Các đại lượng đo lường rủi ro trong toán tài chính : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 15

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THU TRANG CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐO LƯỜNG RỦI RO TRONG TỐN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THU TRANG CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐO LƯỜNG RỦI RO TRONG TỐN TÀI CHÍNH Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN HÙNG THAO Hà Nội – 2011 Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu ii Các kiến thức mở đầu 1.1 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối 1.1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.2 Hàm phân phối xác suất 1.1.3 Phân phối rời rạc phân phối liên tục 1.2 Các số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 1.2.1 Moment 1.2.2 Phương sai 1.2.3 Hiệp phương sai 1.2.4 Hệ số tương quan 1.2.5 Độ nhọn 1.2.6 Bất đẳng thức Chebyshev 1.3 Các mơ hình phi tuyến ARCH, GARCH 1.3.1 Mơ hình tự hồi quy với phương sai có điều kiện khác nhau: ARCH(p) 1.3.2 Mơ hình tổng quát tự hồi quy với phương sai có điều kiện khác nhau: GARCH(p, q) 1.4 Phân vị thống kê (quantiles) 1 1 4 5 6 7 Các độ đo rủi ro tài 2.1 Độ đo rủi ro VaR 2.1.1 Giá trị rủi ro VaR 2.1.2 Mơ hình 11 11 12 13 v 9 2.1.3 2.2 2.3 2.4 Xác định giá trị thua lỗ lớn phương án đầu tư với độ tin cậy cho trước 2.1.4 Một số phương pháp tính VaR 2.1.4.1 Phương pháp RiskMetrics 2.1.4.2 Phương pháp toán kinh tế 2.1.5 Một số hạn chế VaR Độ đo rủi ro liên kết (Coherent risk measures) 2.2.1 Định nghĩa độ đo rủi ro liên kết 2.2.2 Biểu diễn độ đo rủi ro liên kết Xây dựng độ đo rủi ro Độ đo rủi ro thua lỗ trung bình (Expected shortfall measure) 14 17 17 25 26 27 27 30 31 35 Định mức rủi ro 3.1 Giới thiệu hệ thống định mức rủi ro 3.2 Lựa chọn tham số định lượng phân tích VaR 3.2.1 VaR sử dụng để xác lập vốn an toàn rủi ro 3.2.2 Hệ số điều chỉnh k hiệp định Basel sử dụng mơ hình định mức rủi ro 38 38 39 40 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 vi 41 Lời nói đầu Quản lý rủi ro tài có vị trí trung tâm quản trị tài đại Tuy vậy, lĩnh vực thực phát triển từ thập kỷ 90 trở lại nhờ phát triển vượt bậc công nghệ - kỹ thuật cho phép phát triển hoàn thiện loạt hệ thống phương pháp đánh giá rủi ro Cùng với xu tồn cầu hóa, hội đầu tư mở rộng song rủi ro thách thức kèm không nhỏ Đã có khơng vụ đổ bể tài ngân hàng, tập đoàn kinh tế lớn diễn nhiều quốc gia giới từ nước có kinh tế phát triển Mỹ, Nhật, Anh, Đức đến nước phát triển Thái Lan, Malaysia, Hàn Quốc Thực trạng khiến nhà hoạch định sách quốc gia tổ chức tài quan tâm đặc biệt đến quản lý rủi ro Trong quản lý rủi ro tài đại đơn dựa vào sách định tính chưa đủ, mà quan trọng phải hình thành phát triển hệ thống phương pháp khoa học nhằm lượng hóa mức độ rủi ro tổn thất tài xảy điều kiện định thị trường kinh tế để từ đưa giải pháp quản lý rủi ro hữu hiệu Hai công cụ biết rộng rãi dùng để hình thức hóa rủi ro thị trường tham số phòng hộ Hy Lạp, đo lường độ nhạy tài sản dịch chuyển thị trường, Value-at-Risk (VaR) Mặc dù Leavens không giới thiệu mơ hình VaR cách thức, coi người tiên phong nghiên cứu VaR Đó Leavens cơng khai có nghiên cứu tồn diện lợi ích đa dạng danh mục đầu tư vào năm 1945 Markowitz (1952) sau Roy (1952) Leavens cơng khai độ đo VaR cách độc lập William Sharpe đề xuất mơ hình Capital Asset Pricing Model vào năm 1963 Ba năm sau, ủy ban JP Morgan tổ chức nghiên cứu phái ii sinh dùng VaR báo cáo phát hành năm 1993 Tháng 10 năm 1994 JP Morgan đề xuất hệ thống gọi Risk Metrics Đó hệ thống máy tính độc lập cung cấp độ đo rủi ro cho 400 cơng cụ tài Hơn năm 1996 ủy ban Basle tán thành dùng giới hạn độ đo VaR để tính yêu cầu vốn ngân hàng, VaR trở thành độ đo rủi ro tài dùng rộng rãi VaR lượng tổn thất lớn quan sát với mức độ tin cậy cho khoảng thời gian xác định Ví dụ, nói VaR vị với độ tin cậy 95% 1000 nghĩa 95 100 ngày ta đối mặt với tổn thất thấp 1000 Về VaR ước lượng phân vị phân phối xác suất định Đáng tiếc định nghĩa VaR không cổ vũ cho đa dạng danh mục đầu tư Nghĩa rủi ro gắn với danh mục đầu tư hỗn hợp cao tổng số VaR danh mục riêng lẻ Sự mâu thuẫn VaR thúc đẩy nhà nghiên cứu xây dựng độ đo rủi ro khác Một số đề xuất biến đổi mở rộng VaR số khác đề nghị cách lựa chọn khác để tính rủi ro tài Kênh nghiên cứu thứ bắt đầu Artzner, Deldean, Eber, Heath vào năm 1997 với báo tựa đề “Thinking Coherently” Đóng góp chủ yếu nhà nghiên cứu “Độ đo rủi ro liên kết” (Coherent Risk Measures) vào năm 1999 Những báo giới thiệu điều kiện quán phải thỏa mãn độ đo rủi ro Vì VaR khơng độ đo rủi ro liên kết theo hoàn cảnh xét, độ đo rủi ro xây dựng thỏa mãn điều kiện qn dễ dàng tính tốn giống VaR Ví dụ, Conditional Value at Risk (CVaR) Uryasev Rockafeller năm 1999 Expected Shortfall (ES) Acerbi et al năm 2000 Cả hai độ đo làm việc với α phần trăm trường hợp tồi tệ lấy kỳ vọng tổn thất tồi tệ Luận văn nhằm hệ thống lại lý thuyết độ đo rủi ro tài đưa ví dụ cụ thể để minh họa Chúng cố gắng đưa hệ thống ví dụ khơng q phức tạp, đảm bảo cho mục đích minh họa làm cho kết lý thuyết trừu tượng trở nên dễ hiểu Với cơng việc đó, luận văn chia thành chương: Chương 1: trình bày số kiến thức xác suất thống kê dùng khóa luận Chương 2: chương quan trọng luận văn Phần đầu iii chương chúng tơi trình bày lại độ đo rủi ro VaR, giới thiệu số phương pháp tính VaR, đưa hạn chế VaR Phần lại chương này, chúng tơi trình bày độ đo rủi ro liên kết biểu diễn nó, cách xây dựng độ đo rủi ro liên kết, độ đo thua lỗ trung bình (Expected shortfall) Nội dung chương chứng minh chi tiết tính chất cộng tính độ đo Expected shortfall Chương dành để trình bày xác định giá trị rủi ro thực tế mức xếp hạng đánh giá mức độ rủi ro công ty iv Chương Các kiến thức mở đầu 1.1 1.1.1 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối Biến ngẫu nhiên Giả sử (Ω, A, P ) không gian xác suất (R, B) không gian đo với R tập số thực, B σ - đại số borel R Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi ánh xạ đo X : Ω −→ R (tức X −1 (B) ⊂ A)) biến ngẫu nhiên 1.1.2 Hàm phân phối xác suất Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi độ đo ảnh XP gọi phân phối (hay xác hơn, phân phối xác suất) X Ta ký hiệu PX = XP , PX (B) = P (X −1 (B)) xác suất không gian đo (R, B) Định nghĩa 1.1.2 Nếu X biến ngẫu nhiên ta gọi FX (x) = P {ω : X(ω) < x} hàm phân phối xác suất X Mệnh đề 1.1.3 Nếu X biến ngẫu nhiên, hàm phân phối nó: FX (x) = P {ω : X(ω) < x} có tính chất sau: 1) Khơng giảm: FX (x1 ) ≤ FX (x2 ) với x1 ≤ x2 2) Liên tục bên trái: FX (x) = FX (x − 0) 3) Nhận giá trị −∞ +∞ F (−∞) = limx→−∞ F (x) = 0, F (+∞) = limx→+∞ F (x) = Ngược lại, cho trước hàm F (x) có ba tính chất tồn khơng gian xác suất (Ω, A, P ) biến ngẫu nhiên X cho F hàm phân phối FX = F 1.1.3 Phân phối rời rạc phân phối liên tục Định nghĩa 1.1.4 Ta nói biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc (hay biến ngẫu nhiên rời rạc) hàm phân phối F hàm bước nhảy Giả sử {xk } tập hợp tất điểm gián đoạn F {pk } bước nhảy tương ứng: pk = F (xk + 0) − F (xk ) Khi đó, ta có: pk = Pξ {xk } = P {ω : ξ(ω) = xk } Bảng sau gọi bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên ξ: ξ x1 x2 · · · = , P p1 p2 · · · xk , k = 1, 2, giá trị ξ (hay điểm tập trung khối lượng ξ) pk , k = 1, 2, xác suất để ξ lấy giá trị xk (hay khối lượng Fξ đặt xk ) Rõ ràng, pk , k = 1, 2, có tính chất sau: pk > 0, pk = 1, (1.1) pk (1.2) k Fξ (x) = xk 0, m ∈ R, ta nói ξ có phân phối Gauss hay chuẩn với tham số (m, σ ) Rõ ràng, mật độ ξ = σγ + m có dạng x−m ) }, p(x) = √ exp{− ( σ σ 2π với ξ thế, ta dùng ký hiệu N (m, σ ) để hàm phân phối hàm lồi Nên liên tục Do Aρ = {X|ρ(X) ≤ 0} đóng Nếu X, Y ∈ Aρ ; tức ρ(X) ≤ 0, ρ(Y ) ≤ 0, ρ(αX + (1 − α)Y ) ≤ Do αX +(1−α)Y ∈ Aρ Nếu ρ(X) ≤ λ > ρ(λX) = λρ(X) ≤ λX ∈ Aρ Do Aρ nón dương, lồi, đóng Từ tính dương ρ(0) = Nếu X(ω) ≥ với ω ∈ Ω ρ(X) ≤ theo tính đơn điệu Do L+ ⊂ Aρ Cho X ∈ L−− ρ(X) < Tuy nhiên tính đơn điệu ρ suy ρ(X) ≥ X < 0, điều mâu thuẫn Nếu ρ(X) = với α cho α > X + α ∈ L−− ρ(X + α) = ρ(X) − α < Điều mâu thuẫn Do ρ(X) > 0, X ∈ Aρ Tức L−− ∩ Aρ = ∅ ρAρ (X) = inf{m ∈ R|m · r + X ∈ Aρ } Nói cách khác ρAρ (X) = inf{m ∈ R|ρ(X) ≤ m} Do ρAρ (X) = ρ(X) Tính lồi tập chấp nhận nghĩa danh mục đầu tư cực tiểu tìm Tính chất quan trọng cho việc tối ưu lựa chọn danh mục đầu tư Khơng có tập chấp nhận lồi nên VaR khơng thể đảm bảo cực tiểu Theo [8] độ đo rủi ro liên kết cực đại kỳ vọng rủi ro với độ đo xác suất Ω 2.2.2 Biểu diễn độ đo rủi ro liên kết Giả sử Ω tập trạng thái thị trường Giả sử Ω hữu hạn Ký hiệu 2Ω σ - trường gồm tất tập Ω Mỗi độ đo xác suất 2Ω phân bố xác suất tình thị trường Phân bố xác suất gọi “kịch thị trường” Định lý 2.2.6 Cho trước lãi suất tổng cộng r khoản đầu tư X, độ đo rủi ro ρ độ đo rủi ro liên kết tồn họ P độ đo xác suất tập tình thị trường, cho ρ(X) = sup{EP [−X/r]|P ∈ P} Chú ý: Càng nhiều “kịch bản” xét độ đo rủi ro liên kết lớn 30 Chứng minh Phần đầu định lý hiển nhiên Nếu ρ(X) = sup{EP [−X/r]|P ∈ P}, thì: Nếu X(ω)/r ≤ Y (ω)/r với ω ∈ Ω EP [−X/r] ≥ EP [−Y /r] với P ∈ P Từ suy tính đơn điệu Với số α bất kỳ, EP [−(X + α · r)/r] = EP [−X/r] − α với P ∈ P Ta có tính bất biến tịnh tiến Với số thực λ > 0; EP [−(λX)/r] = λEP [−X/r] với P ∈ P Từ suy tính dương Với X, Y ∈ G; sup{E[−(X + Y )/r]|P ∈ P} ≤ sup{E[−X/r]|P ∈ P} + sup{E[−Y /r]|P ∈ P} Từ có tính cộng tính Ngược lại, cho M tập tất độ đo xác suất Ω Định nghĩa Pρ sau Pρ = {P ∈ M : ∀ ∈ G, E[−X/r] ≤ ρ(X)}, ρ giả thiết độ đo rủi ro liên kết Tập xác suất M tập compact Rn , n = card(Ω), tập đóng cầu đơn vị Rn , compact Tóm lại M = {P ∈ Rn : ∀ω; P (ω) ≥ 0} P (ω) = Cho trước X ∈ G, E[−X/r] liên tục từ M vào R, ảnh liên tục tập compact {E[−X/r] : P ∈ M} compact R Từ suy {E[−X/r] : P ∈ M} ∩ {a ∈ R : a ≤ ρ(X)} compact tập đóng khơng gian metric compact compact Do đó: ρ(X) = sup{EP [−X/r]|P ∈ Pρ } 2.3 Xây dựng độ đo rủi ro Để thuận tiện, X biến ngẫu nhiên miêu tả giá trị tương lai lợi nhuận hay thua lỗ danh mục đầu tư trục thời gian cố định 31 T kể từ hôm α = A% ∈ (0, 1) phần trăm biểu diễn mẫu “các trường hợp tồi tệ nhất” cho danh mục đầu tư mà ta muốn phân tích Đưa thơng tin này, VaR danh mục với tham số T A% đơn giản cho tổn thất tương ứng với phân vị liên quan x(α) phân phối x(α) (X) = sup{x|P [X ≤ x] > α} V aR(α) (X) = −x(α) (X) (2.21) (2.22) Thống kê trả lời cho câu hỏi sau: Cái tổn thất nhỏ xảy A% trường hợp tồi tệ danh mục đầu tư ta? Đây câu hỏi thường xuyên hỏi quản lý rủi ro tài ngày Và “tổn thất nhỏ ” định nghĩa VaR khơng độ đo cộng tính Hơn nữa, để đơn giản ngưỡng xác suất A% tổn thất, VaR không phân biệt độ trầm trọng tổn thất vượt ngưỡng thực tế Hình dung cần phải tạo danh mục đầu tư với VaR mức độ rủi ro khác với A% mẫu trường hợp tồi tệ Ta biến đổi câu hỏi thành câu hỏi sau: Cái kỳ vọng tổn thất xảy A% trường hợp tồi tệ danh mục? (4) Ta muốn ý tưởng tốt hai lý khác Thứ nhất, câu hỏi rõ ràng câu hỏi tự nhiên phát sinh xem xét rủi ro mẫu cụ thể trường hợp tồi tệ Thứ hai, dẫn dắt tự nhiên tới định nghĩa thống kê cộng tính ta thấy vài bước Khơng khó khăn để hiểu hàm phân bố danh mục đầu tư liên tục thống kê trả lời câu hỏi đơn giản cho giá trị kỳ vọng điều kiện phân vị hay “kỳ vọng điều kiện đuôi” T CE (α) (X) = −E{X|X ≤ x(α) } (2.23) Tuy nhiên với phân phối tổng quát hơn, thống kê khơng thỏa mãn câu hỏi (4) biến cố X ≤ x(α) xảy với xác suất lớn A% lớn tập trường hợp tồi tệ chọn ta 32 Thật vậy, T CE độ đo rủi ro giới hạn hàm phân phối liên tục khơng thỏa mãn tính cộng tính với phân phối tổng quát Để hiểu thống kê thực ẩn câu hỏi (4), ta xét số lớn n thể {Xi }{i=1,··· ,n} biến ngẫu nhiên X Ta đơn giản phải xếp mẫu theo thứ tự tăng dần lấy trung bình A% giá trị Để làm điều này, định nghĩa thống kê thứ tự X1:n ≤ · · · ≤ Xn:n giá trị xếp n thành phần (X1 , · · · , Xn ) xấp xỉ số A% phần tử mẫu ω = [nα] = max{m|m > nα, m ∈ N}, phần nguyên nA%, lựa chọn cho n lớn thay đổi với làm tròn nguyên khác hay cắt bỏ gần với nα Do tập A% trường hợp tồi tệ biểu diễn ω kết {X1:n , · · · , Xω:n } Bỏ qua bàn luận chi tiết ước lượng phân vị ta định nghĩa ước lượng tự nhiên cho phân vị mức α, x(α) sau x(α) n (X) = Xω:n Ước lượng tự nhiên cho kỳ vọng tổn thất A% trường hợp tồi tệ đơn giản cho bởi: ESn(α) (X) =− ω i=1 Xi:n ω = −(Trung bình A% kết Xi ) ta gọi rủi ro thua lỗ trung bình A% mẫu Chú ý ước lượng tự nhiên cho T CE T CEn(α) (X) =− n i=1 Xi 1{Xi ≤Xω:n } n i=1 1{Xi ≤Xω:n } = −(Trung bình tất Xi ≤ x(α) n ) nói chung trung bình nhiều A% kết Điều (α) xảy xác suất biến cố X = xn dương (trường hợp hàm phân phối rời rạc) nên có nhiều lần xảy giá trị Xi = Xω:n Dễ (α) thấy ESn cộng tính với n cố định Xét hai biến X Y số n thể đồng thời {(Xi , Yi )}{i=1,··· ,n} Ta chứng minh cộng 33 tính dưới: ESn(α) (X +Y)=− ≤− ω i=1 (X + Y )i:n ω ω (X i:n + Yi:n ) i=1 ω (2.24) = ESn(α) (X) + ESn(α) (Y ) (α) Kết khích lệ Nếu ta hiểu thống kê ESn ước lượng với số n lớn, ta muốn kết thúc với độ đo cộng tính Chú ý, chứng (α) minh tương tự (2.24) sai với T CEn Bây giờ, ta mở rộng (α) định nghĩa ESn ESn(α) (X) =− =− ω =− ω ω i=1 Xi:n ω =− n i=1 Xi:n 1{i≤ω} ω n n Xi:n 1{Xi:n ≤Xω:n } − i=1 n Xi:n (1{Xi:n ≤Xω:n } ) − 1{i≤ω} ) i=1 n Xi 1{Xi ≤Xω:n } − Xω:n i=1 n n =− ω n i=1 (1{Xi:n ≤Xω:n } ) − 1{i≤ω} ) i=1 Xi 1{Xi ≤Xω:n } − Xω:n ( n n 1{Xi:n ≤Xω:n } − i=1 ω ) n (2.25) Nếu ta có lim Xω:n = x(α) , n→∞ (2.26) với xác suất 1, dễ dàng kết luận với xác suất ta có lim ESn(α) (X) = − (E[X1{X≤x(α) } ] − x(α) (P [X ≤ x(α) ] − α)) (2.27) n→∞ α Nhưng tinh tế việc ước lượng phân vị ta đề cập Phương trình (2.26) nói chung khơng thỏa mãn Tuy nhiên (2.27) mạnh thực tế thỏa mãn trường hợp tổng quát Ta đưa định nghĩa sau: 34 Định nghĩa 2.3.1 Cho X lợi nhuận-tổn thất danh mục đầu tư trục thời gian T cho α = A% ∈ (0, 1) mức xác suất danh nghĩa Rủi ro thua lỗ trung bình (Expected Shortfall) A% danh mục định nghĩa ESn(α) (X) = − (E[X1{X≤x(α) } ] − x(α) (P [X ≤ x(α) ] − α)) α (2.28) Định nghĩa đưa độ đo rủi ro thỏa mãn tất tiên đề định nghĩa độ đo rủi ro liên kết Biểu thức (2.28) ban đầu trơng thấy phức tạp Để rõ ràng hơn, phần x(α) (P [X ≤ x(α) ] − α) phải hiểu phần vượt trừ từ giá trị kỳ vọng E[X1{X≤x(α) } ] X ≤ x(α) có xác suất lớn α = A% Trường hợp P [X ≤ x(α) ] = α, phân phối xác suất liên tục, thành phần bị triệt tiêu dễ thấy (2.28) rút gọn thành (2.23) hay, nói cách khác, ES (α) = T CE (α) Mệnh đề 2.3.2 Cho X biến ngẫu nhiên khả tích thực khơng gian xác suất (Ω, A, P ) cố định α ∈ (0, 1) Khi đó: ESα (X) = −α−1 (E[X1{X≤s} ] + s(α − P [X ≤ s])), s ∈ [x(α) , x(α) ] Trong mục trình bày định nghĩa độ đo rủi ro thua lỗ trung bình có biểu diễn khác với định nghĩa nêu Tuy nhiên, Mệnh đề 2.3.2 hai biểu diễn thực chất 2.4 Độ đo rủi ro thua lỗ trung bình (Expected shortfall measure) Định nghĩa 2.4.1 Với biến ngẫu nhiên X mức xác suất α (α ∈ (0, 1)), α - phân vị thấp (lower quantile) (x(α) ) , α - phân vị cao (higher quantile) (x(α) ) thua lỗ trung bình (ESα (X)) định nghĩa sau: x(α) = inf{x|F (x) ≥ α} x(α) = inf{x|F (x) > α} = −V aRα (X) ESα (X) = − (E[X1X≤x(α) ] + x(α) (α − F (α))) α 35 (2.29) (2.30) (2.31) Trong F (x) = P (X ≤ x) hàm phân phối tích lũy X Trước hết, giá trị rủi ro âm α−phân vị cao Thứ hai, thấy x(α) ≥ x(α) đẳng thức xảy X liên tục Trong trường hợp này, ta có P (X = x(α) ) = 0, F (x(α) ) = α ESα (X) trở thành − E[X1X≤x(α) ] α Nếu X rời rạc có bước nhảy x(α) , ta có P (X = x(α) ) > F (x(α) ) = P (X ≤ x(α) ) ≥ α Định lý 2.4.2 Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y định nghĩa Z = X + Y ESα (Z) ≤ ESα (X) + ESα (Y ) Chứng minh Trước tiên, ta khẳng định lại biểu diễn ESα (X) (2.31) cách đưa    1X≤x(α) P (X = x(α) ) = α 1X≤x(α) = α − F (x(α) )   1X≤x(α) + P (X = x ) 1X=x(α) P (X = x(α) ) > (α) (2.32)     1+0=1     α − F (x− α − F (x(α) ) (α) ) = 1+ = ∈ [0, 1]  P (X = x ) P (X = x ) (α) (α)      0 + = X < x(α) X = x(α) X > x(α) thành phần thứ hai tổng P (X = x(α) ) = theo định nghĩa x(α) , bất đẳng thức F (x− (α) ) ≤ α ≤ F (x(α) ) P (X = x(α) ) = F (x(α) ) − F (x− (α) ) thỏa mãn Tính chất sau 1αX≤x(α) áp dụng sau chứng minh: E[1αX≤x(α) ] = α, 36 (2.33) ≤ 1αX≤x(α) ≤ (2.34) Để khẳng định lại ESα (X), ta dùng phương trình (2.32) xét kỳ vọng (X1αX≤x(α) ) E[X1αX≤x(α) ] = E[X1X≤x(α) ] + E α − F (x(α) ) X1X=x(α) P (X = x(α) ) = E[X1X≤x(α) ] + x(α) (α − F (x(α) )) = −αESα (X) Để hoàn thành chứng minh, xét (−αESα (Z))−(−αESα (X)) − (−αESα (Y )) = E[Z1αZ≤z(α) − X1αX≤x(α) − Y 1αY ≤y(α) ] = E[X(1αZ≤z(α) − 1αX≤x(α) )] + E[Y (1αZ≤z(α) − 1αY ≤y(α) )] Theo tính chất (2.34), ta có   α (1α Z≤z(α) − 1X≤x(α) ) ≥ 0, X > x(α)  α (1α Z≤z(α) − 1X≤x(α) ) ≤ 0, X < x(α) ⇔ X(1αZ≤z(α) − 1αX≤x(α) ) ≥ x(α) (1αZ≤z(α) − 1αX≤x(α) ), với X (2.35) Do theo tính chất (2.33) (2.35) E[X(1αZ≤z(α) − 1αX≤x(α) )] + E[Y (1αZ≤z(α) − 1αY ≤y(α) )] ≥ x(α) E[(1αZ≤z(α) − 1αX≤x(α) )] + y(α) E[(1αZ≤z(α) − 1αY ≤y(α) )] = x(α) (α − α) + y(α) (α − α) = 37 Chương Định mức rủi ro 3.1 Giới thiệu hệ thống định mức rủi ro Định mức rủi ro hay hệ số tín nhiệm - hệ số đánh giá khả tài khả tốn tổ chức khoản tiền nghĩa vụ: gốc lãi cơng cụ nợ mà phát hành Các công cụ nợ ngắn hạn như: hối phiếu, tín phiếu, chứng tiền gửi, dài hạn như: trái phiếu, cổ phiếu Hiện nay, giới có ba tổ chức cơng nhận có uy tín cao giới lĩnh vực xếp hạng hệ số tín nhiệm là: Moody’s, Standard and Poor’s Pitch Ratings Mỗi tổ chức có hệ thống định mức rủi ro riêng Tổ chức Standard and Poor’s dùng định mức: AAA AA A BBB BB B Tổ chức Moody’s dùng định mức: Aa A Baa Ba Caa Ca C Các hãng đánh giá rủi ro thường xuất tài liệu thống kê diễn biến mức rủi ro công ty biên độ mức rủi ro Từ thống kê đó, ta lập ma trận xác suất chuyển p(x, y) cho biết đầu thời kỳ, công ty mức rủi ro x, cuối thời kỳ mức rủi ro y Giả sử ta có hệ thống định mức rủi ro gồm d định mức {1, 2, , d} Định mức cao rủi ro lớn, chất lượng tài 38 thấp Cơng ty định mức công ty tốt nhất, công ty định mức d công ty nhiều rủi ro Ta có ma trận xác suất chuyển Qτ = (pij (τ )), pij (τ ) xác suất từ định mức i sang định mức j sau khoảng thời gian τ ∈ [0, T ]   p12 (τ ) · · · p1d−1 (τ ) p1d (τ )   p11 (τ )    p21 (τ ) p22 (τ ) · · · p2d−1 (τ ) p2d (τ )      Qτ =        pd−11 (τ ) pd−12 (τ ) · · · pd−1d−1 (τ ) pd−1d (τ )    0 ··· Trong ma trận này, d − số hàng cuối biểu thị kiện trạng thái thất bại Rõ ràng là, với i ∈ {1, , d − 1} thì: d pik = k=1 tức tổng xác suất theo hàng phải 3.2 Lựa chọn tham số định lượng phân tích VaR Trong phân tích VaR, có hai yếu tố quan trọng để xác định VaR: mức độ tin cậy độ dài kỳ đánh giá Chú ý VaR tiêu đo mức độ tổn thất tài thật sự, mà VaR phản ánh tổn thất có khả xảy mức độ tin cậy cho trước kỳ hạn lựa chọn định Do đó, nhìn chung VaR tăng độ tin cậy yêu cầu cao kỳ hạn đánh giá dài Việc lựa chọn tham số định lượng hoàn toàn phụ thuộc vào ý muốn chủ quan người sử dụng VaR 39 3.2.1 VaR sử dụng để xác lập vốn an toàn rủi ro Các tổ chức tài phân tích VaR phải đặc biệt trọng tới tham số độ tin cậy độ dài kỳ đánh giá Khi VaR sử dụng cho mục đích xác lập vốn an tồn rủi ro phải đảm bảo chắn VaR phải bao hàm nhiều loại rủi ro khác rủi ro tín dụng, rủi ro thị trường, rủi ro khoản, rủi ro hoạt động Việc lựa chọn mức độ tin cậy, chẳng hạn 95%, 99%, hay 99, 99% phản ánh mức độ thận trọng tổ chức tài rủi ro Mức độ tin cậy cao giá trị rủi ro VaR lớn, tức doanh nghiệp phải sử dụng nguồn vốn lớn để đối phó với rủi ro xảy Bảng cho thấy mối quan hệ độ dài kỳ đánh giá, rủi ro tín dụng mục tiêu trì chuẩn mực xếp hạng tín dụng cơng ty: Mức xếp hạng tín Tần số xảy cố khả dụng mong muốn toán năm 10 năm Aaaa 0,02% 1,49% Aa 0,05% 3,24% A 0,09% 5,65% Baa 0,17% 10,50% Ba 0,77% 21,24% B 2,32% 37,98% Bảng 3.1: Trích từ bảng tính tỷ lệ khả toán 1920-1998 hãng Moody Theo bảng phân loại trên, tổ chức tài muốn trì xếp hạng rủi ro tín dụng mức Aa phải trì vốn an tồn rủi ro mức ý nghĩa 0, 05% Do vậy, VaR phải tính tốn độ tin cậy 100% − 0, 05% = 99, 95% 40 Tương tự, doanh nghiệp muốn trì mức xếp hạng tín dụng Ba VaR phải tính với độ tin cậy là: 100% − 0, 77% = 99, 23% 3.2.2 Hệ số điều chỉnh k hiệp định Basel sử dụng mơ hình định mức rủi ro Hiệp định Basel thỏa thuận quy chuẩn tài áp dụng ngân hàng thương mại ngân hàng nhà nước thuộc nhóm G-10 gồm: Anh, Bỉ, Canada, Đức, Pháp, Italia, Nhật, Hà Lan, Thụy Điển Mỹ ký ngày 15/7/1988 Tuy nhiên, giới có 100 nước áp dụng quy chuẩn tài hiệp định Hiệp định Basel quy định vốn an toàn rủi ro ngân hàng thương mại Các ngân hàng phép sử dụng mơ hình đánh giá rủi ro nội để ước lượng VaR Giá trị VaR xem vốn an toàn rủi ro bắt buộc ngân hàng Hiệp định Basel quy định: i) Mức độ tin cậy cho phép ước lượng VaR 99% ii) Kỳ hạn đánh giá VaR 10 ngày kinh doanh iii) Kết đánh giá VaR nhân với hệ số điều chỉnh k = để có mức vốn an tồn rủi ro tối thiểu Bây ta xem xét, lại chọn hệ số điều chỉnh k = Trong thực tế, mơ hình phân tích VaR cịn có rủi ro khác khơng bao hàm VaR, ta gọi sai số mơ hình: chuỗi số liệu quan sát ngắn thông tin thu thập có độ tin cậy chưa cao, giả thiết phân bố xác suất lợi suất phân bố chuẩn thực tế chưa Và nguyên nhân mục đích thận trọng nên k = đặt thành hệ số điều chỉnh Stahl (1997) đưa phương pháp lựa chọn k sau: Giả sử X biến ngẫu nhiên thể cho lợi suất phương án đầu tư, µ trung bình 41 Theo bất đẳng thức Chebyshev: P (|X − µ| > rσ) ≤ r2 Giả sử phân bố X đối xứng thì: P {(X − µ) < −rσ} ≤ 1 · r2 (3.1) 1 · = 0, 01 suy r2 r(99%) = 7, 071 Thay vào vế trái bất đẳng thức trên, ta có giá trị lớn mức ý nghĩa 1% 7, 071σ Ta để ý, cơng thức (3.1) cơng thức tính VaR Như vậy, ta có giá trị rủi ro lớn theo cơng thức là: V aR(max) = 7, 071σ Nếu ngân hàng sử dụng mơ hình tính toán nội với giả thiết phân bố lợi suất phân bố chuẩn thì: Nếu chọn vế phải mức ý nghĩa 1%, ta có: V aR(chuẩn) = xα · σ = x99% · σ = 2, 326 · σ Hệ số điều chỉnh trường hợp phân bố lựa chọn chưa xác ta có: k = V aR(max)/V aR(chuẩn) = 7, 071σ/2, 326σ = 3, 03 Kết k = 3, 03 gần với hệ số k = áp dụng mơ hình tính tốn VaR hiệp định Basel 42 Kết luận Trên số kiến thức mà người viết thu trình học tập làm luận văn Luận văn tập trung nghiên cứu sở lý thuyết độ đo rủi ro VaR, độ đo thua lỗ trung bình (Expected shortfall) Tài liệu tham khảo chủ yếu [3], [5] Trong khuôn khổ luận văn này, người viết giới thiệu mô hình VaR, cách tính VaR mơ hình RiskMetrics, nhược điểm VaR; độ đo rủi ro liên kết, xây dựng độ đo thua lỗ trung bình, biểu diễn độ đo rủi ro liên kết 43 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Nam, Hoàng Xuân Quyến (2002), Rủi ro tài chính, thực tiễn phương pháp đánh giá, NXB Tài chính, Hà Nội [2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Trần Hùng Thao (2009), Nhập mơn tốn học tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [4] Đặng Hùng Thắng (2005), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Carlo Acerbi, Claudio Nordio, Carlo Sirtori (2001), Expected Shortfall as a tool for Financial Risk Management [6] Carlo Acerbi, Dirk Tasche (tháng 5, 2001) Expected Shortfall: a natural coherent alternative to Value at Risk [7] Carlo Acerbi, Dirk Tasche (2002), On the coherent of Expected Shortfall [8] Philippe Artzner, Freddy Delbean, Jean-Marc Eber, David Heath (1999), Coherent measures of risk 44