Ứng dụng tích phân trong các bài toán thực tế

Ứng dụng tích phân trong các bài toán thực tế được sưu tầm và chia sẻ nhằm cung cấp cho các em học sinh khối 12 kiến thức toàn tập về môn Toán phần Tích phân thông qua việc rèn luyện, thử sức với các đề thi thử các năm được tổng hợp từ nhiều trường THPT theo chuẩn cấu trúc đề thi của Bộ GD&DDT. Mời các em cùng tham khảo tài liệu.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THCS-THPT HOA SEN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ NĂM HỌC 2020-2021 MỤC LỤC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC QUÃNG ĐƯỜNG B BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ DIỆN TÍCH 23 C BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ THỂ TÍCH 51 BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A A BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC QUÃNG ĐƯỜNG Câu Cho hai bóng A, B di chuyển ngược chiều va chạm với Sau va chạm bóng nảy ngược lại đoạn dừng hẳn Biết sau va chạm, bóng A nảy ngược lại với vận tốc vA (t) = − 2t (m/s) bóng B nảy ngược lại với vận tốc vB (t) = 12 − 4t (m/s) Tính khoảng cách hai bóng sau dừng hẳn (Giả sử hai bóng chuyển động thẳng) A 36 mét B 32 mét C 34 mét D 30 mét Lời giải Thời gian bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến dừng hẳn vA (t) = ⇔ − 2t = ⇒ t = 4s Thời gian bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến dừng hẳn vB (t) = ⇔ 12 − 4t = ⇒ t = 3s (12 − 4t) dx = 18m Quãng đường bóng B chuyển SB = Vậy: Khoảng cách hai bóng sau dừng S = SA + SB = 34m Chọn phương án C Câu Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(1; 1) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển kẻ từ lúc xuất phát A s = km B s = km 46 40 C s= km D s= km 3 v 10 O t Lời giải Hàm số biểu diễn vận tốc vật v(t) = t2 − 2t + Do đó, hàm số biểu diễn quãng đường di chuyển vật s(t) = v(t) dx = t3 − t2 + 2t + C Do bắt đầu chuyển động quãng đường nên C = Vậy quãng đường vật di chuyển 40 kể từ lúc xuất phát s(4) = km Chọn phương án D Câu Một máy bay chuyển động đường băng với vận tốc v(t) = t2 + 10t(m/s) với t thời gian tính theo đơn vị giây kể từ máy bay bắt đầu chuyển động Biết máy bay đạt vận tốc 200(m/s) rời đường băng Quãng đường máy bay di chuyển đường băng 2500 4000 A (m) B 2000 (m) C 500 (m) D (m) 3 Toán thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 (8 − 2t) dx = 16m Quãng đường bóng A di chuyển SA = Lời giải Xét v(t) = 200 ⇔ t + 10t − 200 = ⇔ ñ t = 10 t = −20 Vậy thời gian máy bay đạt vận tộc 200 m/s thời điểm t = 10 s sau bắt đầu chuyển động Quãng đường máy bay di chuyển đường băng 10 S= 10 (t2 + 2t)dt = v(t)dt = 2500 BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn phương án A Câu Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tô chuyển động chậm dần sau giây tơ bắt đầu dừng hẳn Hỏi từ lúc đạp phanh đến ô tô dừng hẳn, ô tơ cịn di chuyển mét? A 20 B 50 C 40 D 30 Lời giải Từ người lái đạp phanh ô tô chuyển động chậm dần ta có v = 20 + at với a gia tốc tơ Sau giây ô tô dừng hẳn nên 20 + a · = ⇔ a = −5 ã Å Quảng đường xe S = (20 − 5t) dt = 20t − t = 40 0 Chọn phương án C Câu Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v(t) = 7t(m/s) Đi 5(s) người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −35(m/s2 ) Tính qng đường tơ tính từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A 87.5 mét B 96.5 mét C 102.5 mét D 105 mét Lời giải Quãng đường ô tô 5(s) đầu s1 = 7tdt = t2 v(t)dt = = 175 (m) Phương trình vận tốc ô tô phanh v(t) = 35 − 35t, qng đường tơ từ phanh đến dừng s2 = Å ã t2 (35 − 35t)dt = 35 t − = 35 (m) Vậy quãng đường cần tính s = s1 + s2 = 105(m) Chọn phương án D Câu Một ô-tô chạy người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ơ-tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = −10t + 20 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ơ-tơ cịn di chuyển mét? A 20 m B 25 m C 60 m D 15 m Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang Lời giải Khi ô-tô dừng hẳn v(t) = ⇔ t = 2 Vậy đoạn đường ô-tô di chuyển S = (20 − 10t) dt = (20t − 5t2 ) v(t) dt = = 20 0 Câu Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2; 9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song với trục hồnh Tính qng đường S mà vật di chuyển (kết làm trịn đến hàng phần trăm) A S = 15,50 (km) B S = 21,58 (km) C S = 23,25 (km) D S = 13,83 (km) v I O t Lời giải Gọi phương trình  v(t) = at + bt + c chuyển động vật đầu    v(0) =      a = −  c = ⇔ b = ⇒ v(t) = − t2 + 5t + Từ đồ thị ta có v(2) = ⇔ 4a + b =         c = − b =2 4a + 2b + c = 2a Å ã 73 Quãng đường đầu S1 = − t + 5t + dt = (km) 12 31 31 31 Quãng đường vật S2 = ×2= (km) 259 Vậy quãng đường vật di chuyển S = S1 + S2 = ≈ 21,58 (km) 12 Chọn phương án B Tại thời điểm t = 1, vận tốc vật v(1) = Câu Một chuyến máy bay chuyển động đường băng với vận tốc v(t) = t2 + 10t m/s với t thời gian tính giây kể từ máy bay bắt đầu chuyển động Biết máy bay đạt vận tốc 200 m/s rời đường băng Tính quãng đường máy bay di chuyển đường băng 2500 4000 A m B 2000 m C 500 m D m 3 Lời giải Khi v = 200, ta có đ t = 10 t2 + 10t = 200 ⇔ t = −20 (loại) Máy báy di chuyển đường băng từ thời điểm t = đến thời điểm t = 10, qng Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 m Chọn phương án A đường đường băng 10 Å s= t + 10t dt = t3 + 5t2 ã 10 = 2500 m BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn phương án A Câu Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 (t) = 7t (m/s) Đi 5s, người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −70 (m/s2 ) Tính qng đường S tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A S = 96,25 (m) B S = 87,5 (m) C S = 94 (m) D S = 95,7 (m) Lời giải Ta có v1 (t) = 7t ⇒ S1 (t) = t2 Quãng đường xe sau 5s S1 = × 52 = 87,5 (m) Vận tốc xe sau 5s v0 = 35 (m/s) Xe chuyển động chậm dần với gia tốc a = −70 (m/s2 ) nên v2 (t) = v0 +at = 35−70t (m/s) Suy qng đường xe chuyển động tính theo cơng thức S2 (t) = 35t − 35t2 (m) Xe dừng hẳn v2 = ⇔ 35 − 70t = ⇔ t = (s) 1 Quãng đường xe thêm dừng S2 = 35 × − 35 × = 8,75 (m) Vậy tổng quãng đường xe S1 + S2 = 96,25 (m) Chọn phương án A Câu 10 Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 (t) = 2t (m/s) Đi 12 giây, người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −12 (m/s2 ) Tính qng đường s (m) tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A s = 168 m B s = 166 m C s = 144 m D s = 152 m Lời giải Quãng đường ô tô từ lúc xe lăn bánh đến phanh 12 s1 = 12 v1 (t) dt = 2t dt = 144 (m) Vận tốc v2 (t) (m/s) ô tô từ lúc phanh đến dừng hẳn thỏa mãn v2 (t) (−12) dt = −12t + C, v2 (12) = v1 (12) = 24 ⇒ C = 168 ⇒ v2 (t) = −12t + 168 (m/s) Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với t thỏa mãn v2 (t) = ⇔ t = 14 (s) Quãng đường ô tô từ lúc xe phanh đến dừng hẳn 14 s2 = 14 v2 (t) dt = 12 (−12t + 168) dt = 24 (m) 12 Quãng đường cần tính s = s1 + s2 = 144 + 24 = 168 (m) Chọn phương án A Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang Câu 11 Một ô-tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 (t) = 7t (m/s) Đi (s), người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô-tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −70 (m/s2 ) Tính quãng đường S (m) ô-tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A S = 87,50 (m) B S = 94,00 (m) C S = 95,70 (m) D S = 96,25 (m) Lời giải 7t dt = t2 Trong giây xe quãng đường S2 = Kể từ phanh v2 = = 87,5 m (−70) dt = −70t + C (35 − 70t) dt = Quãng đường xe kể từ lúc đạp phanh S2 = 35 m Quãng đường ô-tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng S = S1 + S2 = 96,25 (m) Chọn phương án D Câu 12 Một học sinh điều khiển xe đạp điện chuyển động thẳng với vận tốc a m/s Khi phát có chướng ngại vật phía trước học sinh thực phanh xe Sau phanh, xe chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = a − 2t m/s Tìm giá trị lớn a để quãng đường xe đạp điện sau phanh không vượt m A a = B a = C a = D a = Lời giải a Khi v = ⇒ t = Quãng đường xe kể từ lúc phanh dừng lại a a (a − 2t) dt = at − t2 S= = a2 Để quãng đường sau phanh không vượt a2 ≤ ⇒ a ≤ Chọn phương án D m Câu 13 Một tơ với vận tốc lớn 72 km/h, phía trước đoạn đường cho phép chạy với tốc độ tối đa 72 km/h, người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 30 − 2t (m/s), t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72 km/h, ô tô di chuyển quãng đường mét? A 100 m B 150 m C 175 m D 125 m Lời giải Thời điểm t ô tô đạt tốc độ 72 km/h (tức 20 m/s) nghiệm 30 − 2t = 20 ⇔ t = (s) Quãng đường khoảng thời gian s S= = 30 · − 52 = 125 m (30 − 2t) dt = 30t − t v(t) dt = 0 Chọn phương án D Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 Lúc xe bắt đầu phanh t = v2 = 35 (m/s) suy 35 = −70 · + C ⇒ C = 35 Khi xe dừng hẳn v2 = ⇒ −70t + 35 = ⇒ t = BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 14 Một ô tô chạy với vận tốc 54 km/h tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc a(t) = 3t − (m/s2 ) t khoảng thời gian tính giây Quãng đường mà ô tô sau 10s kể từ lúc tăng tốc A 150 m B 250 m C 246 m D 540 m Lời giải Ta có 54 km/h = 15 m/s Vận tốc ô tô có phương trình v(t) = (3t − 8) dt = t2 − 8t + C Vì v(0) = 15 nên v(t) = t − 8t + 15 Quãng đường Å ã ô tô có phương trình s(t) = t − 8t + 15 dt = t3 − 4t2 + 15t + C 2 Vì s(0) = nên C = Vậy quãng đường ô tô sau 10 s 250 m Chọn phương án B Câu 15 Một ô tô chạy với vận tốc 10 m/s người lái xe đạp phanh, từ thời điểm tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = −5t + 10 (m/ s) t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn tơ cịn di chuyển mét? A 0.2 m B m C 10 m D 20 m Lời giải Khi dừng hẳn vận tốc lúc khơng nên thời gian tô chạy từ lúc đạp phanh đến lúc dừng = −5t + 10 hay t = Quảng đường ô tô từ lúc đạp phanh đến dừng S= Å ã 5t2 (−5t + 10) dt = − + 10t 2 = 10 m Chọn phương án C Câu 16 Một xe chuyển động với vận tốc thay đổi v(t) = 3at2 + bt Gọi S(t) quãng đường sau t giây Biết sau giây quãng đường 150 m, sau 10 giây quãng đường 1100 m Tính quãng đường xe sau 20 giây A 8400 m B 600 m C 4200 m D 2200 m Lời giải Quãng đường sau giây S1 = v(t) dt = Å ã bt2 (3at + bt) dt = at + = 125a + 25 b Quãng đường sau 10 giây 10 S2 = 10 Å ã bt2 (3at + bt) dt = at + v(t) dt = 10 = 1000a + 50b Theo đề bài, ta có  ® ® 125a + 25 b = 150 10a + b = 12 a=1 ⇔ ⇔  100a + 5b = 110 b = 1000a + 50b = 1100 Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang Suy v(t) = 3t2 + 2t, nên quãng đường xe sau 20 giây 20 S= 20 20 (3t2 + 2t) dt = (t3 + t2 ) v(t) dt = = 8000 + 400 = 8400 (m) 0 Chọn phương án A Câu 17 Một ô tô bắt đầu chuyển động với vận tốc v(t) = at2 + bt với t tính giây v tính mét/giây (m/s) Sau 10 giây tơ đạt vận tốc cao v = 50 m/s giữ nguyên vận tốc đó, có đồ thị vận tốc hình bên Tính qng đường s tơ 20 giây đầu 2500 2600 A s= m B s= m 3 2000 C s = 800 m D s= m v t 10 Lời giải Hàm số v(t) = at2 + bt đạt giá trị lớn 50 t = 10 nên ta có hệ phương trình   ® a = −  − b = 10 20a + b = 2a ⇔ ⇔   100a + 10b = 50 b = 10 100a + 10b = 50 Do v(t) = − t2 + 10t Quãng đường s ô tô 20 giây đầu tính cơng thức 10 Å 20 ã s = − t + 10t dt + 50 dt 10 Å ã 10 20 t = − + 5t + 50t 10 2500 = Vậy quãng đường ô tô 20 giây đầu s = 2500 m Chọn phương án A Câu 18 Một máy bay chuyển động đường băng với vận tốc v(t) = t2 + 10t (m/s) với t thời gian tính theo đơn vị giây kể từ máy bay bắt đầu chuyển động Biết máy bay đạt vận tốc 200 (m/s) rời đường băng Quãng đường máy bay di chuyển đường băng 4000 2500 A 500 (m) B 2000 (m) C (m) D (m) 3 Lời giải Toán thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 50 ® Ta có v(t) = 200 ⇔ t + 10t = 200 ⇔ t = 10 (thoả mãn) t = −10 (loại) Như máy bay chuyển động 10 giây cất cánh Quãng đường máy bay di chuyển tính theo cơng thức S(t) = Quãng đường máy bay di chuyển đường băng S = (t2 + 10t) dt = t3 + 5t2 103 2500 + × 102 = (m) 3 BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn phương án D Câu 19 Một người lái xe ô tô chạy với vận tốc 20 m/s người lái xe phát có hàng rào ngăn đường phía trước cách 45 m (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vậy, người lái xe đạp phanh Từ thời điểm xe chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = −5t + 20 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, xe ô tơ cịn cách hàng rào ngăn cách mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)? A m B m C m D m Lời giải Khi xe dừng hẳn v(t) = ⇔ −5t + 20 = ⇔ t = Quãng đường xe kể từ đạp phanh đến lúc dùng lại Å ã (−5t + 20) dt = − t + 20t S= = 40 Vậy từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, xe tơ cịn cách hàng rào ngăn 45 − 40 = m Chọn phương án A Câu 20 Một ô tô chạy với vận tốc 10 (m/s) người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = −2t + 10 (m/s), t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét? 44 25 45 A 25 m B C D m m m Lời giải Khi v = t = 5, qng đường tơ đến dừng (10 − 2t) dt = 25 (m) S= Chọn phương án A Câu 21 Một xe buýt bắt đầu từ nhà chờ xe buýt A với vận tốc v(t) = 10 + 3t2 (m/s) (khi bắt đầu chuyển động từ A t = 0) đến nhà chờ xe buýt B cách 175 m Hỏi thời gian xe từ A đến B giây? A B C D Lời giải Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 10 A 19m3 B 21m3 C 18m3 D 40m3 Lời giải Ta có Å ã 19 Gọi (P1 ) : y = ax + c Parabol qua hai điểm A ; , B (0; 2)  Å ã2   0 = a 19 + a = − 8 361 ⇒ (P1 ) : y = − Nên ta có hệ phương trình sau: ⇔ x +2   361 2 = b b=2 ã Å Gọi (P2 ) : y = ax + c Parabol qua hai điểm C (10; 0) , D 0;   0 = a (10) + a = −   40 ⇒ (P ) : y = − x2 + Nên ta có hệ phương trình sau: ⇔   40 5 = b b =   19 Å Å ã ã 10  − x2 + dx − x2 + Ta tích bê tơng là: V = 5.2  dx − = 40 361 0 40m3 Chọn phương án D Câu 22 Gọi (H) phần giao hai khối hình trụ có bán kính a, hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích (H) A V(H) = 2a3 B V(H) = 3a3 C V(H) = a3 D V(H) = πa3 Lời giải Toán thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 63 HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao (H) vật thể có đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính a, thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích S(x) = a2 − x2 a Thể tích khối (H) a a2 − x2 dx = S(x)dx = 0 2a3 BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn phương án A Câu 23 Một khối cầu có bán kính dm, người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc với đường kính cách tâm khoảng dm để làm lu đựng nước (hình vẽ bên) Thể tích nước tối đa mà lu chứa 43 100 A π dm3 B π dm3 3 C 41π dm3 D 132π dm3 Lời giải Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét đường trịn (C) có phương trình x2 + y = 25 Khi nửa phần trục hoành (C) quay quanh trục hoành tạo mặt cầu tâm O bán kính Mặt khác ta tạo hình phẳng H giới hạn nửa phần trục hoành (C), trục Ox đường thẳng x = −3, x = 3; sau quay H quanh trục Ox ta khối trịn xoay lu đề Ta có √ x2 + y = 25 ⇔ y = ± 25 − x2 suy nửa phần trục √ hoành (C) y = 25 − x2 Thể tích V lu tính cơng thức 3 ã Å Ä√ ä2 x3 2 V =π 25 − x dx = π 25 − x dx = π 25x − −3 −3 dm dm y −3 O x = 132π dm3 −3 Chọn phương án D Câu 24 Một thùng rượu có bán kính đáy 30 cm, thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có đường trịn bán kính 40 cm, chiều cao thùng rượu m (hình vẽ) Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu (đơn vị lít) bao nhiêu? A 425162 lít B 212581 lít C 212,6 lít D 425,2 lít Lời giải Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 64 Å ã 406 − x + dx = π (dm3 ) ≈ 425,2 (lít) 25 V =π −5 Chọn phương án D Câu 25 Có cốc thủy tinh hình trụ, bán kính lịng đáy cốc cm, chiều cao lòng cốc 10 cm đựng lượng nước Tính thể tích lượng nước cốc, biết nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc đáy mực nước trùng với đường kính đáy A 240 cm3 B 240π cm3 C 120 cm3 D 120π cm3 Lời giải Toán thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 65 HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 Gọi (α) mặt phẳng chứa trục thùng rượu Mặt y I phẳng (α) cắt mặt xung quanh thùng rượu theo B A đường parabol dm Trong mặt phẳng (α) chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, dm đơn vị độ dài trục dm dm x Phương trình parabol (P ) qua A, B, I có dạng y = O ax + c  ® ® a = − I(0; 4) c = 40 25 Có ⇒ ⇒  A(5; 3) = 25a + c c = Phương trình parabol (P ) y = − x2 + 25 Gọi D hình phẳng giới hạn đường y = − x2 + 4, y = 0, x = −5, x = 25 Thùng rượu xem khối tròn xoay sinh hình phẳng D quay xung quanh trục Ox Suy thể tích thùng rượu Đặt trục tọa độ Ox hình vẽ Mặt phẳng (P ) vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x cắt phần nước nghiêng cốc theo thiết diện tam giác M N K vuông N 10 MN ÷ = = , nên M N = Từ giả thiết suy tan M KN = NK N K Mặt khác: N K = ON − OK = 36 − x2 5 Nên SM N K = · M N · N K = N K = (36 − x2 ) 6 Thể tích lượng nước cốc là: ã Å 5 = 240 cm3 V = (36 − x ) dx = 30x − x 18 −6 −6 M −6 O K N x BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn phương án A Câu 26 Cho vật thể có mặt đáy hình trịn có bán kính (hình vẽ) Khi cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (−1 ≤ x ≤ 1) thiết diện tam giác Tính thể tích V vật thể z y A V = √ √ B V = 3 x √ C V = D V = π Lời giải Khi cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (−1 ≤ x ≤ 1) √ thiết diện tam giác có cạnh − x2 √ bằng2 √ (2 − x2 ) √ Do đó, diện tích thiết diện S(x) = = 3(1 − x2 ) Vậy, thể tích V vật thể V = √ ã √ Å x3 3(1 − x ) dx = x − −1 −1 √ = Chọn phương án C Câu 27 Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = 0, x = biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với Ox điểm có hồnh độ x (0 x 3) √ hình chữ nhật có kích thước x − x2 A 36(đvtt) B (đvtt) C 18 (đvtt) D 54 (đvtt) Lời giải Thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với Ox điểm có hồnh độ √ x, (0 x 3) hình chữ nhật có kích thước x − x2 Toán thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 66 √ Diện tích thiết diện xác định theo hàm S(x) = 2x − x2 ⇒ Thể tích vật thể trịn xoay: V = √ 2x − x2 dx = 18 (đvtt) Chọn phương án C 0 Chọn phương án D Câu 29 Thể tích V vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox √ x = 1, x = có thiết diện x (1 < x < 2) hình chữ nhật có cạnh 2x + cho công thức sau đây? A V =π (8x + 4) dx B V =π C V = √ 2x + dx (8x + 4) dx √ 2x + dx D V = 1 Lời giải Diện tích thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc trục Ox điểm x (1 < x < 2) √ S(x) = · 2x + Khi thể tích cần tìm V = √ 2x + dx Chọn phương án D Câu 30 Xét vật thể (T ) nằm hai mặt phẳng x = −1 x = Biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (−1 ≤ x ≤ 1) √ hình vng có cạnh − x2 Thể tích vật thể (T ) 16π 16 A B C π D 3 Lời giải Diện tích thiết diện S(x) = 4(1 − x2 ) Å ã 16 4x3 Suy thể tích vật thể (T ) V = 4(1 − x ) dx = 4x − = 3 −1 −1 Chọn phương án B Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho khối cầu (S) : (x−1)2 +(y−2)2 +(z+1)2 = 25, mặt phẳng (P ) có phương trình x + 2y − 2z + = cắt khối cầu (S) thành phần Tính thể tích phần không chứa tâm mặt cầu (S) 25π 25π 14π 16π B C D A 3 Lời giải Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 67 HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 Câu 28 Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x = x = π, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng √ vng góc với trục Ox điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) tam giác cạnh sin x √ √ A V = B V = 3π C V = 2π D V = Lời giải ä2 √ Ä √ sin x √ √ Diện tích tam giác cạnh sin x S(x) = = sin x π π √ √ Vậy thể tích V = S(x) dx = sin x dx = Tính thể tích chỏm cầu (giới hạn từ điểm K đến điểm A) Xét hệ trục tọa độ hình vẽ bên Đặt OK = h, OH = x, HE = r, OE = R Lúc diện tích phần thiết diện cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox H có diện tích S(x) Ta có r2 = R2 − x2 ⇒ S(x) = π(R2 − x2 ) Thể tích chỏm cầu: R V = y K H x O R h R (R − x ) dx S(x) dx = π h r E π (R − h)2 (2R + h) = BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A Quay lại tốn ban đầu Mặt cầu có tâm I(1; 2; −1) bán kính R = |1 + + + 5| Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P ) h = = 12 + 22 + (−2)2 14π Áp dụng cơng thức ta có V = Chọn phương án C Câu 32 Trong khơng gian tọa độ Oxyz, tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x = x = π, biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với √ trục Ox điểm có hồnh độ x (0 ≤ x ≤ π) tam giác cạnh sin x √ √ 3 A V = B V = 3π C V = π D V = π2 2 Lời giải π Thể tích V tính theo cơng thức V = √ √ π ä2 3Ä √ sin x dx = √ √ sin x dx = − cos x Câu 33 Sân vận động Sports Hub (Singapore) sân có mái vòm kỳ vĩ giới Đây nơi diễn lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á tổ chức Singapore năm 2015 Nền sân Elip (E) có trục lớn dài 150 m, trục bé dài 90 m (Hình 3) Nếu cắt sân vận động theo mặt phẳng vng góc với trục lớn (E) cắt Elip (E) M , N (Hình a) ta thiết diện ln phần hình trịn có tâm I (phần tơ đậm Hình b) với M N ’ dây cung góc M IN = 900 Để lắp máy điều hịa khơng khí cho sân vận động kỹ sư cần tính thể tích phần khơng gian bên mái che bên mặt sân, coi mặt sân mặt phẳng thể tích vật liệu làm mái khơng đáng kể Hỏi thể tích xấp xỉ bao Những nẻo đường phù sa = Chọn phương án A Toán thực tế tích phân π Trang 68 E M M C A N I nhiêu? N Hình b B 115586 m3 A 57793 m3 Lời giải C 32162 m3 D 101793 m3 x2 y2 Ta có 2a = 150 ⇒ a = 75, 2b = 90 ⇒ b = 45 Phương trình Elip có dạng + = 75 45 6√ 45 √ 2 75 − x = 75 − x2 Gọi M (x, y) ∈ (E) ⇒ N (x, −y) ∈ (E) ⇒ M N = 2|y| = · 75 Diện tích phần gạch sọc tính S(I,IM ) − S IM N 1 = πIM − IM = Å ã Å ãÅ ã π MN π √ IM = − − 4 2 Khi đó, thể tích phần khơng gian bên mái che bên mặt sân, tính 75 Å π − ãÅ −75 MN √ 75 ã2 Å dx = π − ã 18 (75 − x2 ) dx ≈ 115586 m3 25 −75 Chọn phương án B Câu 34 Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = 3, biết cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ √ 3x2 + 4.√ x (1 x √ 3) thiết diện tam giác có độ dài cạnh √ √ 17 17 17 17 A B V = π C π D 4 Lời giải Giả sử thiết diện tam giác ABC √ Diện tích thiết diện: S(x) = AB · AC · sin A = (3x2 + 4) √ √ 17 Thể tích khối vật thể V = (3x2 + 4) dx = Chọn phương án D Câu 35 Một vật thể không gian giới hạn hai mặt phẳng x = 1, x = Một mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1 ≤ x ≤ 3) cắt vật thể theo √ thiết diện hình tam giác có cạnh x Tính thể tích V vật thể √ √ √ A V = B V = 3π C V = D V = 4π Lời giải Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 69 HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 Hình a √ Tam giác có cạnh x nên √ √ √ (2 x)2 =x Diện tích tam giác S(x) = √ √ √ x = Vậy V = x dx = 1 Chọn phương án C Câu 36 Tính thể tích V vật thể trịn xoay giới hạn hai mặt phẳng x = x = 4, biết cắt mặt phẳng tùy ý vng góc với Ox điểm có hồnh độ x (1 x 4) thiết diện lục giác có độ dài cạnh 2x √ √ √ √ A V = 63 3π B V = 126 C V = 63 D V = 126 3π Lời giải Thiết diện điểm có hồnh độ x lục giác có cạnh 2x nên có diện tích BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN √ √ (2x)2 S(x) = = 3x2 4 Thể tích vật thể cần tìm V = S(x) dx = √ √ 3x2 dx = 3x3 √ = 126 1 Chọn phương án B Câu 37 (2D3Y3-4) Một vật thể nằm hai mặt phẳng x = −1, x = thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục hồnh điểm có hồnh độ x(−1 x 1) hình trịn có diện tích 3π Thể tích vật thể A 3π B 6π C D 2π Lời giải Có V = S(x) dx = −1 3π dx = 6π −1 Chọn phương án B Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể nằm hai mặt phẳng x = x = có thiết diện bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ √ x (0 ≤ x ≤ 2) nửa đường tròn đường kính 5x2 Tính thể tích V vật thể cho A V = 2π B V = 5π C V = 4π D V = 3π Lời giải √ Do thiết diện nửa đường tròn với đường kính 5x2 nên diện tích thiết diện Ç√ π S(x) = 5x2 2 å2 5πx4 = Từ suy thể tích vật thể V = S(x) dx = 5πx4 dx = 4π Chọn phương án C Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 70 Câu 39 Cho phần vật thể ( ) giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x = x = Cắt phần vật thể ( ) mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ √ x (0 x 2), ta thiết diện tam giác có độ dài cạnh x − x Tính thể tích V phần vật thể ( ) √ √ √ A V = B V = C V = D V = 3 Lời giải √ x2 (2 − x) Diện tích thiết diện: S∆ = √ √ √ Å ã √ x2 (2 − x) 3 3 = V = dx = x (2 − x) dx = x − x 4 4 0 Câu 40 Cho phần vật thể ( ) giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x = x = Cắt phần vật thể ( ) mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x √ (0 ≤ x ≤ 2), ta thiết diện tam giác có độ dài cạnh x − x Tính thể tích V phần vật thể ( ) √ √ √ A V = B V = C V = D V = 3 Lời giải √ x2 (2 − x) Diện tích thiết diện: S = √ √ Å √ ã2 √ 3 x2 (2 − x) V = dx = x (2 − x) dx = x − x = 4 4 0 Chọn phương án B hình trụ có bán kính R = a, biết hai trục hình trụ vng góc với (hình vẽ dưới) Tính thể tích V khối (H) Câu 41 Gọi (H) phần giao hai khối A V(H) = 2a3 B V(H) = 3a3 C V(H) = a3 D V(H) = Lời giải Dựng trục tọa độ Ox hình vẽ Qua điểm có tọa độ x, với ≤ x ≤ a, kẻ mặt phẳng song song với mặt đáy khối (H), ta thiết diện hình √ vng có cạnh a2 − x2 Diện tích thiết diện S(x) = a2 − x2 Thể tích V khối (H) a Å ã x3 (a − x ) dx = a x − V = a = πa3 x a x O 2a3 Chọn phương án A Toán thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 71 HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 Chọn phương án B Câu 42 Tính thể tích V vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = 4, biết cắt mặt phẳng tuỳ ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 < x < 4) √ thiết diện nửa hình trịn có bán kính R = x − x 32π 64 32 64π A V = B V = C V = D V = 3 3 Lời giải Diện tích thiết diện 1 S(x) = πR2 = πx2 (4 − x) 2 Vậy thể tích cần tìm 4 S(x)dx = V = πx2 (4 − x)dx = π 4x2 − x3 π dx = Å x4 x − ã = 32π BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn phương án D Câu 43 Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x = −1 x = 1, biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x thỏa √ mãn −1 ≤ x ≤ tam giác vuông cân với cạnh huyền − x4 A B C D 4 Lời giải √ √ − x4 Thiết diện tam giác vng cân có cạnh huyền − x4 nên có cạnh góc vng √ Ç√ å2 1 − x4 − x4 √ Diện tích thiết diện S(x) = = Khi đó, thể tích vật thể V = Å ã x5 − x4 dx = x− 4 −1 −1 = Chọn phương án B Câu 44 Để chuẩn bị cho hội trại Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng lều trại có dạng hình parabol hình vẽ Nền lều trại hình chữ nhật có kích thước bề ngang mét, chiều dài mét, đỉnh trại cách mét Tính thể tích phần khơng gian bên lều trại A 72 B 36 C 72π D 36π Lời giải Hình dạng khung trại parabol giả sử có phương trình y = ax2 +c, đỉnh trại cao m bề ngang trại rộng m nên parabol qua điểm A(0; 3) B(1.5; 0) suy y = − x2 +3 Cách 1: Thiết diện vng góc với trục trại hình phẳng giới hạn đường parabol hình vẽ giả sử có diện tích S(x) Khi S(x) = − − x2 + dx = S (x) Do trại dài m nên thể tích phần khơng gian trại V = 6 dx = 36 m3 S(x) dx = Toán thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 72 Cách 2: Thiết diện dọc theo trại vng góc với mặt đất hình chữ nhật có diện tích S(x) = |f (x)| với 3 − ≤ x ≤ Vậy thể tích khơng gian trại 2 3 S(x) dx = V = − − S (x) − x2 + dx = 36 m3 3 Câu 45 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể (T ) nằm hai mặt phẳng x = 0, x = Tính thể tích V (T ) biết cắt (T ) mặt phẳng vng góc trục Ox điểm có hồnh độ x, (0 ≤ x ≤ 1) ta thiết diện tam giác có √ cạnh + x √ √ 3 3 3 π A V = B V = C V = D V = π 8 Lời giải √ √ 2√ 1+x 3 Thiết diện tam giác có diện tích S(x) = = (x + 1), với ≤ x ≤ 4 1 √ √ Å √ ã1 3 x 3 Vậy V = S(x) dx = (x + 1) dx = +x = 4 0 Chọn phương án C Câu 46 Cho mơ hình − D mơ đường hầm hình vẽ bên O Biết đường hầm mô hình có chiều dài (cm); cắt mơ hình mặt phẳng vng góc với đáy nó, ta thiết diện hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol Chiều cao thiết diện parabol cho công thức y = − x (cm), với x (cm) khoảng cách tính từ lối vào lớn đường hầm mơ hình Tính thể tích (theo đơn vị cm3 ) không gian bên đường hầm mô hình (làm trịn kết đến hàng đơn vị) A 29 B 27 C 31 D 33 Lời giải Thiết diện parabol có chiều cao h = − x cm 5ã Å Vậy độ dài cạnh đáy a = 2h = − x cm Å ã 2 Khi đó, diện tích thiết diện S(x) = ah = 3− x 3 Xét hệ trục tọa độ hình vẽ Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 73 HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 Chọn phương án B y O x Ta có, thể tích khơng gian bên đường hầm mơ hình V = S(x) dx = Å ã 2 260 − x dx = ≈ 29 cm3 BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chọn phương án A Câu 47 Một ly thủy tinh chứa nước bên tạo thành quay phần đồ thị hàm số y = 2x xung quanh trục Oy Người ta thả vào ly viên bị hình cầu có bán kính R mực nước dâng lên phủ kín viên bi đồng thời chạm tới miệng ly Biết điểm tiếp xúc viên bi ly cách đáy ly cm (như hình vẽ) Thể tích nước có ly gần với giá trị giá trị sau? A 30 cm2 B 40 cm2 C 50 cm2 D 60 cm2 cm Lời giải Xét mặt phẳng (α) qua trục ly Gọi (C ) đường tròn lớn cầu Ta thấy đường tròn (C ) đồ thị (C) : y = 2x tiếp xúc A Chọn hệ trục Oxy hình vẽ, ta A(2; 4) Tiếp tuyếp với (C) A y B I (d) : y = (4 ln 2) · x − ln + A cm Đường thẳng vng góc với (d) A (∆) : y = − 1 ·x+ + 4 ln 2 ln x O Å ã + ln Tâm I đường tròn (C ) giao điểm (∆) Oy, ta I 0; ln ã Å 4π #» Ta có IA = 2; − , suy thể tích khối cầu Vkhối cầu = · IA3 ≈ 40,26 cm3 ln yB [log2 y]2 dy ≈ 69,92 cm3 Dung tích ly V = π Thể tích nước chứa ly Vnước = V − Vkhối cầu ≈ 29,66 cm3 Toán thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 74 Chọn phương án A Câu 48 Cho vật thể (T ) giới hạn hai mặt phẳng x = 0; x = Cắt vật thể (T ) mặt phẳng vng góc với trục Ox x (0 x 2) ta thu thiết diện hình vng có cạnh (x + 1)ex Thể tích vật thể (T ) (13e4 − 1)π 13e4 − A B C 2e2 D 2πe2 4 Lời giải b Thể tích vật thể (T ) áp dụng công thức V = S(x) dx = (x + 1)2 · e2x dx a  du = (2x + 2) dx u = x + 2x + Đặt ⇒ v = e2x dv = e2x dx 2 2 1 2x − (x + 1) · e2x dx = (x2 + 2x + 1) · e2x − (x + 1) · Khi V = (x + 2x + 1) · e 2 2 2 e2x + e2x 13e4 − Do V = Chọn phương án B Câu 49 Du khách ghé thăm Bình Định khơng thể bỏ qua địa danh Tháp Bánh Ít tiếng Tháp có hai cửa, cửa có hình dáng cung Parabol nằm trục (hướng Đông - Tây) Hai cửa cách mét, có chiều cao mét, lối rộng mét thơng hai cửa với Hãy tính thể tích phần khơng gian lối giới hạn hai cửa 128π 64 8π A V = B V = C V = D V = 15 3 Lời giải Xét cửa Tháp Bánh Ít, đặt hệ trục Oxy hình vẽ Dễ dàng tìm phương trình parabol y = −16x2 + 0,5 4m Diện tích parabol S = −16x + dx = O −0,5 1m 64 Thể tích phần khơng gian lối giới hạn hai cửa · = 3 Chọn phương án C Câu 50 Cắt vật thể (V ) hai mặt phẳng song song (P ), (Q) vng góc π π với trục Ox x = − x = Một mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm 2 π π x∈ − ; cắt (V ) theo thiết diện có diện tích S(x) = (1 + sin2 x) cos x Tính thể tích 2 phần vật thể (V ) giới hạn hai mặt phẳng (P ), (Q) 13π 8π A 3,14 B C D 16 Lời giải Thể tích phần vật thể (V ) giới hạn hai mặt phẳng (P ), (Q) π π V = (1 + sin2 x) cos x dx = S(x) dx = − π2 − π2 Chọn phương án B Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 75 HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 ® hình trụ có bán kính R = 4, biết hai trục hình trụ vng góc với (hình vẽ dưới) Tính thể tích V khối (H) Câu 51 Gọi (H) phần giao hai khối A V = 128 B V = 48 C V = 32 D V = 16π BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Lời giải Dựng trục tọa độ Ox hình vẽ Qua điểm có tọa độ x, với ≤ x ≤ 4, kẻ mặt phẳng song song với mặt đáy khối (H), ta thiết diện hình √ √ vng có cạnh a = R2 − x2 = 16 − x2 Diện tích thiết diện S = a2 = (16 − x2 ) Thể tích V khối (H) ã Å x3 (16 − x ) dx = 16x − V = = x x O 128 Chọn phương án A Câu 52 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể (H) giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x = a x = b (a < b) Gọi S(x) diện tích thiết diện (H) bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x, với a ≤ x ≤ b Giả sử hàm số y = S(x) liên tục đoạn [a; b] Khi đó, thể tích V vật thể (H) cho công thức b b [S(x)]2 dx A V = [S(x)]2 dx B V =π a a b C V =π b S(x) dx D V =π a S(x) dx a Lời giải b [S(x)]2 dx Thể tích vật thể (H) tính theo cơng thức V = π a Chọn phương án B Câu 53 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể nằm hai mặt phẳng x = x = có thiết diện bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ √ x (0 ≤ x ≤ 2) nửa đường trịn đường kính 5x2 Tính thể tích V vật thể cho A V = 2π B V = 5π C V = 4π D V = 3π Lời giải √ Do thiết diện nửa đường trịn với đường kính 5x2 nên diện tích thiết diện Ç√ π S(x) = Tốn thực tế tích phân 5x2 2 å2 = 5πx4 Những nẻo đường phù sa Trang 76 Từ suy thể tích vật thể V = S(x) dx = 5πx4 dx = 4π Câu 54 Cho vật thể (T ) giới hạn hai mặt phẳng x = 0, x = Cắt vật thể (T ) mặt phẳng vng góc với trục Ox (0 ≤ x ≤ 2) ta thu thiết diện hình vng có cạnh (x + 1)ex Thể tích vật thể (T ) (13e4 − 1) π 13e4 − A B C 2e2 D 2πe2 4 Lời giải 13e4 − Thể tích vật thể (T ) tính theo cơng thức V = (x + 1)2 e2x dx = Chọn phương án B Tốn thực tế tích phân Những nẻo đường phù sa Trang 77 HƯỚNG TỚI KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2021 Chọn phương án C ...MỤC LỤC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC QUÃNG ĐƯỜNG B BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ DIỆN TÍCH 23 C BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ THỂ TÍCH 51 BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A A BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC... Diện tích khu vườn 50 4√ S=4 2500 − x2 dx = 2000π x Diện tích phần trồng O A 50 √ S1 = 2500 − x2 dx − SOAB = 500π − · 40 · BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 50 = 500π − 1000 (m2 ) Diện tích. .. Diện tích khu vườn 50 4√ S=4 2500 − x2 dx = 2000π B y x BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Diện tích phần trồng 50 4√ 2500 − x2 dx − SOAB = 500π − · 40 · S1 = O A 50 = 500π − 1000 (m2 ) Diện tích