SKKN vận dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức

1 LÍ LỊCH ĐỀ TÀI - Nhóm tác giả : Lưu Quang Hưởng – Tổ trưởng chuyên môn Trần Văn Tỏ - Tổ phó chun mơn - Chức vụ : Giáo viên - Đơn vị : Trường THPT Đức Hợp, Kim Động, Hưng Yên Tên đề tài: “Vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức” PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Lý chọn đề tài Căn nhiệm vụ mục tiêu giáo dục, vào thực trạng dạy học nay, cần có hướng đổi phương pháp dạy tốn trường THPT Để đạt điều đó, giảng dạy người thầy phải giúp học sinh nắm vững tri thức phương pháp [1, Tr 124] BĐT nội dung khó, địi hỏi học sinh lực tư mức độ cao giải Cùng với BĐT đạo hàm phần kiến thức quan trọng thiếu nhiều tốn đại số Nó thực cơng cụ, phương pháp tốt hỗ trợ hiệu giải toán bất đẳng thức Các tài liệu viết BĐT nhiều, nhiên số chuyên đề viết riêng việc vận dụng đạo hàm giải tốn BĐT, giải tốn tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) có tính phân loại hệ thống khơng nhiều Thường toán chứng minh BĐT xuất đề thi HSG dạng dấu xảy giá trị biến toán tác giả Trần Phương giải phương pháp kinh điển “Kỹ thuật chọn điểm rơi” Vậy với toán BĐT mà dấu xảy giá trị biến khơng làm nào? Hiện nhiều tài liệu nói đến vấn đề chủ yếu dùng kỹ thuật tách ghép, thêm bớt hệ số mà chưa nói lên chất vấn đề Ngoài qua thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi ôn thi Đại học, Cao đẳng, nhóm tác giả nhận thấy việc chứng minh BĐT dạng tách ghép sử dụng BĐT Cauchy, Bunhiacopski khó hiểu học sinh Nhưng với sáng kiến nhóm tác giả với ý tưởng dùng đạo hàm kết hợp với giải hệ phương trình học sinh giải vấn đề Với tất lí từ kinh nghiệm giảng dạy nhóm tác giả chọn tên sáng kiến là: “Vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức” Cơ sở thực tiễn a) Nghiên cứu việc dạy BĐT Thực trạng việc dạy BĐT trường THPT trước thực nghiệm, thử nghiệm sáng kiến, nhóm tác giả nhận thấy: - Giáo viên dạy chủ yếu thơng qua hình thức dạy học chuyên đề ôn luyện đan xen vào tiết tự chọn lớp nên có thời gian triển khai tới HS - Giáo viên nhiều thời gian để tìm tịi sở lý thuyết xây dựng hệ thống tập - Giáo viên gặp khó khăn tìm tài liệu để mở rộng kiến thức ví dụ ứng dụng - Giáo viên chưa có có kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề chứng minh bất đẳng thức - Giáo viên nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành hệ thống tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác học sinh Thời gian để giáo viên hướng dẫn chữa tập cho học sinh không nhiều - Đối với giáo viên khơng chủ chốt tổ chun mơn có hội dạy đội tuyển dạy luyện thi Đại học việc phân loại tập, trình bày lời giải cịn hạn chế đơi lúc cịn mắc sai lầm b) Nghiên cứu việc học BĐT Bên cạnh khó khăn người thầy, học sinh gặp phải nhiều khó khăn tiếp cận nội dung BĐT, Chẳng hạn như: - Học sinh thường có hứng thú với vấn đề giáo viên đặt lúc bắt đầu học Tuy nhiên, học đến định nghĩa xây dựng định lý, hệ học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu mơ hồ vận dụng làm tập Những học sinh trung bình chưa thể hiểu kỹ lý thuyết vận dụng vào tập - Nhiều học sinh hiểu chưa kỹ khái niệm, định nghĩa Thí dụ mẫu dẫn đến trình bày lời giải tốn chưa khoa học cịn mắc nhiều sai lầm - Khả tìm tịi tự học đa số học sinh hạn chế học chưa có khả rút kinh nghiệm, hệ thống dạng tập - Nhiều học sinh chưa biết nhiều phương pháp giải toán, kỹ kỹ xảo để xử lý dạng tập phức tạp - Bài tập phần khó có nhiều hướng giải khó phát tốn nhiều thời gian tìm tịi lời giải Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu dạng toán BĐT thường gặp hiệu việc dùng đạo hàm giải tốn ví dụ minh họa cụ thể - Sáng kiến tập trung phân tích ưu điểm việc dùng đạo hàm chứng minh BĐT qua nhằm hướng dẫn học sinh tự học Sáng kiến đưa hệ thống tập tự luyện phù hợp Mục đích nghiên cứu - Giúp cho thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao lực tạo điều kiện thuận lợi cho công tác dạy học - Giúp cho học sinh có thêm lựa chọn hay giải toán BĐT - Giúp cho học sinh lực tự học, rèn tính cẩn thận, sáng tạo góp phần hình thành phẩm chất cần thiết người lao động Phạm vi, giới hạn sáng kiến nghiên cứu 5.1 Phạm vi khảo sát Học sinh lớp 12, học sinh giỏi, học sinh ôn thi THPT Quốc Gia 5.2 Giới hạn nội dung nghiên cứu sáng kiến: Hoạt động dạy học bồi dưỡng HSG chuyên đề BĐT, dạy ôn thi THPT Quốc Gia phần Vận dụng cao 5.3 Vấn đề nghiên cứu sáng kiến: Làm để học sinh tự tin giải toán BĐT công cụ quen thuộc đạo hàm Phương pháp nghiên cứu thực sáng kiến - Nghiên cứu lý thuyết GTLN, GTNN, Cực đại, Cực tiểu, - Nghiên cứu phương pháp giảng tập toán - Nghiên cứu thực tế giảng dạy, thông qua học sinh, qua sách báo tài liệu tham khảo, học hỏi tiếp thu ý kiến đóng góp đồng nghiệp Giả thuyết khoa học sáng kiến Trên sơ lý luận phương pháp dạy học mơn tốn thực tiễn dạy học đạo hàm BĐT trường THPT vận dụng kết hợp đạo hàm với kiến thức phù hợp phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo học sinh việc chứng minh bất đẳng thức Đóng góp sáng kiến Sáng kiến đưa cách giải dạng tốn BĐT khó mà dùng đạo hàm; - Cung cấp cho học sinh lý thuyết sở gắn với tốn trình bày lời giải toán BĐT theo hướng vận dụng đạo hàm thuộc chương trình Tốn THPT - Minh họa nhiều loại tập có đề thi HSG trường chuyên, đề thi HSG quốc gia năm gần - Giúp cho em học sinh rèn kỹ giải tốn giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm dạy học Cấu trúc sáng kiến  Phần I: Tổng quan vấn đề nghiên cứu  Phần II: Nội dung  Cơ sở lý luận Các dạng toán tổng quát Bài tập luyện tập Tổ chức thực nghiệm Phần III: Kết luận khuyến nghị PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lý luận 1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Cho hàm số y f ( x ) xác định tập D a) y Số M gọi GTLN hàm số f ( x )M với x D tồn x0 D cho Kí hiệu f ( x ) tập D f ( x0 ) M M max f (x) D b) Số m gọi GTNN hàm số y f ( x ) m với x Kí hiệu m D tồn x0 f ( x ) tập D D cho f ( x0 ) m f ( x ) D 1.2 Một số tính chất hàm số Định lý 1: Cho hàm số y f ( x ) xác định có đạo hàm [a; b] + Nếu f '( x ) 0, x a ; b f '  x  số hữu hạn điểm f(x) đồng biến [a; b] ta có f (x) f (a); max f (x) f (b) x a;b + Nếu f '( x ) 0, x x a;b a ; b f '  x  số hữu hạn điểm f(x) nghịch biến [a; b] ta có f (x) x a;b f (b); max f (x) f (a) x a ;b Định lý 2: ( Định lý Fermart) Giả sử hàm số y f ( x ) xác định lân cận đủ bé x0 có đạo hàm điểm x0 Khi hàm số y f (x0 ) a; b f ( x ) đạt cực trị x0 Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị) Cho hàm số y = f(x) xác định [a; b] x0 a; b Trong lân cận đủ bé x0 , f (x0 ) thay đổi dấu x qua x0 (có thể khơng tồn f (x0 ) ) f(x) đạt cực trị x0 *) Nếu f ( x ) 0, x x0 ; x0 f ( x ) 0, x x0 ; x0 x0 0, x x0 ; x0 f ( x ) 0, x x0 ; x0 x0 điểm cực tiểu *) Nếu f ( x ) điểm cực đại Giải pháp vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 2.1 Bài toán tổng quát Cho số thực a1 , a2 , an D thỏa mãn: g ( a1 ) g ( a ) g(an) Chứng minh rằng: f ( a1 ) n g( ) với số thực f ( a ) f ( an ) D n f ( ) Để giải toán ta cần biểu diễn f ( ) qua g ( ), i 1, 2, ,n nên ta xét hàm số h (t ) f (t ) g (t ), t D Số xác định cho hàm số h (t ) đạt cực tiểu (hoặc cực đại) t0 Thí dụ Cho a,b,c a b c Chứng minh a Phân tích Từ giả thiết ta thấy đẳng thức xảy a b c chứng minh có dạng f ( a ) f (b ) f ( c ) Trong f (t ) t , t 0;1 g (t ) t , Vậy cho ta lời giải sau: Lời giải: Xét hàm số y t3 Ta có y ' 3t t với t Bảng biến thiên (0;1) t b c3 y với t(0;1); 1;25;36 , 1;4;9 Từ suy ra: a3 5041 Cộng vế theo vế BĐT lại với ta có a3 a3 25b 36c3 25b 100 5041 Dấu xảy khi: a 10 ,b ,c 71 71 Vậy ta có điều phải chứng minh 71 Thí dụ 10 [HSG THPT Hoằng Hóa, Thanh Hóa, 2012] Cho a , b , c a 3b c Chứng minh 2 a 2b 2c 10 Phân tích Từ giả thiết ta thấy a , b , c 0;1 BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực a,b,c thỏa mãn g ( a ) g (b ) g ( c ) Chứng minh rằng: 2f(a) đặt f (t) f (b ) 2t 4f(c) 1,t 10 0;1 g (t ) t Khi dấu BĐT xảy a,b,c thỏa mãn hệ phương trình f '(t ) Ta có 2a 3b 4c 2a 12b 36 c 3 Vậy ta có lời giải sau 11 23 Lời giải:Xét hàm số y Bảng biến thiên t y’ y 33 11 Dựa vào bảng biến thiên ta có y 11 33 với t (0;1); 2;3;4 Từ suy ra: 11 11 11 Cộng vế theo vế BĐT lại với ta có: 2a 2b 2c 11 a 3b 4c 90 11 11 10 33 2 a 2b c 10 Vậy ta có điều phải chứng minh 24 Thí dụ 11 Cho a , b , c a b c Chứng minh a bc 1 29 11 a b c Phân tích Từ giả thiết ta thấy a , b , c 0;6 BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực a,b,c thỏa mãn g ( a ) g (b ) g ( c ) Chứng minh rằng: f (a) f (b) f (c) 29 Trong f (t ) t ,t 0;6 g (t ) t Khi dấu BĐT t xảy a,b,c thỏa mãn hệ phương trình Ta có f '(t ) g '(t ) Vậy ta có lời giải sau Lời giải: Xét hàm số y f (t ) t t,t t Ta có y ' Bảng biến thiên t 0;6 y’ y Dựa vào bảng biến thiên ta có 25 y t t8 t t t8 t Từ suy ra: a a 1; a8 11 b b 2; b 11 c c 8c với a , b , c (0;6) Cộng vế theo vế BĐT theo vế ta được: a 11 b c 1 11 a 1 29 a b c b c 8a b c Dấu xảy a 2,b 2abc 29 1,c Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tập luyện tập Bài [Đề xuất 30-4 Cà Mau] Cho a,b,c 1 15a 5b Tìm giá trị lớn P Bài Cho x , y , z số thỏa x y 4x Bài Cho a,b,c R a b a4 Bài Cho a,b,c z Chứng minh rằng: 4y 4z 3c 10 Chứng minh b4 c4 a3 b3 c3 a b c Chứng minh 3c 26 3a a2 b2 Bài Cho a , b , c a 2b 3c 15 Chứng minh a b Bài Cho a , b , c , d a 6a3 b 2c b3 c3 d3 c ab 3d Chứng minh a2 bc ca b2 c2 d2 191 18 Bài Cho số thực dương a , b , c a b 1 16 16 94 c Chứng minh a b c2 a b c2 Bài Cho Bài Cho Bài 10 Cho a , b , c a b c2 a b c 17 a b c Chứng minh Bài 11 Cho a , b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Bài 12 Cho ba số thực x , y , z 1;4 nhỏ biểu thức P Bài 13 Xét số thực dương a, biểu thức P a2 27 Bài 14 Xét số thực dương a , b , c thỏa mãn 21ab 2bc 8ac 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Pa,b,c (Đề thi chọn ĐTQG 2001) a b c Bài 15 Cho x , y , z thỏa mãn xy 3yz 4zx 5xy x Bài 16 Cho a y z 0,b 0;0 xz Chứng minh (Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh 2012) c thỏa mãn a b c2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức P ab 3bc 3ca a b c (Đề thi HSG Hà Nội 2013) Bài 17 Cho x , y , z số dương Chứng minh 3x y 4z xy yz zx Bài 18 Cho tam giác ABC khơng tù Tính góc tam giác biết cos2A 2 cos B 2 cosC (Đề thi Đại học khối A 2004) Bài 19 Cho tam giác ABC nhọn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P tan A tan B 3tan C Bài 20 Cho số a,b thỏa mãn điều kiện a b a 2b Chứng minh 4b 3a (Đề thi HSG tỉnh Bình Thuận 2015) 28 MỤC LỤC Nội dung PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.Lý chọn đề tài 2.Cơ sở thực tiễn 3.Nhiệm vụ nghiên cứu 4.Mục đích nghiên cứu 5.Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu 6.Phương pháp nghiên cứu 7.Giả thuyết khoa học sáng kiến 8.Đóng góp sáng kiến 9.Cấu trúc sáng kiến PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lý luận Giải pháp vận dụng đạo hàm ch 2.1 Bài toán tổng quát 2.2 Bài toán tổng quát 2.3 Bài toán tổng quát 2.4 Bài toán tổng quát Bài tập tự luyện Tổ chức thực nghiệm kết đối 4.1 Xử lý kết thốn 4.2 Đánh giá định lượng kết PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1.Kết luận 2.Khuyến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC 40 CÁC BẢNG, HÌNH VẼ DÙNG TRONG SK Tên bảng Trang Bảng 1: Thống kê kết kiểm tra 29 Bảng 2: Kết xử lý để tính tham số 29 Bảng 3: Các tham số đặc trưng 30 Bảng 4: Tần suất tần suất lũy tích 30 Hình Đồ thị phân phối tần suất 31 Hình Đồ thị đường phân phối tần suất tích lũy .31 41 CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT ĐC Đối chứng GV Giáo viên HS Học sinh BĐT Bất đẳng thức SK Sáng kiến ĐK Điều kiện PTCT PT tắc TN Thực nghiệm THPT Trung học phổ thông 42 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT ĐỨC HỢP Tổng điểm: …………………Xếp loại: ……………………… T.M HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH -HIỆU TRƯỞNG (Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu) HÀ QUANG VINH 43 ... tốn thực tiễn dạy học đạo hàm BĐT trường THPT vận dụng kết hợp đạo hàm với kiến thức phù hợp phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo học sinh việc chứng minh bất đẳng thức Đóng góp sáng kiến... ( x ) điểm cực đại Giải pháp vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 2.1 Bài toán tổng quát Cho số thực a1 , a2 , an D thỏa mãn: g ( a1 ) g ( a ) g(an) Chứng minh rằng: f ( a1 ) n g( ) với... vụ : Giáo viên - Đơn vị : Trường THPT Đức Hợp, Kim Động, Hưng Yên Tên đề tài: ? ?Vận dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức? ?? PHẦN I TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Lý chọn đề tài Căn nhiệm vụ mục tiêu