Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 15

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Đức Thọ LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Đức Thọ LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Trọng Nguyên Hà Nội - 2011 Mục lục Lời mở đầu Lời cảm ơn Chương Tổng quan lý thuyết cực trị 1.1 Phân phối cực trị 1.2 Miền hấp dẫn cực đại 15 1.3 Hàm phân phối vượt ngưỡng 22 1.4 Phân phối Pareto tổng quát 22 1.5 Hàm phân vị 25 1.6 Biểu đồ Q-Q P-P 26 1.7 Ước lượng mơ hình cực trị 26 1.8 Một số mơ hình cực trị mở rộng mối liên hệ mơ hình 29 Chương Ứng dụng lý thuyết cực trị đo lường rủi ro tài 32 2.1 Rủi ro tài 32 2.2 Mơ hình đo lường rủi ro 35 2.2.1 Mô hình độ đo rủi ro chặt chẽ 35 2.2.2 Mơ hình VaR 37 2.2.3 Mơ hình ES 39 2.2.4 Phương pháp ước lượng thực nghiệm cho ES 39 2.2.5 Một số độ đo rủi ro 44 2.2.6 Một số cơng thức tính cho độ đo rủi ro cho phân phối thường gặp 45 2.3 Tham số hóa biến lợi nhuận, biến thua lỗ biến rủi ro 46 2.3.1 Biểu diễn biến lợi nhuận biến thua lỗ 46 2.3.2 Sự thua lỗ với tài sản đơn 46 2.3.3 Sự thua lỗ với danh mục đầu tư 47 2.4 Một số phương pháp tính độ rủi ro 47 2.4.1 Phương pháp tính Varq từ phân phối thua lỗ 47 2.5 Phương pháp tính giá trị rủi ro đầu tư vốn 49 2.5.1 Giá trị rủi ro đầu tư vốn với danh mục tài sản đơn 49 2.5.2 Giá trị rủi ro đầu tư vốn cho tập hợp danh mục đầu tư 50 2.6 Ứng dụng lý thuyết cực trị mơ hình hóa chuỗi lợi suất chứng khốn 50 2.7 Áp dụng EVT để đo lường rủi ro đầu tư cổ phiếu ACB 54 2.7.1 Số liệu 54 2.7.2 Ước lượng phân phối vượt ngưỡng 56 2.7.3 Ước lượng giá trị rủi ro Varq mức tổn thất kỳ vọng ESq 60 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 LỜI MỞ ĐẦU Trong năm gần đây, thị trường tài giới chứng kiến nhiều đổ vỡ định chế tổ chức lớn, chẳng hạn: khủng hoảng thị trường chứng khoán giới (1987), khủng hoảng thị trường trái phiếu Mỹ (1990), khủng hoảng tài châu Á (1997), khủng hoảng thị trường vay chấp Mỹ, hậu gây khủng hoảng tài suy giảm kinh tế tồn cầu Các kiện tưởng xảy gần lại xảy thường xuyên có ảnh hưởng tiêu cực cho thị trường tài quy mô lẫn mức độ tổn thất Nguyên nhân chủ yếu nghiệp vụ quản lý rủi ro chưa tốt Do đó, việc nhận diện, đo lường phịng hộ rủi ro để giảm thiểu tổn thất, nhằm đảm bảo hoạt động an toàn cho tổ chức tài việc quan trọng Rủi ro tài chia thành loại: rủi ro thị trường, rủi ro tín dụng, rủi ro lãi suất, rủi ro khoản, rủi ro hoạt động, rủi ro thị trường đóng vai trị quan trọng Trong đo lường rủi ro tài dựa vào phân tích định tính thì chưa đủ, mà quan trọng phải hình thành phát triến phương pháp lượng hóa mức rủi ro tổn thất tài Lý thuyết cực trị (Extreme Value Theory - EVT) công cụ giúp ta mô tả biến cố lĩnh vực kinh tế, xã hội, biến cố xảy thường gây nên hậu đáng kể số ví dụ nêu Với mong muốn tìm hiểu vấn đề trên, em chọn đề tài luận văn thạc sỹ là: Lý thuyết cực trị ứng dụng đo lường rủi ro tài Nội dung luận văn bao gồm chương: • Chương 1: Tổng quan lý thuyết cực trị Chương trình bày định lý Fisher, Tippet (1928) Gnedeko (1943) phân loại hàm cực trị, khái niệm miền hấp dẫn cực đại, điều kiện cần đủ để hàm phân phối F nằm miền hấp dẫn G, biểu đồ Q − Q P − P, vv • Chương 2: Ứng dụng lý thuyết cực trị đo lường rủi ro thị trường tài Chương tập trung làm rõ khái niệm cơng thức tính độ rủi ro VaRq, ESq thước đo thông dụng quản trị rủi ro Áp dụng lý thuyết EVT để mô hình hóa chuỗi lợi suất chứng khốn RACB Từ ước lượng mức độ tổn thất xảy đầu tư vaò cổ phiếu Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên nội dung khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011 Học viên Lê Đức Thọ LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp cao học Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011 Học viên Lê Đức Thọ Chương Tổng quan lý thuyết cực trị 1.1 Phân phối cực trị Cho X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với hàm phân phối F x∗ điểm phải F, tức x∗ = sup{x : F(x) < 1}, x∗ vơ hạn P P Khi đó, max(X1 , X2 , , Xn ) → x∗ , n → ∞, ký hiệu → hội tụ theo xác suất, P(max(X1 , X2 , , Xn ) ≤ x) = P(X1 ≤ x, X2 ≤ x, , Xn ≤ x) = F n(x) hội tụ theo xác suất đến x < x∗ x ≥ x∗ Giả sử tồn dãy số an > bn thực n = 1, 2, · · · cho: max(X1 , X2 , , Xn ) − bn an có giới hạn hàm phân phối không suy biến n → ∞, nghĩa là: lim F n(an x + bn) = G(x) n→∞ (1.1) Trong chương này, tìm tất hàm phân phối G xảy giới hạn (1.1) hàm gọi hàm phân phối giá trị cực trị Tiếp theo với phân phối giới hạn trên, tìm điều kiện cần đủ cho hàm phân phối F ban đầu cho (1.1) thỏa mãn Lớp hàm phân phối F thỏa mãn (1.1) gọi miền hấp dẫn cực đại hay đơn giản miền hấp dẫn G Từ (1.1) với x cho < G(x) < 1, lấy logarit hai vế, ta có lim n log F(an x + bn) = log G(x) n→∞ (1.2) Rõ ràng F(an x + bn) → 1, với x Do đó: lim − n→∞ (1.2) tương đương với: log F(an x + bn) = 1, − F(anx + bn) lim n[1 − F(anx + bn)] = − log G(x), n→∞ 1 =− n→∞ n[1 − F(an x + bn )] log G(x) lim (1.3) Với hàm khơng giảm f , kí hiệu: f ← (x) := inf{y : f (y) ≥ x}, ta có bổ đề sau Bổ đề 1.1.1 Giả sử fn dãy hàm không giảm g hàm không giảm Giả sử x khoảng (a, b) điểm liên tục g: lim fn (x) = g(x) n→∞ (1.4) Khi với x ∈ (g(a), g(b)) điểm liên tục g← thì: lim fn← (x) = g← (x) n→∞ (1.5) Chứng minh Cho x điểm liên tục g← Cố định ε > 0, ta chứng minh với n, n0 ∈ N, n ≥ n0 : fn← (x) − ε ≤ g← (x) ≤ f ← (x) + ε Ta chứng minh vế phải vế trái chứng minh tương tự Chọn < ε1 < ε cho g←(x) − ε1 điểm liên tục g, điều chọn tập điểm liên tục g trù mật Do g← liên tục x, g← (x) điểm hàm tăng g, g(g←(x) − ε1 ) < x Chọn σ < x − g(g←(x) − ε1 ) Do g← (x) − ε1 điểm liên tục g, tồn n0 cho: fn (g← (x) − ε1 ) < g(g← (x) − ε1 ) + σ < x (∀ n ≥ n0 ) Từ định nghĩa hàm fn← suy ra: g←(x) − ε1 ≤ fn← (x) 1−F Chúng ta áp dụng bổ đề 1.1.1 cho (1.3) Cho U = xác định với t > 1, (1.3) tương đương với ← , ý U(t) U(nx) − bn = G← (e− x ) =: D(x) n→∞ an (1.6) lim với x > Định lý 1.1.2 Cho an > bn dãy số thực, G hàm phân phối không suy biến Các mệnh đề sau tương đương: lim F n(an x + bn) = G(x), điểm liên tục x G n→∞ (1.7) lim t[1 − F(a(t)x + b(t))] = − log G(x), t→∞ với điểm liên tục x G cho < G(x) < 1, a(t) := a[t] , b(t) := b[t] ([t] phần nguyên t) U(tx) − b(t) = D(x) t→∞ a(t) (1.8) lim với x > điểm liên tục D(x) = G← (e− x ) Chứng minh Tính tương đương suy từ bổ đề 1.1.1 Ta kiểm tra tương đương (1.6) Do đó, ta cần chứng minh (1.6) suy Cho x điểm liên tục D Với t ≥ 1, U([t]x) − b[t] U(tx) − b[t] ≤ ≤ a[t] a[t] U [t]x + [t] a[t] − b[t] Hình 2.5: Bên trái sơ đồ khối cực đại bên phải giá trị vượt ngưỡng u Theo kết Fisher, Tippett (1928) Gnedenko (1943), n đủ lớn phân phối chuẩn hóa lợi suất lớn n ngày Mn = max(X1 , X2 , , Xn ) xấp xỉ với phân phối: Fréchet, Weibull hay Gumbel Tuy nhiên thực hành, phương pháp gặp nhiều hạn chế số liệu không đủ lớn Do vậy, tiếp cận lý thuyết cực trị theo cách khác hiệu hơn, cách tiếp cận thứ hai lý thuyết cho phép mơ hình hóa mức lợi suất vượt ngưỡng u đó, nội dung phương pháp POT Xét biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối F Vấn đề đặt với giá trị x lớn u, ta phải ước lượng hàm phân phối vượt ngưỡng F [u] giới thiệu phần kiến thức trước Hình 2.6: Hàm phân phối F phân phối điều kiện F [u] Hàm phân phối vượt ngưỡng F [u] (y) = P(X − u ≤ y|X > u), 51 ≤ y ≤ xF − u (2.19) u ngưỡng cho trước, y = x − u giá trị vượt ngưỡng u xF = x∗ = sup(x : F(x) < 1) Hàm phân phối vượt ngưỡng F [u] (y) = F(u + y) F(x) − F(u) = − F(u) − F(u) (2.20) Theo kết Pickands (1975), Balkema Haan (1974) (xem [2]): Với lớp rộng hàm phân phối F (các phân phối thường gặp nghiên cứu lĩnh vực tài chính, bảo hiểm, ), ngưỡng u đủ lớn hàm phân phối vượt ngưỡng F [u] (y) = P(X − u ≤ y|X > u) xấp xỉ phân phối Gξ ,σ (y),    1− + ξ · y − ξ ξ = σ Gξ ,σ (y) = y   1 − e− σ ξ = Gξ ,σ (y) gọi phân phối Pareto tổng quát (GPD) Nếu x = u + y GPD x − u −ξ hàm số x nghĩa Gξ ,σ = 1− + ξ · δ 52 Hình 2.7: Hàm phân phối Pareto Gξ ,σ với σ = Tham số ξ đặc trưng cho đuôi GPD gọi số đi, từ hình vẽ ta thấy với ξ > Gξ ,σ (y) phân phối có nặng, đối tượng có liên quan nhiều tới mục tiêu quản lý rủi ro Các hàm rủi ro VaRq ESq xét chủ yếu liên quan đến phần đuôi phân phối xác suất, sử dụng GPD để xấp xỉ phân phối vượt ngưỡng u, cịn phần nhỏ ngưỡng u sử dụng phân phối thực nghiệm để ước lượng Khi giả sử Nu số quan sát vượt ngưỡng u, n tổng số quan sát ta tìm cơng thức tính độ đo rủi ro sau: Từ ESq = E(X|X > VaRq ) suy F(x) = (1 − F(u))F [u] (y) + F(u), thay F [u] GPD F(u) giá trị n − Nu ước lượng , ta có hàm phân phối: n − ξ1 ξ Nu Nu F(x) = · 1− + (x − u) + 1− n δ n (2.21) Từ (2.17) với xác suất p ta tính được: VaR p = u + ξ δ n ·q Nu −ξ −1 (2.22) Mức tổn thất kỳ vọng: ESq = VaRq + E(X − VaRq |X > VaRq) (2.23) Mặt khác, hàm trung bình vượt ngưỡng phân phối GPD với tham số ξ < là: δ +ξz e(z) = E(X − z|X > z) = , δ +ξz > (2.24) 1−ξ 53 Từ định nghĩa ES p, ta thay z = VaRq − u vào (2.24) có ESq = VaRq + Giá trị rủi ro: δ + ξ (VaRq − u) VaRq δ − ξ u = + 1−ξ 1−ξ 1−ξ VaRq = u + σ ξ n (1 − q) Nu −ξ −1 (2.25) Mức tổn thất kỳ vọng: ESq = VaRq σ − ξ u + 1−ξ 1−ξ (2.26) Do để ước lượng giá trị rủi ro VaRq mức tổn thất kỳ vọng ESq, trước tiên cần chọn ngưỡng u, sau ước lượng tham số ξ σ Trong phương pháp POT việc chọn ngưỡng u quan trọng, người ta dựa số cách khác nhau, thông thường dựa vào đặc điểm hàm trung bình vượt ngưỡng GPD Với biến ngẫu nhiên X đặc trưng cho lợi suất tài sản, phần lợi suất vượt ngưỡng X − u GPD với ξ < hàm trung bình vượt ngưỡng e(u) = E(X − u|X > u) = σ +ξu , 1−ξ σ +ξu > Hơn nữa, ta có hàm trung bình vượt ngưỡng phân phối nặng (đi béo) nằm hàm trung bình vượt ngưỡng số phân phối mũ (nếu X − u có phân phối mũ với tham số λ e(u) = λ −1) hàm trung bình vượt ngưỡng có dạng tuyến tính (hệ số góc dương) GPD 2.7 Ứng dụng EVT để đo lường rủi ro đầu tư cổ phiếu ACB 2.7.1 Số liệu Trong phần này, áp dụng phương pháp POT để phân tích chuỗi lợi Pt giá đóng cửa cổ phiếu ACB từ ngày 05-01-2009 suất RACB = ln Pt−1 54 đến 27-11-2011, kết tính tốn dựa phần mềm S-plus Hình 2.8: Đồ thị chuỗi lợi suất RACB giá cổ phiếu ACB Kiểm định tính phân phối chuẩn RACB với S-plus, ta kết sau: Test for Normality: Jarque-Bera Null Hypothesis: data is normally distributed Test Statistics: RACB ; Test Stat 253.8864; p.value 0.00 Dist under Null: chi-square with degrees of freedom; Total Observ.: 725 Như theo tiêu chuẩn Jarque-Bera với mức ý nghĩa 5% chuỗi lợi suất RACB khơng có phân phối chuẩn 55 Hình 2.9: Đồ thị Q-Q Dựa vào đồ thị Q-Q để xác định giá trị lệch so với đường chuẩn biết phân phối gốc liệu, từ chọn dạng đuôi phân phối Dựa vào thấy phân phối RACB có nặng so với phân phối chuẩn 2.7.2 Ước lượng phân phối vượt ngưỡng Chúng ta tập trung nghiên cứu phần lợi suất thua lỗ, việc mơ tả trái phân phối chuỗi lợi suất thuận lợi ta nghiên cứu đuôi phải phân phối – RACB Ước lượng GPD có hai bước: Chọn ngưỡng u ước lượng tham số phân phối GPD 56 2.7.2.1 Chọn ngưỡng u a Hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu n en (u) = ∑ (xni − u) i=k n−k+1 , k = min{i|xni > u}, (u, en (u)); xn1 < u < xnn Dựa vào đồ thị hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu en(x), ta chọn u cho en(x) tuyến tính x > u Hình 2.10: Đồ thị hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu b Dùng đồ thị Hill Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn Ký hiệu X (1) ≥ X (2) ≥ ≥ X (n) thống kê thứ tự lập từ mẫu ngẫu nhiên Với số nguyên dương X (i) k −1 k, đồ thị Hill tập hợp điểm {(k, Hk,n )}, Hk,n = ∑ ln (k) k i=1 X X (i) k Hơn nữa, ta có Hk,n = ∑ ln (k) hội tụ theo xác suất đến ξ k → +∞ k i=1 X Dựa vào đồ thị Hill, chọn giá trị k miền có số ξ (ước lượng) ổn định 57 Hình 2.11: Đồ thị Hill Dựa vào đồ thị Hill, ta chọn ngưỡng u cao miền giá trị ổn định ξ Căn vào đồ thị hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu đồ thị Hill, ta chọn u từ 0.025 đến 0.027 Chẳng hạn chọn ngưỡng u = 0, 025, bước ước lượng tham số GPD 2.7.2.2 Ước lượng tham số GPD Để ước lượng tham số GPD áp dụng số phương pháp: ước lượng hợp lý cực đại, ước lượng Pickands, ước lượng Drees-Pickands, ước lượng Hill sử dụng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại Giả sử ta có mẫu cụ thể (x1 , x2 , , xn ), với ngưỡng u cao chọn, ký hiệu x(1) , x(2) , , x(k) quan sát vượt ngưỡng u Ta đặt yi = x(i) − u, i = 1, 2, , k, theo kết định lý Haan với ngưỡng u đủ lớn, ta xem (y1 , y2 , , yk ) mẫu độc lập nên từ GPD với tham số chưa biết ξ σ = σ (u) Khi đó, ta có • Log-hàm hợp lý trường hợp ξ khác +1 L(y1 , y2 , , yk , ξ , σ ) = −k ln σ − ξ 58 k ∑ ln i=1 1+ ξ yi σ • Log-hàm hợp lý trường hợp ξ = L(y1 , y2 , , yk , σ ) = −k log σ − σ k ∑ yi i=1 Ta có ước lượng cho ξ σ sau: Generalized Pareto Distribution Fit –Total of 725 observations Upper Tail Estimated with ml –Upper Threshold at 0.025 or 9.379 % of the data ML estimation converged Log-likelihood value: 216.6 Parameter Estimates, Standard Errors and t-ratios: Value Std.Error t value xi 0.0578 0.1712 0.3379 sigma 0.0144 0.0030 4.7694 Như vậy, chọn ngưỡng u = 0.025, có 9.379% mức lợi suất vượt ngưỡng Sử dụng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại, thu ước lượng tham số GPD: ξˆ = 0, 0578, σˆ = 0, 0144 Dưới ta có đồ thị hàm phân phối vượt ngưỡng ước lượng ( hình 2.12) đồ thị đuôi phân phối ước lượng (hình 2.13) Hình 2.12: Hàm phân phối vượt ngưỡng ước lượng 59 Hình 2.13: Đi phân phối 2.7.3 Ước lượng giá trị rủi ro VaRq mức tổn thất kỳ vọng ESq 2.7.3.1 Ước lượng điểm Như sau ước lượng tham số ξ , σ GPD, ước lượng VaRq ESq Ta có kết ước lượng: q quantile sfall [1, ]0.90 0.02408088 0.03927679 [2, ]0.95 0.03420630 0.05002377 [3, ]0.99 0.05934294 0.07670347 Dựa vào kết ước lượng ta thấy, chẳng hạn với độ tin cậy 95 % (q=0,95) ước lượng VaRq = 0.03420630 ESq = 0.05002377 Như với độ tin cậy 95 %, phần có ngày người sở hữu số cổ phiếu ACB có giá trị 10 triệu đồng 342063 đồng mức tổn thất kỳ vọng vượt giá trị VaRq 500237.7 đồng 60 2.7.3.2 Ước lượng khoảng Chúng ta tìm khoảng tin cậy đồng thời cho tham số ξ σ dựa thống kê: L(ξ , σ ) − L(ξˆ , σˆ ) : χ 2(2), ta tìm khoảng tin cậy riêng cho tham số dựa thống kê 2(L(ξˆ , σˆ ) − L∗ (ξ )) : χ 2(1), L∗ (ξ ) = max L(ξ , σ ) σ Hình 2.14: Đồ thị ước lượng khoảng cho ξ Để tìm khoảng tin cậy cho VaRq , ta biếu diễn hàm phân phối GPD hàm ξ , VaRq :  −ξ n   (1 − q) −1  − ξ1  N  u  ξ = ·y  1 − + VaRq − u Gξ ,VaRq (y) =     y   n  VaR 1 − (1 − q)e q −u ξ = Nu Từ đây, xác định hàm mật độ xác suất xây dựng khoảng tin cậy cho VaRq Vì khó tìm dạng cụ thể khoảng tin cậy nên người ta thường dùng phương pháp mẫu lặp để tìm khoảng tin cậy cho tham số nói 61 Hình 2.15: Đồ thị khoảng tin cậy cho giá trị rủi ro VaRq mức tổn thất kỳ vọng ESq mức q = 0, 99 Ta đưa khoảng tin cậy 99 % VaRq ESq mức 0,99 tương ứng sau: VaRq ESq Lower CI Estimate Upper CI 0.05215449 0.05934294 0.07237078 Lower CI Estimate Upper CI 0.06425435 0.07670347 0.1280827 Theo kết ước lượng với độ tin cậy 99 %, phần mức 0,99 có ngày người sở hữu số cổ phiếu RACB có giá trị 10 triệu đồng từ 521544,9 đồng đến 723707,8 đồng mức tổn thất kỳ vọng vượt VaRq mức 0,99 từ 642543,5 đồng đến 1280827 đồng 62 KẾT LUẬN Trong luận văn em trình bày kết lý thuyết cực trị áp dụng lý thuyết để đo lường rủi ro tài Đóng góp luận văn bao gồm: Tổng quan lý thuyết cực trị bao gồm khái niệm định lý lý thuyết cực trị Ứng dụng lý thuyết cực trị với phần mềm S − PLUS để đo lường rủi ro tài Tuy nhiên thời gian thực luận văn khơng nhiều cịn có sai sót em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh 63 Tài liệu tham khảo Acerbi, C., Nordio, C., Sirtori, C.(2001), Expected Shortfall as a Tool for Financial Risk Management, AbaxBank – Working Paper Danielsson, J.&de Vries, C (1997), Tail index and quantile estimation with wery high frequency data, Journal of Empirical Finance 4, 241-257 Danniel De Waal (2004), Statistics of Extremes- Theory and Applications, John Wiley& Sons, Ltd Feter F Christoffersen (2003), Elements of Financial.Risk.Management Fotios C Harmantzis, Linyan Miao, Yifan Chien, Empirical Study of Valueat-Risk and Expected Shortfall Models with Heavy Tails, Working Paper Financial Analytics Group, Stevens Institute of Technology, August 2005 Hull, J and A White, Value at Risk When Daily Changes in Market Variables Are Not Normally Distributed, Journal of Derivatives, (1998) Koji Inui, Masaaki Kijima, On the significance of expected shortfall as a coherent risk measure, Journal of Banking & Finance 29 (2005) 853–864p Longgin M (2000), From value at risk to stress testing: The extreme value approach, Journal of Banking and Finance 24, pp.1097-1130 64 Manfred Gilli, Evis Kellezi (2003), An Application of Extremme Value Theory for Measuring Risk 10 McNeil A (1998), Calculating Quantile Risk Measures for Financial Return Series using Extreme Value Theory 11 McNeil A (1999), Extreme Value Theory for Risk Managers 12 Neftci, S., Value at Risk Calculations, Extreme Events, and Tail Estimation, The Journal of Derivatives, (2000) 13 Răudiger Frey, Alexander J McNeil, VaR and expected shortfall in portfolios of dependent credit risks: Conceptual and practical insights, Journal of Banking & Finance 26 (2002) 1317–1334p 14 R.-D Reiss & M Thomas, Statistics Analysis of Extreme Values, with Applications to Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields 15 Yasuhiro Yamai, Toshinao Yoshiba, Value-at-risk versus expected shortfall: A practical perspective, Journal of Banking & Finance 29 (2005) 997 – 1015p 65 ... Đức Thọ LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã s? ?: 60. 46. 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần... tài việc quan trọng Rủi ro tài chia thành loại: rủi ro thị trường, rủi ro tín dụng, rủi ro lãi suất, rủi ro khoản, rủi ro hoạt động, rủi ro thị trường đóng vai trị quan trọng Trong đo lường rủi. .. em chọn đề tài luận văn thạc sỹ l? ?: Lý thuyết cực trị ứng dụng đo lường rủi ro tài Nội dung luận văn bao gồm chương: • Chương 1: Tổng quan lý thuyết cực trị Chương trình bày định lý Fisher, Tippet