Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dưới ngôn ngữ đạo hàm parabolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM TRẦN QUANG MẠNH ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU DƯỚI NGƠN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên — 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM TRẦN QUANG MẠNH ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU DƯỚI NGƠN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng PGS.TS ĐỖ VĂN dẫnLƯU khoa học Thái Nguyên — 2016 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Trần Quang Mạnh Lời cảm ơn Luận văn hồn thành khóa 22 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu, Viện Tốn học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Thái Nguyên, Viện Tốn học, người tận tình giảng dạy, khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Trần Quang Mạnh Mục lục Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết điều kiện tối ưu đóng vai trị quan trọng lý thuyết toán cực trị Các điều kiện tối ưu cấp hai cho phép ta tìm nghiệm tối ưu trong tập điểm dừng Nhiều kết nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu đơn đa mục tiêu thiết lập C Gutiérrez, B Jiménez, V Novo ([10], 2010) chứng minh điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm khả vi Fréchet với đạo hàm Fréchet liên tục ổn định Lớp hàm chứa lớp hàm C Đây đề tài nhiều tác giả nước 1,1 quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài: “Điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu đa mục tiêu ngôn ngữ đạo hàm parabolic” Nội dung đề tài Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cấp hai ngôn ngữ đạo hàm parabolic cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm khả vi Fréchet đạo hàm Fréchet chúng liên tục ổn định Luận văn viết dựa báo C Gutiérrez, B Jiménez V Novo, đăng tạpchí Math Programming 123 (2010), 199-223 Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: "Tập tiếp tuyến cấp hai đạo hàm theo phương cấp hai" Trình bày tốn tối ưu đa mục tiêu (1.1) xét luận văn; khái niệm tập tiếp tuyến cấp hai tập; tính chất mối quan hệ tập tiếp tuyến cấp hai; hàm ổn định; đạo hàm theo phương parabolic radial cấp hai, vi phân Clarke cấp hai mối quan hệ chúng Các khái niệm kết chương Gutiérrez-JiménezNovo [10] Chương 2: "Điều kiện cần tối ưu" Trình bày điều kiện cần tối ưu cấp hai Gutiérrez-Jiménez-Novo [10] cho toán (1.1) phát biểu chương với hàm có đạo hàm Fréchet liên tục ổn định, dạng hệ không tương thích dạng nhân tử Lagrange với số ví dụ minh họa Chương 3: "Điều kiện đủ tối ưu" Trình bày điều kiện đủ tối ưu cấp hai dạng nhân tử Lagrange Gutiérrez-Jiménez-Novo [10] cho cực tiểu địa phương chặt cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu (3.1) với hệ cho toán với hàm khả vi Fréchet hai lần, tốn với hàm C ví dụ 1,1 Chương Tập tiếp tuyến cấp hai đạo hàm theo phương cấp hai Chương trình bày toán tối ưu đa mục tiêu nghiên cứu luận văn, khái niệm tập tiếp tuyến cấp hai với tính chất mối quan hệ chúng, hàm ổn định, đạo hàm theo phương parabolic radial cấp hai, vi phân Clarke cấp hai (ma trận Hessian suy rộng) Các kết chương Gutiérrez-Jiménez-Novo [10] 1.1Tập tiếp tuyến cấp hai Cho f, g h hàm từ R vào R , R R Xét toán n p m r tối ưu đa mục tiêu sau: D — Minf (x); (1.1) x M := g~1(K) \ h“1(0), D nón lồi đóng nhọn (D \ —D = {0}) với phần khác rỗng K c R tập lồi với phần khác rỗng Thứ tự phận m R xác định quan hệ p y 0, int M phần tập M, cl M bao đóng tập M, co M bao lồi tập M cone M nón sinh tập M Nhắc lại điểm x M gọi cực tiểu địa phương (cực tiểu yếu địa phương) tốn (1.1), kí hiệu x LMin(f, M) (tương ứng x LWMin(f, M) điểm cực tiểu yếu địa phương), tồn lân cận U x cho (f(M n U - f (X) n (-D) = {0} (tương ứng (f (M n U — f (x)) n (—intD) = ; điểm cực tiểu yếu địa phương) Đặc biệt p =1 D = R+, trở khái niệm cực tiểu địa phương biết Nón cực dương tập M R định nghĩa n M+ = (Ệ R : «,x) > 0,8x M) Nón tiếp tuyến M x R n T(M, x) = {v R : 9t ! , 9v ! v cho x + t v M, 8n N} n n + n n n Sau khái tập tiếp tuyến cấp hai mà ta sử dụng luận văn Định nghĩa 1.1.1 Cho M c Rn x, v Rn (a) Tập tiếp liên cấp hai M (x, v) T (M, x, v) = {w R : 9t ! , 9w ! w cho n + n n x + t v + 2t^Wn M, Vn N} n (b) Tập tiếp tuyến phần cấp hai M (x,v) IT (M, x,v) = {w R : Vt ! , Vw ! w ta có n + n n x + t v + -tnw M, Vn đủ lớn} n n (c) Tập liền kề cấp hai M (x,v) A (M, x, v) = {w R : Vt ! , 9w ! w cho n + n n x + t v + 2tnwn M, Vn N} n T (M, x,v) A (M, x,v) tập đóng, IT (M, x,v) tập mở 2 M lồi A (M, x,v) IT (M, x,v) tập lồi Hơn nữa, 2 M xác định ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức khả vi liên tục hai lần với điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz, ta có A (M, x,v) = T (M, x,v) 2 (xem [5]) Kết sau bao gồm tính chất tập tiếp tuyến cấp hai định nghĩa (xem [19]) Mệnh đề 1.1.2 Cho M tập Rn, x M v Rn (i) IT (M, x, v) c A (M, x, v) c T (M, x, v) 2 c cl cone[cone(M — x) — v]; (ii)IT (M,x,v) = IT (int M,x,v); 2 Với vectơ v R , kí hiệu v? khơng gian trực giao với v n 0, , f (x n) - f (x) - tnf'(x)v _ , limp -X = f (x)w tnTn Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (1.2) với b = x = x + t v + t r w a = x, ý f ổn định x với số k, ta có n n n n n ||f (xn) - f (x) - tnf (x)(v ■ 2rnwn) \ < t |v n ■ rnwn\\ sup \\f/(x - f (x)\| ) / [ ] xe x,x n < tn\\v + rnWn\\k\\xn - x|| = kt^v + TnWnf với n đủ lớn Chia hai vế cho 2t r , ta n n < 2^ ||vr + 1rnW nk ! f(x n) - f(x) - tnf'(x)v _ f0x)w n t r n n Bổ đề chứng minh Trong kết phần này, giả thiết sau sử dụng: ta nói tính chất (H) x 8v C (x) \ {0} 8w v?\{0} mà T g0(x)w cl cone[cone(K — g(x) — g°(x)v], tồn (A,p.) A(x) thỏa mãn h^,g (x)w) < 0 Định lý 3.1.3 Xét toán (3.1) Giả sử f gf ổn định x M (H) x Với v C (x) \ {0}, điều kiện sau thỏa mãn: T (a) Vw R V(x ,y ) D2(f, g)(x, v) cho n o o g'(x)w + zo T2(k,g(x),g (x)v), tồn (A,^) A(x) thỏa mãn Với dãy w : -, , ta có hai trường hợp: t n n • Trường hợp (i): (w ) bị chặn, ta giả sử (w ) ! w với n n w R Ta đặt n (f, )(x + t v , ~ g n ■ t nWn) - (f,g)(x) - tn(f,g)/(x)v ( ,z yn n) := t 2 n Do (f, g)0 ổn định x, ta giả sử ( xem chứng minh Mệnh đề 1.2.3) ( yn,zn) ! (y,z) (3 6) với (y,z) Dp(f, g)(x, v, w) Từ Mệnh đề 1.2.4 (ii), y = (f,g) (x)w + (yo,zo) = (f ( ,z) 0(x)w + yo,g (x)w + zo); với (y,Z0) D2(f,g)(x,v) Do x M, tức g(x ) K, n n = g(x„) - g(x- tng'(x)v ! z = g'(x)w + Z0, 2*n ta suy g (x)w + Z0 T (K, g(x), g (x)v) Từ giả thiết (a), tồn (A, y) A(x) thỏa mãn (3.3) Cộng (A, f'(x)w) vào hai vế (3.3) ý A o f (x) + y o g'(x) = 0, (3.3) tương đương với y + e ! Do (3.6), y ! y = f (x)w + y Sử dụng n n n (3.8)-(3.9), ta suy f (x)w + yo = - lim en = - lim 2t“ (t“ dn + f 0(x)v) 1 -cl cone(D + f (x)v), d D D nón n Do v C/(x) c C(x) A o f0(x) + y o g'(x) = 0, ta suy (A,f (x)v) = / (xem (2.10)) Do đó, A [cl cone(D + f (x)v)] Bởi f (x)w + y - cl cone(D + f (x)v), ta có 0 hA,f (x)w + y0) < + Điều mâu thuẫn với (3.7) với T := tn/s thỏa mãn tn/r = s ! Hơn nữa, T ! 0+ n n n n n n í xn — x \ rn\ tn — v ) Tn Như , v — v ! 0, ta suy n Tn = k —■ v| = 2\\vn - v\| ! II wn Phương trình (3.11) w T(S ) = v?, v , v n—1 n S , S mặt cầu đơn vị R n-1 n-1 n Bây ta sử dụng (3.10)—(3.11), với (f, g)0 ổn định x, ta có (f g)(x , ") - (f,g)(x) - f)'(x)v ! (f(x)w,g'(x)w) 2tnTn (3.12) ' -——'' theo Bổ đề 3.1.2, t =T ! Hơn nữa, n n g (x)w = limn!i 2Tn [tn (g(xn) - g(x)) - g (x)v] cl cone[cone(K — g(x)) — g0(x )v] 1 Từ giả thiết (H), tồn (A,^) A(x) cho h^,g°(x)w) < Cộng (A, f '(x)w) vào hai vế, biểu thức tương đương với (A, f(x)w) > (3.13) Mặt khác, chia hai vế (3.4) cho 2t T lấy giới hạn, ta suy n n lim n f (xn) - f (x) - tnf (x)v dn + tnf (x)v n!i 2tnTn + limn!i 1tnTn = Giới hạn thứ f (x)tữ (3.12) giới hạn thứ hai d := lim„!i 2r“ (t« dn + f (x)v) cl cone(D + f0(x)v) 1 Vì f (x)w = —d, (A, f(x)w> < 0, mâu thuẫn với (3.13) □ Nhận xét 3.1.4 Điều kiện (a0) sau kéo theo điều kiện (a) Định lý 3.1.3: (a ) V(yo,Zo) D2(f; g)(X;V) 3(A,^) A(x) cho + > sup b T (3.14) (K,g(ả),g (x)v) Khi K khả dẫn xuất parabolic g(x), tức T2(K; g(x);U) = A2(K; g(x);U) Vu R m (xem Định nghĩa 6.1 [18]), điều kiện cần (2.11) khác (3.14) dấu ”>” dấu ” > ” Theo nghĩa đó, ta nói điều kiện đủ gần với điều kiện cần Nhận xét 3.1.5 Định lý 3.1.3 Hệ 3.2.1, 3.2.2, 3.2.5 ta thay C (x) cho C(x) C (x) c C(x) T T 3.2Các hệ Kết sau hệ trực tiếp Định lý 3.1.3 Mệnh đề 1.2.4 (ii) Hệ 3.2.1 Xét toán (3.1) Giả sứ f g hàm dịp—khả vi x M, có đạo hàm f gf ổn định x (H) x; Với V C (x) \ {0}, điều kiện sau thỏa mãn: T (a) Vw R mà dịg(x, V; w) T2(K; g(x); g°(x)v), 9(A; g) A(x) cho n > Khi x Strl(2;f;M) Từ Hệ 3.2.1, sử dụng Mệnh đề 1.2.4, ta kết sau cho trường hợp hàm khả vi Fréchet hai lần Hệ 3.2.2 Xét toán (3.1) Giả sứ f g hàm khả vi Fréchet hai lần x M (H) x; Với v C (x) \ {0}, điều kiện T sau thỏa mãn: (a) Vw R mà g'(x)w + g (x)(v, v) T^K,g(x), g (x)v) 9(A,p,) A(x) n /0 cho hA,f (x)w ■ f"(x)(v,v) > 0- Khi x Strl(2,f,M) Nhận xét 3.2.3 Điều kiện (a0) sau kéo theo điều kiện (a) Hệ 3.2.2: (a ) 3(A,p.) A(x) cho (A,f"(x)(v,v)) ■ h^,gff(x)(v,v)i > suP p^' b eT 2(K,g(í),g'(x)v) Để minh họa cho kết trên, ví dụ sau cho thấy khơng có sai khác Định lý 2.2.6 Định lý 3.1.3 Ví dụ 3.2.4 Xét Ví dụ 2.3.6 Với v = (vi, 0) C(x) \ {(0,0)}, theo Ví dụ 3.39 [5] ta có g g T (K, (x), /(x)v) = A2(K,g(x),g'(x)v), với y = (0,0, —1) N(K, g(x)), sup beT hy, b) = —4v2 (K,g(X),g'(x)v) (xem Ví dụ 2.3.6) Cho ( yo,zo) = 2v (a - c, 10) 2 ,g)(x,v), D (f A(x), vế trái (3.14) hA, yoi + hv, zoi = 2(a - c)v2 (A, ) ^ = (1,0 -) Do (3.14) thỏa mãn a — c > —2 Hơn nữa, (3.14) thỏa mãn với (y ,z ) D2(f, g)(x,v) a — c> —2 0 Như vậy, điều kiện (a ) Nhận xét 3.1.4 điều kiện (a) Định lý 3.1.3 thỏa mãn a — c > —2 Cho w = (w ,w ) v? \ {(0,0)g, tức w = w = 0, 2 g (x)w = (0,0, w ) cl cone[cone(K — g(x)) — g'(x)v\ = {(di,d2,d ) : d > 0g, 3 w > Chọn (X, g,) = (1,0,0, —1) A(x), ta có hg,,g (x)w) = —w < / Do đó, điều kiện (H) Định lý 3.1.3 thỏa mãn Vì vậy, a — c > —2 ta suy x cực tiểu địa phương chặt cấp hai Sử dụng Ví dụ 2.3.6, có trường hợp a — c = không chắn, tức kết luận dựa vào Định lý 2.2.6 Định lý 3.1.3 x cực tiểu địa phương Hơn nữa, ta để ý ví dụ này, vế trái (3.14) âm a — c < Trong trường hợp này, tính tối ưu x khơng thể suy từ Định lý [7] Sử dụng Mệnh đề 1.2.6, ta nhận kết sau từ Định lý 3.1.3 Hệ 3.2.5 Xét toán (3.1) Giả sử f g hàm C1,1 lân cận x M (H) x Với v C (x) \ {0g, điều kiện T sau thỏa mãn: (a) Vw R , V(A, B) d (f, g)(x) cho g (x)w + B(v, v) T2(K; g(x), n g (x)v), 9(A,g,) A(x) thỏa mãn (A, f '(x)w + A(v, v)i > Khi x Strl(2,f,M) Nhận xét 3.2.6 Dễ dàng kiểm tra điều kiện (a) Hệ 3.2.5 suy điều kiện tương đương: (a’) 9(A, g,) A(x) cho V(A, B) @ (f, g)(x) ta có (A,A(v,v)i + h^,B(v,v)i > sup {ự,bi, beT 2(K,g(x),g (x)v') ỉ (a”) 3(A,p.) A(x) cho VN d (Af + glg)(x) ta có N(v,v) > sup bT hụ,,b) (K,g(x),g'(x)v) Ta xét ví dụ sau minh họa cho Hệ 3.2.5 Ví dụ 3.2.7 Xét Ví dụ 2.3.7 (xem thêm Ví dụ 3.2.4) Với v = (v1, 0) C(x) \ {(0,0)g (A, p.) = (1, 0,0, —1) A(x), ta biết sup beT h^,b) = —4v2 (K,g(X),g'(x)v) Với (A,B) @ (f,g)(x) ta biết {A, A(v, v)i + h^, B(v, v)i = (2a + (2^ - 1)koc)v2 Do đó, điều kiện (a ) Nhận xét 3.2.6 thỏa mãn (và điều kiện (a) Hệ 3.2.5 đúng) 2a + (2^ — 1)k c > —4, V.ỉ [0,1], o tức là, 2a - koc> -4 (3.15) Điều kiện (H) Hệ 3.2.5 thỏa mãn (xem Ví dụ 3.2.4) Do đó, cách áp dụng hệ ta có x cực tiểu địa phương chặt cấp hai Trong trường hợp này, có sai khác điều kiện cần (2.17) điều kiện đủ (3.15) Cũng ý điều kiện (3.15) yếu điều kiện a — c > —2 nhận Ví dụ 3.2.4 Kết luận Luận văn trình bày kết nghiên cứu GutiérrezJiménez-Novo [10] (2010) điều kiện tối ưu cấp hai ngôn ngữ đạọ hàm theo phương parabolic radial cấp hai cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm khả vi Fréchet đạo hàm Fréchet chúng liên tục ổn định Nội dung luận văn bao gồm: - Các khái niệm tập tiếp tuyến cấp hai, tính chất mối quan hệ tập tiếp tuyến cấp hai đó; - Hàm ổn định tính chất; - Các đạo hàm theo phương parabolic radial cấp hai quan hệ hai đạo hàm này; - Các điều kiện cần tối ưu cấp hai cho cực tiểu yếu địa phương toán tối ưu đa mục tiêu (1.1) dạng hệ khơng tương thích dạng nhân tử Lagrange; - Các điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho cực tiểu địa phương chặt cấp hai toán (3.1) dạng nhân tử Lagrange; - Một số ví dụ minh họa Do vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp, thời gian khả thân cịn hạn chế nên có nhiều cốgắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo người quan tâm để luận văn hoàn thiện Tài liêu tham khảo Tài liêu tiếng Viêt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật Tài liêu tiếng Anh [2] Aubin, J P., Frankowska, H (1990), Set-Valued Analysis, Birkhauser, Boston [3] Bednarík, D., Pastor, K (2008), "On second order conditions in unconstrained optimization", Math Program, 113, pp 283-298 [4] Ben-Tal, A., Zowe, J (1985), "Directional derivatives in nonsmooth optimization J Optim", Theory Appl, 47, pp 483-490 [5] Bonnans, J F., Shapiro, A (2000), Perturbation analysis of optimization problems, Springer-Verlag, New York [6] Cominetti, R (1990), "Metric regularity, tangent sets, and second order optimality conditions", Appl Math Optim., 21, pp 265-287 [7] Ginchev, I., Guerraggio, A., Rocca, M (2005), "Second order conditions in C constrained vector optimization", Math Program., 104, pp 2-3, 1,1 389-405 [8] Ginchev, I., Ivanov, V (2008), "Second order optimality conditions for problems with C data", J Math Anal Appl., 340, pp 646-657 [9] Guerraggio, A., Luc, D T (2003), "Optimality conditions for C con1,1 strained multiobjective problems", J Optim Theory Appl., 116, pp 117-129 [10] Gutiérrez, C., Jiménez, B., Novo, V (2010), "On second order Fritz John type optimality conditions is nonsmooth multiobjective programming", Math Program, Ser B 123, pp 199-223 [11] Hiriart-Urruty, J B., Strodiot, J J., Nguyen, V H (1984), "Generalized hessian matrix and second order optimality conditions for problems with C data", Appl Math Optim., 11, pp 43-54 1,1 [12] Jahn, J., Khan, A A., Zeilinger, P (2005), "Second order optimality conditions in set optimization", J Optim Theory Appl., 125, pp 331347 [13] Jiménez, B (2002), "Strict efficiency in vector optimization", J Math Anal Appl., 265, pp 264-284 [14] Jiménez, B., Novo, V (2003), "First and second order sufficient conditions for strict minimality in nonsmooth vector optimization", J Math Anal Appl., 284, pp 496-510 [15] Jiménez, B., Novo, V (2003), "Second order necessary conditions in set constrained differentiable vector optimization", Math Methods Oper Res, 58, pp 299-317 [16] Liu, L., Neittaanmăki, P., Krízek, M (2000), "Second order optimality conditions for nondominated Solutions of multiobjective programming with C data", Appl Math., 45, pp 381-397 1,1 [17] Maruyama, Y (1990), "Second order necessary conditions for nonlinear optimization problems in Banach spaces and their application to an optimal control problem", Math Oper Res., 15, pp 467-482 [18] Rockafellar, R T., Wets, R J (1998), Variational analysis, Springer, Berlin [19] Ward, D E (1993), "Calculus for parabolic second order derivatives", Set Valued Anal., 1, pp 213-246 ... nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu đơn đa mục tiêu thiết lập C Gutiérrez, B Jiménez, V Novo ([10], 2010) chứng minh điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm khả... mục tiêu ngôn ngữ đạo hàm parabolic? ?? Nội dung đề tài Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cấp hai ngôn ngữ đạo hàm parabolic cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm khả vi Fréchet đạo hàm Fréchet chúng... GutiérrezJiménez-Novo [10] (2010) điều kiện tối ưu cấp hai ngôn ngữ đạọ hàm theo phương parabolic radial cấp hai cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm khả vi Fréchet đạo hàm Fréchet chúng liên tục ổn