chậm. Luận văn này nghiên cứu chủ yếu về tính ổn định của các phương trình vi phân có chậm. Tính ổn định được duy trì nhờ các tác động điều khiển nên bài toán có tên. nên bài toán có tên gọi là " ;ổn định hoá" các hệ điều khiển. Một vài định tính khác của các hệ điều khiển và một số kiến thức cơ bản về hệ không có chậm cũng được nhắc tới, tuỳ theo. phương trình vi phân không có chậm và có chậm. Chương hai trình bày một kết quả về ổn định hóa hệ có chậm với hàm điều khiển được xây dựng từ các thông tin chậm về trạng thái hệ thống cũng như thông tin