3 Bài toán điều khiển H∞
3.1.2 Một số định nghĩa, mệnh đề
Kí hiệu R+:= [0; +∞); X,Y là hai không gian Hilbert với các tích vô hướng đều được kí hiệu bởi h., .i; L(X,Y) không gian Banach của các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y ;C([t, s],X) là không gian Banach của các hàm liên tục trên [t, s] và nhận giá trị trongX; L2([t, s],X)là tập của các hàm đo được mạnh bình phương khả tích trên [t, s] và nhận giá trị trong X; D(A), A∗ và A−1 tương ứng là tập xác định, toán tử liên hợp và toán tử nghịch đảo của toán tử A; cl M là bao đóng của tập M;I là toán tử đồng nhất.
Toán tử Q ∈ L(X) được gọi là xác định không âm và kí hiệu là Q ≥ 0 nếu
hQx, xi ≥ 0, với mọi x ∈ X. Nếu với một c > 0 nào đó, hQx, xi ≥ ckxk2 với mọi x∈X, thì Q được gọi là xác định dương và kí hiệu Q >0. Toán tử A∈L(X) được gọi là tự liên hợp nếu A=A∗; Toán tử hàm A(t) được gọi là bị chặn trên R+, nếu supt∈R+kA(t)k < +∞. BC([0,∞),X+) kí hiệu tập các toán tử tuyến tính, liên tục, bị chặn, tự liên hợp và xác định không âm trên R+.
Xét phương trình không chắc chắn, không otonom có chậm phân phối
˙ x(t) = A(t)x(t) +A1(t)x(t−h(t)) +A2(t) Z t t−h(t) x(s)ds +B(t)u(t) +B1(t)w(t), t≥0 (3.1) z(t) = C(t)x(t) +E(t)x(t−h(t)) +D(t)u(t), x(t) = φ(t), t∈[−h,0].
trong đó x∈X là biến trạng thái;u∈U là biến điều khiển; w∈W là biến đầu vào không chắc chắn (nhiễu); z∈Z đầu ra quan sát được;X,U,W,Z là các không gian Hilbert; A(t), A1(t), A2(t), B(t), B1(t), C(t), E(t), D(t), t≥0, là các hàm nhận giá trị
toán tử; Độ chậm biến thiên h(t) thỏa mãn điều kiện sau 0≤h(t)≤h, h(t)˙ ≤µ <1, ∀t≥0.
Điều kiện ban đầu φ∈C([−h,0],X), với chuẩn là kφk= sups∈[−h,0]kφ(s)k. Ta sẽ nói hàm điều khiển u(t) là chấp nhận được nếu như u(t) là bình phương khả tích trên mọi khoảng hữu hạn , i.e., u(t)∈ L2([0, s],U) với mọi s >0. Hàm không chắc chắn w(t) là chấp nhận được nếu như w(t) ∈L2([0,∞),W). Ở [1] đã chỉ ra rằng các giả thiết sau đảm bảo cho sự tồn tại và duy nhất nghiêm của phương trình (3.1): a) B ∈ L(U,X), B1 ∈ L(W,X), C, E ∈L(X,Z), D ∈ L(U,Z), và A1(.)x, B(.)u, B1(.)w, C(.)x, E(.)x, D(.)u, là các hàm liên tục trên R+ với mọi x∈X, u∈U, w ∈W.
b) Với mỗi t ∈R+,cl D(A(t)) = X, A(t) sinh ra một C0− nửa nhóm trên X và tồn tại toán tử tiến hóaU(t, τ) :{(t, τ) :t≥τ ≥0} →L(X), sao choU∗(t, τ)liên tục với mọi x∈D(A(t)), U(t, τ)x∈D(A(t)) :
∂U(t, τ)x
∂t =A(t)U(t, τ)x, U(τ, τ) =I.
Định nghĩa 3.1. Hệ (3.1) được gọi là L2− ổn định hoá được mạnh nếu như tồn tại một hàm nhận giá trị toán tử liên tục K ∈ L(X,U), sao cho mỗi nghiệm x(t) của hệ đóng ˙ x(t) = [A(t) +B(t)K(t)]x(t) +A1(t)x(t−h(t)) +A2(t) Z t t−h(t) x(s)ds+B1(t)w(t), (3.2) x(t) = φ(t), t∈[−h,0],
đều thuộc L2([0,∞),X) với mọi hàm không chắc chắn chấp nhận được w(t). Bài toán điều khiển mạnh H∞ cho hệ (3.1) tiếp tục được xem xét như sau. Định nghĩa 3.2. Nếu với γ > 0 là một số dương cho trước, luôn tìm hàm điều khiển phản hồi u(t) = K(t)x(t) sao cho:
(i) Hệ (3.1) là L2− ổn định hoá được mạnh. (ii) Tồn tại số c0 >0 sao cho
sup
R∞
0 kz(t)k2dt
c0kφk2+R0∞kw(t)k2dt ≤γ, (3.3) trong đó, supremum được lấy theo mọiφ∈C([−h,0],X)và mọiw(t)∈L2([0,∞),W) không tầm thường (w(t)6≡0). Trong trường hợp đó ta nói bài toán điều khiển H∞ (3.1) là có lời giải và hàm điều khiển phản hồi u(t) = K(t)x(t) ổn định hoá được
mạnh hệ (3.1).
Lời giải của bài toán điều khiển H∞ dựa vào phương trình toán tử Riccati sau đây:
˙
P(t) +A∗(t)P(t) +P(t)A(t)−P(t)R(t)P(t) +Q(t) = 0. (3.4) Vì toán tử A(t) là bị chặn nên ta sẽ định nghĩa nghiệm đủ tốt P(t) của phương trình Riccati (3.4) theo một nghĩa rộng hơn như sau. Một toán tử hàm P ∈L(X) được gọi là một nghiệm đủ tốt của phương trình Riccati (3.4) nếu tích vô hướng
hP(t)x, yi khả vi với mọi x, y ∈X và hệ thức sau thoả mãn d
dthP(t)x, xi+hP(t)A(t)x, xi+hP(t)x, A(t)xi − hP(t)R(t)P(t)x, xi+hQ(t)x, xi= 0, với mọi x∈D(A(t)), t≥0.
Ta nói hệ tuyến tính [A(t), B(t)]: ˙
x(t) =A(t)x(t) +B(t)u(t), t≥0
là Q− ổn định hoá được nếu như với mỗi trạng thái ban đầu x0, tồn tại hàm điều khiển u(t)∈L2([0,∞),U)], sao cho hàm mục tiêu
J(u) =
Z ∞
0
[ku(t)k2+hQ(t)x(t), x(t)i]dt, (3.5) tồn tại và hữu hạn.
Mệnh đề 3.1. [8] Giả sử hệ [A(t), B(t)] là Q− ổn định hoá được, trong đó Q ∈
BC([0,∞),X+), khi đó (3.4), với R(t) = B(t)B∗(t), có nghiệm P ∈BC([0,∞),X+).
Nhận xét. Ta có thể thấy, hệ [A(t), B(t)] được gọi là điều khiển được hoàn toàn về không trong khoảng thời gian T > 0 nếu như với mọi điêù kiện ban đầu x0, tồn tại hàm điều khiển u(t)∈L2([0, T],U) sao cho
U(T,0)x0+
Z T
0
U(T, τ)B(τ)u(τ)dτ = 0.
Một tiêu chuẩn điều khiển được đã được trình bày ở [2] sẽ cần dùng về sau:
Mệnh đề 3.2. ([1])Hệ[A(t), B(t)]là điều khiển được hoàn toàn về không sau khoảng thời gian T >0 nếu và chỉ nếu
∃c >0 :
Z T
0
Mệnh đề sau đây được trình bày ở [9] cho thấy tính điều khiển được hoàn toàn của hệ [A(t), B(t)] sẽ bảo đảm cho sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử Riccati (3.4).
Mệnh đề 3.3. ([9]) Nếu hệ điều khiển dạng tuyến tính [A(t), B(t)] là điều khiển được hoàn toàn về không sau một khoảng thời gian hữu hạn thì với mọi Q ∈
BC([0,∞),X+) phương trình toán tử (3.4), trong đó R(t) = B(t)B∗(t), có nghiệm
P ∈BC([0,∞),X+).
Mệnh đề sau mang tính thuần tuý kỹ thuật, cần dùng về sau:
Mệnh đề 3.4. Cho Q∈L(Y,X), S∈L(Y), và S là tự liên hợp và xác định dương. Khi đó
2hQy, xi − hSy, yi ≤ hQS−1Q∗x, xi,
với mọi (x, y)∈(X×Y).
Việc chứng minh mệnh đề này có thể thực hiện bằng cách nâng lên bậc hai: 0≤ hS(y−S−1Q∗x), y−S−1Q∗xi.
Xét hệ không otonom (3.1). Ta sẽ giả sử các toán tử hàm B1(t), C(t), E(t) là bị chặn trên R+. Để đơn giản, và không giảm tính tổng quát ta giả sử (xem [8,10])
D∗(t)C(t) =D∗(t)E(t) = 0, D∗(t)D(t) = I, ∀t≥0. (3.6) Ta kí hiệu: η= (1−µ)−1, e= sup t≥0 kE∗(t)E(t)k, xt ={x(t+s) :s ∈[−h,0]}, Rγ(t) = B(t)B∗(t)−−11A1(t)A1∗(t)−η−21A2(t)A∗2(t)− 1 γB1(t)B ∗ 1(t) Qh(t) = C∗(t)C(t) +C∗(t)E(t)E∗(t)C(t) + [+η(1+e+ 1) +2h]I.