ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ LAN HƯƠNG ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2017 c ĐẠI HỌC THÁ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - TRẦN THỊ LAN HƯƠNG ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU CHO BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - TRẦN THỊ LAN HƯƠNG ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU CHO BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHƠNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2017 c i Mục lục Mở đầu 1 Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường lập tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn 1.1 Các định nghĩa kết bổ trợ 1.2 Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường cô lập 1.3 Đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường 18 Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu không trơn 24 2.1 Các kết bổ trợ 24 2.2 Điều kiện tối ưu 28 2.3 Các định lý đối ngẫu 38 2.3.1 Đối ngẫu kiểu Wolfe 38 2.3.2 Đối ngẫu kiểu Mond - Weir 44 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 50 c Mở đầu Lí chọn đề tài Điều kiện tối ưu đối ngẫu hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết tối ưu đa mục tiêu Với toán tối ưu không trơn, người ta thường dùng khái niệm vi phân để thiết lập điều kiện tối ưu định lý đối ngẫu vi phân lồi, Clarke, Michel Penot, Mordukhovich, vi phân suy rộng T.D Chuong [2], 2013 sử dụng giải tích biến phân, dạng khơng trơn quy tắc Fermat vi phân Mordukhovich để thiết lập điều kiện tối ưu định lý đối ngẫu kiểu Wolfe cho nghiệm hữu hiệu thường nghiệm hữu hiệu lập tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức T.D Chuong - D.S Kim [3], 2014 thiết lập điều kiện tối ưu định lý đối ngẫu kiểu Wolfe Mond - Weir cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu tốn Đây đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn" Mục đích đề tài Luận văn trình bày kết điều kiện tối ưu đối ngẫu T.D Chuong đăng tạp chí Nonlinear Analysis 76 (2013), 93 - 104 cho nghiệm hữu hiệu thường nghiệm hữu hiệu lập tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức, T.D Chuong - D.S Kim đăng tạp chí Annals of Operations Research 217 (2014), 117 - 136 cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu c yếu tốn Nội dung luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương "Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường lập tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn" Trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu thường địa phương lập địa phương tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức cách sử dụng cơng cụ giải tích biến phân vi phân suy rộng như: Quy tắc Fermat không trơn, vi phân Mordukhovich (hay gọi vi phân giới hạn) hàm max, quy tắc tổng cho vi phân Fréchet giới hạn Các điều kiện đủ tối ưu trình bày với giả thiết tính lồi suy rộng ngơn ngữ vi phân giới hạn hàm Lipschitz địa phương Các định lý đối ngẫu yếu, mạnh trình bày chương Các kết trình bày chương tham khảo [2], [1], [7], [8] Chương "Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu khơng trơn" Trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức công cụ giải tích biến phân như: Nguyên lý cực trị xấp xỉ, quy tắc tổng mờ cho vi phân Fréchet, quy tắc tổng cho vi phân giới hạn công thức vơ hướng hóa đối đạo hàm Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu nghiệm hữu hiệu trình bày với giả thiết tính lồi suy rộng ngôn ngữ vi phân giới hạn Các định lý đối ngẫu Wolfe Mond - Weir trình bày chương Các kết trình bày chương tham khảo [3], [7], [1] Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn c Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K9Y; Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Trần Thị Lan Hương c Chương Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường lập tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn Chương trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu thường địa phương cô lập địa phương T.D Chuong [2], 2013 cho toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức cách sử dụng cơng cụ giải tích biến phân vi phân suy rộng Các điều kiện đủ tối ưu trình bày với giả thiết tính lồi suy rộng ngôn ngữ vi phân giới hạn hàm Lipschitz địa phương Các định lý đối ngẫu Wolfe trình bày chương 1.1 Các định nghĩa kết bổ trợ Nón cực Ω ⊂ Rn tập Ωo := {v ∈ Rn | hv, xi 0, ∀ x ∈ Ω} c (1.1) Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rn , ta kí hiệu: Lim sup F (x) := {v ∈ Rn : ∃xn → x → v với ∈ F (xn ), ∀n ∈ N} x→x giới hạn (ngoài) Painlevé - Kuratowski dãy F x → x Một tập Ω ⊂ Rn gọi đóng xung quanh x ∈ Ω có lân cận U x cho Ω ∩ clU tập đóng Ta nói Ω đóng địa phương Ω đóng xung quanh x với x ∈ Ω Cho Ω ⊂ Rn tập đóng xung quanh x ∈ Ω Nón pháp tuyến Fréchet Ω x ∈ Ω định nghĩa ( b (x, Ω) := N x∗ ∈ Rn | Lim sup Ω x−→x ∗ ) hx , x − xi ≤0 , kx − xk (1.2) Ω x −→ x nghĩa x → x với x ∈ Ω b (x, Ω) = ∅ Nếu x ∈ / Ω ta đặt N b (x, Ω) Ω x ∈ Ω nhận Nón pháp tuyến Mordukhovich N từ nón pháp tuyến Fréchet việc lấy giới hạn Painlevé Kuratowski dãy sau b (x, Ω) N (x, Ω) := Lim sup N Ω (1.3) x−→x Nếu x ∈ / Ω ta đặt N (x, Ω) := ∅ Đặc biệt, Ω tập lồi địa phương xung quanh x, nghĩa có lân cận U ⊂ Rn x cho Ω ∩ U tập lồi ta có N (x, Ω) := {x∗ ∈ Rn | hx∗ , x − xi ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩ U } (1.4) Với hàm giá trị thực mở rộng ϕ : Rn → R := Rn ∪ {∞}, ta đặt domϕ := {x ∈ Rn | ϕ(x) < ∞} epiϕ := {(x, à) Rn ì R | ϕ(x)} Dưới vi phân Modukhovich vi phân Fréchet ϕ x ∈ domϕ định nghĩa tương ứng ∂ϕ(x) := {x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ N ((x, ϕ(x); epiϕ)} c (1.5) b b ((x, ϕ(x); epiϕ)} := {x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ N ∂ϕ(x) (1.6) b Nếu x ∈ / domϕ, ta đặt ∂ϕ(x) = ∂ϕ(x) := ∅ b ⊂ ∂ϕ(x) Đặc biệt, Từ (1.3), (1.5) (1.6), ta có ∀ x ∈ Rn , ∂ϕ(x) ϕ hàm lồi vi phân định nghĩa (1.5) (1.6) trùng với vi phân giải tích lồi cổ điển Xét hàm δ(., Ω) định nghĩa δ(x, Ω) = với x ∈ Ω δ(x, Ω) := ∞ x ∈ / Ω Ta có mối quan hệ nón pháp tuyến Mordukhovich vi phân Mordukhovich hàm sau (xem [7]): N (x, Ω) := ∂δ(x, Ω), ∀ x ∈ Ω (1.7) Dạng không trơn quy tắc Fermat (xem [7]) quan trọng cho nhiều ứng dụng phát biểu sau: Nếu x cực tiểu địa phương ϕ b ∈ ∂ϕ(x) ⊂ ∂ϕ(x) (1.8) Trong chương ta xét vi phân Fréchet ϕ x với |ϕ(x)| < ∞, định nghĩa b ∂b+ ϕ(x) := −∂(−ϕ)(x) (1.9) Quy tắc tổng cho vi phân Fréchet sau: Bổ đề 1.1 [8] Cho ϕi : Rn → R hữu hạn x ∈ Rn với i := 1, Nếu ∂b+ ϕ2 (x) 6= ∅ h i \ b + ϕ2 )(x) ⊂ b (x) + x∗ ∂(ϕ ∂ϕ x∗ ∈∂b+ ϕ2 (x) Bổ đề 1.2 [7] Cho ϕi : Rn → R, i = 1, 2, , n, n ≥ nửa liên tục quanh x ∈ Rn tất hàm này, ngoại trừ hàm liên c tục Lipschitz quanh x Khi đó, ∂(ϕ1 + ϕ2 + + ϕn )(x) ⊂ ∂ϕ1 (x) + ∂ϕ2 (x) + + ∂ϕn (x) 1.2 (1.10) Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường lập Cho Ω tập đóng địa phương 6= ∅ Rn cho K := {1, 2, , m}, I := {1, 2, , p} ∪ ∅, J := {1, 2, , q} ∪ ∅ tập số Giả sử f := (fk ), k ∈ K, g := (gi ), i ∈ I, h := (hj ), j ∈ J hàm vectơ với thành phần Lipschitz địa phương xác định Rn Xét tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc sau: {f (x)|x ∈ C} m R+ (1.11) Tập chấp nhận C định nghĩa C := {x ∈ Ω| gi (x) ≤ 0, i ∈ I, hj (x) = 0, j ∈ J} (1.12) Định nghĩa 1.1 (i) Ta nói x ∈ C nghiệm hữu hiệu địa phương toán (1.11) tồn lân cận U x cho ∀x ∈ U ∩ C, f (x) − f (x) ∈ / −Rm + {0} (ii) [4] Điểm x ∈ C gọi nghiệm hữu hiệu cô lập địa phương toán (1.11) tồn lân cận U x số ν > cho ∀x ∈ U ∩ C, max {fk (x) − fk (x)} ≥ νkx − xk 1≤k≤m (iii) Điểm x ∈ C gọi nghiệm hữu hiệu thường địa phương tốn (1.11) tồn lân cận U x λ ∈ intRm + cho ∀x ∈ U ∩ C, hλ, f (x)i ≥ hλ, f (x)i c ... HƯƠNG ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU CHO BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Đỗ Văn Lưu... c i Mục lục Mở đầu 1 Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường lập tốn tối ưu đa mục tiêu không trơn 1.1 Các định nghĩa kết bổ trợ 1.2 Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm... tài Điều kiện tối ưu đối ngẫu hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết tối ưu đa mục tiêu Với tốn tối ưu khơng trơn, người ta thường dùng khái niệm vi phân để thiết lập điều kiện tối ưu định lý đối