rèn luyện kỹ năng giải các bài toán chia hết trên vành số nguyên

ở chương trình THCS sốhọc chiếm 1 lượng khá lớn trong số học thì phép chia hết trên vành số nguyên đãthực sự thu hút đối với giáo viên và học sinh, có lẽ đó không chỉ bởi vấn đề lýthuyết

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Số học là môn học lâu đời nhất và hấp dẫn nhất của toán học Vậy số học

là gì? Số học là khoa học về số, trong số học người ta nghiên cứu những tínhchất đơn giản nhất của số và những quy tắc tính toán ở chương trình THCS sốhọc chiếm 1 lượng khá lớn trong số học thì phép chia hết trên vành số nguyên đãthực sự thu hút đối với giáo viên và học sinh, có lẽ đó không chỉ bởi vấn đề lýthuyết về phép chia có giá trị thực tiễn mà qua đó rèn cho học sinh tư duy sángtạo toán học Càng học các em càng được cuốn hút bởi 1 lượng bài tập vô cùngsáng tạo và phong phú

Cái khó khi dùng phép chia hết trên vành số nguyên và khi học sinh làvấn đề nhận diện và vận dụng lý thuyết để chỉ ra phương pháp giải các bài toán,khi ngành Giáo dục đang thi đua giảng dạy theo phương pháp đổi mới, trongluật Giáo dục Việt Nam và Nghị quyết đại hội Đảng lần thứ 7 và 8 cũng đã nhấnmạnh: “Dạy cho học sinh phương pháp tự nghiên cứu” và với tình hình hiện naycòn nhiều giáo viên chưa thực sự quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện nănglực tự học cho học sinh

Xuất phát từ vấn đề nên trên đã thúc đẩy Tôi viết

Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán chia hết trên vành số nguyên.

2 Nội dung đề tài gồm

Phần mở đầu

Phần nội dung

Phần I: Tóm tắt lý thuyết

Phần II: Các phương pháp giải các bài toán chia hết

1 Phương pháp sử dụng dấu hiệu chia hết

2 Phương pháp sử dụng tính chất chia hết

3 Phương pháp sử dụng xét tập hợp số dư trong phép chia

4 Phương pháp sử dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử.

5 Phương pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng

6 Phương pháp quy nạp toán học

II Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểmnêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt kếtquả cao trong quá trình học tập nói chung

Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối

ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chươngtrình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việcgiải các bài toán Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn cócủa học sinh, gây hứng thú học tập cho các em

III Nhiệm vụ nghiên cứu.

Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

- Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?

- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết

những vấn đề liên quan

- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những

khó khăn và sai lầm nào?

- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ

năng giải quyết các vấn đề liên quan?

- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?

IV Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:

- Các dạng toán về và phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng cao hứng thú

và kết quả học tập của học sinh

- Học sinh lớp trường THCS XXX

V Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phươngpháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnhdạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quảthu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và

đi đến kết luận

Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm củahọc sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức củahọc sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán

Trong mỗi phương pháp đều có những ví dụ điển hình và các bài tập tương

tự Vẫn biết rằng những khái niệm về số học được rất nhiều tác giả đề cập đến ởnhiều khía cạnh khác nhau Do đó không thể có sự sáng tạo hoàn toàn trong đềtài mà đề tài này mới chỉ dừng lại ở 1 mức độ nhất định Với nội dung và cáchtrình bày trong đề tài này không tránh khỏi những hạn chế của bản thân, rấtmong được các Thầy cô giáo và đồng nghiệp góp ý để nội dung đề tài ngày càngđược hoàn thiện hơn

PHẦN II NỘI DUNG

I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA

Cho 2 số nguyên a và b trong đó b  0 ta luôn tìm được hai số nguyên q

và r duy nhất sao cho:

a = bq + r Với 0  r   b

Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.

Khi a chia cho b có thể xẩy ra  b số dư

r  {0; 1; 2; …;  b}

Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a

Ký hiệu: ab hay b\ a

Vậy: a  b  Có số nguyên q sao cho a = bq

12 Nếu ac  b và (a, b) =1  c  b

13 Nếu a  b, c  b và m, n bất kỳ am + cn  b

14 Nếu a  b và c  d  ac  bd

15 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!

III MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT

2 Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9

+ N  3 (hoặc 9)  a0+a1+…+an  3 (hoặc 9)

IV ĐỒNG DƯ THỨC

a Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương Nếu hai số nguyên a và b cho cùng

số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m

Ký hiệu: a  b (modun)

Vậy: a  b (modun)  a - b  m

b Các tính chất

1 Với  a  a  a (modun)

2 Nếu a  b (modun)  b  a (modun)

3 Nếu a  b (modun), b  c (modun)  a  c (modun)

4 Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  a+c  b+d (modun)

5 Nếu a  b (modun) và c  d (modun)  ac  bd (modun)

6 Nếu a  b (modun), d  Uc (a, b) và (d, m) =1



d

b d

Nếu m là 1 số nguyên dương (m) là số các số nguyên dương nhỏ hơn m

và nguyên tố cùng nhau với m, (a, m) = 1

Thì a(m)  1 (modun)Công thức tính (m)

Phân tích m ra thừa số nguyên tố

m = p11 p22 … pkk với pi  p; i  N*

Thì (m) = m(1 -

` 1

II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT

1 Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT

Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b  45

 a + 16  9  a = 2

Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560

a = 2 và b = 5 ta có số 2560

Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5 Chứng

minh răng số đó chia hết cho 9

111111  81

81

111111  81 (Đpcm)

Bài 3: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của

số đó

Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số A =

192021…7980 Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?

Bài 5: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?

Bài 6: Chứng tỏ rằng số   

1 sè 100

11

2 sè 100

2222 là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.

 a + 2b + 4c + 8d16 với b chẵn

c Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca29

mà (1000, 29) =1 dbca29  (d + 3c + 9b + 27a) 29

Bài 4: Có 1980 = 22.32.5.11

Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80  4 và 5

 A 4 và 5Tổng các số hàng lẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279

Tổng các số hàng chẵn 9+(0+1+…+9).6+0 = 279

Có 279 + 279 = 558  9  A  9

279 - 279 = 0  11  A  11

Bài 5: Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số lẻ nên không chia hết cho 2

Có 46 số tự nhiên liên tiếp  có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ  tổng 23cặp không chia hết cho 2 Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hếtcho 46

Bài 6: Có   

1 sè 100

11

2 sè 100

22

1 sè 100

11

0 sè 99

02100

3433

22

3 sè 100

33

3 sè 99

3433 (modp)Đpcm)

2 Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT

* Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n.

CMR: Gọi n là số nguyên liên tiếp

m + 1; m + 2; … m + n với m  Z, n  N*Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta được tập hợp số dư là: {0; 1; 2;

… n - 1}

* Nếu tồn tại 1 số dư là 0: giả sử m + i = nqi ; i = 1, n

 m + i  n

* Nếu không tồn tại số dư là 0  không có số nguyên nào trong dãy chia hết cho

n  phải có ít nhất 2 số dư trùng nhau

m

nji;

1

r nqi

im

 i - j = n(qi - qj)  n  i - j  n

mà i - j< n  i - j = 0  i = j

 m + i = m + jVậy trong n số đó có 1 số và chỉ 1 số đó chia hết cho n…

Ví dụ 1: CMR: a Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2

b Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

Giải

a Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn

 Số chẵn đó chia hết cho 2

Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2

Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếpluôn chia hết cho 2

b Trong 3 sô nguyên liên tiếp bao giơ cũng có 1 số chia hết cho 3

 Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (1; 3) = 1

Vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6

Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9 Giải

Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n - 1 , n , n+1

Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3

= 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9

= 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n

9 2





n n

1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4  (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  8

c n12 - n8 - n4 + 1  512

Bài 4: Với p là số nguyên tố p > 3 CMR : p2 - 1  24

Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia

trong 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; …; n + 999

có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n0, khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 giả sửtổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …;

Bài 4: CMR: Với p là 1 số nguyên tố p > 5 thì p4 - 1  240

Bài 5: Cho 3 số nguyên dương a, b, c và thoả mãn a2 = b2 + c2

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3  a2, b2 và c2 chia hết cho 3 đều dư 1

 a2  b2 + c2 Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3 Vậy M  3

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5  a2, b2 và c2 chia 5 dư 1 hoặc 4  b2+ c2 chia 5 thì dư 2; 0 hoặc 3

 a2  b2 + c2 Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5 Vậy M  5

Nếu a, b, c là các số lẻ  b2 và c2 chia hết cho 4 dư 1.

2

2

c a c a b

Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b)  11

17a

1117b

1117b16a





Vậy (16a +17b) (17a +16b)  121

Ví dụ 3: Tìm n  N sao cho P = (n + 5)(n + 6)  6n Giải

(1)31) -n(n 6n

80

9n

81

n

8

n

81

n n

n

n

Víi

VíiVíi

3  3n (1)Với n = 1 ta có aa a  111  a 3

Giả sử (1) đúng với n = k tức là   

sèa

ka aa

Có  k  k  k

k

a a a a a a a

aa

3 3

3 3



k

k k

a a a

aa a

aa

3

3 3

.

10

Nếu n > 2 Theo định lý Fermat ta có:

2p-1  1 (mod p)

 2m(p-1)  1 (mod p) (m  N)

Xét A = 2m(p-1) + m - mp

A  p  m = kq - 1

Như vậy nếu p > 2  p có dạng 2n - n trong đó

N = (kp - 1)(p - 1), k  N đều chia hết cho p

8 Phương pháp 8: SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIRICHLET

Nếu đem n + 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa từ 2 contrở lên

Ví dụ 1: CMR: Trong n + 1 số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho n.

Vậy trong n +1 số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho n

Nếu không có 1 tổng nào trong các tổng trên chia hết cho n như vậy số dưkhi chia mỗi tổng trên cho n ta được n số dư là 1; 2; …; n - 1

Vậy theo nguyên lý Đirichlet sẽ tồn tại ít nhất 2 tổng mà chi cho n cócùng số dư  (theo VD1) hiệu cùadr tổng này chia hết cho n (ĐPCM)

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: CMR: Tồn tại n  N sao cho 17n - 1  25

Bài 2: CMR: Tồn tại 1 bội của số 1993 chỉ chứa toàn số 1.

Bài 3: CMR: Với 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tổng 5 số chia hết

cho 5

Bài 4: Có hay không 1 số có dạng.

19931993 … 1993000 … 00  1994

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1: Xét dãy số 17, 172, …, 1725 (tương tự VD2)

Bài 2: Ta có 1994 số nguyên chứa toàn bộ số 1 là:

11 111

Khi chia cho 1993 thì có 1993 số dư  theo nguyên lý Đirichlet có ít nhất 2 số

1993 0

00 11

111           q  k

0 sè 1

sè 1994

-i

) (

1993 10

11

-i

mà (10j, 1993) = 1

 



1 sè 1994

1993 1993

đem chia cho 1994  có 1994 số dư thuộc tập {1; 2; …; 1993} theo nguyên lýĐirichlet có ít nhất 2 số hạng có cùng số dư

Giả sử  n  1, n  N* sao cho n2 - 1  n

Gọi d là ước số chung nhỏ nhất khác 1 của n  d  (p) theo định lý Format ta có

 r = 0  m\n mà m < d cũng có tính chất (1) nên điều giả sử là sai

Vậy n2 - 1  n với  n  N*

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: Có tồn tại n  N sao cho n2 + n + 2  49 không?

3 2

PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

1 KẾT LUẬN

Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:

1 Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sựhình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh

2 Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dungchuyên đề thực hiện

3 Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giảiquyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện

4 Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyếtcác vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện

5 Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy họctích cực

6 Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quảcủa những biện pháp sư phạm được đề xuất

Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhậnđược

Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hìnhthức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt,bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyệncách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :

1 – Trình bày bài giải mẫu

2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý

3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải

4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lạicho đúng

Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung vàphương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học

nói chung Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáoviên đã áp dụng trong chuyên đề này

2 KIẾN NGHỊ

1 Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT

- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáoviên dạy toán Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viêntrong tỉnh

2 Với BGH nhà trường

- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ nhưchưa đầy đủ Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêmsách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các

em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú,kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nóichung

3 Với PHHS

- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái Thường xuyênkiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con