3 Bài toán điều khiển H∞
3.1.1Giới thiệu bài toán
Bài toán điều khiển có hạn chế kiểu H∞ rất được quan tâm trong mấy chục năm gần đây. Bài toán được đặt ra cho các hệ điều khiển không chắc chắn dạng tuyến tính (xem [5,8,9,10]). Bài toán điều khiển H∞ trong không gian véc tơ hữu hạn chiều thường được giải quyết nhờ các kỹ thuật xây dựng các hàm Lyapunov và để nhận được các kết quả thường phải giải hàng loạt các bất đẳng thức ma trận dạng bất phương trình ma trận (xem [6,8,9]). Đối với các hệ vô hạn chiều, việc giải quyết bài toán này sẽ cần đến một số kiến thức về nửa nhóm. Để mở rộng bài toán điều khiển H∞ cho các không gian Hilbert, chúng ta sẽ cần các phương trình và bất phương trình "tựa Riccati". Bài báo [10] đã giải quyết bài toán cho trường hợp hệ có hệ số biến thiên nhưng độ chậm là hằng số. Ở đây, ta sẽ xét lớp các hệ tuyến tính, không otonom có trễ trên biến trạng thái và biến quan sát. Hệ thống được cho trong không gian Hilbert, nói chung là vô hạn chiều. Về sau ta sẽ thấy lời giải của bài toán điều khiển H∞ có thể được giải quyết nhờ giả thiết về tính điều khiển được hoàn toàn của hệ thống.
Không gian Hilbert
Cho H là một không gian tuyến tính trên trường R(hoặc C) và một phép nhân vô hướng <, > trong H. Nếu định nghĩa chuẩn kxk := √
< x, x > thì H trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn.
Dãy {xn}n, xn ∈ H được gọi là một dãy Cauchy nếu với mỗi số > 0 tồn tại một số nguyên dươngn0, sao cho kxn−xmk ≤ nếu như n, m≥n0.
Không gianH được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong H đều hội tụ tới một điểm thuộc H.
Không gian H với tích vô hướng là đầy đủ đối với chuẩn được xác định như trên được gọi là một không gian Hilbert. Không gian Hilbert có thể là hữu hạn hoặc vô hạn chiều. Ta nhắc lại rằng, một không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ X được gọi là một không gian Banach. Chuẩn trong không gian Banach có thể được cho bằng các cách khác nhau (không nhất thiết qua tích vô hướng). Như vậy, mỗi không gian Hilbert đều là một không gian Banach. Một không gian Banach chưa chắc đã là một không gian Hilbert (có thể không có tích vô hướng).