Lý thuyết các quyền chọn tổng hợp trong toán tài chính : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 15

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN HỮU HẢI LÝ THUYẾT CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP TRONG TỐN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN HỮU HẢI LÝ THUYẾT CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP TRONG TỐN TÀI CHÍNH Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số : 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Hùng Thao Hà Nội - 2014 Mục lục Lời mở đầu Danh sách hình bảng biểu iii v Tổng quan Quyền chọn mơ hình định giá Quyền chọn 1.1 Quyền chọn 1.2 Các loại Quyền chọn 1.2.1 Quyền chọn Mua 1.2.2 Quyền chọn Bán 1.3 Chiến lược phòng ngừa rủi ro với Quyền chọn 1.3.1 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Mua 1.3.2 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Bán 1.4 Mơ hình Black-Scholes cơng thức Black - Scholes 1.4.1 Mơ hình Black -Scholes 1.4.2 Công thức Black - Scholes cho giá Quyền chọn Mua 1.4.3 Công thức Black - Scholes cho giá Quyền chọn Bán 1.5 Phương pháp mác-tin-gan định giá Quyền chọn 1.5.1 Độ đo tương đương 1.5.2 Thay đổi độ đo - định lý Girsanov 1.5.3 Định giá với mơ hình Black- Scholes 1 2 5 9 12 15 17 17 18 20 Các Quyền chọn tổng hợp 2.1 Quyền chọn châu Á 2.1.1 Một vài khái niệm 2.1.2 Giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung bình hình học 2.1.3 Giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung bình số học 2.1.4 Một bất đẳng thức Quyền chọn châu Âu Quyền chọn châu Á 2.2 Quyền chọn giỏ 2.2.1 Một số khái niệm 2.2.2 Giá Quyền chọn Mua giỏ i 24 24 24 26 30 33 36 36 36 MỤC LỤC 2.3 Quyền chọn Quanto 2.3.1 Khái niệm 2.3.2 Giá Quyền chọn Mua Quanto 2.4 Phương pháp Monte Carlo định giá Quyền chọn 2.4.1 Phương pháp Monte Carlo 2.4.2 Thuật toán Monte Carlo định giá Quyền chọn Mua châu Âu 2.4.3 Thuật toán Monte Carlo định giá Quyền chọn Mua châu Á 2.4.4 Kỹ thuật giảm phương sai phương pháp Monte Carlo Kết luận hướng nghiên cứu Phụ lục Phụ lục Tài liệu tham khảo ii 38 38 39 41 42 43 43 45 49 50 55 59 Lời mở đầu Tốn học tài đời 100 năm qua, đánh dấu cơng trình Louis Bachelier Lý thuyết đầu tài Xuất phát từ thực tiễn Tốn học tài đời khoa học sử dụng cơng cụ toán học để nghiên cứu đề thị trường tài nhằm đưa định giá cho sản phẩm tài nói chung Thị trường Quyền chọn số thị trường tài quan trọng Đối với thị trường phái sinh tài nói chung, thị trường Quyền chọn nói riêng vấn đề định giá sản phẩm phái sinh hay định giá Quyền chọn đề tài nhiều nhà khoa học quan tâm Đã có nhiều cơng trình nhà khoa học định giá Quyền chọn Đặc biệt, vào năm 1973, tạp chí kinh tế trị, hai nhà kinh tế kiêm tốn học Mỹ Fisher Black Myron Scholes công bố báo quan trọng định giá Quyền chọn Kể từ đời mơ hình Black - Scholes để định giá tài sản không rủi ro thị trường với thời gian liên tục Cũng từ mơ hình với cơng thức Black - Scholes tác động có tính chất cách mạng đến thị trường chứng khoán Mỹ Người ta thấy rõ đơn giản hiệu mơ hình để định giá chứng khoán hợp đồng Quyền chọn có kể đến yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị trường Với hợp đồng Quyền chọn không đơn viết loại tài sản sở, mà viết tổng hợp tài sản cở sở theo nghĩa Thí dụ Quyền chọn viết tập hợp n cổ phiếu S1 , , Sn với trọng số α1 , , αn khác Quyền chọn dạng gọi Quyền chọn theo giỏ (Basket option) Đối với Quyền chọn theo giỏ tài sản sở không mang dáng điệu phân phối logarit - chuẩn Quyền chọn châu Âu Chính mà khơng tồn tài cơng thức đóng kiểu Black - Scholes cho giá Quyền chọn theo giỏ Không có Quyền chọn theo giỏ mà tài sản sở số Quyền chọn tổng hợp khác Quyền chọn châu Á hay Quyền chọn Quanto không mang dáng điệu phân phối logarit - chuẩn Chính lẽ dẫn đến khó khăn cho việc định giá loại Quyền chọn tổng hợp Để khắc phục khó khăn nhà khoa học tìm cách xấp xỉ tài sản iii MỤC LỤC iv sở Quyền chọn tổng hợp biến logarit - chuẩn Với mục đích để sử dụng ước lượng mơ hình định giá Black - Scholes Đây nội dung luận văn Bố cục luận văn gồm chương phụ lục: Chương Trình bày tổng quan hợp đồng Quyền chọn, chiến lược sử dụng Quyền chọn để phòng ngừa rủi ro đầu tư mơ hình định giá Quyền chọn Black - Scholes Sự tồn độ đo mác-tin-gan hay gọi độ đo xác suất rủi ro trung tính khẳng định định lý Girsanov cho thấy cách tiếp cận khác để định giá sản phẩm phái sinh nói chung (cụ thể Quyền chọn) Chương Trình bày Quyền chọn viết tổng hợp tài sản sở Quyền chọn châu Á, Quyền chọn theo giỏ Quyền chọn Quanto Chúng ta gọi chúng Quyền chọn tổng hợp lẽ Chúng lớp hợp đồng tài quan trọng tốn tài sử dụng rộng rãi thực tế Phần chương trình bày phương pháp Monte Carlo định giá Quyền chọn châu Âu châu Á với số kỹ thuật giảm phương sai sử dụng phương pháp Monte Carlo kỹ thuật biến điều khiển kỹ thuật đại diện đối Chương trình thuật tốn Monte cho giá Quyền chọn châu Âu Quyền chọn châu Á dạng trung bình số học viết ngơn ngữ lập trình C/C++ Phụ lục Giải thích thêm mơ hình Black - Scholes Phụ lục Phương trình đạo hàm riêng Black - Scholes Dù cố gắng thời gian kiến thức có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót ngồi ý muốn Tác giả ln mong muốn đón nhận ý kiến đóng góp từ Thầy cô bạn đọc Hà Nội - 2014 Học viên Nguyễn Hữu Hải Danh sách hình bảng biểu Hình 1.1: vị người mua Quyền chọn Mua Hình 1.2: vị người bán Quyền chọn Mua Hình 1.3: vị người mua Quyền chọn Bán Hình 1.4: vị người bán Quyền chọn Bán Hình 1.5: biến thiên giá cổ phiếu theo mơ hình (1.4) Hình 1.6: giá Quyền chọn Mua châu Âu viết cổ phiếu S, giá thực thi tăng dần Hình 1.7: giá Quyền chọn Mua châu Âu với thay đổi độ biến động Hình 1.8: giá Quyền chọn Mua châu Âu tỷ lệ thuận với thời gian đáo hạn hợp đồng Bảng 2.1: giá cổ phiếu Công ty FPT lúc đóng cửa từ 26/03/2013 đến 09/05/2013 Hình 2.1 : thuật toán Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Âu Hình 2.2 : thương pháp Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Âu với S0 = 100, r = 0.05, σ = 0.2 cỡ mẫu n = 10000 Hình 2.3: thuật tốn Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung bình số học Hình 2.4: giá Quyền chọn Mua châu Á sử dụng phương pháp Monte Carlo với S0 = 100, r = 0.05, σ = 0.2, T = cỡ mẫu n = 10000 Hình 2.5: giá Quyền chọn Mua châu Âu với S0 = 100, r = 0.05, σ = 0.2 cỡ mẫu n = 10000 sử dụng phương pháp Monte Carlo với biến điều khiển v Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Trần Hùng Thao người trực tiếp hướng dẫn tận tình chu đáo em suốt thời gian hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tập thể thầy giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQG Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt thời gian em học tập khoa Nhân dịp này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo mơn Tốn - Trường ĐH Nơng Nghiệp HN gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nội - 2014 Học viên Nguyễn Hữu Hải vi Chương Tổng quan Quyền chọn mơ hình định giá Quyền chọn Quyền chọn Các loại Quyền chọn Chiến lược phòng ngừa rủi ro với Quyền chọn Mơ hình Black-Scholes cơng thức Black - Scholes Phương pháp mác-tin-gan định giá Quyền chọn Định lý Girsanov 1.1 Quyền chọn Quyền chọn (Option) hợp đồng tài hai bên người mua người bán số tài sản tài (thường cổ phiếu, trái phiếu, tiền, vàng loại tài sản trừu tượng khác số chứng khốn hay lãi suất) Trong người mua có quyền (không phải nghĩa vụ) mua bán số lượng tài sản tài vào ngày tương lai với giá thỏa thuận vào ngày hôm Mức giá cố định mà người mua hợp đồng Quyền chọn mua bán tài sản gọi giá thực thi Quyền chọn mà người nắm giữ hợp đồng thực thi hợp đồng vào thời điểm đáo hạn ghi hợp đồng Quyền chọn kiểu châu Âu Còn loại hợp đồng Quyền chọn hạn chế Quyền chọn kiểu châu Mỹ Đối với Quyền chọn kiểu người nắm giữ hợp đồng thực thi Quyền thời điểm trước ngày đáo hạn Trong hợp đồng Quyền chọn có hai bên Bên mua Quyền chọn bên bán Quyền chọn Bên mua Quyền chọn phải trả cho bên bán Quyền chọn CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MƠ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN số tiền gọi phí Quyền chọn a) Bên bán Quyền chọn: bên phát hành Quyền chọn, sau thu phí Quyền chọn bên bán có nghĩa vụ sẵn sàng giao dịch (mua bán) tài sản sở thỏa thuận hợp đồng với bên mua bên mua thực quyền thời gian thỏa thuận Đối với bên bán Quyền chọn lợi nhuận tối đa phí Quyền chọn, cịn lỗ khơng giới hạn Trên thị trường có hai loại người bán Quyền chọn người bán Quyền chọn Mua (Seller Call Option) người bán Quyền chọn Bán (Seller Put Option) b) Bên mua Quyền chọn: bên nắm giữ Quyền chọn, phải trả cho bên bán phí Quyền chọn để "quyền" mua bán tài sản sở Đối với bên mua thời hạn hợp đồng có lựa chọn Thứ thực hợp đồng Quyền chọn giá thị trường biến động theo xu hướng có lợi cho họ Thứ hai bán hợp đồng Quyền chọn cho bên thứ thị trường để hưởng chêch lệch Thứ ba để Quyền chọn tự động hết hiệu lực mà không cần thực giao dịch mua bán thị trường Trường hợp xảy giá thị trường biến đổi theo hướng bất lợi cho họ Cũng bên bán Quyền chọn thị trường có hai loại người mua Quyền chọn người mua Quyền chọn Mua (Buyer Call Option) người mua Quyền chọn Bán (Buyer Put Option) Giá Quyền chọn (tức phí Quyền chọn) thay đổi theo thời gian theo giá tài sản sở Giá Quyền chọn phải phản ánh hội đem lại lợi nhuận cho bên mua Quyền chọn Do giá tài sản sở biến động mạnh thời gian đáo hạn dài giá Quyền chọn cao 1.2 Các loại Quyền chọn Một Quyền chọn cho phép chủ sở hữu có quyền mua tài sản với giá thực thi trước hay vào ngày ấn định hợp đồng gọi Quyền chọn Mua (Call option) đơn giản ta gọi (Call) Một Quyền chọn cho phép chủ sở hữu có quyền bán tài sản với giá thực thi trước hay vào ngày ấn định hợp đồng gọi Quyền chọn Bán (Put option) hay gọi (Put) 1.2.1 Quyền chọn Mua Hợp đồng Quyền chọn Mua hợp đồng tài diễn hai bên Nó cho phép người nắm giữ hợp đồng "quyền" mua số lượng tài CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP 45 n = 1000 xấp xỉ giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung bình số học viết ngơn ngữ lập trình C/C++ cho kết hình 2.4 Hình 2.4: Giá Quyền chọn Mua châu Á sử dụng phương pháp Monte Carlo với S0 = 100, r = 0.05, σ = 0.2 T = 2.4.4 Kỹ thuật giảm phương sai phương pháp Monte Carlo Để có kết xấp xỉ tốt thay tăng cỡ mẫu thật lớn tập trung giảm thiểu phương sai s Kỹ thuật gọi kỹ thuật giảm phương sai Ở giới thiệu hai phương pháp giảm thiểu phương sai thường sử dụng Phương pháp sử dụng biến điều khiển Giả thử ta có biến ngẫu nhiên Y , với trung bình θ = E(Y ) tham số ta muốn xấp xỉ, X biến ngẫu nhiên với trung bình EX = µX biết Một kỹ thuật xấp xỉ θ dựa mẫu ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn X gọi kỹ thuật biến điều khiển cặp mẫu ngẫu nhiên độc lập phân phối (Xi ,Yi ) CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP 46 gọi cặp biến điều khiển Xây dựng biến điều khiển cho tham số θ n ¯ ¯ ¯ Ycv = Y − X + µX = ∑ (Yi − Xi + µX ) n i=1 Dễ thấy biến điều khiển Y¯cv ước lượng khơng chệch cho tham số θ Mặt khác ta có 1 Var(Y¯cv ) = Var(Y − X + µX ) = (σY2 + σX2 − 2ρXY σX σY ) n n Từ hệ thức cho thấy σX2 < 2ρXY σX σY Var(Y¯cv ) giảm thực Để có Var(Y¯cv ) hợp lý ta đưa vào biến điều khiển hệ số β gọi hệ số điều khiển biến điều khiển có dạng n ¯ ¯ ¯ Ycv = Y − β (X − µX ) = ∑ [Yi − β (Xi − µX )] n i=1 Khi phương sai biến điều khiển Var(Y¯cv (β )) = (σY2 + β σX2 − 2β ρXY σX σY ) n Nếu lấy hệ số điều khiển β= cov(X,Y ) σX ρXY = , σY VarX Var(Y¯cv (β )) đạt giá trị nhỏ Nhưng vấn đề đặt cov(X,Y ) chưa biết nên hệ số β chưa xác định Vậy để có hệ số điểu khiển β ta xấp xỉ cov(X,Y ) dựa mẫu ngẫu nhiên (Xi ,Yi ) Nếu ta ký hiệu n ¯ Sxx = (Xi − X) ∑ n − i=1 n ¯ i − Y¯ ), Sxy = ∑ (Xi − X)(Y n − i=1 hệ số Sxy Sxx Khi theo luật mạnh số lớn hệ số β ∗ hội tụ β với xác suất β∗ = CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP 47 Trở lại vấn đề định giá Quyền chọn Mua châu Âu Ta biết giá hôm Quyền chọn Mua châu Âu viết cổ phiếu S với giá thực thi X thời gian đáo hạn T xác định hệ thức V (S, 0) = E[max(ST − X, 0)] = E(Y ), với Y = max(ST − X, 0) biến ngẫu nhiên cần xấp xỉ giá trị trung bình Ta xét biến điều khiển cho Y Y¯cv = Y¯ − β (X¯ − µX ), ta chọn biến ngẫu nhiên X = ST giá cổ phiếu thời điểm đáo hạn T với EX = EST = s0 erT biết Bây ta sử dụng phương pháp Monte Carlo với biến điều khiển Y¯cv với S0 = 100 đô la , r = 0.05, σ = 0.2 với cỡ mẫu n = 10000 Thuật toán chạy C/C + + cho kết giá Quyền chọn Mua châu Âu với sai số xấp xỉ tương đối bé cho hình 2.5 Hình 2.5: Giá Quyền chọn Mua châu Âu sử dụng phương pháp Monte Carlo với biến điều khiển S0 = 100 đô la , r = 0.05, σ = 0.2 với cỡ mẫu n = 10000 Phương pháp đại diện đối Giả thử cần xấp xỉ tham số θ = E(Y ) = E(h(X)) ta có hai mẫu Y Y1 Y2 Khi tham số θ xấp xỉ Y1 +Y2 θˆ = CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP 48 Do ta có VarY1 +VarY2 + 2cov(Y1 ,Y2 ) Từ hệ thức cho thấy hai mẫu tương quan âm phương sai Varθˆ giảm đáng kể Bây ta xét trường hợp X biến ngẫu nhiên chuẩn tắc, tức X ∼ N(0, 1) Khi n ˆ θ = ∑ h(Xi ), n i=1 Varθˆ = gọi xấp xỉ Monte Carlo thô cho tham số θ = E(h(X)) n θˆ a = ∑ [h(Xi) + h(−Xi)], 2n i=1 Xi −Xi gọi đại diện đối Sử dụng θˆ a xấp xỉ cho tham số θ = E(h(X)) gọi phương pháp đại diện đối Kết luận hướng nghiên cứu Kết luận - Sau trình bày số khái niệm hợp đồng Quyền chọn giới thiệu mơ hình Black - Scholes, công thức Black - Scholes phương pháp rủi ro trung tính để định giá Quyền chọn Luận văn sâu vào nghiên cứu hợp đồng Quyền chọn tổng hợp Quyền chọn châu Á, Quyền chọn giỏ Quyền chọn Quanto - Phần luận văn trình bày phương pháp Monte Carlo thuật toán Monte Carlo định giá Quyền chọn số kỹ thuật giảm phương sai phổ biến sử dụng phương pháp Monte Carlo Chương trình thuật tốn Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Âu châu Á viết ngôn ngữ C/C++ với cỡ mẫu n = 10000 thuật toán Monte Carlo với kỹ thuật sử dụng biến điều khiển Hướng nghiên cứu - Tìm hiểu, nghiên cứu định giá Quyền chọn tổng hợp với tài sản sở tuân theo mô hình Black -Scholes với độ biến động ngẫu nhiên dSt = St µdt + St σt dWt , ta giả thiết thêm độ biến động σt tuân theo chuyển động Brown hình học dσt2 = σt2 (β dt + γdWt ) - Tìm hiểu nghiên cứu thêm phương pháp Monte Carlo định giá Quyền chọn tổng hợp kỹ thuật giảm phương sai sử dụng phương pháp Monte Carlo 49 Phụ lục Giải thích thêm mơ hình Black -Scholes Mơ hình Black -Scholes cơng thức Black - Scholes giới thiệu sơ lược mục 1.4 chương Ở phụ lục ta giải thích thêm mơ hình Black -Scholes dẫn dắt tốn học dẫn tới công thức tiếng Black -Scholes Các ước lượng mơ hình Black - Scholes Ta xét mơ hình Black -Scholes mơ tả diễn biến giá cổ phiếu S dSt = µSt dt + σ St dWt (1.1) Đây phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính (các hệ số dt dWt hàm bậc St ) Nhìn chung phương trình vi phân ngẫu nhiên khơng có lời giải hiển dạng giải tích đẹp đẽ Nhưng may phương trình có dạng Theo giải tích ngẫu nhiên nghiệm phương trình nói q trình ngẫu nhiên St = S(t, ω) có dạng St = S0 exp σWt + (µ − σ /2)t (1.2) Q trình St gọi chuyển động Brown hình học, với S0 giá cổ phiếu quan sát thời điểm t = Câu hỏi đặt tham số µ σ xác định nào? Bằng quan sát, ta ước lượng tham số chuyển động Brown hình học, điều có nghĩa ta ước lượng giá St cổ phiếu Giả thử ta có giá trị quan sát giá cổ phiếu khoảng thời gian [0, T ], cụ thể sau: Nếu ta phân hoạc đoạn [0, T ] thành n khoảng nhỏ với điểm chia = t0 < t1 < < tn = T , đặt ∆t = ti+1 − ti ; i = 0, 1, , n Giả thử ta biết giá chứng khoán thời điểm = t0 < t1 < 50 CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP 51 < tn = T tương ứng S0 , S1 , , Sn Ta thiết lập dãy số liệu sau Ui+1 = ln(Si+1 ) − ln(Si ), (1.3) với i = 0, 1, 2, , n − ta có U1 ,U2 , ,Un dãy số Nhưng theo cơng thức chuyển động Brown hình học ta biểu diễn Ui Ui = σWti − σWti−1 + (µ − σ /2)∆t (1.4) Chú ý đại lượng Wti −Wti−1 có tính chất i) Wti −Wti−1 biến ngẫu nhiên chuẩn với trung bình khơng, phương sai ∆t ii) Các đại lượng Wti −Wti−1 biến ngẫu nhiên độc lập Ta xem U biến ngẫu nhiên với thể (U1 ,U2 , ,Un ) Khi ta có trung bình mẫu phương sai mẫu n ¯ U = ∑ Ui n i=1 (1.5a) n ¯ S = (Ui − U) ∑ n − i=1 (1.5b) Đó ước lượng cho trung bình phương sai lý thuyết biến ngẫu nhiên U Như ta có U¯ = (µ − σ /2)∆t (1.6a) S2 = σ ∆t (1.6b) Từ suy ta tìm µ σ từ hệ thức sau U¯ + S2 /2 µ= ∆t S σ=√ ∆t (1.7a) (1.7b) Thí dụ Giá cổ phiếu cơng ty FPT lúc đóng cửa khoảng thời gian từ 26/03/2013 đến 09/05/2013 số liệu thông kê bảng 1.1 38,30 37,80 37,80 37,80 38,40 38,70 38,40 38,10 38,40 39,70 40,90 39,80 39,20 39,00 37,80 37,50 38,00 37,00 36,90 37,30 37,10 37,20 37,20 37,00 37,10 37,50 37,60 37,80 37,80 37,80 Bảng 2.1: Giá cổ phiếu cơng ty FPT lúc đóng cửa từ 26/03/2013 đến 9/05/2013 Từ bảng số liệu giá cổ phiếu FPT ta có bảng số liệu cho U Tính toán ta CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP 52 thu trung bình phương sai quan sát U¯ = −0.000453131 (1.8a) S2 = 0.00021149 (1.8b) Như ta có ước lượng µ σ theo tỷ lệ xích năm ∆t = 1/365 U¯ + S2 /2 = −0.1268 ∆t S σˆ = √ = 0.0007612 ∆t µˆ = (1.9a) (1.9b) Như giá cổ phiếu S thời điểm t ước lượng Sˆt = S0 e0.0007612Wt +(−0.1268−(−0.0007612) /2)t = S0 e0.0007612Wt +0.1276t Công thức Black-Scholes cho giá Quyền chọn Mua châu Âu Xét Quyền chọn Mua châu Âu viết cổ phiếu S với giá thực thi X thời điểm đáo hạn T Khi giá V (S, 0) Quyền chọn thời điểm hôm (t = 0) cho công thức V (S, 0) = e−rT E[(ST − X)+ ] Giả thử giá chứng khoán St tn theo mơ hình Black -Scholes, ST giá trị chuyển động Brown hình học ST = S0 exp σWT + (r − σ /2)T Như ta biết W√ T biến ngẫu nhiên với trung bình 0, phương sai T nên ta đặt WT = T Z, Z biến ngẫu nhiên chuẩn tắc Khi ST trở thành √ ST = S0 exp σ T Z + (r − σ /2)T , (1.10) từ ta có giá Quyền chọn V (S, 0) = e −rT √ E S0 exp σ T Z + (r − σ /2)T − X + (1.11) CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP 53 Do giá Quyền chọn V tính e−rT V=√ 2π ∞ −∞ S0 e σ √ T x+(r−σ /2)T −X + − x2 e dx (1.12) Để tính tích phân (1.12) ta để ý đại lượng dấu ngoặc vuông không âm, tức √ σ T x+(r−σ /2)T S0 e −X ≥ Bây ta tìm giá trị x = x0 dấu "=" hệ thức xẩy tức S0 eσ √ T x+(r−σ /2)T −X = Ta rút giá trị x0 ln SX0 − (r − σ2 )T √ x0 = σ T (1.13) ∞ x0 Do tích phân (1.12) tách thành −∞ = −∞ + x∞0 Đối với tích phân thứ hàm dấu tích phân tích phân (1.12), cận tích phân cần chạy từ x0 đến +∞ Vậy ta có giá Quyền chọn V e−rT V=√ 2π ∞ S0 eσ x0 √ T x+(r−σ /2)T −X + − x2 e dx (1.14) Hay là: −rT V =e √ 2π ∞ x0 S0 e √ σ T x+(r−σ /2)T − x2 e a) Trong tích phân thứ hai, I2 = ta −1 I2 = √ 2π −x0 −∞ ∞ − x2 √1 Xe x 2π u2 −X Xe− dx = √ 2π −x0 −∞ dx − √ 2π ∞ x2 Xe− dx x0 dx Ta cần đổi biến x = −u u2 e− dx = −XN(−x0 ) (1.15) x2 x e− dx hàm phân phối chuẩn tắc N(x) = √12π −∞ b) Bây ta xét tích phân thứ √ ∞ σ T x+(r−σ /2)T − x2 I1 = √ S0 e e 2π x0 √ ∞ (r−σ /2)T σ T x− x2 = √ S0 e dx e x0 2π Ta có √ √ x2 (x − σ T )2 σ T −σ Tx = − 2 (1.16) CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP 54 Do ta có √ ∞ (x−σ T )2 σ T I1 = √ S0 e(r−σ /2)T e− + dx x0 2π √ ∞ (x−σ T )2 rT − e dx = √ S0 e x0 2π √ Nhờ phép đổi biến y = x − σ T I1 viết thành I1 = √ S0 erT 2π Vậy ∞ √ x0 −σ T e − y2 dy = √ S0 erT 2π √ −(x0 −σ T ) y2 e− dy −∞ √ I1 = S0 e N − (x0 − σ T ) rT (1.17) Kết hợp hai tích phânI1 I2 vào (2.31) ta giá Quyền chọn V V = e−rT (I1 + I2 ) √ = e−rT S0 erT N − (x0 − σ T ) − XN(−x0 ) √ = S0 N − (x0 − σ T ) − Xe−rT N(−x0 ) (1.18) Theo (1.13) ln SX0 − (r − σ2 )T √ x0 = σ T suy ta có ln SX0 + (r − σ2 )T √ −x0 = σ T √ √ ln SX0 + (r + σ2 )T √ −(x0 − σ T ) = −x0 + σ T = σ T √ Nếu ta đặt d2 = −x0 d1 = −x0 + σ T ta có giá Quyền chọn Mua thời điểm t = V = S0 N(d1 ) − Xe−rT N(d2 ), đó, S √ [ln + (r + σ /2)T ] σ T √X d2 = d1 − σ T d1 = (1.19) Phụ lục Phương trình đạo hàm riêng Black - Scholes Ta nhớ lại f hàm xác định có đạo hàm cấp khoảng I chứa điểm a Khi khai triển Taylor hàm f điểm x = a ∞ f (n) (a) ∑ n! (x − a) n=0 Nếu chuỗi hội tụ tới hàm f I ta có ∞ f (x) = f (a) + ∑ n=1 f (n) (a) (x − a), n! hay ∞ f (x) − f (a) = ∑ n=1 f (n) (a) (x − a) n! Bây biểu thức ta x x + ∆x a x ta thu ∆ f = f (x + ∆x) − f (x) = f (x) f (x) ∆x + (∆x)2 + 1! 2! Bây ta quay trở lại xét chuyển động Brown hình học giá cổ phiếu S dS = µdt + σ dW S Điều xẩy độ biến thiên dt → Với xác suất (dW )2 → dt mà dt → Ta giả thử f (S) hàm giá cổ phiếu S Nếu thay S lượng biến thiên nhỏ dS theo định lý Taylor ta có df = df d2 f dS + (dS)2 + dS dS 55 CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP 56 Ta lại có 2 (dS) = S µdt + σ dW = S2 µ (dt)2 + 2µσ dtdW + σ (dW )2 Do (dW )2 → dt dt → Do đại lượng S2 σ dt thay cho S2 σ (dW )2 xấp xỉ cho giá trị (dS)2 Lúc ta có d2 f 2 df dS + S σ dt dS dS2 d2 f 2 df (Sµdt + Sσ dW ) + S σ dt df = dS dS2 d f 2 d2 f df d f = Sµ + S σ dt + Sσ dW dS dS2 dS df = Đây bổ để Itô liên quan tới lượng thay đổi nhỏ hàm biến ngẫu nhiên tới lượng thay đổi nhỏ biến Được xác định thành phần dt dW Thực tế cần phiên bổ đề Itô cho hàm f có nhiều biến: f hàm hai biến S t ta có d f = Sµ ∂f ∂ f 2∂2 f ∂ f + S σ + dt + Sσ dW ∂S ∂ S2 ∂t ∂S Gọi V (S,t) giá Quyền chọn viết cổ phiếu S thời điểm t Cổ phiếu S tuân theo chuyển động Brown hình học với độ dịch chuyển µ độ biến động σ Sử dụng bổ đề Itô nói ta có ∂V 2 ∂ 2V ∂V ∂V dV = Sµ + S σ + dt + Sσ dW ∂S ∂S ∂t ∂S Bây ta xét phương án đầu tư với Quyền chọn −∆ đơn vị cổ phiếu Giá trị phương án π = V − ∆S Do lượng nhỏ giá trị phương án đầu tư dπ = dV − ∆dS ∂V 2 ∂ 2V ∂V ∂V = Sµ + S σ + dt + Sσ dW − ∆dS ∂S ∂S ∂t ∂S ∂V 2 ∂ 2V ∂V ∂V = Sµ + S σ + dW − ∆(Sµdt + Sσ dW ) dt + Sσ ∂S ∂ S2 ∂t ∂S ∂V 2 ∂ 2V ∂V ∂V = Sµ + S σ + − ∆Sµ dt + Sσ − ∆ dW ∂S ∂ S2 ∂t ∂S CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP Nếu ta chọn ∆ = ∂V ∂S , 57 ta có dπ = 2 ∂ 2V ∂V S σ + dt ∂ S2 ∂t Nếu gọi r tỷ lệ lãi suất không rủi ro Nếu π đầu tư vào tài sản khơng rủi ro tăng trưởng rπdt khoảng thời gian nhỏ dt Do ta có dπ = rπdt, hay 2 ∂ 2V ∂V S σ + dt = rπdt ∂ S2 ∂t Mặt khác ta có π = V − ∆S = V − ∂V ∂ S S Vậy nên r V− ∂V S = ∂S 2 ∂ 2V ∂V S σ + ∂ S2 ∂t Hay ta có ∂V 2 ∂ 2V ∂V + S σ + rS − rV = (2.31) ∂t ∂S ∂S Phương trình (1.32) gọi phương trình đạo hàm riêng Black -Scholes (PDE Black -Scholes) Áp dụng phương trình đạo hàm riêng Black -Scholes để định giá phái sinh, hạn Quyền chọn Mua châu Âu phương trình (1.32) phải kết hợp điều kiện sau (còn gọi điều kiện biên Quyền chọn) là: i) Giá Quyền chọn V (S, T ) = (S − X)+ ) = Quyền chọn ăn đậm (deep-in-theii) limS→∞ V (S,T S mony option) Đó Quyền chọn có giá thực thi thấp hẳn giá thị trường chứng khoán sở, người nắm giữ Quyền chọn thắng lớn iii) Nếu t =t mà S(t0 ) = V (S,t) = 0, ∀t > t0 Như để định giá Quyền chọn Mua châu Âu ta phải giải phương trình Black -Scholes (1.32) với V = V (S, T ) = (S − X)+ Bằng phép đổi biến ta đưa phương trình (1.32) truyền nhiệt giải phương trình truyền nhiệt phương pháp tách biến thu nghiệm V = St N(d1 ) − Xe−r(T −t) N(d2 ) đó, S √ [ln t + (r + σ /2)T ] σ T √X d2 = d1 − σ T d1 = (2.32) CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP 58 Đây cơng thức Black - Scholes định giá Vt thời điểm t hợp đồng Quyền chọn Mua châu Âu mà ta giới thiệu Tài liệu tham khảo [1] Bùi Lê Hà, Nguyễn Văn Sơn, Giới thiệu thị trường FUTURE OPTION, NXB thống kê, năm 2000 [2] Trần Hùng Thao, Nhập mơn tốn học tài chính, NXB khoa học kỹ thuật, năm2009 [3] Trần Hùng Thao, Tốn tài bản, NXB văn hố thơng tin, năm 2013 [4] Bùi Kim Yến, Thân Thị Thu Thuỷ, Thị trường chứng khoán, NXB thống kê, năm 2010 [5] Hull, J.C (2002) Options, Futures, and Other Derivatives Prentice Hall, USA [6] A.G.Z Kemna and A.C.F Vorst, (1990) a pricing method for options based on average asset values Journal of Banking and Finance 14, 113129 North - Holland [7] Ju, N., (2002) Pricing Asian and basket options via Taylor expansion The Journal of Computational Finance, 5, 3, 79-103 [8] Kuan Wen Chen, Yuh Dauh Lyuu, (2007) Accurate pricing formulas for Asian options Applied mathematics and computation 188 (2007) 17111724 59