Luận văn thạc sĩ khoa học lý thuyết cực trị trong tài chính và bảo hiểm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH NHƯ QUỲNH LÝ THUYẾT CỰC TRỊ TRONG TÀI CHÍNH VÀ BẢO HIỂM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH NHƯ QUỲNH LÝ THUYẾT CỰC TRỊ TRONG TÀI CHÍNH VÀ BẢO HIỂM Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.0106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN HÙNG THAO Hà Nội, năm 2014 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết cực trị tài chủ đề cổ điển lý thuyết xác suất thống kê Tốn học Nó bắt nguồn từ nghiên cứu hai nhà tốn học Fisher Tippett Từ đó, số lượng lớn sách cơng trình nghiên cứu lý thuyết cực trị xuất Ngày nay, có nhiều độc giả quan tâm, phải kể đến nhà toán học: Adler, Aldous, Beirlant, Reiss, Galabos, Gumbel, Rootzen … Một số ghi chép lịch sử lý thuyết cực trị ghi nhận, người đặt móng cho lý thuyết Nicolas Bernoulli (1709) Những sách xuất Leadbetter, Lindgren, Rootzen Resnick thu hút nhiều người đọc Những sách sau liên quan đến nguồn gốc lý thuyết cực trị gắn với biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối Hai cơng cụ đóng vai trò trung tâm nghiên cứu lý thuyết cực trị là: lý thuyết hàm biến đổi trình điểm thuộc xác suất Lý thuyết cực trị cho biến ngẫu nhiên rời rạc nghiên cứu Anderson, Arnnold, Balakrishman, Nagaraja, Gordon, Schilling Waterman Lý thuyết cực trị với trình với thời gian liên tục nghiên cứu Adler, Berman Leadbetter Leadbetter tiến hành nghiên cứu cực trị dãy trình dừng cách tổng kết kết quan sát biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Galambos Resnick nghiên cứu cực trị nhiều chiều Beirlant, Gumbel, Peifer Reiss chứng minh kết cực trị dựa vào thống kê Từ đó, phương pháp thống kê trở thành sở nghiên cứu lý thuyết cực trị nói chung lý thuyết cực trị Tốn tài nói riêng Ứng dụng tốn học vào lĩnh vực đời sống hướng thú vị thu hút nhiều quan tâm nhà toán học Lý thuyết EVT số lý thuyết nghiên cứu vận dụng vào toán thực tế đời sống Một số ứng dụng nghiên cứu lĩnh vực: dự báo thời tiết; cảnh báo thiên tai, động đất; tài chính; bảo hiểm chi trả bảo hiểm … Một số nhà toán học nghiên cứu lý thuyết cực trị tài ứng dụng chúng tài chính, bảo hiểm dựa theo phương pháp thống kê tiêu biểu Pareto, A J McNeil, Rüdiger Frey, P Embrenchts, C Klüppelberg T Mikosch với nhiều cơng trình khoa học sách tiếng cơng bố Trong đó, sách tiếng là: “Quantitative Risk Management”; “Modelling Extremal events for Insurance and Finance” Luận văn nghiên cứu cách trình bày tập hợp số kết nghiên cứu, cơng trình khoa học tác giả nêu Trong đó, tác giả cố gắng trình bày ngắn gọn lý thuyết EVT theo hướng cổ điển đại, với trọng tâm theo hướng phát triển nay, phương pháp thống kê dựa hai sách nêu Từ đó, tác giả lựa chọn hai ví dụ áp dụng lý thuyết phân tích số giá cổ phiếu hai hãng IBM FORD Qua đó, nhà đầu tư lựa chọn thời điểm đầu tư phù hợp với diễn biến thị trường Tác giả vô biết ơn hướng dẫn PGS, TS Trần Hùng Thao, thầy giáo Khoa Tốn – Cơ – Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội Tôi bày tỏ giúp đỡ Ths Hồng Đức Mạnh, Bộ mơn Điều khiển học kinh tế, Khoa Tốn tài chính, trường đại học Kinh tế Quốc dân giúp đỡ tác giả thực luận văn thành viên lớp cao học Toán niên khoá 20112013, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà nội giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Do khả thời gian có hạn, luận văn khơng tránh sai xót, đóng góp xin gửi hòm thư: tnquynh112@gmail.com qua số điện thoại: 0163.655.3456 Tác giả xin trân trọng cảm ơn Hà nội, ngày 14 tháng năm 2014 Các kí hiệu sử dụng EVT: (Extreme Value Theory) Lý thuyết cực trị; GEV: (Genaralised Extreme Value Distribution) Phân phối cực trị tổng quát; GPD: (Genaralised Preto Distribution) Phân phối Pareto tổng quát; MDA: (Maximum Domain of Attraction) Miền hấp dẫn cực đại; MLE: (Maximum Likelihood Estimation) Ước lượng hợp lí cực đại; MSE: (mean squared errors) Sai số bình phương trung bình; POT: (Peaks – Over - Threshold) Điểm vượt ngưỡng; MỤC LỤC Lời mở đầu Các kí hiệu sử dụng Chương I Các phân phối cực trị tốn tài chính……………………………1 1.1 Giới hạn xác suất cho cực đại………………… ……………………… 1.2 Sự hội tụ yếu cực đại qua phép biến đổi afin………….…………… 1.3 Miền cực đại số chuẩn 13 1.3.1 Miền hấp dẫn cực đại phân phối Fréchet…………………………15 1.3.2 Miền hấp dẫn cực đại phân phối Weibull…………………………18 1.3.3 Miền hấp dẫn cực đại phân phối Gumbel…………………………20 1.4 Phân phối cực trị tổng quát (GEV)………………………………………25 1.5 Phân phối Pareto tổng quát (GPD)………………………………………28 Chương II Lý thuyết cực trị tài chính………………………………………… 31 2.1 Cực đại (maxima) ……………………………………………………….31 2.1.1 Phân phối cực đại khối……………………………………………… 31 2.1.2 Mức hoa lợi chu kỳ lợi suất……………………………………… 32 2.2 Sự vượt ngưỡng ………………………………………………………….34 2.2.1 Mơ hình tổn thất vượt ngưỡng ……………………………………….34 2.2.2 Dữ liệu không độc lập không phân phối (non_iid)………… 35 2.2.3 Vẽ đồ thị hàm vượt trội trung bình mẫu…………………37 2.3 Mơ hình độ đo rủi ro đuôi………………………………………38 2.3.1 Xác suất đuôi độ rủi ro…………………………………………….38 2.3.2 Ước lượng thực hành………………………………………… 39 2.4 Phân phối Hill…………………………………………………………….39 2.4.1 Ước lượng số đuôi……………………………………………… 39 2.4.2 Ước lượng đuôi Hill………………………………………………41 2.5 Nghiên cứu mô ước lượng phân vị EVT…………………………42 2.6 Mô hình trình điểm…………………………………………………43 2.6.1 Sự vượt ngưỡng cho dãy “ồn trắng” hồn tồn (ngặt)………………43 2.6.2 Các q trình điểm…………………………………………………… 44 2.6.3 Dáng điệu tiệm cận trình điểm vượt trội……… ……45 2.6.4 Áp dụng kết thực hành…………………………………… 46 2.7 Mơ hình POT…………………………………………………………… 46 2.7.1 Cơng thức Poison hai chiều mơ hình POT…………………………47 2.7.2 Ước lượng thống kê cho mơ hình POT……………………………… 48 2.7.3 Sự thuận lợi việc lập mơ hình POT……………………………….49 2.7.4 Áp dụng mơ hình POT vào chuỗi liệu hoa lợi…………………… 49 2.8 Q trình tự kích thích………………………………………………… 50 2.9 Q trình tự kích thích POT…………………………………………….51 2.9.1 Mơ hình đánh dấu khơng dự đốn được……………………………….52 2.9.2 Mơ hình đánh dấu dự đoán được………………………………………53 Chương Áp dụng lý thuyết EVT tài chính…………………………54 3.1 Phân tích giá hoa lợi số chứng khốn IBM……………………54 3.2 Phân tích giá hoa lợi số chứng khoán FORD………………….60 Kết luận Tài liệu tham khảo Chương I Các phân phối cực trị tốn tài Cơng cụ để nghiên cứu chương một, luật biến cố xác suất, vấn đề cực trị, ví dụ: xấp xỉ Poison hội tụ yếu Kết trung tâm định lý Fisher – Tippett dạng phân phối cực trị toán tài chính, tiêu biểu dạng phân phối: Fréchet, Weibull, Gumbel Khi tổng quát hóa, ta thu phân phối Pareto tổng quát 1.1 Giới hạn xác suất cho cực đại Cho dãy biến ngẫu nhiên: X1, X2,… , Xn độc lập phân phối khơng suy biến có hàm phân phối F Chúng ta nghiên cứu biến thiên mẫu cực đại sau: M1=X1, Mn=max (X1,…, Xn), n ≥ Ta biết: (X1,…, Xn) = - max (-X1, …, -Xn) Phương pháp xác suất biến ngẫu nhiên Mn : ℙ(Mn ≤ x) = ℙ(X1 ≤ x1,…, Xn ≤ xn), x ∈ ℝ, n ∈ ℕ, =ℙ (X1 ≤ x1) ℙ(X2 ≤ x2) ℙ(Xn ≤ xn), = Fn(x) Từ đó, ta thấy hình dạng đồ thị Mn liên quan mật thiết đến đồ thị hàm phân phối F, phải đồ thị gắn với điểm cuối phải Kí hiệu: xF = sup {x ∈ ℝ : F(x) < 1}: điểm cuối phải hàm phân phối F Suy ra: ℙ(Mn ≤ x) = Fn(x) → 0, (khi n → ∞), ∀x < xF Nếu xF < +∞, ∀x ≥ xF ℙ(Mn ≤ x) = Fn(x) =1 P Do vậy: Mn   xF (n →∞), với: xF ≤ ∞ Suy ra, dãy (Mn) dãy biến ngẫu nhiên không giảm theo n => (Mn) hội tụ h.c.c Khi đó, h.c.c Mn   xF, n→∞ (1.1) Kết khơng mang lại nhiều ý nghĩa Để có nhiều thơng tin hơn, ta cần tìm độ lớn cực đại nhận từ kết hội tụ yếu (theo hàm phân phối) chuẩn hóa cực đại Vấn đề chủ đề lý thuyết cực trị cổ điển Trong đó, định lý Fisher- Tippett sau: Định lý Fisher – Tippett: Nếu tồn số cn > 0, dn∈ ℝ cho: M n  dn d   H, n→∞ cn (1.2) Với H hàm phân phối khơng suy biến H phải ba hàm phân phối cực trị Điều tương tự định lý giới hạn trung tâm Từ đó, ta cần phải xem xét xác suất: ℙ( M n  dn ≤ x) = ℙ ( Mn ≤ cn.x + dn) = ℙ(Mn ≤ un), cn (1.3) với: un = un(x) = cnx + dn Trước tiên, ta nghiên cứu (1.3) cho dãy (un), sau ta nghiên cứu (1.2) Câu hỏi đặt là: với điều kiện hàm F để chắn giới hạn: ℙ(Mn ≤ un), n → ∞ tồn tại, với số un ? Một điều kiện chắn cần đến tính liên tục phải điểm cuối xF Đây quy tắc nhiều hàm phân phối quan trọng Trường hợp, F có phân phối Poison thì: ℙ(Mn ≤ un) khơng có giới hạn (0; 1) với dãy (un) Điều suy rằng, cực đại chuẩn hóa dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối Poison giới hạn theo hàm phân phối Chú ý khác giới hạn theo tổng theo cực đại biến ngẫu nhiên Nếu EX2 < +∞, định lý giới hạn trung tâm cho ta giới hạn đến phân phối chuẩn Nếu EX2 = ∞ liên quan đến lớp nhỏ phân phối α _ổn định Chỉ trường hợp đuôi to, điều kiện đuôi: F = – F bảo đảm tồn giới hạn hàm phân phối Đối với tổng, ln cần điều kiện đuôi F để chắn ℙ(Mn ≤ un) hội tụ tới số khoảng (0; 1) (khơng suy biến) Ta tìm câu trả lời cho vấn đề nêu Trước hết, ta bắt đầu kết bản, đóng vai trị chủ yếu hội tụ yếu mẫu cực đại, đồng thời cơng cụ luận văn Mệnh đề 1.1: (xấp xỉ Poison) Cho trước ∈ [0, +∞) dãy (un) số thực Các giới hạn sau tương đương: n F (un) → (1.4) ℙ(Mn ≤ un) → e- (1.5) Chứng minh: Xét: ≤ < ∞ Giả sử (1.4) => F (un) →  n Ta có: ℙ(Mn ≤ un) = Fn(un) = (1 - F (un))n = (1 -  + O( ))n → e- , (n → ∞) n n Giả sử (1.5) => F (un) → Vì F (un) ↛ 0, ∃ dãy {nk} cho F ( un ) k bị chặn ℙ( M n  un ) = (1 - F ( un ))nk → (nk → ∞) (vô lý) k k k Lấy loga vế: -n.ln(1 - F (un)) →  Vì: - ln(1 – x) ~ x, khi: x → 10 → n F (un) = τ + O(1), đpcm Nếu τ = ∞ Giả sử (1.4) đúng, (1.5) sai, ∃ (nk) cho: ℙ( M n  un ) → e-τ, k → ∞ với τ < +∞ k k Từ (1.5) => (1.4) => nk F (unk) → τ < +∞ Trái giả thiết (1.4) với τ= +∞ Chứng minh tương tự cho (1.5) suy (1.4) với τ= +∞ Chú ý: 1) Định lý Poison chìa khóa chứng minh Vì với: < τ< +∞ định nghĩa: Bn = n  I {Xi > un) Đây đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với i 1 tham số: (n; F (un)) Thật vậy, áp dụng định lý giới hạn Poison: d Bn   ℙ(τ) nếu: EBn = F (un) →τ → ℙ (Mn ≤ un) = ℙ(Bn = 0) → e-τ Điều giải thích (1.5) gọi xấp xỉ Poison với xác suất: ℙ(Mn ≤ un) 2) Nếu tồn dãy (un(τ)) thỏa mãn (1.4) với τ > cố định ta tìm dãy với τ > Trong trường hợp (un(1)) thỏa mãn (1.4) với τ = 1, un(τ) = u(1)[n/r] thỏa mãn (1.4) với τ> (tuỳ ý) Hệ 1.1.2: Giả sử xF < +∞ F (xF-) = F(xF) – F(xF-) > Khi đó, ∀ dãy (un) cho: ℙ (Mn ≤ un) → ρ ρ = ρ =1 Chứng minh: Vì: 0≤ρ≤1 ta viết: ρ = exp{-τ}, với 0≤τ≤∞ 11 Áp dụng mệnh đề 1.1.1 ta có: n F (un) → τ, n → ∞ Nếu: un < xF với n đủ lớn ta có: F (un) ≥ F (xF-) > 0, ∀n => τ=+∞ Với xác suất để: un ≥ xF, ∀n đủ lớn => n F (un) = => τ= Ta nhận được: ρ = ρ = Kết với hàm phân phối có bước nhảy điểm xF khơng tồn hàm phân phối không suy biến cho dãy biến ngẫu nhiên Mn Định lý 1.1.3 : Cho F hàm phân phối với điểm cuối phải xF ≤ +∞ cho η ∈ (0; +∞) Khi  đó, tồn dãy (un) thỏa mãn: n F (un )   khi: xlim x F F x   F x = (1.6) Chứng minh : Kết suy trường hợp đặc biệt với phân phối rời rạc với điểm cuối phải vô hạn Nếu độ lớn bước nhảy hàm phân phối khơng giảm đủ nhanh giới hạn phân phối không suy biến cực đại không tồn Trong trường hợp, X nguyên xF = +∞ (1.6) xác định là: lim n  F  n F  n  1 1 Những kết rằng, tồn số dạng đồ thị phức tạp (Mn) hàm phân phối rời rạc ảnh hưởng đến hội tụ (Mn) số trường hợp tìm dãy số nguyên (cn) cho: (Mn – cn) chặt (trù mật), nghĩa chứa dãy hội tụ yếu Ta xem xét ví dụ sau: Ví dụ 1.1.4 (phương pháp Poison) ℙ(X=k) =e- k , k ∈ ℕ,  >0 Suy ra: k! 12 F (k )  F (k ) (1  F (k  1))  ( F (k )  F (k  1)) F (k )  F (k  1)    1 F (k  1) F (k  1) F  k  1 F  k  1 F(k) - F(k-1) = e- k ; k! F (k-1) = – F(k-1) = k 1  - e i 0 ⇒ r r! =e -  r  r! ; r k  F (k ) k  r k! ( )   (1    r k )1 =1F ( k  1) k ! r k r ! r  k 1 r ! Ta có:  s    (k  1).(k  2) (k  s)    k  s 1 s 1  s k  1   0, (k  )(k   ) k Định lý 1.1.3 không tồn giới hạn cực đại tới phân phối không suy biến không tồn giới hạn: ℙ(Mn ≤ un) → ρ ∈ (0 ;1), ∀ dãy số (un) Ví dụ 1.1.5: (phương pháp kiểu cấp số nhân) ℙ(x=k) = p(1 – p)k-1, k∈ℕ, 0 dn ∈ ℝ, ∀n ≥ Từ trở đi, ta gọi dn số trung tâm cn số chuẩn hoá Giả thiết rằng, (Xn) dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối cực đại ổn định, (1.7) viết dạng biết sau: M n  dn cn d X Ta kết luận rằng, phân phối cực đại ổn định giới hạn theo phân phối dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối cực đại Hơn nữa, phân phối cực đại ổn định giới hạn cực đại chuẩn hóa Định lý 3.2.2 (Tính chất giới hạn cực đại ổn định) Lớp phân phối cực đại ổn định trùng với lớp tất giới hạn (không suy biến) dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối cực đại Chứng minh: Điều phải chứng minh phân phối giới hạn cực đại phép biến đổi Giả sử cho số xấp xỉ chuẩn hóa: lim F n  cn x  dn   H ( x) , x ∈ ℝ n Với H phân phối không suy biến đó, ta đốn trước phân phối H liên tục toàn ℝ Khi đó, ∀k ∈ ℝ:  lim F n.k (cn x  dn )  lim F n  cn x  d n  n n  k  H k ( x) , x ∈ ℝ 15 Vì: lim F nk  cnk x  dnk   H ( x) , x ∈ ℝ Suy ra, tồn số ck  dk  ℝ ~ ~ n cho: ~ ~ cnk d  dn  dk ,  ck , lim nk n  c n  cn n lim với dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối: Y1, …, Yk với hàm phân phối H: ~ ~ max (Y1,…, Yk) d ck Y1  dk Kết sau sở lý thuyết cực trị cổ điển Định lý Fisher – Tippelt (giới hạn dãy cực đại) Cho (Xn) dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Nếu tồn số chuẩn hóa cn > 0, dn ∈ ℝ hàm phân phối H không suy biến cho: M n  dn d H cn Khi đó, H ba loại phân phối sau: x0  0,    Phân phối Fréchet:  ( x) =  exp( x ), x   exp( (  x ), x  1, x0  Phân phối Weibull:  ( x) =  (α > 0) (α > 0) Phân phối Gumbell: (x) =exp {-e-x}, x ∈ ℝ Lược đồ chứng minh: Ta sử dụng định lý sau: Cho A, B, A1, A2, … dãy biến ngẫu nhiên bn > 0, βn > 0, với an, αn ∈ ℝ số: Giả sử: A  n d An  an d  A giới hạn: n B bn n (1.8) 16  a  n   b  0;   , lim  n   a ℝ n   n  n  n  khi: lim bn (1.9) d Nếu (1.8) thì: B b A  a a, b số Nếu (1.8) đúng, A không suy biến b > 0, A B thuộc kiểu phân phối Chứng minh mang nhiều tính chất kỹ thuật, đây, ta suất ba kiểu giới hạn nêu định lý Áp dụng kết trên, ∀t > 0: F[nt](c[nt]x + d[nt]) → H (x), x ∈ ℝ, (với [.] phần nguyên) Tuy nhiên: F[nt] (cnx + d) = Fn(cnx + dn)[nt]/n →Ht(x) d d cn  Y (t ), lim n [nt ]  δ(t), t>0 n c n c[nt ] [nt ] Tồn hàm Y(t) >0, δ(t) ∈ ℝ thỏa mãn: lim Ht(x) = H(Y(t).x + δ(t)) (1.10) Từ (1.10) ta suy ra, ∀s, t > 0: Y(st) = Y(s).Y(t), δ(st) = Y(t).δ(s) + δ(t) (1.11) Giải phương trình hàm (1.10) (1.11) cho ta hàm Λ, Ψα, φα (chi tiết chứng minh ta tìm Resnick) Chú ý: 1) Giới hạn (1.9) H phép biến đổi afin, giới hạn có dạng H(c.x + d), nghĩa là:   lim P cn 1.( M n  d n )  H (cx  d ) n  H(x) giới hạn dãy số chuẩn: 17 ~   ~ lim P  cn1 ( M n  d n )   x n    ~ với cn  cn , c 2) Các phân phối Λ, Ψα, φα khác Tuy nhiên, X>0 chúng lại có mối liên hệ với sau: X có phân phối φα ↔ lnXα có phân phối Λ ↔  có phân phối Ψα X Đồ thị hàm phân phối Λ, Ψα, φα : Định nghĩa 1.2.6 (phân phối cực trị biến ngẫu nhiên cực trị) Các phân phối: Λ, Ψα, φα gọi hàm phân phối cực trị chuẩn tắc tương ứng với biến ngẫu nhiên cực trị chuẩn tắc: Một cách xác, hàm phân phối cực trị hàm phân phối cực đại ổn định Do đó, X biến ngẫu nhiên cực trị thỏa mãn (1.8) thì: Fréchet: Mn d n1/α.X ; Weibull: Mn d n-1/∝.X; Gumbell: Mn d X + lnn 18 Ví dụ 1.2.7: (cực đại biến ngẫu nhiên dạng mũ) Cho (Xi) dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối dạng mũ chuẩn tắc thì: ℙ(Mn – lnn ≤ x) = [ℙ(X ≤ x + lnn)]n; n  x ln n  =   et dt  = (1- n-1 e-x)n → exp(-e-x)=Λ (x) (x∈ ℝ)   → ℙ(Mn – lnn ≤ x) = Λ(x), x∈ℝ: phân phối Gumbell cho dãy (Xi) Ví dụ 1.2.8 (cực đại dãy biến ngẫu nhiên Cauchy) Cho (Xi) dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Cauchy có hàm mật độ: f(x) = (π (1 + x2)-1, x ∈ ℝ Hàm phân phối biến ngẫu nhiên Cauchy chuẩn tuyệt đối liên tục Quy tắc l’Hospital ta có : lim x  F  x ( x)1 F '( x)  x  lim  x   1.x 2 x    x  lim   ~ (πx)-1 Khi đó, Suy : n n nx     ℙ(Mn ≤ ) = 1  F ( )   1   O(1)  → exp {-x-1} = φ1(x), x >     nx   nx (phân phối Fréchet, với α = 1) 1.3 Miền cực đại số chuẩn Trong phần trước, ta xác định phân phối cực trị giới hạn biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối cực đại chuẩn hóa Phần này, dành hết cho câu hỏi sau 19 Cho trước phân phối cực trị H, phải có điều kiện cho hàm phân phối F Mn hội tụ yếu đến H (Mn cực đại chuẩn hóa) Nghĩa là, ta chọn số chuẩn: cn > dn ∈ ℝ để: M n  dn cn d H ? (1.12) Có thể xảy trường hợp, số chuẩn khác hội tụ khác hay không? Câu hỏi cuối trả lời ngay: hội tụ kết (1.8) (1.9) chứng minh định lý Fisher – Tippelt Trước trả lời câu hỏi 2, câu hỏi giống định lý giới hạn trung tâm cho tổng n biến ngẫu nhiên độc lập phân phối: Sn = X1 + X2 + … + Xn Ta thu hàm phân phối F chung cho tổng Sn có phân phối ổn định lớp gọi miền hấp dẫn Đối với dãy biến ngẫu nhiên cực đại, ta tiếp tục theo cách tương tự Định nghĩa 1.3.1 (Miền hấp dẫn cực đại) Ta nói rằng, biến ngẫu nhiên X (hàm phân phối F X) thuộc miền hấp dẫn cực đại phân phối cực trị H ∃ cn > 0, dn ∈ ℝ cho (1.12) Ta viết: X ∈ MDA(H) (Maximum domain of attraction) (F ∈ MDA(H)) Chú ý hàm phân phối cực trị liên tục ℝ, đó: M n  dn d H, cn   lim P (M n  cn X  dn )  lim F n (cn x  dn )  H ( x), x∈ℝ n n Kết sau hệ mệnh đề 1.1.1 sử dụng cho phần sau Mệnh đề 1.3.2 (Đặc trưng MDA(H)) 20 ... 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH NHƯ QUỲNH LÝ THUYẾT CỰC TRỊ TRONG TÀI CHÍNH VÀ BẢO HIỂM Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số:... 60.46.0106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN HÙNG THAO Hà Nội, năm 2014 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết cực trị tài chủ đề cổ điển lý thuyết xác suất thống kê Tốn học Nó bắt... nghiên cứu lý thuyết cực trị nói chung lý thuyết cực trị Tốn tài nói riêng Ứng dụng toán học vào lĩnh vực đời sống hướng thú vị thu hút nhiều quan tâm nhà toán học Lý thuyết EVT số lý thuyết nghiên