Lý thuyết các quyền chọn tổng hợp trong toán tài chính 002

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN HỮU HẢI LÝ THUYẾT CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP TRONG TỐN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN HỮU HẢI LÝ THUYẾT CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP TRONG TỐN TÀI CHÍNH Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Hùng Thao Hà Nội - 2014 Mục lục Lời mở đầu Danh sách hình bảng biểu Tổng quan Quyền chọn mơ hình định giá Quyền chọn 1.1 Quyền chọn 1.2 Các loại Quyền chọn 1.2.1 1.2.2 1.3 Chiến lược phòng ngừa 1.3.1 1.3.2 1.4 Mơ hình Black-Scholes 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.5 Phương pháp mác-tin-ga 1.5.1 1.5.2 1.5.3 Các Quyền chọn tổng hợp 2.1 Quyền chọn châu Á 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 Quyền chọn giỏ 2.2.1 2.2.2 i 2.3 Quyền chọn Quanto 2.4 Phương pháp Monte Carlo định giá Quyền chọn Kết luận hướng nghiên cứu Phụ lục Phụ lục Tài liệu tham khảo Lời mở đầu Tốn học tài đời 100 năm qua, đánh dấu cơng trình Louis Bachelier Lý thuyết đầu tài Xuất phát từ thực tiễn Tốn học tài đời khoa học sử dụng cơng cụ tốn học để nghiên cứu đề thị trường tài nhằm đưa định giá cho sản phẩm tài nói chung Thị trường Quyền chọn số thị trường tài quan trọng Đối với thị trường phái sinh tài nói chung, thị trường Quyền chọn nói riêng vấn đề định giá sản phẩm phái sinh hay định giá Quyền chọn đề tài nhiều nhà khoa học quan tâm Đã có nhiều cơng trình nhà khoa học định giá Quyền chọn Đặc biệt, vào năm 1973, tạp chí kinh tế trị, hai nhà kinh tế kiêm toán học Mỹ Fisher Black Myron Scholes công bố báo quan trọng định giá Quyền chọn Kể từ đời mơ hình Black - Scholes để định giá tài sản không rủi ro thị trường với thời gian liên tục Cũng từ mơ hình với cơng thức Black - Scholes tác động có tính chất cách mạng đến thị trường chứng khoán Mỹ Người ta thấy rõ đơn giản hiệu mơ hình để định giá chứng khốn hợp đồng Quyền chọn có kể đến yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị trường Với hợp đồng Quyền chọn không đơn viết loại tài sản sở, mà viết tổng hợp tài sản cở sở theo nghĩa Thí dụ Quyền chọn viết tập hợp n cổ phiếu S 1; :::; Sn với trọng số a1; :::; an khác Quyền chọn dạng gọi Quyền chọn theo giỏ (Basket option) Đối với Quyền chọn theo giỏ tài sản sở không mang dáng điệu phân phối logarit - chuẩn Quyền chọn châu Âu Chính mà khơng tồn tài cơng thức đóng kiểu Black - Scholes cho giá Quyền chọn theo giỏ Khơng có Quyền chọn theo giỏ mà tài sản sở số Quyền chọn tổng hợp khác Quyền chọn châu Á hay Quyền chọn Quanto không mang dáng điệu phân phối logarit - chuẩn Chính lẽ dẫn đến khó khăn cho việc định giá loại Quyền chọn tổng hợp Để khắc phục khó khăn nhà khoa học tìm cách xấp xỉ tài sản iii MỤC LỤC iv sở Quyền chọn tổng hợp biến logarit - chuẩn Với mục đích để sử dụng ước lượng mơ hình định giá Black - Scholes Đây nội dung luận văn Bố cục luận văn gồm chương phụ lục: Chương Trình bày tổng quan hợp đồng Quyền chọn, chiến lược sử dụng Quyền chọn để phòng ngừa rủi ro đầu tư mơ hình định giá Quyền chọn Black - Scholes Sự tồn độ đo mác-tin-gan hay gọi độ đo xác suất rủi ro trung tính khẳng định định lý Girsanov cho thấy cách tiếp cận khác để định giá sản phẩm phái sinh nói chung (cụ thể Quyền chọn) Chương Trình bày Quyền chọn viết tổng hợp tài sản sở Quyền chọn châu Á, Quyền chọn theo giỏ Quyền chọn Quanto Chúng ta gọi chúng Quyền chọn tổng hợp lẽ Chúng lớp hợp đồng tài quan trọng tốn tài sử dụng rộng rãi thực tế Phần chương trình bày phương pháp Monte Carlo định giá Quyền chọn châu Âu châu Á với số kỹ thuật giảm phương sai sử dụng phương pháp Monte Carlo kỹ thuật biến điều khiển kỹ thuật đại diện đối Chương trình thuật tốn Monte cho giá Quyền chọn châu Âu Quyền chọn châu Á dạng trung bình số học viết ngơn ngữ lập trình C/C++ Phụ lục Giải thích thêm mơ hình Black - Scholes Phụ lục Phương trình đạo hàm riêng Black - Scholes Dù cố gắng thời gian kiến thức có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót ngồi ý muốn Tác giả ln mong muốn đón nhận ý kiến đóng góp từ Thầy bạn đọc Hà Nội - 2014 Học viên Nguyễn Hữu Hải Danh sách hình bảng biểu Hình 1.1: vị người mua Quyền chọn Mua Hình 1.2: vị người bán Quyền chọn Mua Hình 1.3: vị người mua Quyền chọn Bán Hình 1.4: vị người bán Quyền chọn Bán Hình 1.5: biến thiên giá cổ phiếu theo mơ hình (1.4) Hình 1.6: giá Quyền chọn Mua châu Âu viết cổ phiếu S, giá thực thi tăng dần Hình 1.7: giá Quyền chọn Mua châu Âu với thay đổi độ biến động Hình 1.8: giá Quyền chọn Mua châu Âu tỷ lệ thuận với thời gian đáo hạn hợp đồng Bảng 2.1: giá cổ phiếu Cơng ty FPT lúc đóng cửa từ 26/03/2013 đến 09/05/2013 Hình 2.1 : thuật tốn Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Âu Hình 2.2 : thương pháp Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Âu với S0 = 100; r = 0:05; s = 0:2 cỡ mẫu n = 10000 Hình 2.3: thuật tốn Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung bình số học Hình 2.4: giá Quyền chọn Mua châu Á sử dụng phương pháp Monte Carlo với S0 = 100; r = 0:05; s = 0:2; T = cỡ mẫu n = 10000 Hình 2.5: giá Quyền chọn Mua châu Âu với S0 = 100; r = 0:05; s = 0:2 cỡ mẫu n = 10000 sử dụng phương pháp Monte Carlo với biến điều khiển v Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Trần Hùng Thao người trực tiếp hướng dẫn tận tình chu đáo em suốt thời gian hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tập thể thầy giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQG Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt thời gian em học tập khoa Nhân dịp này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo mơn Tốn - Trường ĐH Nơng Nghiệp HN gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nội - 2014 Học viên Nguyễn Hữu Hải vi Chương Tổng quan Quyền chọn mơ hình định giá Quyền chọn Quyền chọn Các loại Quyền chọn Chiến lược phòng ngừa rủi ro với Quyền chọn Mơ hình Black-Scholes cơng thức Black - Scholes Phương pháp mác-tin-gan định giá Quyền chọn Định lý Girsanov 1.1 Quyền chọn Quyền chọn (Option) hợp đồng tài hai bên người mua người bán số tài sản tài (thường cổ phiếu, trái phiếu, tiền, vàng loại tài sản trừu tượng khác số chứng khốn hay lãi suất) Trong người mua có quyền (khơng phải nghĩa vụ) mua bán số lượng tài sản tài vào ngày tương lai với giá thỏa thuận vào ngày hôm Mức giá cố định mà người mua hợp đồng Quyền chọn mua bán tài sản gọi giá thực thi Quyền chọn mà người nắm giữ hợp đồng thực thi hợp đồng vào thời điểm đáo hạn ghi hợp đồng Quyền chọn kiểu châu Âu Còn loại hợp đồng Quyền chọn hạn chế Quyền chọn kiểu châu Mỹ Đối với Quyền chọn kiểu người nắm giữ hợp đồng thực thi Quyền thời điểm trước ngày đáo hạn Trong hợp đồng Quyền chọn có hai bên Bên mua Quyền chọn bên bán Quyền chọn Bên mua Quyền chọn phải trả cho bên bán Quyền chọn CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN số tiền cịn gọi phí Quyền chọn a) Bên bán Quyền chọn: bên phát hành Quyền chọn, sau thu phí Quyền chọn bên bán có nghĩa vụ sẵn sàng giao dịch (mua bán) tài sản sở thỏa thuận hợp đồng với bên mua bên mua thực quyền thời gian thỏa thuận Đối với bên bán Quyền chọn lợi nhuận tối đa phí Quyền chọn, cịn lỗ khơng giới hạn Trên thị trường có hai loại người bán Quyền chọn người bán Quyền chọn Mua (Seller Call Option) người bán Quyền chọn Bán (Seller Put Option) b) Bên mua Quyền chọn: bên nắm giữ Quyền chọn, phải trả cho bên bán phí Quyền chọn để "quyền" mua bán tài sản sở Đối với bên mua thời hạn hợp đồng có lựa chọn Thứ thực hợp đồng Quyền chọn giá thị trường biến động theo xu hướng có lợi cho họ Thứ hai bán hợp đồng Quyền chọn cho bên thứ thị trường để hưởng chêch lệch Thứ ba để Quyền chọn tự động hết hiệu lực mà không cần thực giao dịch mua bán thị trường Trường hợp xảy giá thị trường biến đổi theo hướng bất lợi cho họ Cũng bên bán Quyền chọn thị trường có hai loại người mua Quyền chọn người mua Quyền chọn Mua (Buyer Call Option) người mua Quyền chọn Bán (Buyer Put Option) Giá Quyền chọn (tức phí Quyền chọn) thay đổi theo thời gian theo giá tài sản sở Giá Quyền chọn phải phản ánh hội đem lại lợi nhuận cho bên mua Quyền chọn Do giá tài sản sở biến động mạnh thời gian đáo hạn dài giá Quyền chọn cao 1.2 Các loại Quyền chọn Một Quyền chọn cho phép chủ sở hữu có quyền mua tài sản với giá thực thi trước hay vào ngày ấn định hợp đồng gọi Quyền chọn Mua (Call option) đơn giản ta gọi (Call) Một Quyền chọn cho phép chủ sở hữu có quyền bán tài sản với giá thực thi trước hay vào ngày ấn định hợp đồng gọi Quyền chọn Bán (Put option) hay gọi (Put) 1.2.1 Quyền chọn Mua Hợp đồng Quyền chọn Mua hợp đồng tài diễn hai bên Nó cho phép người nắm giữ hợp đồng "quyền" mua số lượng tài CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP : < tn = T tương ứng S0; S1; :::; Sn Ta thiết lập dãy số liệu sau Ui+1 = ln(Si+1) ln(Si); với i = 0; 1; 2; :::; n ta có U 1;U2; :::;Un dãy số Nhưng theo công thức chuyển động Brown hình học ta biểu diễn Ui U = sW i ti Chú ý đại lượng Wti i) Wti Wti biến ngẫu nhiên chuẩn với trung bình khơng, phương sai Dt ii) Các đại lượng Wti Wti biến ngẫu nhiên độc lập Ta xem U biến ngẫu nhiên với thể (U1;U2; :::;Un) Khi ta có ¯ U S Đó ước lượng cho trung bình phương sai lý thuyết biến ngẫu nhiên U Như ta có Từ suy ta tìm m s từ hệ thức sau Dt Thí dụ Giá cổ phiếu cơng ty FPT lúc đóng cửa khoảng thời gian từ 26/03/2013 đến 09/05/2013 số liệu thông kê bảng 1.1 38,30 40,90 37,10 Bảng 2.1: Giá cổ phiếu cơng ty FPT lúc đóng cửa từ 26/03/2013 đến 9/05/2013 Từ bảng số liệu giá cổ phiếu FPT ta có bảng số liệu cho U Tính tốn ta CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP thu trung bình phương sai quan sát Như ta có ước lượng m s theo tỷ lệ xích năm Dt = 1=365 ¯ mˆ = sˆ Như giá cổ phiếu S thời điểm t ước lượng : +( Sˆt = S0e0 0007612Wt = : ( 1268 : )2=) 0007612 2t 0:0007612W +0:1276t S0e t Công thức Black-Scholes cho giá Quyền chọn Mua châu Âu Xét Quyền chọn Mua châu Âu viết cổ phiếu S với giá thực thi X thời điểm đáo hạn T Khi giá V (S; 0) Quyền chọn thời điểm hôm (t = 0) cho công thức rT + V (S; 0) = e E[(ST X) ] Giả thử giá chứng khốn St tn theo mơ hình Black -Scholes, ST giá trị chuyển động Brown hình học ST = S0 exp sWT + (r s =2)T Như ta biết WpT biến ngẫu nhiên với trung bình 0, phương sai T nên ta đặt WT = T Z, Z biến ngẫu nhiên chuẩn tắc Khi S T trở thành p ST = S0 exp s từ ta có giá Quyền chọn V (S; 0) = e rT E S0 exp s p = CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP Do giá Quyền chọn V tính e V =p Để tính tích phân (1.12) ta để ý đại lượng dấu ngoặc vuông không âm, tức S0 e Bây ta tìm giá trị x = x0 dấu "=" hệ thức xẩy tức p S es T x+(r s =2)T X=0 Ta rút giá trị x0 x0 = Do tích phân (1.12) tách thành R¥ ¥ = R x0 ¥ R ¥ + x Đối với tích phân thứ hàm dấu tích phân tích phân (1.12), cận tích phân cần chạy từ x0 đến +¥ Vậy ta có giá Quyền chọn V Hay là: V=e rT ta a) Trong tích phân thứ hai, I I2 = p N(x) = b) Bây ta xét tích Ta có R CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP Do ta có 1 Nhờ phép đổi biến y = x I1 = p Vậy Kết hợp hai tích phân =e rT S0erT N(x0 s p (1.18) = S0N Theo (1.13) x0) (x0 s T ) suy ta có x0 = (x0 s T ) = x0 + s T = Nếu ta đặt d2 = x0 d1 = thời điểm t = đó, d1 = d2 = d Phụ lục Phương trình đạo hàm riêng Black - Scholes Ta nhớ lại f hàm xác định có đạo hàm cấp khoảng I chứa điểm a Khi khai triển Taylor hàm f điểm x = a ¥ å n=0 Nếu chuỗi hội tụ tới hàm f I ta có f (x) = f (a) + å hay f (x) f (a) = å Bây biểu thức ta x x + Dx a x ta thu D f = f (x + Dx) f (x) = f 0(x) Dx + f 00(x) 1! (Dx)2 + ::: 2! Bây ta quay trở lại xét chuyển động Brown hình học giá cổ phiếu S dS = mdt + sdW S Điều xẩy độ biến thiên dt ! 0: Với xác suất (dW ) ! dt mà dt ! 0: Ta giả thử f (S) hàm giá cổ phiếu S Nếu thay S lượng biến thiên nhỏ dS theo định lý Taylor ta có df= 55 CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP Ta lại có 2 (dS) = S 2 Do (dW ) ! dt dt ! Do đại lượng S s dt thay cho 2 2 S s (dW ) xấp xỉ cho giá trị (dS) Lúc ta có df df= df df= df= Đây bổ để Itô liên quan tới lượng thay đổi nhỏ hàm biến ngẫu nhiên tới lượng thay đổi nhỏ biến Được xác định thành phần dt dW Thực tế cần phiên bổ đề Itơ cho hàm f có nhiều biến: f hàm hai biến S t ta có d f = Sm Gọi V (S;t) giá Quyền chọn viết cổ phiếu S thời điểm t Cổ phiếu S tuân theo chuyển động Brown hình học với độ dịch chuyển m độ biến động s Sử dụng bổ đề Itơ nói ta có dV = Sm Bây ta xét phương án đầu tư với Quyền chọn D đơn vị cổ phiếu Giá trị phương án p = V DS: Do lượng nhỏ giá trị phương án đầu tư dp = dV DdS = Sm ¶V ¶ 2V ¶V ¶V + S2s2 + dt + Ss dW ¶ S 2¶ S ¶t¶ S = ¶V Sm + S2s2 ¶ 2V ¶V + ¶V dt + Ss dW ¶ S 2¶ S ¶t¶ S = Sm DdS D(Smdt + SsdW ) ¶V ¶ S CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP D dW 57 Nếu ta chọn D = dt: Nếu gọi r tỷ lệ lãi suất không rủi ro Nếu p đầu tư vào tài sản khơng rủi ro tăng trưởng rpdt khoảng thời gian nhỏ dt Do ta có dp = rpdt; hay ¶ 2V ¶V S2s2 + dt = rpdt: ¶ S ¶t2 Mặt khác ta có p = V r V Hay ta có Phương trình (1.32) gọi phương trình đạo hàm riêng Black -Scholes (PDE Black -Scholes) Áp dụng phương trình đạo hàm riêng Black -Scholes để định giá phái sinh, hạn Quyền chọn Mua châu Âu phương trình (1.32) phải kết hợp điều kiện sau (còn gọi điều kiện biên Quyền chọn) là: i) Giá Quyền chọn V (S; T ) = (S ii) lim V(S;T) S!¥ S X) + mony option) Đó Quyền chọn có giá thực thi thấp hẳn giá thị trường chứng khoán sở, người nắm giữ Quyền chọn thắng lớn iii) Nếu t =t mà S(t0) = V (S;t) = 0; 8t > t0: Như để định giá Quyền chọn Mua châu Âu ta phải giải phương + trình Black -Scholes (1.32) với V = V (S; T ) = (S X) Bằng phép đổi biến ta đưa phương trình (1.32) truyền nhiệt giải phương trình truyền nhiệt phương pháp tách biến thu nghiệm đó, d1 = s d2 = d s TpX T CHƯƠNG CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP Đây công thức Black - Scholes định giá V t thời điểm t hợp đồng Quyền chọn Mua châu Âu mà ta giới thiệu Tài liệu tham khảo [1] Bùi Lê Hà, Nguyễn Văn Sơn, Giới thiệu thị trường FUTURE OP-TION, NXB thống kê, năm 2000 [2] Trần Hùng Thao, Nhập môn tốn học tài chính, NXB khoa học kỹ thuật, năm2009 [3] Trần Hùng Thao, Tốn tài bản, NXB văn hố thơng tin, năm 2013 [4] Bùi Kim Yến, Thân Thị Thu Thuỷ, Thị trường chứng khoán, NXB thống kê, năm 2010 [5] Hull, J.C (2002) Options, Futures, and Other Derivatives Prentice Hall, USA [6] A.G.Z Kemna and A.C.F Vorst, (1990) a pricing method for options based on average asset values Journal of Banking and Finance 14, 113-129 North - Holland [7] Ju, N., (2002) Pricing Asian and basket options via Taylor expansion The Journal of Computational Finance, 5, 3, 79-103 [8] Kuan Wen Chen, Yuh Dauh Lyuu, (2007) Accurate pricing formulas for Asian options Applied mathematics and computation 188 (2007) 1711-1724 59 ... Chương Các Quyền chọn tổng hợp Quyền chọn châu Á Quyền chọn giỏ Quyền chọn Quanto Phương pháp Monte Carlo định giá Quyền chọn Khơng giống mơ hình Black - Scholes Quyền chọn phụ thuộc vào tài sản... chuẩn Quyền chọn châu Âu Chính mà khơng tồn tài cơng thức đóng kiểu Black - Scholes cho giá Quyền chọn theo giỏ Khơng có Quyền chọn theo giỏ mà tài sản sở số Quyền chọn tổng hợp khác Quyền chọn. .. giữ hợp đồng thực thi Quyền thời điểm trước ngày đáo hạn Trong hợp đồng Quyền chọn có hai bên Bên mua Quyền chọn bên bán Quyền chọn Bên mua Quyền chọn phải trả cho bên bán Quyền chọn CHƯƠNG TỔNG