Luận văn thạc sĩ điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu đa mục tiêu dưới ngôn ngữ đạo hàm parabolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— TRẦN QUANG MẠNH ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU DƯỚI NGÔN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Ngu[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— TRẦN QUANG MẠNH ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU DƯỚI NGƠN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— TRẦN QUANG MẠNH ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU DƯỚI NGÔN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên – 2016 c Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Trần Quang Mạnh i c Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 22 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu, Viện Tốn học Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, người tận tình giảng dạy, khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tơi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè động viên, ủng hộ để hồn thành tốt khóa học luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Trần Quang Mạnh ii c Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Tập tiếp tuyến cấp hai đạo hàm theo phương cấp hai 1.1 Tập tiếp tuyến cấp hai 1.2 Đạo hàm theo phương parabolic cấp hai Điều kiện cần tối ưu 14 2.1 Điều kiện cần cấp hai dạng hệ không tương thích 14 2.2 Điều kiện cần cấp hai dạng nhân tử Lagrange 18 2.3 Các hệ ví dụ 23 Điều kiện đủ tối ưu 3.1 28 Điều kiện cấp hai dạng nhân tử Lagrange iii c 28 3.2 Các hệ 34 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 41 iv c Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết điều kiện tối ưu đóng vai trị quan trọng lý thuyết toán cực trị Các điều kiện tối ưu cấp hai cho phép ta tìm nghiệm tối ưu trong tập điểm dừng Nhiều kết nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu đơn đa mục tiêu thiết lập C Gutiérrez, B Jiménez, V Novo ([10], 2010) chứng minh điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm khả vi Fréchet với đạo hàm Fréchet liên tục ổn định Lớp hàm chứa lớp hàm C 1,1 Đây đề tài nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài: “Điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu đa mục tiêu ngôn ngữ đạo hàm parabolic” Nội dung đề tài Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cấp hai ngôn ngữ đạo hàm parabolic cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm khả vi Fréchet đạo hàm Fréchet chúng liên tục ổn định Luận văn viết dựa báo C Gutiérrez, B Jiménez V Novo, đăng tạp c chí Math Programming 123 (2010), 199-223 Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: "Tập tiếp tuyến cấp hai đạo hàm theo phương cấp hai" Trình bày tốn tối ưu đa mục tiêu (1.1) xét luận văn; khái niệm tập tiếp tuyến cấp hai tập; tính chất mối quan hệ tập tiếp tuyến cấp hai; hàm ổn định; đạo hàm theo phương parabolic radial cấp hai, vi phân Clarke cấp hai mối quan hệ chúng Các khái niệm kết chương Gutiérrez–Jiménez– Novo [10] Chương 2: "Điều kiện cần tối ưu" Trình bày điều kiện cần tối ưu cấp hai Gutiérrez–Jiménez–Novo [10] cho toán (1.1) phát biểu chương với hàm có đạo hàm Fréchet liên tục ổn định, dạng hệ không tương thích dạng nhân tử Lagrange với số ví dụ minh họa Chương 3: "Điều kiện đủ tối ưu" Trình bày điều kiện đủ tối ưu cấp hai dạng nhân tử Lagrange Gutiérrez–Jiménez–Novo [10] cho cực tiểu địa phương chặt cấp hai toán tối ưu đa mục tiêu (3.1) với hệ cho toán với hàm khả vi Fréchet hai lần, toán với hàm C 1,1 ví dụ c Chương Tập tiếp tuyến cấp hai đạo hàm theo phương cấp hai Chương trình bày tốn tối ưu đa mục tiêu nghiên cứu luận văn, khái niệm tập tiếp tuyến cấp hai với tính chất mối quan hệ chúng, hàm ổn định, đạo hàm theo phương parabolic radial cấp hai, vi phân Clarke cấp hai (ma trận Hessian suy rộng) Các kết chương Gutiérrez–Jiménez–Novo [10] 1.1 Tập tiếp tuyến cấp hai Cho f , g h hàm từ Rn vào Rp , Rm Rr Xét toán tối ưu đa mục tiêu sau: D − Minf (x), (1.1) x ∈ M := g −1 (K) ∩ h−1 (0), D nón lồi đóng nhọn (D ∩ −D = {0}) với phần khác rỗng K ⊂ Rm tập lồi với phần khác rỗng Thứ tự phận c Rp xác định quan hệ y ≤D y ⇐⇒ y − y ∈ D Rõ ràng toán (1.1) bao gồm trường hợp đặc biệt toán quy hoạch thông thường với ràng buộc bất đẳng thức gj (x) ≤ 0, j = 1, , m, chọn K góc phần tư (orthant) khơng dương Rm − Cho M tập Rn Ta kí hiệu B(¯ x, δ) hình cầu mở tâm x¯ bán kính δ > 0, int M phần tập M , cl M bao đóng tập M , co M bao lồi tập M cone M nón sinh tập M Nhắc lại điểm x ¯ ∈ M gọi cực tiểu địa phương (cực tiểu yếu địa phương) tốn (1.1), kí hiệu x ¯ ∈ LMin(f, M ) (tương ứng x¯ ∈ LWMin(f, M ) điểm cực tiểu yếu địa phương), tồn lân cận U x ¯ cho (f (M ∩ U − f (¯ x)) ∩ (−D) = {0} (tương ứng (f (M ∩ U − f (¯ x)) ∩ (−intD) = ∅ điểm cực tiểu yếu địa phương) Đặc biệt p = D = R+ , trở khái niệm cực tiểu địa phương biết Nón cực dương tập M ∈ Rn định nghĩa M + = (ξ ∈ Rn : hξ, xi ≥ 0, ∀x ∈ M ) Nón tiếp tuyến M x ¯ ∈ Rn T (M, x¯) = {v ∈ Rn : ∃tn → 0+ , ∃vn → v cho x¯ + tn ∈ M, ∀n ∈ N} Sau khái tập tiếp tuyến cấp hai mà ta sử dụng luận văn c ... ————————————————— TRẦN QUANG MẠNH ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CHO BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU DƯỚI NGƠN NGỮ ĐẠO HÀM PARABOLIC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn... Nội dung đề tài Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cấp hai ngơn ngữ đạo hàm parabolic cho tốn tối ưu đa mục tiêu với hàm khả vi Fréchet đạo hàm Fréchet chúng liên tục ổn định Luận văn viết dựa... hai cho toán tối ưu đơn đa mục tiêu thiết lập C Gutiérrez, B Jiménez, V Novo ([10], 2010) chứng minh điều kiện tối ưu cấp hai cho toán tối ưu đa mục tiêu với hàm khả vi Fréchet với đạo hàm Fréchet