Ứng dụng tích phân để giải bài toán thực tiễn

Ứng dụng tích phân để giải bài toán thực tiễn trong Toán học có lời giải chi tiết được soạn thảo bằng bản word, có thể chỉnh sửa trực tiếp trên văn bản, thích hợp làm tài liệu cho các thầy cô soạn bài giảng, cho học sinh lấy làm tài liệu để học

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG PHẦN 8: CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN CHỦ ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Bài Tính thể tích thùng chứa rượu hình tròn xoay có đáy hình tròn chiều cao bình 16cm Đường cong c Hướng dẫn giải: Không tính tổng quát ta xem tâm đường tròn tâm O gốc tọa độ, ta có x + y = 81 phương trình , thể tích bình hình tròn xoay bị giới hạn đường y = 0; x = −8; x = x + y = 81 tròn và, V =π ∫ −8 ( ) 81 − x dx = π ∫ ( 81 − x ) dx = −8 2864 π Vậy thể tích Bài Một Chi đoàn niên dự trại đơn vị bạn, họ dự định dựng lều trại có dạng parabol (nhìn từ mặt trước, lều trạ BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Hướng dẫn giải: ABCD Giả sử trại hình chữ nhật có AB = mét, BC = mét, đỉnh parabol I Chọn hệ trục   3  A  − ;0 ÷, B  ;0 ÷, I ( 0;3 ) Oxy   2  O AB tọa độ cho: trung điểm cạnh , , phương trình y = ax + b ( a ≠ ) parabol có dạng : ( P) I , A, B , thuộc nên ta có: y = − x2 + 3 Vậy thể tích phần   V = 6.2 ∫  − x + ÷dx = 36(m3 )  0 không gian phía trại : Bài Để trang trí cho phòng tòa nhà, người ta vẽ lên tường sau: cạnh hình lục giác có Hướng dẫn giải: Giả sử ABCDEF hình lục giác có cạnh dm, ta tính diện tích cánh hoa: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O trung điểm cạnh AB A ( 1;0 ) , B ( −1;0 ) , I ( 0;3 ) , y = ax + b ( a ≠ ) trình parabol có dạng: đỉnh I parabol Phương , Do S1 = diện tích cánh hoa là: Vậy : Diện tích hình là: ∫ ( −3 x −1 ( P) I , A, B thuộc y = −3 x + nên ta có: Do đó: + 3) dx = ( dm )  22  A =  + 4÷ ÷ = + 24 ≈ 34,39 ( dm )   BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Bài Tính thể tích hình xuyến tạo thành quay hình tròn (C): x2 + (y–2)2  quanh trục Ox Hướng dẫn giải: ( C) Hình tròn ( Ta có I ( 0; ) có tâm , bán kính R =1 x2 + ( y − 2) =  y = + − x2 y − 1) = − x ( −1 ≤ x ≤ 1) ⇒   y = − − x Thể tích cần tính: (  V = π ∫  + − x2 −1  ) −( 2− − x2 )  dx = 4π 2 v = 0m / s Hướng dẫn giải: Ta có vận tốc chuyển động t (giây):  t4  v = ( t ) =  + t ÷ = 2t + 3t ⇒ v ( ) = 140m / s 2  Chọn đáp án A 966m BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Hướng dẫn giải: Quãng đường máy bay bay từ giây thứ đến giây thứ 10 : 10 S = ∫ ( 3t + ) dt = 966m Chọn đáp án D 1380m Hướng dẫn giải: v ( t0 ) = t0 Gọi thời điểm vật dừng lại Ta có t0 = 16 Suy 16 S = ∫ ( 160 − 10t ) dt = 1280( m) Vậy Chọn đáp án A 240m CHUYÊN HẠ LONG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Hướng dẫn giải: S ( t ) = ∫ ( 3t + ) dt = t + 2t + c t Quãng đường thời gian : Mà S ( ) = 10 ⇒ c = ⇒ S ( t ) = t + 2t t = 30s : S ( 30 ) = 1410 Tại thời điểm Chọn đáp án A Q1 w THPT LẠC HỒNG Hướng dẫn giải: i = i0 sin wt t Cường độ dòng điện thời điểm π Q1 = ∫ i0 sin wtdt = i0 ⇒ i0 = 2Q1w 2w T= 2π w với Chọn đáp án B Bài 10 ( 0; T ) BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Hướng dẫn giải: s = s( t) Gọi t quãng thời đường vật thời điểm thời gian từ thời điểm đến s = s( t) t=a đến thời điểm t =b Quãng đường vật khoảng L = s ( b) − s ( a ) Mặt khác, ta biết f nguyên hàm s '( t ) = f ( t ) s( t) = F ( t) +C C Thành thử, tồn số , cho Vậy L = s ( b ) + s ( a ) =  F ( b ) + C  −  F ( a ) + C  = F ( b ) − F ( a ) t Hướng dẫn giải: Lấy mốc thời gian lúc ô tô bắt đầu đạp phanh Gọi T v(T ) = thời điểm ô tô dừng Ta có suy 20 = 40T ⇔ T = 0,5 Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn ô tô 0,5 giây Trong 0,5 L= ∫ ( 20 − 40t ) dt = ( 20t − 20t ) 0,5 = 5(m) khoảng thời gian 0,5 giây đó, ô tô di chuyển quãng đường BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG 3π = t ( s ) (SGK 12 NC) Hướng dẫn giải: S= 3π ∫ ( − 2sin 2t ) dt = 3π −1 a ( t ) = 3t + t ( m / s Quãng đường 2 ) Hướng dẫn giải: v( t) Gọi v ' ( t ) = a ( t ) = 3t + t vận tốc vật Ta có v ( ) = 10 Vì nên suy C = 10 3t t v( t) = + +C Suy v( t) = 3t t + + 10 Vậy 10  3t t  4300 S = ∫ + + 10 ÷dt = (m) 3  0 9,8 ( m / s Thành thử quãng đường vật ) BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Hướng dẫn giải: v( t) a) Gọi v ' ( t ) = a ( t ) = −9,8 vận tốc viên đạn Ta có v ( t ) = ∫ −9,8dt = −9,8t + C Suy b) Gọi Vì T nên C = 25 v ( t ) = −9,8t + 25 Vậy thời điểm đạn đạt tới độ cao lớn Tại viên đạn có vận tốc T= v(T ) = Vậy v ( ) = 25 25 ≈ 2,55 9,8 Suy (giây) S ≈ 31,89 ( m ) Vậy quãng đường viên đạn rơi xuống v( t) = t ( 5−t) ( m / s) Hướng dẫn giải: Vật dừng lại thời điểm t =5 S = ∫ t ( − t ) dt = 125 ( m) Quãng đường vật BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG 6( m / s) Hướng dẫn giải: Thời điểm kể từ lúc A A B gặp 20 giây xuất phát A Đồ thị vậận tốc OMN Quãng đường đường gấp khúc A OMNQ diện tích hình thang ( 20 + 12 ) Diện tích vận tốc Vì B B , 96 ( m ) B, A lúc gặp = 96 đường thẳng xuất phát vị trí với Đồ thị HP A nên quãng đường B 96 ( m ) BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Mặt khác, quãng đường vận tốc B B diện tích hình tam giác thời điểm đuổi kịp thời điểm đuổi kịp A HQ = HPQ A 96 = Suy PQ = PQ với PQ PQ = 24 nên Vậy vận tốc B 24 ( m / s ) 4000 = + 0, 5t N '( t ) Hướng dẫn giải: N ( t) = ∫ 4000 dt = 8000 ln ( + 0,5t ) + 250000 + 0,5t Ta có: N ( 10 ) = 8000 ln + 250000 ≈ 264334 Kết : ≈ 264334 ( m / s) SGK BT 12 NC Hướng dẫn giải: v( t) = ∫ Ta có: dt = 3ln ( t + 1) + c t +1 mà 10 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Hướng dẫn giải: Vi khuẩn HP gây đau dày ngày thứ m F ( m) = ∫ 1000 dt = 500 ln 2t + 2t + với số lượng Suy vi khuẩn dày bệnh< nhân F ( 15ra) số = 500 ln 31 +trong 2000 = 3716,99 4000 sau 15 ngày bệnh nhân phát bị bệnh Chọn đáp án D 47m Hướng dẫn giải: 2t1 + 10 Đến lúc phanh vận tốc xe : vận tốc khởi điểm cho quãng đường đạp phanh ; sau t2 2t1 + 10 = 20 − 4t2 ⇔ t1 + 2t2 = thêm vận tốc nên t1 = 3s  t1 + t2 = t2 = 1s Lại có lập hệ 0 S = ∫ ( 2t + 10 ) dt + ∫ ( 20 − 4t ) dt = 57 m Tổng quãng đường là: Chọn đáp án A v ( t ) = −40t + 20 ( m / s ) Hướng dẫn giải: 28 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG ( t = 0) Lấy mốc thời gian lúc ô tô bắt đầu phanh Gọi T v(T ) = thời điểm ô tô dừng lại Khi vận tốc lúc dừng v ( T ) = ⇔ −40T + 20 = ⇔ T = Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng Gọi s(t) quãng đường ô tô khoảng thời gian v ( T ) = s '( t ) Ta có s( t) suy Vậy s 2 T v( T ) nguyên hàm ∫ ( −40t + 20 ) dt = 5m ô tô quãng đường là: Chọn đáp án D 8m / s Hướng dẫn giải: v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ ( 3t + t ) dt = t + t2 +C Ta có 2m / s ⇒ v ( ) = ⇒ C = Vận tốc ban đầu vật Vậy vận tốc vận sau 2s v ( ) = 12 là: Chọn đáp án B 29 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 28 16 3 32 16 Hướng dẫn giải: y = − x2 Dựa vào đồ thị, ta xây dựng công thức hàm số 32 S = ∫ ( − x ) dx = Bài 49 −2 Diện tích h 40m ,biết hai bên đầu cầu mối nhịp nối người ta xây chân trụ rộng 5m Bề dày nhịp cầu không đổi 20 Chọn đáp án B A B C D 30 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ với gốc O(0;0) chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol với chân đế) Gọi Parabol có phương trình: ⇒ y2 = ax + bx − 20 ax = ax + bx − 100 I , A ∈ ( P1 ) ⇒ ( P1 ) : y1 = − Ta có ( P1 ) : y1 = ax + bx + c = ax + bx ( O ∈ ( P1 ) ) phương trình parabol 2 2 x + x ⇒ y2 = − x + x− 625 25 625 25 S = S1 Khi diện tích nhịp cầu S1 với ( 0; 25 ) y1 ; y2 phần giới hạn khoảng 31 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG 15  0,2  2   S = 2 ∫  − x + x ÷dx + ∫ dx ÷ ≈ 0,9m   625 25  ÷ 0,2 0  V = S 0, ≈ 1,98m3 ⇒ Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích tích diện tích bề dày bê tông cần cho nhịp cầu ≈ 2m Vậy mười nhịp cầu hai bên cần số lượng ≈ 40m3 bê tông Chọn đáp án C 28m Hướng dẫn giải: Thời điểm vật dừng lại ta có vận tốc: Chúng ta nhận giá trị t=4 t = v ( t ) = ⇔ 3t ( − t ) = ⇔  t = Vậy vật chuyển động sau 4s dừng Quãng đường vật 4s S = ∫ 3t ( − t ) dt = 32 : Chọn đáp án C 966m 32 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN Hướng dẫn giải: 10 S = ∫ ( 3t + ) dt = 966 Quãng đường máy bay bay từ giây thứ đến giây thứ 10 : Chọn đáp án D 12m / s Hướng dẫn giải: v( t) = ∫ dt = 2ln ( t + 1) + c t +1 Ta có v ( ) = ⇔ ln ( + 1) + c = ⇔ c = Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là: v ( t ) = ln ( t + 1) + Nên v ( 10 ) = ln ( 11) + ≈ 9,8 Vận tốc vật sau 10s là: Chọn đáp án A 9m / s Hướng dẫn giải: S ( t ) = ∫ ( + 2t ) dt = t + t + c Ta có 33 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Vật xuất phát từ A tương ứng với thời gian t =0 S ( ) = ⇔ + 02 + c = ⇔ c = nên S ( t) = t + t2 Suy : Vật cách A 20cm ta có : t = t + t = 20 ⇔  t = −5 Nhận t=4 v ( 4) = Vậy sau 4s vật cách A 20m vận tốc thời điểm : Chọn đáp án D Hướng dẫn giải: 3π ∫ ( − 2sin 2t ) dt = 3π −1 Quãng đường cần tìm là: Chọn đáp án A Bài 55 Một ô tô chạy với vận tốc a (m / s) người đạp phanh , từ thời điểm , ô tô chuyển động chậm dần đ A a = 40B a = 80C a = 20D a = 25 THPT THUẬN THÀNH SỐ 34 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Hướng dẫn giải: v ( t ) = ⇔ −5t + a = ⇔ t = Thời điểm vật dừng lại vận tốc 0: a a a a2 a2 a2   ∫0 ( −5t + a ) dt =  − t + at ÷ = − 10 + = 10 = 40 Ô tô di chuyển 40 mét: Chọn đáp án C 3ln + Hướng dẫn giải: v( t) = ∫ dt = 3ln t + + C t +1 Ta có hàm vận tốc nguyên hàm gia tốc: v ( ) = ⇔ 3ln + + C = ⇔ C = Điều kiện vận tốc ban đầu 6(m/s): v ( t ) = 3ln t + + Vậy hàm vận tốc là: v ( 10 ) = 3ln11 + Vận tốc vật sau 10 giây : Chọn đáp án A 35 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Bài 57 Một viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25m / s , gia tốc trọng trường 9,8m / A 30.78mB 31.89mC 32.43mD 33.88m Hướng dẫn giải: v ( t ) = −9,8t + 25 Ta có hàm vận tốc thay đổi theo quy luật sau : S= 125 49 ∫ ( −9,8t + 25) dt = 31,89 Độ cao cực đại viên đạn : S = 62, 78 Quãng đường viên đạn từ lúc bắn chạm đất : Chọn đáp án B Bài 58 Một ca nô chạy hồ Tây với vận tốc 20m / s hết xăng; từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần với vận A 10mB 20mC 30mD 40m Hướng dẫn giải: v ( t ) = ⇔ −5t + 20 = ⇔ t = Khi ca nô dừng Khi quãng đường từ hết xăng 4  −5  s = ∫ ( −5t + 20 ) dt =  t + 20t ÷ = 40m  0 Ta có s = 6t − t 36 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Chọn đáp án D Hướng dẫn giải: v ( t ) = s ' ( t ) = 12t − 3t Ta có v ' ( t ) = 12 − 6t = ⇔ t = ( −; +∞ ) Lặp bảng biến thiên hàm số khoảng Từ ta có t = 2s đoàn tàu đạt vận tốc lớn Chọn đáp án C Bài 60 Một ô tô với vận tốc lớn 72km / h , phía trước đoạn đường cho phép chạy với tốc độ tối đa 72 A 100mB 125mC 150mD 175m Hướng dẫn giải: v = 72km / h = 20m / s, Theo đề : 30 − 2t = 20 ⇔ t = ⇒ S = ∫ ( 30 − 2t ) dt = 125 Ta có : Chọn đáp án B s = −2 + 20ln Hướng dẫn giải: Gọi S(tính m) quãng đường vật giây đầu 37 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG   4 t2 +  t2 S = ∫ 1,5 + dt = 1,5 t + − t + 20 ln t + ÷  ÷ = 20 ln − t+4   0 0 Chọn đáp án D CE = 0, 5m B Xấp xỉ 6, 5902m D Xấp xỉ 5, 5902m THPT NGUYỄN ĐĂNG ĐẠO A Xấp xỉ 5, 602m C Xấp xỉ 5, 4902m Hướng dẫn giải: Gọi độ dài cạnh EB x ta có AB CB  0,5  = ⇔ AB =  + ÷ x + 16 DB EB x   Xét hàm số  0,5  f ( x ) = 1 + ÷ x + 16 x   f '( x) = ta có x3 − x x + 16 y = f ( x) Dựa vào bảng biến thiên hàm số 5 x=2 ( 0; +∞ ) khoảng ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ 38 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Vậy chọn đáp án D Bài 63 Ông X muốn xây cổng hình Parapol có chiều dài chân đáy cổng 3m chiều cao cổng 2m hình A 3,5m2.B 4m2 C 5,5m2 D 6m2 Hướng dẫn giải: y = ax + bx + c ( a ≠ ) Giả sử parabol có phương trình Đi qua 3  A ( 0; ) , B  ;0 ÷ 2  nên ta có hệ phương trình :   c = c =   ⇔ b = ⇒ y = − x + b = 9   a+2=0 a = − 4  S = 2∫ − x + dx = 4m2 Chọn đáp án B Bài 64 Cổng trường ĐHBK Hà nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m , chiều cao 12, 5m Diện tích cổng là: A 100m2 B 200m2 39 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG C 100 m D 200 m Hướng dẫn giải: y = ax + bx + c ( a ≠ ) Giả sử parabol có phương trình Đi qua  25  C  0; ÷, D ( 4;0 )   nên ta có hệ phương trình: 25   c = c =   25 25 ⇔ b = ⇒ y = − x2 + b = 32   25 25 16a + a = − =0 32   S = 2∫ − 25 25 200 x + dx = m 32 Chọn đáp án D 60cm Hướng dẫn giải: h ( t ) = ∫ 2t + 1dt = ( 2t + 1) 2t + + C Ta có 40 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG ( t = 0) Lúc đầu bể nước ( h ( 0) = 0) ⇒ C = − ⇒ h ( 13) = 30 Chọn đáp án C 7,12 Hướng dẫn giải: h( t) = ∫ Giả thiết suy ra: 13 12 t + 8dt = ( t + ) − 20 h ( ) ≈ 2, 66 Nên Chọn đáp án A 50 + π 14 Hướng dẫn giải: 41 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG πt  14   50 + 14.sin ÷dt = 50 − ∫ 20 − 8  12  π 20 Nhiệt độ TB tính theo công thức sau: Chọn đáp án B 42 ... lấy tích phân vận tốc Do đó, ta xét toán ứng dụng v lần cho ta kết gì? 18 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Chọn đáp án A 6.875 ( m ) Hướng dẫn giải. .. m ) , ta 19 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN Chọn đáp án D 127, ( m ) Hướng dẫn giải : Muốn tìm quãng đường, ta lấy tích phân hàm vận tốc, ta được: s... thức tích phân phần để tính Chọn đáp án C 25 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG 55 48 Hướng dẫn giải: f '( x) = Ta có x − x nên áp dụng công thức cho 2