SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12

Nội dung của đề tài gồm có Tóm tắt lí thuyết và các kiến thức liên quan đến đạo hàm. Các bài toán thực tế ứng dụng đạo hàm. Các bài toán trắc nghiệm khách quan, đáp án và hướng dẫn giải. Mời các bạn cùng tham khảo!

SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Dạy học Tốn trường phổ thơng theo định hướng gắn Tốn học với thực tiễn, thực nguyên tắc liên môn dạy học tích cực hóa hoạt động học tập học sinh xu hướng đổi dạy học Mục đích dạy học Tốn nói chung với lưu ý học sinh biết mơ hình hóa Tốn học tình thực tiễn xem yếu tố lực hiểu biết Toán- lực chương trình đánh giá quốc tế PISA khảo sát nhiều nước giới nhằm mục đích cải thiện chất lượng đào tạo Trên thực tế với kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tơi thấy học sinh gặp nhiều khó khăn giải tốn thực tế Vì đề tài nhằm tập hợp, biên soạn sáng tạo số tình thực tiễn mang lại cho giáo viên ví dụ minh họa theo mức độ nhằm giúp giáo viên có nguồn tư liệu phương pháp để rèn luyện kĩ giải Toán thực tế cho em giúp em vượt qua cản tâm lý Hiện nay, định hướng đổi chương trình giáo dục phổ thơng chuyển từ chương trình định hướng nội dung dạy học sang chương trình định hướng lực, định hướng chuẩn đầu phẩm chất lực chương trình cấp THPT Quan điểm đổi dạy học tương lai : “ định hướng lực hay định hướng kết đầu ra” Với quan điểm chương trình dạy học không quy định chi tiết nội dung dạy học mà quy định kết đầu mong muốn giáo dục Tóm lại, quan điểm giáo dục không trọng vào nội dung học sinh “được học”mà chủ yếu tập trung vào mà học sinh “học được” Quan điểm không nhấn mạnh vào nội dung khoa học môn mà trọng vào việc học sinh có lực giải vấn đề thực tiễn từ nội dung học Từ đề tài tập trung vào việc xây dựng số toán thực tiễn gắn liền với chương: “Ứng dụng đạo hàm ” Đại số Giải tích12 theo định hướng tiếp cận lực người học * Cơ sở lý luận: Mục đích dạy học Tốn phải mang lại cho học sinh kiến thức phổ thông, kĩ người lao động Qua rèn luyện tư logic, phát triển lực sáng tạo góp phần hình thành giới quan cho em.Quan điểm dẫn đến khái niệm hiểu biết Toán theo PISA: “ hiểu biết Toán lực cá nhân cho SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 phép xác định hiểu vai trị Tốn học sống, đưa phán xét có sở, gắn kết Toán học theo cách khác nhằm đáp ứng nhu cầu sống cá nhân với tư cách cơng dân có tinh thần xây dựng, biết quan tâm biết phản ánh” Như vậy, liên hệ với mục tiêu dạy học Tốn ta thấy quan điểm hồn tồn phù hợp với thực tế đa số học sinh mà đào tạo sau người sử dụng Tốn khơng phải người nghiên cứu Tốn Do đó, xu hướng đổi trọng khả sử dụng kiến thức học vào thực tiễn lực xử lý tình mà họ đối mặt sống sau dời ghế nhà trường *Cơ sở thực tiễn: Chương trình sách giáo khoa viết theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, rèn luyện khả vận dụng Toán học vào thực tế sống Trong sách giáo khoa sách tập Toán 12 đưa số Toán thực tiễn chương số lượng cịn Tốn học sống có mối liên hệ mật thiết với Toán đầu tư vào kinh doanh…ta cần tính tốn cho hiệu Do việc nghiên cứu, khai thác Tốn có nội dung thực tiễn cần thiết Do thời gian khả có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tơi viết cịn nhiều tồn Kính mong đồng nghiệp học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn thiện tài liệu tham khảo hữu ích thú vị cho giáo viên học sinh Tên sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Huyền - Địa tác giả sáng kiến: TT Thổ Tang- Vĩnh Tường- Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0388223584 E_mail: nguyenthihuyen.gvnguyenvietxuan@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Nguyễn Thị Huyền Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Giảng dạy cho học sinh lớp 12 học sinh chuẩn bị thi THPT Quốc Gia Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu thử nghiệm: Từ tháng 09 năm 2017 đến tháng 05 năm 2018 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Mô tả chất sáng kiến: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI TOÁN THỰC TẾ LÝ THUYẾT VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ PP GIẢI BÀI TẬP TNKQ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, lí thuyết tốn học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tế sống Đến với chương này, tìm hiểu “Ứng dụng Đạo Hàm” khơng Tốn học mà cịn ngành khoa học kỹ thuật khác; lẽ Đạo hàm khơng dành riêng cho nhà Tốn học, mà đạo hàm ứng dụng nhiều sống ngành khoa học khác, ví dụ kể đến như: Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa định đầu tư đắn phải làm ? Một nhà hoạch định chiến lược muốn có thơng tin liên quan đến tốc độ phát triển gia tăng dân số vùng miền phải dựa vào đâu ? Một nhà hóa học muốn xác định tốc độ phản ứng hóa học hay nhà Vật lí cần làm để muốn tính tốn vận tốc, gia tốc chuyển động ? Và nữa, thực tiễn đời sống ln có nhiều tốn liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt lợi ích cao phải tính tốn thể để làm cho chi phí sản xuất thấp mà lợi nhuận đạt cao ?, Chúng ta tìm hiểu, khám phá mở mang thêm cho hiểu biết ứng dụng đạo hàm thơng qua bố cục trình bày chương sau:  Phần A: Tóm tắt lí thuyết kiến thức liên quan đến đạo hàm  Phần B: Các toán thực tế ứng dụng đạo hàm  Phần C: Các toán trắc nghiệm khách quan, đáp án hướng dẫn giải PHẦN A : TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Bài tốn mở đầu Để tìm hiểu ứng dụng đạo hàm, trước tiên ta cần hiểu cách thấu đáo khái niệm đạo hàm Bài toán nguồn gốc nảy sinh khái niệm đạo hàm, thuộc lĩnh vực Hình học đến từ Vật lí ● Đối với tốn hình học: xác định tiếp tuyến đường cong Nếu trước đây, nhiều toán Đại Số giải nhờ vào cơng cụ phương pháp Hình học, kể từ kỉ XVI, với hệ thống kí hiệu Viète (1540-1603) đề nghị vào năm 1591, Đại số tách khỏi Hình học, phát triển cách độc lập với phương pháp có sức mạnh lớn lao Nhận thấy sức mạnh ấy, Descartes (1596-1650) Fermat (1601-1665) khai thác vào nghiên cứu Hình học việc xây dựng nên Hình học giải tích Sự đời Hình học giải tích khiến cho vấn đề nghiên cứu nhiều đường cong đặt Tuy nhiên tốn nhà tốn học thời kì trước giải số đường đặc biệt (đường trịn, đường Conic, ) cơng cụ hình học cổ điển với hàng loạt đường cong xuất hiện, toán xác định tiếp tuyến tuyến đường cong đòi hỏi phương pháp tổng quát SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Khái niệm tiếp tuyến lúc hiểu theo quan niệm vị trí “tới hạn” cát tuyến hay đường thẳng trùng với phần vô nhỏ với đường cong tiếp điểm Chính từ quan niệm “vị trí tới hạn” mà hệ số góc k tiếp tuyến với đường cong y  f  x  định nghĩa (theo ngôn ngữ ngày nay) biểu thức k  lim f  x  h  f  x h 0 h  f '  x ● Đối với tốn vật lí: tìm vận tốc tức thời Thừa nhận xem vận tốc tức thời vtt vật thể có phương trình chuyển động s  S  t  giới hạn vận tốc trung bình khoảng thời gian  t;t  t  t  , Newton (1643 – 1727) đến biểu thức xác định vtt (có chất với biểu thức hệ số góc tiếp tuyến) mà theo ngôn ngữ ngày ta viết là: vtt  lim S  t  t   S  t  t t 0  S'  t  Từ ta đưa định nghĩa đạo hàm: Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  a; b  , xo   a;b  ,xo  x   a;b  Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn) lim f  xo  x   f  xo  điểm xo , kí hiệu f '  xo  hay y'  xo  f '  xo   lim x 0 gọi đạo hàm f  x  x x 0 f  xo  x   f  xo  x  lim f  x   f  xo  x  xo x  xo Các quy tắc tính đạo hàm bảng công thức đạo hàm thường gặp * Các quy tắc tính đạo hàm Giả sử u  u  x  , v  v  x  , w  w  x  hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: ●  u  v  w '  u' v' w' ●  uv'  u' v  v' u u ●  uvw '  u' vw  v' uw w' uv ●  '  v ●  ku'  ku' (với k số) ●  '  v   1   u' v  v'u v  v  x  v2  v' v  v  x  v2    * Bảng công thức đạo hàm thường gặp Đạo hàm f  x  với x biến số Đạo hàm f  u  với u hàm số SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12  k '  (với k số)  kx '  k (với k số)  x '  nx n  ku'  k.u' (với k số) u '  nu u' n1   1     x  0 x x x ' , x  0 x   u'    u x  u u u' u ' , u x  u     tan x '  cos1 x   tan 2 x     u  x    k , k       u'  cotu'  sin u   1  cot u u' 2 2  x  k , k   x x   cot x '  sin1 x   1  cot x  x   sinu'  cosu.u'  cosu'   sinu.u'  u'  tanu'  cos u  1  tan u u'     x   k , k     x     sin x '  cos x  cos x '   sin x  a '  a  e '  e n1 n u  x   k , k    a '  a lna.u' ,   a  1  e '  e u' lna,   a  1 u u u u ,  x     a  1  log x '  x lna u'  log u'  uln u  x    ,   a  1 a  ln x '  x1  x    lnu'  u'u u  x    a a * Đạo hàm số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp Hàm số Đạo hàm hàm số ax  b y cx  d y a1 x  b1 x  c1 a2 x  b2 x  c2 y'  y'  ad  bc  cx  d  a1 a2  a b c d  cx  d  b1 a x 2 b2 a2 a x 2 c1 b x c2 b2  b2 x  c2  c1 c2 Tính đơn điệu hàm số * Định nghĩa: Gọi K khoảng  a;b  đoạn  a;b  nửa khoảng a;b  , a;b hàm số f  x  xác định K SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Hàm số y  f  x  đồng biến (tăng) K x1 ,x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số y  f  x  nghịch biến(giảm) K : x1 ,x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi hàm số đơn điệu K * Các định lí:  Định lí 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  a;b   Nếu f   x   ,x   a;b  hàm số f  x  đồng biến  a;b   Nếu f   x   ,x   a;b  hàm số f  x  nghịch biến  a;b   Định lí 2: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  a;b   Hàm số f  x  đồng biến  a;b   f   x   ,x   a;b  phương trình f   x   có hữu hạn nghiệm thuộc  a;b   Hàm số f  x  nghịch biến f  x   a;b   f  x  0,x   a;b có hữu hạn nghiệm thuộc  a;b  phương trình  Định lí 3: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K)  Nếu hàm f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a; b  f  x  liên tục nửa đoạn  a;b f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn  a;b   Nếu hàm f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a;b  f  x  liên tục nửa đoạn  a;b f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn  a;b  Nếu hàm f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a;b  f  x  liên tục đoạn  a;b  f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) đoạn  a;b  Cực trị hàm số * Định nghĩa: Giả sử hàm số y  f  x  xác định tập hợp D,  D   xo  D  x0 gọi điểm cực đại hàm số f  x  tồn khoảng  a; b  chứa x0 cho  a,b   D f  x   f  x0  với x   a; b  x  x0 Khi f  x0  gọi giá trị cực đại hàm số f  x   x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f  x  tồn khoảng (a;b) chứa x0 cho (a,b)  D f (x)  f (x0 ) với x  (a; b)\x0  Khi f (x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f  x  Điểm cực đại, cực tiểu gọi chung điểm cực trị * Các định lý: SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12  Định lý (điều kiện cần): Giả sử hàm số f  x  đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f '(x0 )  Lưu ý: Điều ngược lại định lý không Đạo hàm f ' điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 ví dụ hàm y  x3 hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm ví dụ hàm y  x  Định lý (Quy tắc - Điều kiện đủ): Giả sử hàm số f liên tục khoảng  a; b  chứa điểm x có đạo hàm khoảng (a; x0 ) (x0 ;b) Khi  Nếu f '(x) đổi dấu từ    sang    x0 f đạt cực đại x0 x a f '  x b xo   Giá trị cực đại f  x  Nếu f '(x) đổi dấu từ    sang    x0 f đạt cực tiểu x0 Do f đạt cực trị x0  f '  x  đổi dấu x0 x f '  x a b xo   f  x Chú ý: f '  x o  Giá trị cực tiểu tồn khơng tồn  Định lý (Quy tắc - Điều kiện đủ): Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng  a; b  chứa điểm x0 f có đạo hàm cấp khác điểm x0  Nếu f '(x0 )  f ''(x0 )  hàm số đạt cực đại điểm x0  Nếu f '(x0 )  f ''(x0 )  hàm số đạt cực tiểu điểm x0 Giá trị lớn nhỏ hàm số * Định nghĩa:  Số M gọi giá trị lớn (GTLN) f  x  miền xác định D:   f  x   M, x  D M  max f  x    xD  xo  D : f  xo   M  Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) f  x  miền xác định D:   f  x   m, x  D m  f  x    xD  xo  D : f  xo   m SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Định lý tồn GTLN – GTNN: “ Nếu hàm số liên tục đoạn  a; b  đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn “ * Một số lưu ý:  Khi nói đến GTLN , GTNN hàm số f mà không rõ GTLN , GTNN tập ta hiểu GTLN , GTNN tập xác định f   f  x   f  a   xa ;b Nếu hàm số f đồng biến  a; b      f  x  f b  max  xa ;b   f  x   f  b   xa ;b Nếu hàm số f nghịch biến  a; b      f  x  f  a  max  xa ;b * Phương pháp GTLN – GTNN y  f  x  đạo hàm đoạn D   a; b Bước 1: Tính đạo hàm f '  x  Bước 2: Tìm điểm tới hạn (nếu có) xi   a; b  , i  1, n cho f '  x   (hoặc khơng có đạo hàm)  f '  xi   ?  Bước 3: Tính  f  a   ?   f  b   ?     max f  x   max f  x1  ; f  x2  ; ; f  xn  ; f  a  ; f  b   Bước 4: So sánh kết luận  D f  x   f  x1  ; f  x2  ; ; f  xn  ; f  a  ; f  b    D Lưu ý:  Trường hợp tập D   a; b  (hoặc D   a; b ; D   a; b ) ta làm tương tự bước bước Đến bước ta “lập bảng biến thiên” để từ đưa kết luận  Ngồi cách sử dụng đạo hàm trình bày trên, đơi để giải nhanh tốn ta sử dụng thêm kiến thức cực trị hàm số bậc hai hay bất đẳng thức học kể đến như: ► Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Cho n số không âm: a1 , a2 , ,an Khi ta có: a1 ,  a2   an n  a1 a2 an n Dấu “=” xảy a1  a2   an ► Bất đẳng thức Bunyakovsky Cho hai n số: a1 ,a2 , ,an ;b1 ,b2 , ,bn ta có bất đẳng thức: SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12  a1 b1  a2 b2   an bn     a12  a22   an2 b12  b22   bn2  a a1 a2    n với quy ước số bi (i  1,n) b1 b2 bn Dấu “=” xảy tương ứng ► Bất đẳng thức tam giác Với ba điểm A, B, C ta ln có: AB  AC  BC Dấu xảy A nằm B C ( Tổng độ dài hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba) AB  AC  BC Dấu xảy A nằm đường thẳng BC nằm đoạn BC (Hiệu độ dài hai cạnh tam giác ln nhỏ cạnh thứ ba) Tổng quát: Trong tất đường gấp khúc nối điểm A, B cho trước đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ ►Bất đẳng thức lũy thừa bậc hai Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng : A2  hay  A2   f  A2  m  m  f  m  A  Do với m số, ta có:    f   A  M  M  max f  M  A  ►Dựa vào cực trị hàm số bậc 2: y  ax2  bx  c  a   Nếu a   ymin  b  4ac  b2  x  4a 4a 2a Nếu a   ymax  b  4ac  b2 x   4a 4a 2a 10 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Vậy tăng x  45 số lượng sản phẩm giảm xuống  x  45   3x  135 Tổng số sản phẩm bán l2a 60   3x  135   195  3x Lợi nhuận công ty thu sau tăng giá  x  27 195  3x   3x  276x  5265 Đặt f  x   3x2  276x  5625 Bài tốn trở thành tìm max f  x   ? x  45 Ta có f '  x   6x  276 , f '  x    x  46 (ngàn đồng) Lập bảng biến thiên, ta suy max f  x   f  46   1083 (ngàn đồng) x  45 Câu 28: Người ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho trước a mét thẳng hàng rào Ở người ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh hàng rào Vậy để rào khu đất theo hình chữ nhật cho có diện tích lớn giá trị lớn tính theo a A   a2 m2 B   a2 m2 12   a2 m2 C D   a2 m2 Đáp án D Hướng dẫn giải: Gọi x chiều dài cạnh song song với bờ giậu y chiều dài cạnh vng góc với bờ giậu a Theo đề ta có x  y  a  x  a  y,  y  Diện tích miếng đất S  xy  y  a  y   a   Đặt f  y   y  a  y  , y   ;   a   Nhận xét toán trở thành tìm y   ;  để f  y  lớn Ta có f '  y   a  y  f '  y    y  Do đó: maxS  max f  y   a  a f ''  y   4  , y   ;   2 a2 a a y x Cách khác: áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1  2y  a  2y  a2 S  xy  y  a  y   y  a  y    2 Dấu “=” xảy y  a  y  y  a a x 82 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Câu 29:Một vật ném lên trời xuyên góc  so với phương nằm ngang, vận tốc ban đầu vo  m / s Biết gia tốc rơi tự g  10m / s2 Xác định góc  để tầm ném cực đại A   450 B   600 C   300 Đáp án A D   750 Hướng dẫn giải: N M  v0  Trước tiên ta tính độ cao vật quỹ đạo xác định thời điểm mà đạt độ cao (g = 10m/s2) K Véc tơ v o phân tích thành tổng hai véc tơ theo hai phương vng góc với P (phương ngang phương thẳng x đứng) hình vẽ Vật cao MN  MP ,  MP  gt 1    MN  vo  MK  vo  vo cos    2 2   Từ (1) (2)   gt   vo  cos   t  Do h lớn t     0;900  vo sin  g v sin  vo sin  h  vo sin .t  o g g Vì quỹ đạo vật ném xiên Parabol nên tầm ném vật Ta tính x  MK.2t  vo cos .2 vo sin  vo sin 2   f  g g   Ta ứng dụng đạo hàm tìm max f     f 450  vo sử dụng tính bị chặn vo sin 2 vo hàm số lượng giác x    sin 2  1 g g Dấu “=” xảy sin 2     450 Câu 30: Cần phải làm cửa sổ mà phía hình bán nguyệt, phía hình chữ nhật, có chu vi a mét ( a chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh hình chữ nhật dây cung hình bán nguyệt) Gọi d đường kính hình bán nguyệt Hãy xác định d để diện tích cửa sổ lớn 83 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 A d  a  B d  2a  C d  a  D d  2a  Đáp án B Hướng dẫn giải: Gọi x bán kính hình bán nguyệt  x  a Ta có chu vi hình bán nguyệt  x , Tổng ba cạnh hình chữ nhật a   x Khi cạnh hình chữ nhật có độ dài x cạnh cịn lại Diện tích cửa số là: S  S1  S2   x2  x  a   x   2x a   x  2x Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn hàm số S  x  với  x  a a    S  x   ax     x  S'  x   a     x  S'  x    x   2   a      Đồng thời S''  x        , x   ; a  Do maxS  S  Khi kích thước chiều cao a 2a , chiều rộng   Câu 31: Một nhân viên gác trạm hải đăng biển (điểm A) cách bờ biển 16,28 km, muồn vào đất liền để đến ngồi nhà bên bờ biện (điểm B) phương tiện ca nô với vận tốc km/h cập bờ sau tiếp xe đạp với vận tốc 12 km/h Hỏi ca nô phải cập bờ điểm M cách B khoảng để thời gian dành cho lộ trình di chuyển nhỏ ? (giả thiết thời tiết tốt, độ dạt ca nô di chuyển không đáng kể ) A BM  , km B BM  11, 14 km C BM  10 , 12 km D BM  , km 84 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Đáp án B Hướng dẫn giải: Gọi x  HM   x  25, 86  Khi thời gian lộ trình Ta có t  t AM 16 , 262  x2 25 , 68  x AM MB  t MB     vAM vMB 12 Xét f  x   16 , 262  x2 25 , 68  x    x  25, 68  12 S  vt t  Bài toán trở thành tìm Ta có f '  x   S v f  x   ? x ; 25 ,68  3x  16 , 262  x2 24 16 , 26  x Lập bảng biến thiên, ta suy , f '  x    xo  2.16 , 26  14 , 5434 f  x   f  xo   3, 669 s x ; 25 ,68  Suy MB  25,68  14,5434  11,14 km Câu 32: Số dân thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 ước tính cơng thức f t    26t  10 ( f t t5 tính nghìn người) Đạo hàm hàm số f biểu thị tốc độ tăng trưởng dân số thị trấn (tính nghìn người/năm) Hỏi vào năm tốc độ tăng dân số 0,048 nghìn người/ năm ? (Trích đề thi thử lần 1, k2pi.net.vn) A 2014 B 2016 C 2015 D 2017 Đáp án C Hướng dẫn giải 26t  10 120 120 f t    f ' t   ycbt   , 048  Khi t5 125 t  5 t  5  2500   t    t   50  t  45 Như đến năm 1970 + 45 = 2015 đạt tốc độ tăng dân số 0,048 người/năm Câu 33:Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích 3(m3) Tỉ số chiều cao hố (h) chiều rộng đáy (y) Biết hố ga có mặt bên mặt đáy (tức khơng có mặt trên) Chiều dài đáy (x) gần với giá trị để người thợ tốn nguyên vật liệu để xây hố ga (trích đề kiểm tra chất lượng số – quảng xương 1) A m B 1,5 m C m D 2,5 m Đáp án B h - chiều cao x - chiều dài y - chiều rộng h y x 85 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Hướng dẫn giải V  xyh Ta có  h  y  V  4y2 x  x  V (x  y) 4y2 Để tốn nguyên vật liệu suy Sxq  Sday   Ta có Sxq  Sday  xy  xh  yh  y Cách 1: Đặt f  y   V V V 2V 9V   y.4 y    8y2   8y2 y 4y y 4y 4y 9V  y2 (khảo sát hàm tìm f  y  ) 4y Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 9V  y  9V  9V  y  3 81V 4y 8y 8y Dấu “=” xảy 9V  y  y  9V  x   1, 333  1, 8y 64 Câu 34: Nhà cô Thắm có khu đất trồng rau hoa hình tam giác có độ dài cạnh 12m , để tạo ấn tượng cho khu đất , Thắm định chia hình bên dự định dùng phần đất MNP để trồng hoa , phần lại để trồng rau Hỏi x có giá trị gần số sau để phần trồng hoa có diện tích nhỏ A x  3m B x  4m C x  5m D x  6m Đáp án A Hướng dẫn giải SMNP  SABC  SAMP  SBMN  SCNP Trong SABC  SBMN  12 ;  BM.BN.sin 600  12 x  x 2   SCNP  CN.CP.sin 600  24 x  x2 SAMP  AM.AP.sin 600  36 x  3x2  Vậy SAMN   11x  72 x  144    Khảo sát f  x   11x2  72 x  144 ; x  0 ; 12   Minf  x   288 36 ,khi : x  11 11 Câu 35: Trong giai đoạn từ năm 1980 đến năm 1994, tỉ lệ phần trăm hộ gia đình Mỹ có đầu máy video (VCR) mơ hình hóa hàm số sau: 75 V t   t thời gian tính năm  t  14 Thời điểm mà  74.e 0 ,6t số VCR tăng nhanh gần với giá trị : 86 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 A 14 Đáp án D B 10 C D Hướng dẫn giải: Ta có: V '  t   3330e 0 ,6t 1  74.e  0 ,6 t  V ''  t    e 0 ,6t   V ''  t     1998e 0 ,6t 74.e 0 ,6t  1  74e  0 ,6 t  to  , 17 74 Lập bảng biến ta suy max V '  t   V '  , 17  t0 ;14  Câu 36: Trong thực hành môn huấn luyện qn có tình chiến sĩ phải bơi qua sông để công mục tiêu phía bờ bên sơng Biết lịng sông rộng 155m vận tốc bơi chiến sĩ nửa vận tốc chạy Bạn cho biết chiến sĩ phải bơi mét để đến mục tiêu nhanh nhất, dịng sơng thẳng, vận tốc dòng nước mục tiêu B cách vị trí H km (xem hình vẽ) A 155 m B 310 m C 155 m D 310 m Đáp án D Hướng dẫn giải Gọi vận tốc bơi chiến sĩ v  vận tốc chạy 2v Độ dài cần AM  x ta có điều kiện 155  x  10002  1552 Thời gian bơi x Độ dài HM  x2  1552 ,BM  1000  x2  1552 v Thời gian chạy 1000  x  1552 2v   Tổng thời gian f  x   2x  1000  x2  1552 ,v  2v  1 x 310      x  2v  x2  1552  Lập bảng biến thiên, ta suy f '  x   310  f  x   f    178 , 9786 m   Câu 37:Người ta muốn làm đường từ địa điểm A đến đia điểm B hai bên bờ 87 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 sông, số liệu thể hình vẽ, đường làm theo đường gấp khúc AMNB Biết chi phí xây dựng km đường bên bờ có điểm B gấp 1,3 lần chi phí xây dựng km đường bên bờ có điểm A, phí làm cầu MN địa điểm Hỏi phải xây cầu điểm M cách điểm H km để chi phí làm đường nhỏ ? A , 63 km B 1, 28 km C , 14 km D , 56 km Đáp án Hướng dẫn giải  AM  x  1, 44 Đặt x  HM   x  , 1   BN     4,1  x   , 25 Gọi a số tiền để làm km đường bên bờ có điểm A Khi chi phí để làm hai đoạn AM BN là: f  x   a x2  1, 44  1, 3a  ,  x   , 25 Bài tốn trở thành tìm f  x   ? x ; ,1  x   Ta có f '  x   a   x  1, 44      , 25   1,  ,  x   4,1  x  Cho f '  x    x2  ,  x   , 25  1, 32  ,  x   x  1, 44      (Dùng chức MTCT giải xo  , 6303 ) Lập bảng biến thiên ta suy f  x   f  xo   , 222a x ; ,1 Câu 38: Một sợi dây có chiều dài L (m), chia thành phần Phần thứ uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình trịn Hỏi độ dài cạnh hình tam giác để diện tích hình thu nhỏ ? (theo Thầy Hứa Lâm Phong) A 3L  Đáp án A  m B L   m C 2L   m D L   m Hướng dẫn giải Giả sử sợi dây có chiều L ta gọi x độ dài cạnh hình tam giác Khi ta có Chiều dài phần dây làm thành tam giác 3x Chiều dài phần dây làm thành hình trịn L  3x  L  3x bán kính đường 2 trịn 88 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Khi ta có: S  Stron  Stamgiac    f  x  : parabol  Xét f  x     x2  Lx  L2 Ta có  Do ta có x  a     3L     x  Lx  L2  L  3x  x2     4  2   xmax  b 3L  2a   thỏa yêu cầu tốn Câu 39: Một sợi dây có chiều dài L m, chia thành phần Phần thứ uốn thành hình hình vng, phần thứ hai uốn thành tam giác có cạnh gấp lần cạnh hình vng, phần thứ ba uốn thành hình trịn (như hình vẽ) Hỏi độ dài cạnh hình tam giác để diện tích hình thu nhỏ ? (theo Thầy Hứa Lâm Phong) A C 7L 49     5L 25      m B  m D 5L 49     7L 25      m  m Đáp án C Hướng dẫn giải Giả sử sợi dây có chiều L ta gọi x độ dài cạnh hình tam giác Khi ta có Chiều dài phần dây làm thành tam giác 3x Chiều dài cạnh hình vng x x nên đoạn dây uốn thành hình vng  x 2 Chiều dài phần dây làm thành hình trịn L  5x  L  5x bán kính đường 2 trịn Khi ta có: S  Stron  Stamgiac     25     x2  10 Lx  L2  L  5x  x2 x2      4 4  2  Xét f  x   25     x2  10 Lx  L2   f  x  : parabol Ta có   a  26      Do ta có x   xmax  5L 25     b 5L  2a 25     thỏa yêu cầu toán 89 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Câu 40: Cho nhơm hình chữ nhật có chiều dài 80 cm chiều rộng 50 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x  cm  , gập nhơm hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận thể tích lớn A x  cm B x  cm C x  10 cm D x  12 cm Đáp án Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức giải nhanh x a  b  a2  ab  b2 130  802  80.50  50 a 80   x   10 b 15 6 Câu 41: Để thiết kế bể hình hộp chữ nhật có chiều cao 60 cm, thể tích 96.000 cm3 Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng/ 1m2 loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/ 1m2 Chi phí thấp để hồn thành bể cá (trích đề thi thử lần 1, THPT Việt Trì, Phú Thọ) A 83.200.000 đồng B 382.000 đồng C 83.200 đồng D 8.320.000 đồng Đáp án C Hướng dẫn giải: Gọi x, y chiều rộng chiều dài đáy hình hộp   x  y  Khi ta có V  96.000  60 xy  x  1600 y Ta có chi phí hồn thành bể cá C  x   70.103 Sxq  100.103 Sday  C  x   70.103  2.60x  2.60 y  104  16000  840  x  y   16000 Ta có: x  y  xy  1600  80 Do ta có C  x   840.80  16000  83200 Câu 42: Một người nơng dân có lưới thép B40, dài a (m) muốn rào mảnh vườn dọc bờ sơng có dạng hình thang cân ABCD hình vẽ (bờ sơng đường thẳng DC khơng phải rào) Hỏi ơng ta rào mảnh vườn có diện tích lớn m2 ? (HSG Phú Thọ 2016-2017) A B C D A 3a B 3a C 3a D 3a Đáp án C Hướng dẫn giải: 90 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 S 2a  x  a2  x   x  a   S   a  x  a2  x2 Xét f  x    a  x  a2  x2 Bài toán trở thành tìm f  x  x ;a  Ta có: f '  x   a2  x   a  x  x    a  x  a  2x  a2  x2 a2  x2  x  a  ktm  Lập bảng biến thiên ta suy f  x   f '  x    x  a  ; a x ;a      a  3a 3 f  2 Câu 43:Từ hai bến A B bờ sơng có hai ca nơ khởi hành Khi nước chảy sức đẩy động cơ, ca nô từ A chạy song song với bờ theo chiều từ A đến B với vận tốc 24 km/h, ca nơ từ B chạy vng góc với bờ có vận tốc 18 km/h Quãng đường AB dài km Biết sức đẩy động khơng thay đổi vận tốc dịng nước A 300 m B 600 m C 100 m D 400 m Đáp án B Hướng dẫn giải:  AA'  v1 t  24t Độ dài quãng đường mà hai canô sau thời gian t là:   BB'  v2 t  18t Áp dụng định lý Pytago tam giác A' B' B vng B ta có: A' B'2  A' B2  BB'2   AB  AA'   BB'  1  24t   18t  2 Xét f  t   900t  48t  Bài tốn trở thành tìm f  t   ?    b 48  f  t  : Parabol  xmin     f  t   f    , 36 2a 2.900 75  75   a  900  Ta có  Vậy ca nơ cách khoảng ngắn d  A' B'  0, 6km  600m Câu 44: (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s   t  6t với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 24(m/s) B 108(m/s) C 18(m/s) D 64(m/s) Đáp án A 91 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Đạo hàm quãng đường vận tốc vật 3  v(t )  S 't  t  12t (m/s) Ta xét hàm số v(t ) khoảng thời gian t   0;6 v '(t )  3t  12 v '(t )   t  Ta có: v(0)  0, v(4)  24, v(6)  18 Vậy vận tốc lớn vật đạt là: 24 m/s 92 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 Những thông tin cần bảo mật: Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Học sinh lớp 12 học sinh ôn thi THPT Quốc Gia 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: Thứ nhất, sáng kiến giúp em học sinh thấy vai trò quan trọng Tốn học với sống Từ kích thích hứng thú học Tốn dần xóa bỏ cản tâm lý gặp tốn thực tế Vì em chịu khó tìm tịi, sáng tạo giải vấn đề thực tiễn Thứ hai, nội dung sáng kiến phân dạng toán rõ ràng, dễ hiểu hệ thống đầy đủ Các tốn phân tích tỉ mỉ để học sinh hiểu sâu vấn đề đưa công thức tổng quát để học sinh áp dụng nhanh làm trắc nghiệm Thứ ba, thân giáo viên viết đề tài phần rèn luyện cho khả nghiên cứu khoa học, tìm tịi phân tích tổng hợp tài liệu, tăng cường khả tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn Hơn nữa, sáng kiến phần khắc phục khó khăn cho thầy giáo việc tìm tài liệu Tốn thực tế kiến thức liên mơn Tốn với mơn học khác mơn Vật lí, Hóa học, Sinh học Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo tổng hợp toán thực tế để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp truyền đạt cho học sinh Mặc dù cố gắng nhiều trình viết sáng kiến kinh nghiệm chắn không tránh khỏi sai sót Kính mong q thầy cơ, đồng nghiệp học sinh chân thành góp ý để sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đạo hàm giải tốn thực tế lớp 12” hồn thiện trở thành tài liệu hay, hữu ích việc dạy học Toán gắn với ứng dụng thực tiễn 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: * Bản thân thấy sáng kiến có lợi ích tương đối tốt áp dụng vào thực tiễn dạy học Cụ thể: + Năm học 2016-2017 tơi có nguồn tài liệu Toán ứng dụng thực tế có sử dụng đạo hàm Vì học sinh tơi gặp nhiều khó khăn tiếp cận toán thường lúng túng làm toán thực tế dạng trắc nghiệm đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2017 Tôi cảm thấy học sinh sợ giải Toán phần 93 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 + Nhưng đến năm học 2017-2018 áp dụng sáng kiến vào dạy học chương : “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” Tôi nhận thấy học sinh hứng thú với Toán thực tế, em giải Toán thực tế trắc nghiệm nhanh nhớ cơng thức tính nhanh hiểu rõ chất vấn đề Hơn dời ghế nhà trường tin em giải toán sống từ toán học + Khi thực làm kiểm tra phần Tốn thực tế năm 2016-2017 số lượng học sinh lớp đầu cao khối D làm 40% năm 2017-2018 số lượng làm tăng lên nhiều 80% Vì năm 2017-2018 trường chúng tơi đứng thứ hạng cao tồn Tỉnh mơn Tốn kì thi THPT Quốc Gia tăng bậc so với năm học trước Điều nhờ đóng góp phần nhỏ bé sáng kiến 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: - Đồng chí Tổ trưởng chun mơn tổ Tốn- Tin trường tơi áp dụng sáng kiến vào dạy ba lớp 12 năm học 2017-2018: Đó lớp 12A5( chọn đầu cao khối A), 12A2, 12D3 Đồng chí nhận thấy ưu điểm lớn mà sáng kiến đem lại giảng dạy, giúp đồng chí bớt nhiều thời gian cơng sức tìm tài liệu phần kiến thức Hơn nữa, giảng thêm sinh động hơn, học sinh khơng cịn cảm giác sợ phần tốn khó 94 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: Số Tên tổ chức/cá TT nhân Nguyễn Thị Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến THPT Nguyễn Viết Xuân Lĩnh vực giáo dục- Bộ mơnTốn Huyền 12D1, 12A4 THPT Nguyễn Viết Xn Lĩnh vực giáo dục- Bộ mơnTốn 12A2, 12A5 12D3 THPT Nguyễn Viết Xn Lĩnh vực giáo dục- Bộ mơnTốn Cô Vũ Thị Thanh Nga Vĩnh Tường Ngày 31 tháng 01 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) THPT Nguyễn Viết Xuân Lĩnh vực giáo dục- Bộ mơnTốn , ngày tháng năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) Vĩnh Tường Ngày 29 tháng 01 năm 2019 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Nguyễn Thị Huyền 95 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 96 ... hàm giải tốn thực tế lớp 12 Mơ tả chất sáng kiến: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI TOÁN THỰC TẾ LÝ THUYẾT VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ PP GIẢI BÀI TẬP TNKQ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI SKKN: Ứng dụng. .. SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 PHẦN B : CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Qua tìm hiểu, tổng hợp phân tích, tác giả nhận thấy toán thực tế liên quan đến việc dụng đạo. .. GIẢI SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế lớp 12 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, lí thuyết tốn học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tế sống Đến với chương