Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình lớp 11 trung học phổ thông ( Ban cơ bản): Luận văn ThS. Giáo dục học: 60 14 10

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ HẰNG NGA RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TỐN TÌM GIỚI HẠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BAN CƠ BẢN) Chuyên ngành Mã số : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) : 601410 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : PGS TS NGUYỄN NHỤY HÀ NỘI-2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Lịch sử nghiên cứu 2.1 Trên giới 2.1.1 Lịch sử phát triển phát sinh mơn Giải tích 2.1.2 Tính liên tục rời rạc, chuyển động đứng yên lịch sử phát triển mơn Giải tích 2.2 Ở Việt Nam Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu khách thể nghiên cứu Mẫu khảo sát Vấn đề nghiên cứu 7 Giả thuyết khoa học Phƣơng pháp nghiên cứu 8.1 Nghiên cứu lí luận 8.2 Nghiên cứu thực nghiệm sƣ phạm Cấu trúc luận văn CHƢƠNG 1.CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học phƣơng pháp dạy học tích cực 1.1.1 Định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học trƣờng phổ thông 1.1.2 Một số phƣơng pháp dạy học tích cực 1.2 Kĩ 10 1.2.1 Khái niệm kĩ 10 1.2.1.1 Khái niệm 10 1.2.1.2 Đặc điểm kĩ 11 1.2.2 Kĩ giải Toán 13 1.3 Thực tiễn dạy học giải tốn tìm giới hạn chƣơng trình Đại số Giải tích lớp 11 Trung học phổ thơng (Ban bản) Những khó khăn giáo viên học sinh dạy học phần giới hạn 15 1.3.1 Mục tiêu, nội dung chƣơng giới hạn lớp 11 THPT 15 1.3.2 Những khó khăn học sinh đặc thù môn học 16 1.3.3 Những kĩ thuộc nội dung chƣơng giới hạn lớp 11 Trung học phổ thông (Ban bản) 17 CHƢƠNG MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TỐN TÌM GIỚI HẠN TRONG CHƢƠNG TRÌNH LỚP 11 THPT (BAN CƠ BẢN) 18 2.1 Biện pháp Phân tích định nghĩa khái niệm 18 2.2 Biện pháp Phân tích nguyên nhân sai lầm thƣờng gặp học sinh giải tốn tìm giới hạn 21 2.2.1 Sai lầm tìm giới hạn d¹ng 22 2.2.4 Sai lầm tìm giới hạn d¹ng  26 2.2.5 Sai lầm tìm giới hạn tổng vô hạn đại lƣợng vô bé 27 2.3 Biện pháp Hệ thống hóa dạng tốn tìm giới hạn 28 2.3.1 Giới hạn dãy số 28 2.3.1.1 Dạng 1: Tìm giới hạn dãy số hữu hạn 28 2.3.1.2 Dạng 2: Tìm giới hạn vơ cực dãy số 33 2.3.2 Giới hạn hàm số 42 2.3.2.1 Dạng1: Giới hạn dạng xác định 42 2.3.3.3 Dạng 3: Ứng dụng hàm số liên tục 72 2.5 Biện pháp Rèn luyện kỹ tính tốn 81 CHƢƠNG TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ 85 3.1 Mục đích, tổ chức thử nghiệm 85 3.1.1.Mục đích thử nghiệm 85 3.1.2 Tổ chức thử nghiệm 85 3.3 Kết thử nghiệm kết luận rút từ thử nghiệm 96 3.3.1 Về khả lĩnh hội kiến thức học sinh 96 3.3.2 Về kết kiểm tra 96 3.4 Đánh giá thử nghiệm 102 3.4.1 Giáo viên dạy thử nghiệm 102 3.4.2 Kết kiểm tra 103 KẾT LUẬN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong môn học nhà trường phổ thơng, mơn Tốn có vị trí quan trọng Tốn học cơng cụ nhiều mơn học khác Mơn Tốn có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh óc tư trừu tượng, tư xác, tư logic Qua có tác dụng lớn việc rèn luyện cho học sinh tính tư sáng tạo Trong năm gần đây, đổi giáo dục đề tài xã hội quan tâm theo dõi chuyển biến nó, Đảng Nhà nước đề nhiều chủ trương, sách nhằm phát triển giáo dục với mục tiêu đào tạo người Việt Nam phát triển tồn diện, có tri thức, phẩm chất tốt, có trình độ thẩm mĩ lịng u nghề nghiệp, đáp ứng yêu cầu nghiệp xây dựng bảo vệ Tổ quốc thời kỳ Điều 28 khoản Luật giáo dục nêu rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ” Nghị Hội nghị lần thứ tư Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khóa VII rõ nhiệm vụ quan trọng ngành Giáo dục Đào tạo “Phải khuyến khích học sinh tự học, phải áp dụng phương pháp dạy học bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo , lực giải vấn đề.” Với mục tiêu đổi phương pháp dạy học giáo dục diễn sâu rộng tất bậc học cấp học Từ đặt nhiệm vụ cho người giáo viên phải rèn kĩ giải toán cho học sinh Nếu học sinh khơng có kĩ giải tốn thân họ khơng có lực thực hành Trong dạy học trường THPT, mơn Tốn coi mơn học giúp phát triển trí tuệ tư logic cho học sinh Hoạt động giải toán hội tốt để học sinh bộc lộ phát triển khả sáng tạo qua trình đem tri thức Toán học trang bị vào giải toán giải vấn đề thực tiễn liên quan tới Toán học Việc học tập mơn Tốn diễn nhà trường phổ thơng chủ yếu hoạt động giải tốn Trong trình q tìm tịi lời giải cho tốn trình bày lời giải đó, học sinh thường mắc số sai lầm lúng túng sai lầm từ đâu giáo viên chưa nhấn mạnh đến việc khắc phục sai lầm rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh Trên thực tế số lượng tập chương nhiều, học sinh giải mà phải học dạng tập lớn nhờ trợ giúp kĩ giải đặc biệt tốn tìm giới hạn lớp 11 chương trình Trung học phổ thông Qua thực tế giảng dạy nhận thấy học sinh thường mắc số sai lầm phổ biến tìm giới hạn dãy số, hàm số khơng có kĩ giải tốn Từ kinh nghiệm qua giảng dạy, phát hiện, xếp cách hệ thống biện pháp rèn luyện kĩ giải tốn tìm giới hạn chương trình Đại số Giải tích lớp 11 THPT Chính lý nên tơi chọn tên đề tài là: “Rèn luyện kĩ giải tốn tìm giới hạn chương trình lớp 11 THPT ( Ban ) ” Lịch sử nghiên cứu 2.1 Trên giới 2.1.1 Lịch sử phát triển phát sinh mơn Giải tích Giải tích ngành Tốn học, bao gồm hai tư tưởng lớn phép tính vi phân phép tính tích phân với khái niệm sở khái niệm hàm số, giới hạn, dãy số, chuỗi số liên tục Phép tính vi phân lí thuyết tốc độ thay đổi bao gồm phép lấy vi phân; liên hệ đến hàm số, vận tốc, gia tốc, hệ số góc đường cong điểm cho trước Phép tính tích phân bao gồm phép lấy tích phân; liên hệ đến tốn tính diện tích thể tích hình giới hạn đồ thị hàm số Trong kỉ XIV, nhiều nhà khoa học xem xét toán: Nếu vật thể di chuyển với vận tốc thay đổi, khoảng thời gian cho trước? Một người dẫn đầu tìm câu hỏi Nicole Oesme (1323-1382) biểu diễn hình học- ví dụ sớm “đồ thị hàm số” lịch sử toán học Trước kỉ XVII, liên hệ tốn diện tích toán tiếp tuyến chưa khám phá Sang kỉ thứ XVII, phép tính vi tích phân sáng tạo nhằm giải nhiều vấn đề khoa học như: Thứ vấn đề nghiên cứu chuyển động Cho vật thể chuyển động theo công thức hàm số theo thời gian, tìm vận tốc gia tốc thời điểm bất kì; ngược lại cho biết gia tốc, vận tốc vật thể chuyển động hàm số theo thời gian, tìm vận tốc quãng đường Vấn đề xuất phát từ việc nghiên cứu chuyển động Trong chuyển động, vận tốc gia tốc thay đổi từ thời điểm đến thời điểm khác Nếu lấy vận tốc quãng đường chia cho thời gian vận tốc trung bình chưa phải vận tốc xác thời điểmn thời điểm thời gian chuyển động vận tốc không, mà vô nghĩa Đối với tốn ngược lại, gặp khó khăn biết vận tốc hàm số thời gian ta khơng thể tìm qng đường vật thể chuyển động vận tốc thay đổi từ thời điểm đến thời điểm khác Thứ hai vấn đề tiếp tuyến đường cong Hướng chuyển động vật thể chuyển động điểm quỹ đạo hướng tiếp tuyến quỹ đạo Thứ ba vấn đề tìm giá trị cực đại, cực tiểu hàm số Nghiên cứu chuyển động hành tinh hệ mặt trời liên quan đến toán cực trị; ví dụ, tìm khoảng cách ngắn dài hành tinh Mặt Trời khoảng thời gian định Thứ tư tìm số đo đối tượng hình học chẳng hạn chiều dài đường cong, diện tích hình giới hạn đường cong; thể tích khối giới hạn mặt, Việc phát minh phép tính vi phân tích phân thu hút nhiều nhà Toán học sau quan tâm có đóng góp to lớn cho phát triển Đến cuối kỉ thứ XVIII, khái niệm vô bé định nghĩa (có tính trực giác) trước Leibniz không đáp ứng yêu cầu phát triển ngành này, Cauchy Weierstrass phát triển khái niệm phép tính vi phân tích phân sở lập luận chặt chẽ nhờ mơn Giải tích trở thành lĩnh vực Tốn học có sở vững ngày 2.1.2 Tính liên tục rời rạc, chuyển động đứng n lịch sử phát triển mơn Giải tích Theo Democritus (thế kỉ V trước công nguyên), khái niệm nguyên tử- mà mà phân chia thêm đường thẳng taọ thành vơ hạn nguyên tử Luận điểm không đứng vững trước lập luận Zéno (490-430) Theo Zéno, không thêm vào khơng khơng; tổng vơ hạn đại lượng không không: điều vơ lí Vậy đường thẳng có độ dài khơng: điều vơ lí Zéno kết luận rằng, đoạn thẳng (hay đường thẳng) phân chia thành vô hạn phần tử hay nguyên tử Aristotle đưa tư tưởng vơ hạn tiềm nói đến q trình khơng kết thúc, vơ hạn thực tại, có tính tĩnh tồn vẹn, đối tượng Aristotle cho rằng: vơ hạn thực khơng tồn khơng nhận thức số tự nhiên tồn thể Chỉ có vơ hạn tiềm năng, với tập hợp hữu hạn cho trước ln có tập hợp hữu hạn lớn Theo ơng có q trình vơ hạn khơng có đối tượng vô hạn Cantor chống lại quan điểm: Các vô hạn thực không hữu Aristotle Cantor cho rằng, ta nghĩ số tự nhiên tập hợp xem thể vơ hạn thực Ơng khám phá tập hợp số thực có số lượng lớn tập số tự nhiên Ngày nay, khái niệm giới hạn hay liên tục định nghĩa theo ngôn ngữ “  ,  ” có tính chất tĩnh; người ta thấy yếu tố chuyển động- dấu vết lịch sử- liên quan đến thuật ngữ dùng cho khái niệm như: hàm số f(x) dần tới L x dần tới a hay hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới a Các khái niệm “dần tới” ngày định nghĩa cách xác Nhưng lịch sử, đề cập đến “dần tới” có tính chất chuyển động người ta gặp phải nghịch lí tiếng Zéno Theo Zéno khơng có chuyển động xảy có phân chia đại lượng liên tục thành vô hạn đại lượng rời rạc Khái niệm vơ hạn gây nhiều khó khăn cho nhận thức người từ Zéno đến kỉ XVII Các khái niệm vô hạn quan tâm trở lại J.Kepler (1571-1630) ông dùng phương pháp vơ bé Cơng trình mở đường cho I.Newton (1642-1727) G.W.Leibniz (1646-1716) phát triển mơn phép tính vi phân tích phân sau B.Bolzano (1781-1848) vào năm 1817 ơng đưa định nghĩa xác tính liên tục: Hàm số f (x) liên tục khoảng x khoảng hiệu f(x+  ) – f(x) làm bé tùy ý miễn  dương đủ nhỏ A.L.Cauchy (1789-1857) có cơng lớn việc làm xác hóa khái niệm giới hạn liên tục, đưa định nghĩa khái niệm giới hạn mà sử dụng đến ngày Cho x biến số thực, x gọi có giới hạn c với số dương cho trước, giá trị tuyệt đối x - c làm nhỏ số dương cho trước Nhà toán học Đức K.Weierstrass (18151897) đưa khái niệm hàm số liên tục: Hàm số y = f(x) liên tục điểm x = a với số dương  cho trước, tồn số dương  cho với x thỏa mãn x  a   f ( x)  L   Một cách tương tự khái niệm giới hạn hàm số ông định nghĩa: Hàm số y = f(x) có giới hạn L điểm x = a với số dương  cho trước, tồn số dương  cho với x thỏa mãn 0< x  a   f ( x)  L   Như vậy, B.Bolzano, A.L.Cauchy,K.Weierstrass loại bỏ tính chất “chuyển động” định nghĩa khái niệm sở môn phép tính tích phân vi phân Các khái niệm liên tục, thuật ngữ “dần tới”, khái niệm “giới hạn” ơng mơ tả cách xác Chúng định nghĩa đối tượng có tính tĩnh tại, nhờ mà ta có sở để giải nghịch lí Zéno lí giải vướng mắc khác liên quan đến khái niệm giới hạn, điều dựa vào trực giác (quan điểm động) khơng lí giải Chẳng hạn n dãy ( ) có giới hạn n dần tới  , giới hạn có đạt hay không > với n ? n 2.2 Ở Việt Nam Quá trình dạy học tiến hành kết hợp hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Trong cách tiếp cận dạy học truyền thống người ta thường ý đến chất lượng hoạt động dạy (chất lượng giảng, khả lôi học sinh, phong thái, cách trình bày bảng, ) xong lại xem nhẹ hoạt động học, chưa ý đến sai lầm mà học sinh thường mắc hay rèn luyện kĩ học tập mơn Đã có số cơng trình nghiên cứu gần gũi với đề tài chẳng hạn : “Giáo trình Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn, NXB Sư phạm, Hà Nội, 2010” Bùi Văn Nghị ; “Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán” Trần Phương, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm 2006; Luận văn thạc sĩ Vũ Thị Ninh “ Kĩ giải toán sáng tạo toán giảng dạy mơn tốn trường Trung học phổ thơng ”, Trường Đại học Giáo dục năm 2008 ;… Đề tài khác với đề tài chỗ: Tập trung nghiên cứu kĩ giải toán giới hạn chương trình Đại số Giải tích lớp 11 THPT (Ban bản) Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu: Đề tài nhằm đề xuất số biện pháp khả thi hiệu trình rèn luyện kĩ giải tốn chương trình Đại số Giải tích lớp 11 THPT (Ban bản) Từ đó, đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu : + Hệ thống hóa sở lí luận kĩ giải vấn đề giới hạn f ( xn ) = xn ( xn  1) xn  2n  n 1 ( xn  )  xn  n n Chứng minh rằng: f ( xn ) = xn = xn 2n  n  K \  x0  xn  x0, ta có f( xn )  L Câu hỏi Chứng minh với dãy số ( xn ) Gợi ý trả lời câu hỏi 3: lim f ( xn ) n  xn ≠1 xn  1, ta ln có: f( xn )  2 lim(2  ) n  n - GV: nêu định nghĩa tóm tắt Hoạt động học sinh Hoạt động giáo Ghi bảng viên - Thực ví dụ Ví dụ 1: phút Cho hàm số f(x)  + Câu hỏi 1: Hãy - Hàm số cho xác định tìm miền xác định Chứng hàm số - Ta có: + Câu hỏi 2: chứng * Nhận xét  lim( xn  2)  4 x n2  xn  minh lim f ( x)  4 R \ 2 Lim f( xn ) = lim minh x2  x2 x 2 xlim x  x0 ; lim c  c , với c x xx lim f ( x)  4 x 2 - GV đưa số câu hỏi củng cố: + Nêu ví dụ khác hàm số + Hàm số không xác định a có giới hạn a Đúng hay sai? 92 số Cho ví vụ - GV đưa nhận xét (ghi bảng) - Tìm giới hạn hàm - Học sinh lên bảng trình số sau định bày lời giải nghĩa: lim x 1 2x 1 x  x 1 + Hàm số xác định với - GV nêu định lý Định lý giới hạn hữu (chiếu lên hình) hạn x > + lim f ( x)  lim x 3 x 3 = lim( x  1) x 3 lim x x 3 = phút *Ví dụ 2: lim x  lim1 GV nêu câu hỏi Cho hàm số lim 2.lim x + Hãy tìm miền xác x 3 x 3 x 3 x 3 lim x.lim x  lim1 x 3 x 3 x 3 lim lim x x 3 =  - Thực ví vụ * Định lý 1: SGK (125) x2  x x 3 x2 1 x f(x) = định hàm số f ( x) Tìm lim x 3 f ( x) + Tìm lim x 3 3.3   3 + Vì ( x-1) → x dần - GV thực ví * Ví dụ 3: đến 1, nên ta chưa thể áp dụ phút dụng định lý GV nêu câu hỏi? + Gợi ý trả lời: + Đã áp dụng x2  x  Tính lim x 1 x 1 định lý Ta có: = x2  x  x 1 ( x  1)( x  2)  x  đó: x 1 x  x2 lim  lim( x  2)  x 1 x 1 x 1 chưa? + lim x 1 Tính x2  x  x 1 * Chú ý: i) f(x) xác định x0 f ( x)  f ( x0 ) xlim x - GV nêu số 2i) Nếu ta cần tìm câu hỏi củng cố P( x) lim mà P(x0) = Q(x0) x  x Q( x) hoạt động 2: 93 * Giới hạn hàm số = ta phải khử dạng 0 ví dụ có dạng Học sinh trả lới 0 theo ( Tức tử thức hướng sau: mẫu thức dần - Đặt nhân tử chung ( x-x0) tới x→ x0) rút gọn Do để áp dụng - Nhân chia lượng liên định lý 1, ta hợp thích hợp phải biến đổi tử mẫu thức làm xuất nhân tử chung ( x – 1) để giản ước * Từ hai hoạt động vừa học ta có hai loại giới hạn nào? Loại 1: lim f ( x) x  x0 với f(x) hàm số xác định x0 Khi xlim f ( x)  f ( x0 ) x Loại 2: Giới hạn + Không lim( x   3)  0 * GV đưa thêm ví dụ để củng cố thêm x 6 * Ví dụ 4: Bài tập 3c lim( x  6)  nên giới hạn có dạng x 6 dạng ovà ta phải tìm (trang 132) Câu hỏi: + Có thể sử dụng Cách khử dạng này? Tìm lim x 6 x 3 3 x6 định lý để tìm = lim ( x   3)( x   x 6 ( x  6)( x   3) + Tử thức giới hạn không? 94 hàm đa thức nên khơng đặt + Có thể phân tích x 39 tử thức thành nhân = lim x 6 ( x  6)( x   + Nhân chia lượng liên tử không? nhân tử chung ( x-6) hợp x 3 3 + Vậy muốn làm = lim x 6 xuất ( x – 6) x   tử thức ta biến = x3 3 1  63 3 đổi nào? + GV gọi học sinh lên bảng trình Học sinh làm tập theo bày * GV phát phiếu hướng dẫn GV tập, hướng dẫn gọi học sinh lên bảng chữa Củng cố: - Nhắc lại định nghĩa giới hạn hàm số định lí - Nhắc lại hai loại giới hạn hàm số vừa học cách ý lựa chọn phương pháp giải - Em cho ví dụ tìm giới hạn hàm số giới hạn dùng trực tiếp định lý 1, cịn giới hạn chưa có tính chất * Nội dung phiếu tập Bài 1: Dùng định nghĩa, tìm giới hạn lim x 0 x 1 x2 Bài 2: Tìm giới hạn sau: x2 4 x2 x3  e) lim x 1 x  x  x  3x  5) a) lim( x 1 d) xlim 2 x  5)( x  2) b) lim( x 0 c) xlim 1 x  3x  x 1 95 f) lim x 1 2 x3 x2 1 * GV giao tập nhà 3.3 Kết thử nghiệm kết luận rút từ thử nghiệm 3.3.1 Về khả lĩnh hội kiến thức học sinh Các nhận xét giáo viên tổng hợp lại thành ý kiến chủ yếu sau đây: Mức độ khó khăn thể qua ví dụ phù hợp với trình độ nhận thức học sinh lớp 11 Nhìn chung học sinh có khả tiếp nhận nắm khái niệm giới hạn hữu hạn hiểu định lý giới hạn hữu hạn hàm số; bước đầu em vận dụng định lý để giải tốn đơn giản giới hạn hữu hạn, em cịn tự lấy ví dụ minh hoạ cho phương pháp dùng định lý Các tình gợi vấn đề, biên pháp sư phạm xây dựng luận văn góp phần tạo hứng thú cho học sinh, lơi học sinh vào q trình tìm hiểu, giải toán Học sinh từ chỗ khó khăn để tiếp nhận khái niệm “vơ hạn” ,“liên tục” em hiểu làm tốt toán giới hạn, em phát triển khả tư duy, độc lập sáng tạo qua toán rèn kỹ 3.3.2 Về kết kiểm tra Trong đợt thử nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra 45‟ Sau nội dung kiểm tra a Đề kiểm tra ĐỀ KIỂM TRA SỐ (Thời gian 45 phút) PhầnI: Trắc nghiệm khách quan( điểm) Câu1: điền dúng, sai vào ô trống sau a) Dãy số ( un) = n2 + có giới hạn hữu hạn 96  b) Dãy số ( Un) = 2n + có giới hạn vơ cực   có giới hạn hữu hạn n  c) Dãy số ( Un) = d) Dãy số ( Un) = n 1 có giới hạn hữu hạn 2n   Câu 2: Hãy điền đúng, sai vào ô trống sau a) Dãy số ( Un) = ( ) n  cấp số nhân lùi vô hạn b) Dãy số ( Un) = ( )n - có giới hạn -1   c) Dãy số ( Un) = ( )n + n có giới hạn vơ cực d) Dãy số ( Un) = ( )n – khơng có giới hạn hữu hạn  Câu 3: chọn câu trả lời câu sau: ( x  1)( x  2)2 ( x  3)3 bằng: x  (1  x)6 lim a)   b)   c) d) – Câu 4: Hãy chọn câu trả lời đúng: lim x 1 x 1 bằng: x 1 a)   b) -  c) -1 d) Phần Tự luận (6 điểm) Câu 1: Tính giới hạn hàm số sau đây: a) lim x 1  3x ( x   x  1) b) xlim  x2  Câu 2: Xác định a để hàm số sau liên tục x = a x  x  3x - x  f (x) =  Câu 3: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: x5 + x4 – 3x2 + = 97 ĐỀ KIỂM TRA SỐ (Thời gian 45 phút) Phần 1: Trắc nghiệm khách quan (4 điểm) Câu 1: điền đúng, sai vào ô trống sau đây: a) Hàm số y = x + xliên tục với x b) Hàm số y = x +  liên tục với x x  c) hàm số y = x + x + 1 liên tục với x d) hàm số y = x +  liên tục với x x Câu 2: điền đúng, sai vào ô trống sau đây:  a) hàm số liên tục a có giới hạn a  b) hàm số có giới hạn a liên tục a  c) hàm số có giới hạn trái a liên tục a  d) Hàm số liên tục trái liên tục phải a liên tục a  Câu 3: Hãy chọn câu trả lời câu sau: lim x 1 x3  bằng: x2 1 a) b) c) d) Câu 4: Hãy chọn câu trả lời câu sau: lim x  2x2  x   x bằng: x 1 a)  b) c)  Phần 2: Tự luận (6 điểm) Câu 1: Tìm giới hạn hàm số sau đây: 98 d)   x7 2 x  3x  a) lim x 1 x( x   x) b) lim x  Câu 2: Tìm A để hàm số sau liên tục x0:  x 2 x   f (x)   x   A x   x0 = Câu 3: Chứng minh phương trình m(x – 1) (x + 2) + 7x + = ln có nghiệm với m  R Đáp án biểu điểm ĐỀ KIỂM TRA SỐ Phần1: Trắc nghiệm khách quan ( câu điểm ) Câu 1: A B C D S Đ Đ Đ A B C D S Đ Đ S Câu 2: Câu 3: c Câu 4: d Phần 2: Tự luận Câu 1: (3 điểm) a) lim x 1  lim x 1  3x x2 1  lim 3 ( x  1) ( x  1) x 1 3( ( x  1))2 3( x  1)  lim ( x  1)( x  1) x1 ( x  1)( x  1)  ( 1,5 điểm ) 99 b) lim ( x   x   lim x  x  x 1 x 1  lim  x  x   x 1 x   x11 Câu 2: (2 điểm) - Hàm số f(x) xác định x = f(2) = 2a + - lim f ( x)  lim(ax  5)  2a  x  2 x  2 - lim f ( x)  lim(3x  1)  x  2 x  2 Để hàm số liên tục x = 2, ta cần có: 2a + =  a = Vậy a = giá trị cần tìm Câu 3: ( điểm ) - Đặt f(x) = x5 + 7x4 – 3x2 + x + Có f(x) hàm số liên tục R nên f(x) liên tục (a; 0) với a < f(0) = > lim f ( x)  lim ( x5  x  3x  x  2)  lim x5 (1     )   x  x  x  x x x x Nên tồn số a < 0, |a| đủ lớn để f(a) < Vậy f(0) f(a) < từ suy phương trình f(x) = có nghiệm x  (a; 0) hay phương trình f(x) = ln có nghiệm ĐỀ KIỂM TRA SỐ Phần 1: Trắc nghiệm khách quan (mỗi câu điểm) Câu 1: A B C D Đ S Đ S A B C D Đ Đ S Đ Câu 2: Câu 3: b Câu 4: d Phần 2: Tự luận (6 điểm) 100 Câu 1: ( điểm: ý 1,5 điểm ) x7 2 ( x   8)  lim x  3x  x1 ( x  1)( x  2)( ( x  7)  ( x   a) lim x 1 = lim x 1 ( x  2)( ( x  7)  x   b) xlim x( x   x)  lim  x  lim x  x x 1  x  lim x   12 x( x   x ) x2   x   1 1 x Câu 2: ( điểm ) - f(x) xác định x0 = f(4) = A - lim f ( x)  lim x 4 x 4 lim x 4 x 2 ( x  4)( x    lim x   x4 ( x   9)( x  x5 3 3    x 2 2 f ( x)  f (4)  A  - Để hàm số liên tục x0 = lim x 4 Câu 3: ( điểm ) - Đặt f(x) = m(x – 1) (x + 2) + 7x + hàm số liên tục R nên f(x) liên tục khoảng (-2; 1) Ta có: f(1) = > f(-2) = -13 < nên f(-2) f(1) < m Vậy phương trình f(x) = ln có nghiệm với m  R b) Kết kiểm tra Điểm 10 Số 11 D4 (LớpTN) 10 3 42 11 A8 (LớpĐC) 12 10 2 42 Lớp 101 c) Kết luận sơ Lớp 11: Có 92,8% học sinh đạt điểm trung bình, có 57,1% học sinh đạt điểm khá, giỏi Lớp 11 ( lớp ĐC ) có 78,5% học sinh đạt điểm trung bình có 26,1% học sinh đạt điểm khá, giỏi Nhìn chung em học sinh lớp 11 nắm vững vận dụng tương đối tốt kỹ giải tốn Một số em có lời giải hay sáng tạo Tiểu kết chƣơng Thử nghiệm sư phạm tiến hành có đối chứng lớp TN (11D4) lớp ĐC (11A8) - Trường THPT Nhân Chính khoảng thời gian từ tháng 11 đến tháng năm học 2010 – 2011 Nội dung thử nghiệm gồm 12 tiết dựa số nội dung đươợ trình bày chương Kết thử nghiệm phần minh hoạ được, kiểm nghiệm tính khả thi hiệu biện pháp đề xuất Qua kết thử nghiệm ta thấy: Nếu vận dụng tốt biện pháp rèn luyện kỹ nêu luận văn thì: - Có khả tạo môi trường học tập cho học sinh học cách tự khám phá, tự phát giải vấn đề mơn Giải tích - Có khả góp phần phát triển tư toán học cho học sinh 3.4 Đánh giá thử nghiệm 3.4.1 Giỏo viờn dy th nghim đà sử dụng phối hợp ph-ơng pháp cách hiệu quả, linh hoạt, hợp lý, đảm bảo đ-ợc đầy đủ vai trò ng-ời tổ chức, điều khiển đ-ợc hoạt động nhận thức học sinh Việc sử dụng ph-ơng pháp dạy học khắc phục sai lầm học sinh sáng tạo trình giải toán có tác dụng phát huy khả tự lực tìm hiểu kiến thức mới, nói chung hiểu đ-ợc chất giới hạn nói riêng 102 Về phía học sinh: Trong trình luyện tập, d-ới điều khiển, tổ chức giáo viên, em đà khắc phục đ-ợc sai lầm tìm giới hạn, tự tin đà phân biệt đ-ợc dạng toán chất cua toán từ tự toán theo dạng đà có sáng tạo giải toán tìm giới hạn 3.4.2 Kt qu kim tra I) Đề kiểm tra 45 phút II) Những ý định đề kiểm tra III) Những đánh giá qua kiểm tra học sinh lớp thử nghiệm IV) Kết cụ thể Điểm 10 11D4 thö nghiÖm 0 0 12 10 11A8 ®èi chøng 0 10 13 Líp NhËn xÐt: * Tỷ lệ số TB d-ới TB Số TB Số % Số d-ới TB Số % 11D4 thư nghiƯm 42 87,5% 12,5% 11A8 ®èi chứng 31 64,5% 17 35,5% khá, Số % *Tỷ lệ số khá, giỏi Số giỏi (7 trở lên) 11D4 thư nghiƯm 23 47,9% 11A8 ®èi chøng 10 20,8% 103 Nhìn chung, học sinh lớp thử nghiệm nắm vững kiến thức khắc sâu sai lầm trình làm bài, chủ động đề tập theo yêu cầu dạng, sáng t¹o häc tËp 104 KẾT LUẬN Q trình nghiên cứu đề tài dẫn đến kết đóng góp sau: Làm sáng tỏ khái niệm kĩ kỹ giải toán, đặc điểm kĩ năng, hình thành kỹ năng, yêu cầu biện pháp rèn luyện kĩ giải toán, đặc biệt kĩ giải tốn tìm giới hạn sách giáo khoa lớp 11 THPT (Ban bản) Đề xuất định hướng sư phạm biện pháp sư phạm phù hợp với định hướng đổi phương pháp dạy học để hình thành phát triển số kĩ đồng thời đưa ý cần thiết để hướng dẫn thực biện pháp Biện pháp 1: Phân tích định nghĩa khái niệm Biện pháp 2: Phân tích nguyên nhân sai lầm thường gặp học sinh giải tốn tìm giới hạn Biện pháp 3: Hệ thống hoá dạng toán Biện pháp 4: Sử dụng đồ thị hàm số công cụ để dạy học Biện pháp 5: Rèn luyện kĩ tính toán Làm rõ tiềm phát triển kĩ giải số loại toán Cung cấp kĩ cần thiết để giải số loại tốn tìm giới hạn nói riêng, cho mơn tốn nói chung Những kết thu qua thử nghiệm sư phạm với biện pháp sư phạm thực tiễn dạy học thân tác giả minh hoạ tính khả thi hiệu biện pháp đề xuất Qua tiết dạy thực nghiệm, học sinh hoạt động, tư sáng tạo nhóm cá nhân phát huy Các kết luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho GV học sinh trình dạy học phần giới hạn, lớp 11 Tồn kết cho thấy nhiệm vụ nghiên cứu luận văn hoàn thành, giả thiết khoa học đặt luận văn khẳng định Tuy nhiên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ giáo dục đào tạo, 2007, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình, SGK lớp 11 mơn Tốn, NXBGD Nguyễn Hữu Châu, 2005, Những vấn đề chương trình trình dạy học, NXBGD Trần Văn Hạo, 2006, SGK Đại số Giải tích lớp 11, NXBGD Trần Văn Hạo, 2006, SGV Đại số Giải tích lớp 11, NXBGD Thành Hưng, 2005, Tương tác hoạt động Thày-Trò lớp học, NXBGD Bùi Thị Hường, 2010, Giáo trình Phương pháp dạy học mơn Tốn Trung học phổ thơng theo định hướng tích cực, NXBGD 5.Nguyễn Bá Kim, 2005, Phương pháp dạy học đại cương mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, 1992 Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Hà Nội Bùi Văn Nghị, 2008, Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội Trần Phương, 2006, Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Đào Tam, 2008, Tiếp cận phương pháp dạy học khơng truyền thống dạy học Tốn trường Đại học Trường phổ thông, NXB Đại học Sư phạm 10 Vũ Tuấn, 2006, Sách tập Đại số Giải tích lớp 11, NXBGD 11 Từ điển tiếng Việt 12 Petrovski A.V tâm lí lứa tuổi tâm lí sư phạm, tập 2, NXBGD Hà Nội, 1982 106