Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Khi giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, mục đích của chúng ta là tìm một cách giải logic để tìm ra sự biến thiên của hàm số từ đó kết dự đoán GTLN-GTNN đạt được, cho nên máy tính chỉ được sử dụng như một công cụ hỗ trợ các tính toán phức tạp và dự đoán chứ không phải máy tính sẽ thực hiện giải các bài toán đưa ra. Tuy nhiên nếu biết khai thác triệt để các tính năng của máy tính thì ta không chỉ tìm được lời giải cho bài toán mà còn tìm được nhiều cách giải khác nhau, đồng thời có thể mở rộng và làm mới bài toán.

Một số kinh nghiệm giải toán bất đẳng thức A PHẦN MỞ ĐẦU Bất đẳng thức là một trong những dạng tốn hay và khó đối với học  sinh trong q trình học tập cũng như trong các kỳ thi, trước hết là kỳ thi đại   học mà hầu hết học sinh THPT đều phải vượt qua. Ngồi ra bất đẳng thức   cũng là một dạng thường gặp trong các kỳ  thi học sinh giỏi tốn   các cấp:  Tỉnh, Quốc gia, Olympic khu vực và Olympic quốc tế Để  giúp các em có thêm một số  kinh nghiệm trong q trình học tập  nhằm nắm vững các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đồng thời sử  dụng linh hoạt hơn trong việc giải các bài tốn về  bất đẳng thức, tơi quyết   định viết đề tài này nhằm chia sẽ cùng đồng nghiệp, học sinh và độc giả một  số phương pháp, kinh nghiệm giải bài tốn bất đẳng thức Đề tài gồm 2 phần cơ bản:  Phần I: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức.  Phần II: Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác Do khn khổ  của đề  tài,   mỗi phần tơi xin miễn nhắc lại các kiến  thức cơ bản về bất đẳng thức vì những kiến thức này được trình bày chi tiết trongsỏchgiỏokhoatrunghcph thụng,mch tptrungvocỏcphng phỏpbiningthinờumtsvớdminhha Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Một số kinh nghiệm giải toán bất đẳng thức B.NIDUNG PhnI:MTSPHNGPHPCHNGMINHBTNGTHC 1) Dựngcỏcphộpbinithớchhp 2) Tam thức bậc 2 3) Phương pháp đạo hàm, cực trị hàm số 4) Quy nạp 5) Lượng giác hóa 6) Phương pháp hình học 7) Các BĐT thơng dụng 8) Một số phương pháp khác I. Sử dụng các phép biến đổi Ví dụ 1:  CM với a,b,c là 3 số dương thì  a b c a b b c c a Giải: Vì a,b,c là 3 số dương nên ta có  a a b a a b c b b a b c b c Cộng vế theo vế ta được 1 c c a b c c a a b c a b b c c a Mặt khác ta có  a a b a c a b c b a b a b c b c Cộng vế theo vế ta được  c c a b c a b c a b c a b b c c a Ví dụ 2:  CM  x R  ta ln có  x8 x5 x2 x Gii: Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Một số kinh nghiệm giải toán bất đẳng thức x x x x x x x x Do đó  x x x x2 x 2x 1 3 n N 3x x x 3 R  (đpcm) x Ví dụ 3:  CMR  1.2 1 2.3 n(n 1) Giải: Ta có  1 k (k 1) k k N*) (k Cho k=1, 2,  n rồi cộng các đẳng thức theo vế ta có  1.2 1 2.3 n(n 1) 1 1 n n 1 n 1 Vậy ta có đpcm II. Phương pháp Tam thức bậc 2.  Ví dụ 1:  CMR  13 5x 59 11 3x 2 2x 13 59 11 Giải: TXĐ:  x R 5x Gọi  P 3x 2  thì  2x (3P 5) x  (*) Px P Để (*) có nghiệm x thì  ' P2 11P 13 26 P 10 59 11 (4 P 2)(3P 5) P 0 13 59 11 §inh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Một số kinh nghiệm giải toán bất đẳng thức Vy 13 5x 59 11 3x 2 2x 13 59 11 Dấu đt bên trái xảy ra  x 13(13 59 ) 121 Dấu đt bên phải xảy ra  x 13(13 59 ) 121 III. Phương pháp hàm số, dùng đạo hàm.  x  thì  sin x x  Ví dụ 1     CMR  :  Giải : Xét hàm số  f ( x) = x − sin x f '( x) = − cos x f (x )  đồng biến Mặt khác f(0)=0. Vậy f(x)>0 với mọi x>0 hay với mọi x>0 thì  sin x x Ví dụ 2:  CMR nếu 0