Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu qua dưới vi phân suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ NHÀN ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đõ cho việc thực luận văn đuợc cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn đuợc rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2015 Nguời viết luận văn Trần Thị Nhàn Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học PGS TS Đỗ Văn Lưu Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, PGS TS Đỗ Văn Lưu, người tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn, khoa Sau đại học - Trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn lớp Cao học Toán K21b, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp Thái Nguyên, tháng năm 2015 Người viết luận văn Trần Thi Nhàn Mục lục Lòi cam đoan i Lòi cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Điều kiện cần Fritz John cho cục tiểu yếu 1.1 Các kiến thức bổ trợ 1.1.1 Dưới vi phân suy rộng 1.1.2 Các vi phân Clarke-Rockafellar, Clarke, Michel-Penot 1.1.3 Dưới vi phân suy rộng quy, vi phân suy rộng tối thiểu .10 1.2 Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu .13 Điều kiện quy điều kiện tối uu Karush-Kuhn-Tucker 24 2.1 Điều kiện quy điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker 24 2.2 Điều kiện đủ cho cực tiểu Pareto yếu 28 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 Sưu tầm đọc tài liệu từ sách, tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến điều kiện tối ưu cho toán tối ưu véc to Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Mục đích luận văn Luận văn trình bày điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu ngôn ngữ vi phân suy rộng báo D V Lưu đăng tạp chí ĩoumal of Optimization Theory and Applications, Vol 160 (2014), pp 510-526 Nội dung luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu Trình bày số kiến thức vi phân suy rộng điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập với hàm Lipschitz địa phương Chương 2: Điều kiện quy điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker Trình bày điều kiện quy điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker cho tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập với hàm Lipschitz địa phương ngôn ngữ vi phân suy rộng với giả thiết tính lồi suy rộng, điều kiện cần tối ưu trở thành điều kiện đủ tối ưu Chương Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức vi phân suy rộng điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập ngôn ngữ vi phân suy rộng Các kết trình bày chương tham khảo [9], [14] 1.1 Các kiến thức bổ trợ 1.1.1 Dưới ví phân suy rộng Cho f hàm giá trị thực mở rộng Xác định R n Nhắc lại đạo hàm theo phương Dim f f+ f x Rn theo phương v Rn xác định sau: f -(x v):=liminf f (x + tv) - f x ; t#0 t (f +(x; v) :=límsup f (x + tv) - f x t#0 Nếu f + 1: (x; v) = f ~(x; v), giá trị chung gọi đạo hàm hàm f x theo phương v ký hiệu f 0(x; v) Hàm f gọi khả vi theo phương x tổn đạo hàm theo phương x theo phương Nếu f khả vi Fréchet x với đạo liàm Fréchet V f (x) f0(x; v) = (Vf (x, v)i Theo [9] hàm f gọi có dưứi vi phân suy rộng @*f (x) (hay @*f (x)) x Rn d*f (x) (hay (@f (x)) c Rn) tập đóng f (x; v) < sup «,vi £eỡf (x) (8v R), f + (x v) (8v Rn ; > £€inf «,v) ộ Một tập đóng @*f (x) c R' gọi dưứi vi phân suy rộng f x @* f (x) thời dưứi vi plián suy rộng f x Theo [8] hàm f gọi có vi phân suy rộng bán quy @*f (x) c Rn x @*f (x) tập đóng f + (x v) ; < sup «,v) Ví dụ 1.1.1 &d*f Cho hàm f : R ! R xác định bởi(x) Íx, (8v R) (1-1) x Q \ [0; +1[, x4 — 4x3 + 4x2; x Q \ ]—i;0], 0; trường hợp khác, Q tập số hữu tỷ Khi I v, v > 0, f (0; v) = p “ : 0, v < 0, + >" f_(0; v) = (8v R) Tập {0; 1} dưtì vi phân suy rộng bán quy f x, vi phân suy rộng f x Tập {0} vi phân suy rộng f x Theo [9], xảy đẳng thức (1.1) d*f (x) gọi vi phân suy rộng quy Với hàm Lipschitz địa phương, vi phân Clarke vi phân Michel-Penot vi phân suy rộng f x (xem [9]) Hơn với hàm Lipschitz địa phương quỵ theo nghĩa Clarke [4], vi phân Clarke vi phân suy rộng quy (xem [7]) Chú ý rằng, hàm f có vi phân suy rộng quy x dưtì vi phân suy rộng bán quy x, vi phân suy rộng x Ví dụ 1.1.2 Ta xét hàm f : R ! R xác định bởi: I x2|cos£I, f (x) = : xl x x = 0, x = Ta có f + (0; v) = f_ (0; v) = 0, (8v R) Dưới vi phân Clarke MichilePenot f x = tương ứng [—%; %] {0} Các tập {0}, [—%; %] ■{ %; %} dưứi vi plián suy rộng f x Tập {0} vi phân suy rộng quy f x Theo [16] hàm giá trị thực mở rộng f xác địnli tập Q Q Rn gọi tựa lồi x Q tlieơ Q với x Q, f (x) < f (x) )8t ]0,1[; f (tx ■ (1 - t)x) < f (x) f gọi tựa lồi Q f tựa lồi x Q f gọi tựa tuyến tính x Q tlicơ Q ±f tựa lồi x theo Q Trong [20] Yang rằng, f liên tục, tựa lồi có vi phân suy rộng lồi tập lồi Q với x, y Q, f (x) < f (y) ) ; @.f(y), lim (e,x - y) < n! Nếu f có dưtì vi phân suy rộng quy x ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.1 Giả sử f có vi phân suy rộng quy @*f (x) x f tựa lồi X Q theo tập lồi Q Khi đó, Vx Q; f(x) < f(x) ) v< @*f (x), «, x - x < Chứng minh Vì f tựa lồi X tlico Q, với X Q thỏa mãn f (x) < f (x), ta có f+(X; X — x) < Do tính quỵ vi phân suy rộng @*f (x), với X Q thỏa mãn f (x) < f (x), ta có sup (£, X — xi = f +(X; X — x) < ■' */(x) Từ đó, ta có điều phải chứng minh □ Theo [20], hàm thực mở rộng f có dưtì vi phân suy rộng lồi @*f (x) Q gọi giả lồi tiệm cận Q với X, y Q, '.(n) @.f (x), nu lim D(n), y - x) > ) f (y) > f (x) Hàm giá trị thực mở rộng f có dưtì vi phân suy rộng @*f (x) X gọi giả lồi tiệm cận X tlico Q nếu, với X Q ta có 3^(n) conv@*f(x), lim (£(n),x — x) > ) f (x) > f (x) nu \ / conv kí hiệu bao lồi Ví dụ 1.1.3 Cho f, g : R ! R {X, X < 0, 1X, X > 0, Íx, X Q, 2x, X (R\Q) \ ]—!, 0] 2X, X (R\Q) \ [0,1[ Ta {Vhj(x);V0> = (8j L) (1.22) Thật (1.22) sai, (Vhj 0(x);V0> = vứi j0 L Bằng cách lấy Ệs @*fs (x); As = 1, Afc = (8k J;k = s); ựi = 0(8i I(x)); 7j = (8j L; j = jữ); = c N(C; x); từ (1.19) ta suy «s; Vo) + 7j0 Vhj0 (x); v0> < 0- (1-23) Ta ý |«s; V0>| < ■ |(Vhj0 (x); V0>| < +1 Cho Ty đủ lớn hVhj0 (x); v0> > 0, 7j0 < với giá trị tuyệt đối đủ lớn hVhj0 (x); v0> < 0, ta đến mâu thuẫn với (1.23) Do vậy, (1.22) Tiếp theo, ta V0 T(C; x) (1.24) Thật vậy, (1.24) không 370 N(C; x) cho (70; v0) > Bằng cách cho Ak = (8k J; k = s); A s > 0; £s d* fs (x); 7i = 0(8i I(x)); = vứi a > ta có «70 N(C; x) As «0; V0> + « Ộ70; V0> < (1.25) Vì h70; v0> > vứi « đủ lớn ta nhận đuợc mâu thuẫn với (1.25) Do < 0; (87 N(C; x)) Chú ý T(C; x) nón lồi đóng Từ ta có V0 N0(C; x) = T00(C; x) = T(C; x) Kết hợp (1.20) - (1.22) (1.24) ta suy hệ (1.6) - (1.10) có nghiệm v 0; nghiệm hệ (1.2) - (1.5) Điều mâu thuẫn với định lý 1.2.1 Vì (1.18) tổn x^ > 0,£kn) conv@*fk (x) (Vk J) , ^(n) > 0, |((n) conv@*g (x) (Vi I (x)), 7jn) R (Vj L) ( (n) N (C; x) với ^Ã(n), ^InX), 7(n)) = (0,0,0) cho 0= lim lX A(nMn) + X n(n)n(n) + X 7(n)X7h (x) + A(n)|, = nim Ị / > Ãk Sk + 2-^ k-i 'li + / v j ^keJ i2l(x) j 2L rh j (x) + s , (1.26) ' /ì™ (n) = ) = (,, " ) (n) = ( (n)) A = \ k ) T,BI(X) = ựi T/^,l = ( j / k2J v } \ / i2I (x) \ / j2L à Bởi (A(n>,7nX),7(n) = (0,0,0)) , ta xem II (A,MIn>),7(n)) 11=1 (Vn) Khơng tính tổng qt giả sử (A(n), 77,7(n)) ! (Ã, fiI(;í), 7) với  > 0,^I(^) > 0,7 R* II (Ã,^I(^),7) 11= Bởi clA + clB c cl(A + B), từ (1.26) ta suy P Ãkclconv@*fk (x) + P ^iclconv@*^i (x) j 2L + P 7jrhj (x) + N(C; x) c cl X Ãkconv@*fk (x) + X ^iconv@*gi (x) + ^2 7jrhj (x) + N(C; x) (1-27) Ta có (1.27) với (Ã, ^) = (0,0) Tliật (Ã, ^) = (0,0W1Ì = Tuy nhiên, kết hợp với (1.27) ta đến mâu thuẫn với điều kiện quy (RC) Do (Ã, ^ = (0,0) Suy điều phải chtog minh □ Hệ 1.2.1 Giả sử C = Rn giả thiết định lý 1.2.2 thoả mãn đố điều kiện quy (RC) mệnh đề 1.2.1 thay điều kiện: hệ Vhi(x), , Vhl(x) độc lập tuyến tính Khi đố, tồn Ãk > (Vk J};Pi > (Vi I(x)) với (Ã,p) = (0, 0) ỹj R (Vj L) cho (1.17) Chứng minh Với C = Rn, ta có N(C; x) = {0} Do đó, Vh1(x), , Vhi(x) độc lập tuyến tính điều kiện quy (RC) thỏa mãn Theo định lý 1.2.2 ta suy điều phải chứng minh □ Trong trường hợp tập D(x) tập đóng, ta nhận hệ trực tiếp sau định lý 1.2.1, bao đóng (1.17) bỏ Hệ 1.2.2 Giả sử C = Rn Giả sử giả thiết định lý 1.2.2 đứng tập D(x) đóng Khi 9Ãk > (Vk J),PÌ > (Vi I(x)) với (Ã,Ịjỳ = (0, 0) ỹj R (Vj L) cho X Ãkconv@*fk (x) + X Miconvớ*Qi (x) + X 7j Vhj (x) + N(C; x) k2J i2i(x) j 2L Nhận xét 1.2.2 Trong trường hợp C = Rn, nliư nliậnxét 3.1 [13], @*fk(x) (k J) @*gi(x)(i (I(x)) bị chặn thỏa mãn điều kiện sau đây: conví [ conv@*fk (x) u [ conv@*gi (x)j + lin {Vhj (x) : j L} , ^keJ i2i(x) ' D(x) tập đóng, Un kí hiệu bao tuyến tính Thật ta có conv@*fk(x) (k J) conv@*gi(x)(i (I(x)) compăc tập sau compăc: convl 'ỲkeJ conv@*fk (x) u |^J conv@*gi (x) iel (x) Do đó, E(x) := conví 'keJ conv@*fk (x) u |^J conv@*Qi (x) )+lin {rhj(x) : j Lg i2i(x) ' tập đóng Hơn nữa, E (x) D(x) = coneE (x); D(x) tập đóng, coneE(x) nón sinh E(x) Nhận xét 1.2.3 Điều kiện cần thu đuợc định lý 1.2.2, hệ 1.2.1, 1.2.2 vài điều kiện tối Uu trình bày duới ngôn ngữ @*f (x) tốt điều kiện tối LIU duới ngôn ngữ duới vi phân nhu duới vi phân Clarke, Mordukhovich Michel-Penot Chương Điều kiện quy điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker Trong chương trình bày cần Karush-Kuhn-Tucker, điều kiện đủ cho ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, ngơn ngữ vi phân suy rộng Các kết tham khảo [14] điều kiện quy điều kiện cực tiểu Pareto yếu toán tối bất đẳng thức ràng buộc tập trình bày chương 2.1 Điều kiện quy điều kiện cần Karush-KuhnTucker Chương trình bày điều kiện cần Fritz John (1.17) với giả thiết 1.2.1 giả thiết mệnh đề 1.2.1, điều kiện quy (RC) đúng: X 7jrhj (x) + N(C; x) ) 71 = = 7/ = j2L Trong trường hợp C = Rn điều kiện trở thành điều kiện: hệ rh1, , Vhi độc lập tuyến tính Chú ý điều kiện cần (1.17) ta có (A, #) = (0, 0) Để nhận điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu A = 0, ta đưa vào điều kiện quy sau mà ta ký hiệu (CQ1): 9s J,do T (C, x), số ak > (k J, k = s) ,bị > (i I (x)) cho (i) ỉ£k; doi < -ak (V