Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐỖ ĐÌNH NGÂN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐỖ ĐÌNH NGÂN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số: 60 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhụy HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Lời tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Giáo dục- Đại học Quốc Gia Hà Nội thầy giáo, cô giáo công tác giảng dạy trường nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu đề tài Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Nguyễn Nhụy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình làm việc để Luận văn hoàn chỉnh hoàn thành thời hạn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu thầy giáo tổ Tốn- Tin em học sinh trường THPT Khoái Châu – Khoái Châu – Hưng Yên nhiệt tình ủng hộ, giúp đỡ tác giả trình thực nghiệm sư phạm để đề tài thực đáp ứng yêu cầu đặt Sự quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi gia đình, bạn bè đồng nghiệp trình học tập, thực nghiên cứu đề tài nguồn động viên, cổ vũ tiếp thêm sức mạnh cho tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn Mặc dù có nhiều cố gắng chắn Luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Hưng Yên, ngày 08 tháng 11 năm 2014 Tác giả Đỗ Đình Ngân i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ Viết tắt Chữ viết đầy đủ ĐKXĐ Điều kiện xác định GQVĐ Giải quyết vấn đề GV Giáo viên HS Học sinh L Loại SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông VN Vô nghiệm ii MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn i Danh mục các chữ viết tắt ii Mục lục . iii Danh mục các hình v MỞ ĐẦU . 1 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN . 6 1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán 6 1.1.1. Khái niệm kỹ năng 6 1.1.2. Kỹ năng giải toán . 7 1.1.3. Vai trị của kỹ năng giải tốn 8 1.1.4. Phân loại kỹ năng trong mơn Tốn . 9 1.2. Thực trạng việc dạy học Tốn, dạy và học Phương trình lượng giác ở một số trường Trung học phổ thơng 11 1.2.1. Thực trạng dạy học Tốn ở một số trường Trung học phổ thơng trên địa bàn huyện Khối Châu - Hưng n 11 1.2.2. Thực trạng việc học Phương trình lượng giác ở một số trường Trung học phổ thơng trên địa bàn huyện Khối Châu - Hưng n 13 1.2.3. Thực trạng việc dạy Phương trình lượng giác ở một số trường Trung học phổ thơng trên địa bàn huyện Khối Châu - Hưng n 14 1.2.4. Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải Phương trình lượng giác . 15 1.3. Một số kỹ năng cơ bản trong giải tốn “Phương trình lượng giác” 23 1.3.1. Kĩ năng phân tích định nghĩa khái niệm 23 1.3.2. Kĩ năng phân tích những sai lầm thường mắc phải trong q trình giải các bài tốn về Phương trình lượng giác 24 1.3.3. Kĩ năng hệ thống hóa các dạng tốn về Phương trình lượng giác 25 1.3.4. Kĩ năng tính tốn 25 iii CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” CHO HỌC SINH 26 2.1. Nội dung Phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Trung học phổ thơng . 26 2.1.1. Nội dung Phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Trung học phổ thơng . 26 2.1.2. Những chú ý khi dạy nội dung Phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Trung học phổ thơng 27 2.2. Xây dựng hệ thống các bài tập trong chủ đề “Phương trình lượng giác” nhằm rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh 28 2.2.1. Phương trình lượng giác cơ bản 28 2.2.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 35 2.2.3. Phương trình lượng giác có thể đại số hóa 40 2.2.4. Phương trình lượng giác có thể biến đổi về tích 55 2.2.5. Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn 67 2.2.6. Phương trình lượng giác khơng mẫu mực 80 CHƯƠNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 86 3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 86 3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm 86 3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 86 3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm . 86 3.3. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm . 87 3.3.1. Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm sư phạm 87 3.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm 87 3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm 103 3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm 103 3.5.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 103 3.5.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm 107 3.6. Tổng kết 110 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO 112 iv DANH MỤC CÁC BIỂU TT Tên biểu Trang Biểu đồ 3.1. So sánh kết quả bài kiểm tra số 1 tại trường THPT Khoái Châu- Hưng Yên 107 Biểu đồ 3.2. So sánh kết quả bài kiểm tra số 2 108 v MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh q trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển tồn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội. Đây là một trong những mục tiêu cơ bản và quan trọng mà Đảng và Nhà nước ta đang hướng tới. Nghị quyết "Về đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế" đã được Hội nghị T.Ư 8 (Khóa XI) thơng qua. Nghị quyết nêu rõ quan điểm chỉ đạo, mục tiêu và các nhiệm vụ, giải pháp thực hiện đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo nước nhà. Nhằm thực hiện mục tiêu phát triển căn bản và tồn diện giáo dục, trong những năm gần đây ngành giáo dục đã và đang tích cực tiến hành đổi mới nhằm nâng cao chất lượng dạy và học. Một khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học. Thực tế cho thấy thói quen "cầm tay chỉ việc" đã trở thành "mẫu số chung" của giáo viên ở nhiều trường học. Việc đổi mới nhằm khắc phục lối truyền thụ kiến thức một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học, giáo viên tập trung dạy cách học, cách nghĩ và tự học theo phương châm “giảng ít, học nhiều”, bồi dưỡng ý thức học tập suốt đời. Đổi mới từ cách học chủ yếu là lắng nghe và ghi chép sang suy nghĩ và phản hồi tích cực với bạn, với thầy. Trước đây, lối truyền thụ kiến thức một chiều đã hạn chế năng lực tư duy của học sinh. Tuy nhiên, kiến thức phải tự làm ra thì mới vững bền, chắc chắn, cho nên phương pháp dạy học để tự học sinh phát hiện, tìm tịi, sáng tạo thì kiến thức mới chắc chắn, linh hoạt, nhớ lâu được. Trong dạy học, cần lấy học sinh làm trung tâm, với vai trị là người tự khám phá kiến thức cho mình; thầy giáo là người hướng dẫn, chỉ đạo việc học chứ khơng truyền thụ kiến thức. Khoa học, cơng nghệ phát triển liên tục, ngành nghề, kỹ thuật ln đổi mới địi hỏi mỗi người phải có năng lực tự học, cho nên ngay bậc học phổ thơng đã phải rèn luyện năng lực tự học cho học sinh. Vì vậy, điều quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học là phải rèn luyện phương pháp tự học của học sinh; học sinh tự học trong mối tương tác giữa học sinh với nhau, tương tác với tài liệu và sách giáo khoa, dưới sự chỉ dẫn của thầy để chiếm lĩnh được tri thức. Trong chương trình tốn Trung học phổ thơng nội dung về “Lượng giác” được dạy từ lớp 10 đến lớp 11 và đây là một nội dung thường xuất hiện trong các đề thi đại học, cao đẳng trong nhiều năm nay. Các bài tập về phương trình lượng giác có nhiều cơng thức lượng giác khó nhớ, các dạng bài tập phong phú với nhiều cách giải khác nhau, do đó cần rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải dạng tốn này. Việc học tập mơn Tốn được diễn ra trong nhà trường phổ thơng chủ yếu là hoạt động giải tốn. Trong q trình đi tìm và trình bày lời giải cho bài tốn, học sinh thường mắc một số sai lầm và lúng túng khơng biết sai lầm từ đâu v ì c c e m t h i ế u kỹ năng giải tốn. Trên thực tế số lượng các bài tập và các dạng bài tập về phương trình lượng giác cũng rất nhiều, học sinh khơng thể giải từng bài một mà cần phải phân lớp các dạng bài. Qua thực tế giảng dạy tơi nhận thấy học sinh thường gặp khó khăn mỗi khi giải các bài tập về lượng giác, do khơng có kỹ năng giải tốn. Từ những kinh nghiệm qua nhiều năm giảng dạy, tơi đã tổng kết, sắp xếp một cách hệ thống các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải các bài tốn về phương trình lượng giác chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 Trung học phổ thơng. Chính vì những lý do trên nên tơi chọn tên đề tài là: “Rèn luyện kỹ giải tốn Phương trình l ượng giác cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông” 2 Lịch sử nghiên cứu Ở nước ta, có nhiều nhà tốn học nghiên cứu về Lượng giác như Phan Huy Khải, Trần Phương, Lê Hồng Đức, … Tuy nhiên, những nghiên cứu đó mới mang tính định hướng trong nghiên cứu về phương pháp dạy và học Tốn. Ngồi ra, các thầy giáo như Nguyễn Cảnh Tồn, Nguyễn Bá Kim cũng đã nhiều lần nói về việc rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh trong dạy học mơn Tốn. Tuy những nghiên cứu đó về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh mới chỉ là lý luận nhưng đã có những gợi mở quan trọng cho tơi trong q trình thực hiện đề tài. Bên cạnh đó cũng có một số luận văn, khóa luận nghiên cứu về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh nhưng chủ yếu là thơng qua các nội dung Tốn học như đạo hàm, tích phân, phép biến hình, phương pháp vectơ,… nhưng chưa có luận văn nào nghiên cứu về việc rèn luyện kỹ năng giải Phương trình Lượng giác cho học sinh. Mục đích nghiên cứu Mục đích của Luận văn là nghiên cứu xây dựng, phát triển hệ thống bài tập chủ đề “Phương trình lượng giác” nhằm rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh Trung học Phổ thơng qua chủ đề này Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải tốn. - Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải tốn của học sinh trong khi học chủ đề “Phương trình lượng giác”. - Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh và phân tích lý luận khi dạy học chủ đề “Phương trình lượng giác”. - Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài để áp dụng vào giảng dạy. Khách thể, đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu 5.1 Khách thể nghiên cứu Hoạt động dạy và học mơn Tốn ở một số trường Trung học phổ thơng. II CHUẨN BỊ Chuẩn bị GV - Chuẩn bị giáo án và các câu hỏi gợi mở. - Chuẩn bị phấn màu và một số đồ dùng khác. Chuẩn bị HS Cần ơn lại một số kiến thức đã học về lượng giác ở lớp 10 về cơng thức lượng giác. III.TIẾN TRÌNH Ổn định lớp Kiểm tra cũ Bài GV nêu dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. Phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = 0, trong đó a, b, c là những số đã cho, với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 hoặc c ≠ 0 được gọi là phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. Để giải phương trình dạng này, ta chia hai vế cho cos2x (với điều kiện cosx ≠ 0) để đưa về phương trình đối với tanx, hoặc chia hai vế cho sin2x (với điều kiện sinx ≠ 0 ) để đưa về phương trình đối với cotx. Hoạt động 1: Rèn luyện kĩ năng giải phương trình thuần nhất. Hoạt động GV Hoạt động HS Giải phương trình 2sin2x - 3sinx.cosx +cos2x = 0 Câu hỏi Gợi ý trả lời câu hỏi cosx = 0 có phải là nghiệm của Khơng phải là nghiệm vì cosx = 0 phương trình hay khơng? sin x = 1. Thay vào hai vế thấy không bằng nhau 98 Hoạt động GV Hoạt động HS Câu hỏi 2 Gợi ý trả lời câu hỏi Hãy giải phương trình đã cho 2sin2x - 3sinx.cosx +cos2x = 0 2tan x – 3tanx +1 = 0 tan x 1 tan x x k (k ) x arctan k Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x k , x arctan k (k ) Hoạt động 2. Luyện kĩ năng giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx theo nhiều cách khác nhau. Hoạt động GV Câu hỏi Hoạt động HS Gợi ý trả lời câu hỏi sinx = 0 có phải là nghiệm của Khơng phải là nghiệm vì sinx = phương trình hay khơng? cos2x = 1. Thay vào hai vế thấy không bằng nhau. Câu hỏi Gợi ý trả lời câu hỏi Hãy giải phương trình đã cho 2sin2x - 3sinx.cosx +cos2x = 0 cot x – 3cotx + 2 = 0 cot x cot x 99 Hoạt động GV Hoạt động HS x k x arc cot k Câu hỏi Em nào có ý tưởng khác cho lời giải bài này? Gợi ý trả lời câu hỏi Do 2cos2x = 1 + cos2x, 2sin2x = 1 – cos2x 2sinxcosx = sin2x nên 2sin2x - 3sinx.cosx +cos2x = 0 3sin x cos x 0 2 3sin2x + cos2x = 3 cos x 3 sin x cos x 10 10 10 sin2xcosα + sinαcos2x = cos sin(2x + α) = sin( ) x k 2 x k 2 x k (k ) x k GV nêu các nhận xét: 1) Phương trình asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 khi a = 0 hoặc c = 0 có thể được giải gọn hơn bằng cách đưa về phương trình tích. - Nếu a = 0 thì ta có bsinxcosx + ccos2x = 0 cosx(bsinx + ccosx) = 0 - Nếu c = 0 thì ta có asin2x + bsinx.cosx = 0 sinx (asinx + bcosx) = 0 Cách 2: Do 2cos2x = 1 + cos2x, 2sin2x = 1 – cos2x và 2sinxcosx = sin2x nên ta có asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = 0 100 a (1 cos x) b sin x c(1 cos x) 0 2 bsin2x + (c-a)cos2x = - (a + c) 2) Phương trình asin2x + bsinx.cosx + ccos2x + d = 0 (a, b, c, d R, a2 + b2 + c2 ≠ 0) Ta có thể quy về giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx bằng cách viết d dưới dạng d = d (sin2x + cos2x) Khi đó ta được phương trình mới: (a + d)sin2x + bsinx.cosx + (c + d)cos2x = 0 3) Mở rộng: Phương trình dạng Asin3x + Bcos3x + Csin2xcosx + Dcos2xsinx + Esinx + Fcosx = 0 (*) Cách giải: Phương trình (*) tương đương với Asin3x + Bcos3x + Csin2xcosx + Dcos2xsinx + (Esinx + Fcosx)(sin2x + cos2x) = 0 3 (A + E)sin x + (B + F)cos x + (C + F) sin xcosx + + (D + E) cos2xsinx = 0 Nếu cosx = 0 thì (*) có dạng sinx(Asin2x + E) = 0 Asin2x + E = 0 Nếu cosx , chia cả hai vế cho cos3x ≠ 0 ta được (A + E)tan3x + (C + F) tan2x + (D + E)tanx + B + F = 0 Hoạt động 3: Luyện kĩ năng giải phương trình quy về thuần nhất đối với sinx và cosx. Hoạt động GV Hoạt động HS Giải các phương trình sau: Gợi ý lời giải 1) 1)Cách 1: 6sin x sin x cos x cos x 2 2)sin3x + 2cos3x + sinxcos2x =2cosx 101 Hoạt động GV Hoạt động HS (GV gọi 3 HS lên bảng làm bài: 6sin x sin x cos x cos x 2 2 HS làm câu 1 theo 2 cách khác 6sin x sin x cos x cos x 2 nhau (mỗi HS một cách), 1 HS 2(sin x+cos x) 4sin x sin x cos x 3cos x làm câu 2) Nếu cosx = 0 thì sin2x = 1 thay vào phương trình khơng thỏa mãn. 3)2cosxsin(2x+ ) = sinx + cosx (GV u cầu HS suy nghĩ dưới cosx ≠ 0 chia cả hai vế cho cos2x ta được lớp sau đó lên bảng trình bày) phương trình tan x tan x tan x 1 x k (k ) tan x x arctan k 3 2) sin x 2cos x sin x cos x 2cos x sin x 2cos3 x sin x cos x 2cos x sin x cos x sin x sin x cos x – 2cos x sin x 0 Vì cosx = 0 khơng là thỏa mãn phương trình nên chia cả hai vế cho cos3x ≠ 0, ta có tan x tan x tan x tanx( tan x tan x 1)=0 x k tan x (k ) x k tan x 4 Củng cố GV nhấn mạnh lại các nhận xét và lưu ý để HS khắc sâu nội dung bài học. Hướng dẫn nhà Xem lại các bài đã chữa. BTVN: bài 32, 33 (SGK, tr.42) 102 3.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm Trước khi tiến hành thực nghiệm, tôi trao đổi với giáo viên dạy thực nghiệm về mục đích, nội dung, kế hoạch cụ thể để đi tới việc thống nhất mục đích, nội dung và phương pháp dạy các tiết thực nghiệm. Đối với lớp đối chứng vẫn tiến hành dạy như bình thường, khơng có gì đặc biệt. Việc dạy học thực nghiệm và đối chứng được tiến hành song song theo lịch trình dạy học của nhà trường. Kết thúc thực nghiệm, chúng tơi tiến hành kiểm tra ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng với cùng một đề kiểm tra, cùng thời gian làm bài, chấm bài với cùng đáp án và thang điểm. Sau đó, chúng tơi tiến hành tổng hợp, phân tích, xử lí kết quả các bài kiểm tra bằng phương pháp thống kê tốn học, đánh giá về cả hai mặt: định lượng và định tính. Đồng thời, chúng tơi cũng tổ chức lấy ý kiến của các giáo viên dự giờ thực nghiệm, đánh giá về tiết dạy thực nghiệm. 3.5 Kết thực nghiệm sư phạm 3.5.1 Cơ sở để đánh giá kết thực nghiệm sư phạm Dựa vào các nhận xét, ý kiến đóng góp của các giáo viên và học sinh tham gia thực nghiệm sư phạm; dựa vào kết quả của các bài kiểm tra của học sinh. Các đề kiểm tra được sử dụng để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm: ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT SỐ Câu (4,0 điểm) Giải các PT sau: a) cos x sin x b) cos 2x sin 2x Câu (4,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) 2sin x sin x cos x b) 4sin x 2sin x 2cos x Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau x sin x.cos x sin 2 x 4sin 2 103
Ngày đăng: 25/09/2020, 23:12
Xem thêm: Rèn luyện kỹ năng giải toán Phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông : Luận văn ThS. Giáo dục học: 60 14 01 11