Luận văn thạc sĩ điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu qua dưới vi phân suy rộng

Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ NHÀN ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ NHÀN ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2015 c i Lêi cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam ®oan r»ng mäi sù gióp ®ì cho viƯc thùc luận văn đà cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn đà rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2015 Người viết luận văn Trần Thị Nhàn c ii Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học PGS TS Đỗ Văn Lưu Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, PGS TS Đỗ Văn Lưu, người đà tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán, khoa Sau đại học - Trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên, đà tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn lớp Cao học Toán K21b, đà động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp Thái Nguyên, tháng năm 2015 Người viết luận văn Trần Thị Nhàn c iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu 1.1 Các kiến thức bổ trợ 1.1.1 D­íi vi ph©n suy rộng 1.1.2 Các vi phân Clarke-Rockafellar, Clarke, Michel-Penot 1.1.3 D­íi vi ph©n suy réng chÝnh quy, d­íi vi ph©n suy réng tèi thiÓu 1.2 Điều kiện cần Fritz John cho cùc tiÓu Pareto yÕu 10 13 §iỊu kiƯn chÝnh quy điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker 24 2.1 Điều kiện quy điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker 24 2.2 Điều kiện đủ cho cực tiểu Pareto yÕu KÕt luËn Tài liệu tham khảo 28 30 31 c Më đầu Lý chọn luận văn Năm 1994, Demyanov [5] đà đưa khái niệm vi phân suy rộng compăc lồi Khái niệm tổng quát hoá khái niệm lồi lõm (xem [6]) Các khái niệm vi phân suy rộng đóng, không lồi Jacobian xấp xỉ đề xuất Jeyakumar Luc [9] [10] Khái niệm vi phân suy rộng tổng quát hoá số khái niệm vi phân đà biết Clarke [4], Michel-Penot [17], Mordukhovich [18] Một điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu toán quy hoạch đa mục tiêu ngôn ngữ Jacobian xấp xỉ đưa Luc [12] Điều kiện cần tối ưu Fritz John cho cực tiểu yếu ngôn ngữ vi phân suy rộng đưa Dutta- Chandra [7,8] cho toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc bất đẳng thức Điều kiện cần cho cực tiểu yếu cực tiểu Pareto đưa Luu [15] với ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập Dựa (2014) đà định thiết lí lập Ljusternik điều mở kiện réng tèi ­u cđa cho JimÐnez-Novo cùc tiĨu Pareto (2002), yếu D.V.Luu toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập ngôn ngữ vi phân suy rộng (convexificator) Đây đề tài nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Chính em chọn đề tài : Điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu qua vi phân suy rộng Phương pháp nghiên cứu c Sưu tầm đọc tài liệu từ sách, tạp chí toán học nước quốc tế liên quan đến điều kiện tối ưu cho toán tối ưu véc tơ Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích luận văn Luận văn trình bày điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu ngôn ngữ vi phân suy rộng báo D V Lưu đăng tạp chí Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 160 (2014), pp 510-526 Nội dung luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu Trình bày số kiến thức vi phân suy rộng ®iỊu kiƯn cÇn Fritz John cho cùc tiĨu Pareto u toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập với hàm Lipschitz địa phương Chương 2: Điều kiện quy điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker Trình bày điều kiện quy điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker cho toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập với hàm Lipschitz địa phương ngôn ngữ vi phân suy rộng với giả thiết tính lồi suy rộng, điều kiện cần tối ưu trở thành điều kiện đủ tối ưu c Chương Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu Trong chương trình bày số kiến thức vi phân suy rộng ®iỊu kiƯn cÇn Fritz John cho cùc tiĨu Pareto u toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập ngôn ngữ vi phân suy rộng Các kết trình bày chương tham khảo [9], [14] 1.1 Các kiến thức bổ trợ 1.1.1 Cho Dưới vi phân suy rộng f hàm giá trị thực mở rộng xác định hàm theo phương Dini v Rn f f+ f Rn Nhắc lại đạo x Rn theo phương xác định sau: f (x + tv) − f (¯ x) , t↓0 t   f (¯ x + tv) − f (¯ x) + f (¯ x; v) := lim sup t↓0 t f − (¯ x; v) := lim inf NÕu f t¹i t¹i x¯ x¯ f + (¯ x; v) = f ( x; v) , giá trị chung gọi đạo hàm hàm theo phương v ký hiệu f ( x; v) Hàm tồn đạo hàm theo phương khả vi Fréchet x với đạo hàm Fréchet c f ( x) f x gọi khả vi theo phương theo phương Nếu f f (¯ x; v) = h∇f (¯ x, v)i lµ f Theo [9] hµm ∂∗ f ( x) ) gọi có vi phân suy rộng x Rn f (¯ x) (hay (∂∗ f (¯ x)) ⊆ Rn f − (¯ x; v) ≤ sup hξ, vi f + (¯ x; v) ≥ ξ∈∂∗ f (¯ x) Mét tËp ®ãng nÕu ∂ ∗ f (¯ x) Theo ∂ f ( x) Rn ) tập đóng vµ  (∀v ∈ Rn ) hξ, vi inf gọi vi phân suy rộng đồng thời vi phân suy rộng d­íi cđa [8] hµm ∂ ∗ f (¯ x) ⊆ Rn f x (hay (v Rn ), ξ∈∂ ∗ f (¯ x)  ∂ ∗ f (¯ x) gäi lµ ∂ ∗ f (¯ x) có vi phân suy rộng bán f x f x quy tập đóng vµ f + (¯ x; v) ≤ sup hξ, vi (∀v ∈ Rn ) ξ∈∂ ∗ f (¯ x) (1.1) VÝ dơ 1.1.1 Cho hµm f :R→R     x, f (x) := x4 − 4x3 + 4x2 , 0, xác định x ∈ Q ∩ [0; +∞[, x ∈ Q ∩ ]; 0], , trường hợp khác Q tập số hữu tỷ Khi   v, + f (0; v) =  0, v ≥ 0, v < 0, f − (0; v) = (∀v ∈ R) TËp {0; 1} vi phân suy rộng bán quy vi phân suy rộng cđa réng d­íi cđa Theo [9], f t¹i nÕu f t¹i x¯ TËp {0} f t¹i x¯ , vi phân suy x xảy đẳng thức (1.1) f ( x) gọi vi phân suy rộng quy Với hàm Lipschitz địa phương, vi phân c Clarke vi phân Michel-Penot d­íi vi ph©n suy réng cđa x¯ (xem [9]) f Hơn với hàm Lipschitz địa phương quy theo nghÜa Clarke [4], d­íi vi ph©n Clarke vi phân suy rộng quy f (xem [7]) Chú ý rằng, hàm x¯ cã mét d­íi vi ph©n suy réng chÝnh quy vi phân suy rộng bán quy x vi phân suy rộng x , Ví dụ 1.1.2 Ta xét hàm f :RR xác định bởi: x2 15 Nhận xét 1.2.1 NÕu C = Rn h , thuéc líp C1 lân cận x h1 ( x), , hr ( x) độc lập tuyến tính, mệnh đề 1.2.1 trở thành định lý Ljusternik cổ điển Thật vậy, ánh xạ ta có h( x) toàn ánh, T (C; x) = Rn , ®iỊu kiƯn chÝnh quy (RC) ker ∇h(¯ x) = T (C; x) Điều kiện (RC) minh họa vÝ dô sau VÝ dô 1.2.1 Cho h R3 → R2 : C R3 xác định sau h := (h1 , h2 ) (¯ x, y¯, z¯) = 0, , h1 (x, y, z) = x + 2y + z, h2 (x, y, z) = 2x + 4y − z, C := {(x, y, z) : −1 ≤ x ≤ 0, −1 ≤ y, z ≤ 1} Khi ®ã ∇h1 (0, 0, 0) = (1, 2, 1) ∇h2 (0, 0, 0) = (2, 4, −1) T (C; 0) = −R+ × , , R × R N (C; 0) = R+ × {0} × {0} , điều kiện (RC) thỏa mÃn Thật ∈ γ1 ∇h1 (0) + γ2 ∇h2 (0) + N (C; 0), cã nghÜa lµ (0, 0, 0) ∈ (γ1 + 2γ2 , 2γ1 + 4γ2 , γ1 − γ2 ) + R+ × {0} × {0} , ®ã ta suy γ1 = γ2 = Do đó, điều kiện (RC) Nhắc lại điểm x M toán (P) tồn số gọi cực tiểu Pareto yếu địa phương >0 cho không tồn x M ∩ B (¯ x; δ) tháa m·n (∀k ∈ J) , fk (x) < fk (¯ x) ®ã B ( x; ) hình cầu mở bán kính tâm x Giả thiết sau cần thiết để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu yếu c 16 Giả thiết 1.2.1 Tồn số x phân Với suy rộng gi (i ∈ / I (¯ x)) s∈J cho k J, k 6= s bán liên tục quy fs có vi phân suy rộng trªn i ∈ I (¯ x) , trªn ∂ ∗ fk ( x) hàm fk gi ( x) gi x ; có tất fs ( x) vi hàm x Trên sở định lý Ljusternik suy rộng Jiménez-Novo [11], ta chứng minh điều kiện cần cho cực tiểu Pareto yếu địa phương (P) Định lý 1.2.1 Giả sử x cực tiểu Pareto yếu địa phương (P) Giả sử tất giả thiết mệnh đề 1.2.1 giả thiết 1.2.1 Giả sử hàm gi (i I ( x)) Lipschitz địa phương x fk (k J) Khi đó, hệ sau nghiệm v Rn : hξk , vi < (∀k ∈ J), sup (1.2) ξk ∈conv∂ ∗ fk (¯ x) sup hξi , vi < (∀i ∈ I(¯ x)), (1.3) ξi ∈conv∂ ∗ gi (¯ x) h∇hj (¯ x), vi = (∀j ∈ L), (1.4) v ∈ T (¯ x; C) (1.5) Chứng minh Ta điều kiƯn sau kh«ng cã nghiƯm v ∈ Rn : fs− (¯ x; v) < 0, (1.6) x; v) < (∀k ∈ J; k 6= s), fk+ (¯ (1.7) gi+ (¯ x; v) < (∀i ∈ I(¯ x)), (1.8) h∇hj (¯ x), vi = (∀j ∈ L), (1.9) v ∈ T (¯ x; C) c (1.10) ... tế liên quan đến điều kiện tối ưu cho toán tối ưu véc tơ Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích luận văn Luận văn trình bày điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu ngôn ngữ vi phân suy rộng báo... nước quan tâm nghiên cứu Chính em chọn đề tài : Điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu qua vi phân suy rộng Phương pháp nghiên cứu c Sưu tầm đọc tài liệu từ sách, tạp chí toán. .. ngữ vi phân suy rộng với giả thiết tính lồi suy rộng, điều kiện cần tối ưu trở thành điều kiện đủ tối ưu c Chương Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu Trong chương trình bày số kiến thức vi